GRANICA, CIĄGŁOŚĆ, POCHODNA FUNKCJI

Należy powtórzyć:

• obliczanie granicy funkcji;

• określenie funkcji ciągłej, badanie ciągłości funkcji;

• własności funkcji ciągłych w przedziale domkniętym;

• określenie pochodnej funkcji w punkcie;

• wzory na pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji;

• wzory na pochodne poznanych funkcji;

• pochodna funkcji złożonej;

• równanie stycznej i kąt przecięcia się krzywych;

• monotoniczność i ekstrema funkcji różniczkowalnej;

• wartość największa i najmniejsza funkcji w przedziale domkniętym;

• zagadnienie optymalizacji.

1. Oblicz granice:

.

2. Wykaż, że nie istnieją granice:

.

3. Wyznacz równania asymptot wykresów funkcji

.

4. Zbadaj ciągłość funkcji w x₀:

.

5. Zbadaj ciągłość funkcji
.

6. Dla jakich wartości parametru m funkcja f jest ciągła w zbiorze R

?

7. Oblicz z definicji pochodną funkcji f (x) = 2x² - 3 w x₀=2.

8. Wyznacz równania stycznych do wykresu funkcji f(x)=x² - 5 + 6 w punktach przecięcia wykresu f z osią OX.

9. Wyznacz równania stycznych do wykresu
:

1. równoległych do prostej y=2x

2. prostopadłych do prostej y=2x

3. przecinających oś OX pod kątem 45^o.

10. Wyznacz kąt pod jakim przecinają się wykresy funkcji:

.

11. Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:

.

12. Naszkicuj wykres i podaj przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:

.

13. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f (x)= 2x³ - 12x² w przedziale
.

14. Wykaż, że równanie
ma w zbiorze liczb rzeczywistych trzy różne rozwiązania.

15. Jakie wymiary powinna mieć prostokątna serweta o powierzchni 100dm², by na obszycie jej brzegów zużyć jak najmniej ozdobnej taśmy? Oblicz długość potrzebnej taśmy.

16. Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres funkcji:

.