Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Przypomnienie działań na potęgach

 

Przypomnijmy sobie podstawowe działania na potęgach:

• a¹ = a

• aⁿ = aa^{n − 1}

• 
  

• a⁰ = 1

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• a^p:a^q = a^{p − q}

• (a^p)^q = a^pq

• 
  

• 
  

Kilka podstawowych przykładów

Przykład 1.

Sprowadźmy do jednej potęgi wyrażenie:

a)

Rozwiązanie:

b)

Rozwiązanie:

Przykład 2.

Zapiszmy w postaci potęgi:

a)

b)

Przykład 3.

Udowodnijmy równość:

a)

P = 8

czyli L = P

b)

zatem L = P

c)

P = 5

L = P

Przykład 4.

Udowodnijmy teraz, że liczba
jest wymierna:

Przykład 5.

Teraz odwrotnie, udowodnijmy, że liczba
jest niewymierna:

Funkcja potęgowa

 

DEFINICJA Funkcja potęgowa jest to funkcja określona wzorem f(x) = x^p.

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Dziedzina funkcji potęgowej:

1. Jeśli
   , to
   

2. Jeśli
   , to
   

3. Jeśli
   :

• dla p > 0, to
  

• dla p < 0, to
  

Wykres

 

O wykładniku równym zero

W tym przypadku wykres jest dość prosty - wykresem funkcji jest prosta. Jedynym faktem do zaznaczenia jest to, że
. Dziedzina jest bez zera, ponieważ wartość wyrażenia 0⁰ jest nieokreślona.

O wykładniku dodatnim parzystym

Wszystkie te wykresy przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;1), a także (1;1).

Własności:

1. 
   

2. 
   

3. Miejsce zerowe funkcji: x₀ = 0

4. Wartości dodatnie:
   

5. Wartości ujemne:
   , funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych

6. Ekstrema:

Minimum: dla x = 0 f(x) = 0

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

Rośnie dla

Maleje dla

8. Funkcja nie jest różnowartościowa

9. Funkcja jest parzysta

10. Funkcja nie jest nieparzysta

O wykładniku dodatnim nieparzystym

Łatwo zauważyć, że wykresy te przecinają się w trzech punktach o współrzędnych (0;0), (-1;-1), a także (1;1).

Własności:

1. 
   

2. 
   

3. Miejsce zerowe funkcji: x₀ = 0

4. Wartości dodatnie:
   

5. Wartości ujemne:
   

6. Ekstrema:

Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

Rośnie dla

8. Funkcja jest różnowartościowa

9. Funkcja nie jest parzysta

10. Funkcja jest nieparzysta

O wykładniku ujemnym parzystym

Wszystkie te wykresy przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;1), a także (1;1). Ponadto zachodzi:

Własności:

1. 
   

2. 
   

3. Miejsce zerowe funkcji: brak

4. Wartości dodatnie:
   

5. Wartości ujemne:
   

6. Ekstrema:

Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

Rośnie dla

Maleje dla

8. Funkcja nie jest różnowartościowa

9. Funkcja jest parzysta

10. Funkcja nie jest nieparzysta

11. Asymptoty: x = 0 i y = 0

O wykładniku ujemnym nieparzystym

Wykresy te przecinają się w dwóch punktach o współrzędnych (-1;-1), a także (1;1). Można zauważyć, że zachodzi także:

Własności:

1. 
   

2. 
   

3. Miejsce zerowe funkcji: brak

4. Wartości dodatnie:
   

5. Wartości ujemne:
   

6. Ekstrema:

Minimum: nie przyjmuje wartości najmniejszej

Maksimum: nie przyjmuje wartości największej

7. Monotoniczność:

Maleje w przedziale
i przedziale

8. Funkcja jest różnowartościowa

9. Funkcja nie jest parzysta

10. Funkcja jest nieparzysta

11. Asymptoty: x = 0 i y = 0

Rozwiązywanie równań potęgowych

 

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przykładami równań potęgowych może być:

,

,

.

W celu rozwiązania danego równania oczywiście najpierw należy wyznaczyć dziedzinę. Następnie rozwiązujemy je i sprawdzamy, które rozwiązania należą do dziedziny równania. Załóżmy, że mamy równanie
i chcemy je rozwiązać. Możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę:

2. Przekształcamy pierwiastek na potęgę:

3. Ponieważ obydwie strony równania są dodatnie, możemy je podnieść do potęgi
   :

4. Czyli:

Niektóre równania możemy sprowadzić do postaci równania kwadratowego, na przykład równanie
:

1. Ustalamy dziedzinę:

2. Podstawmy:
   i otrzymujemy równanie kwadratowe:

t² + 3t − 28 = 0

3. Czyli:

4. Otrzymujemy:

x = 4⁵ = 1024

Spójrzmy na jeszcze inny przykład:
.

1. Ustalamy dziedzinę:

Czyli:

2. Wyrażenie to możemy podnieść do kwadratu, ponieważ lewa i prawa strona jest dodatnia:

3. Żeby równanie to miało sens muszą zachodzić warunki:

4. I możemy ponownie podnieść to wyrażenie do kwadratu:

8x² − 14x − 30 = (3x − 5)²

8x² − 14x − 30 = 9x² − 30x + 25

− x² + 16x − 55 = 0

5. Czyli:

6. Zatem rozwiązaniami tego równania jest 5 i 11.

Rozwiązywanie nierówności potęgowych

Przykładem nierówności potęgowej może być:

x² > x ^{− 3}

Aby rozwiązać nierówność potęgową możemy wykonać poniższe czynności:

1. Ustalamy dziedzinę.

2. Przenosimy wszystkie składniki nierówności na lewą stronę.

3. Rozwiązujemy nierówność, pamiętając o dziedzinie. Często okazuje się przydatne wykorzystanie własności:

1. 
   

2. 
   

4. Udzielamy odpowiedzi.

Czasami może okazać się pomocne obustronne pomnożenie nierówności przez x^k, gdzie k jest liczbą parzystą. Nie spowoduje to problemów, ponieważ x^k zawsze będzie nieujemne, a w związku z tym znak wyrażeń po obu stronach nierówności nie może ulec zmianie.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność x ^{− 4} > x ^{− 3}.

Możemy to zrobić w standardowy sposób:

1. Ustalamy dziedzinę, wykonując pewne przekształcenia, które nam to ułatwią:

2. Przenosimy wszystko na lewą stronę:

3. Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

− x⁴(x − 1) > 0

4. Otrzymujemy dwa miejsca zerowe:

x₁ = 0 o krotności 4

x₂ = 1 o krotności 1

5. Rozwiązaniem nierówności jest
   

Nierówność x ^{− 4} > x ^{− 3} możemy także rozwiązać (po uprzednim ustaleniu dziedziny
) wymnażając obie strony przez x⁴, ponieważ x⁴ > 0 dla każdego x różnego od 0. Otrzymalibyśmy wtedy:

1 > x

Uwzględniając dziedzinę
otrzymujemy, że
. Jak widać w tym przypadku drugi sposób okazał się o wiele łatwiejszy.

Trzeba dodać, że nie moglibyśmy wymnożyć przez np. x⁵ (wykładnik nieparzysty), ponieważ x⁵ może przyjąć wartość ujemną. A pamiętamy, że jeśli nierówność wymnażamy przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny. Wymnażając przez x⁵ nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy liczba ta jest ujemna, dodatnia, czy może jest zerem, zatem nie jesteśmy w stanie stwierdzić, czy musimy zmienić znak na przeciwny bez tworzenia dodatkowych założeń.

Dodajmy także, że jeśli wymnażamy obustronnie nierówność (czy nawet równanie) przez x⁴ (czy inne potęgi) musimy sprawdzić jeden przypadek zdegenerowany -- co będzie gdy x⁴ = 0, czyli gdy x = 0. Musimy to zrobić, ponieważ jeśli dowolną nierówność wymnożymy obustronnie przez 0 obie strony nierówności się zerują np.
przechodzi na
(zawsze prawdziwe). Zatem musimy sprawdzić dwa przypadki -- czy liczba x = 0 spełnia niewymnożoną nierówność (w ten sposób pomijamy sytuację, gdy x⁴ = 0), a także która z liczb
spełnia wymnożoną nierówność (wtedy
). Następnie sumujemy oba zbiory rozwiązań.

Na szczęście w powyższym przykładzie
, czyli x nigdy nie będzie równy 0 i ten zdegenerowany przypadek nas nie dotyczy.

Funkcja wykładnicza

 

DEFINICJA Funkcja wykładnicza jest to funkcja określona wzorem f(x) = a^x dla a > 0 i .

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przykładem funkcji wykładniczej może być:

• y = 2^x

• 
  

• y = 10^2x, co jest równoznaczne y = (10²)^x = 100^x

Wykres i własności

Patrząc na funkcję y = 2^x i
(kolor czerwony) wydaje nam się, że są one symetryczne względem osi OY. Podobnie jest z funkcjami y = 3^x i
(kolor granatowy), a także
i
(kolor zielony). Możemy przypuszczać, że wykresy f(x) = a^x, a także
są symetryczne względem osi OY i rzeczywiście tak jest:
.

Własności:

1. D = R

2. ZW = R ₊ , czyli a^x > 0

3. Wykres funkcji y = a^x jest symetryczny względem osi OY do wykresu funkcji
   

4. Funkcja nie posiada miejsc zerowych

5. Funkcja przecina oś OY w punkcie (0;1), ponieważ
   

6. Funkcja jest różnowartościowa

7. Dla
   funkcja jest rosnąca

8. Dla
   funkcja jest malejąca

Rozwiązywanie równań wykładniczych

 

Materiał ten dotyczy wiadomości na poziomie rozszerzonym.

Przykładami równań wykładniczych mogą być:

Schemat rozwiązywania równań wygląda tak:

1. Ustalamy dziedzinę.

2. Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników.

3. Rozwiązujemy równanie.

4. Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie.

5. Podajemy odpowiedź.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać równanie
, możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę:

2. Sprowadzamy do tej samej podstawy:

3. Z równości potęg wynika równość wykładników:

4. Zatem rozwiązaniem równania jest -2.

5. Możemy sprawdzić rozwiązanie:

Zatem

Przykład 2

Jeśli chcemy rozwiązać równanie
, możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:

2. Podstawiamy
   

3. Otrzymujemy:

4. Ponieważ
   :

lub

lub

lub

5. Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych

 

Przykładami nierówności wykładniczych są:

W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy:

1. Ustalić dziedzinę

2. Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać.

3. Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie:

dla

analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”

dla

analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy”

4. Rozwiązujemy otrzymane równanie.

5. Udzielamy odpowiedzi.

Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie
, możemy je przekształcić na równanie
, ponieważ
. Natomiast
, ponieważ
.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność
. W tym celu:

1. Ustalamy dziedzinę:

2. Sprowadzamy do tych samych podstaw:

3. Ponieważ
   , wykorzystujemy prawo
   :

4. Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:

5. Z własności
   , wynika że:

, krotność 2 i
o krotności 1.

6. Czyli
   

Logarytm

Pojęcie i własności logarytmu

 

DEFINICJA Logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie a, gdzie , nazywamy wykładnik potęgi c, do której należy podnieść a, aby otrzymać b. , dla a > 0 i i b > 0 a jest podstawą logarytmu b jest liczbą logarytmowaną c jest wartością logarytmu

 

Własności logarytmu:

• 
  

• log_a1 = 0

• log_aa = 1

• log_a(mn) = log_am + log_an

• 
  

• log_an^b = blog_an

• 
  

• 
  

• 
  

• warto dodać, że logarytm jest funkcją ciągłą

Przykłady

log₁₀100 = 2

log₁₀10000 = 4

log_0.10.01 = 2

log_0.10.0001 = 4

log₁₀0.1 = − 1

log₁₀0.01 = − 2

Logarytm naturalny i dziesiętny

 

W praktyce najczęściej stosuje się logarytmy o podstawie 2, e oraz 10, stąd zapis:

• log₁₀a = loga - logarytm dziesiętny (alternatywnie Briggsa lub zwyczajny)

• log_ea = lna - logarytm naturalny (którego podstawa
  )

• log₂a = lga

Uwaga! Oznaczenia log, lg oraz ln mogą mieć inne niż powyższe znaczenie w literaturze obcojęzycznej, programach komputerowych i językach programowania!

Przybliżenia

 

W obliczeniach chemicznych często przybliża się:

• 
  

Funkcja logarytmiczna

 

DEFINICJA Funkcję f(x) = logax, gdzie a > 0, i x > 0 nazywamy funkcją logarytmiczną.

Ponadto funkcja logarytmiczna przesunięta o wektor
, także jest funkcją logarytmiczną. Funkcja ta będzie wówczas postaci f(x) = log_a(x − p) + q.

Przykłady funkcji logarytmicznej:

• f(x) = log_0,5x

• g(x) = log₃(x + 2)

• h(x) = log(x − 5) + 20

• i(x) = log_0,2x − 2

 

Najważniejsze własności funkcji y = log_ax dla
:

• 
  

• 
  

• funkcja jest rosnąca

• funkcja jest różnowartościowa

Najważniejsze własności funkcji y = log_ax dla
:

• 
  

• 
  

• funkcja jest malejąca

• funkcja jest różnowartościowa

Rozwiązywanie równań logarytmicznych

 

DEFINICJA Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami równań logarytmicznych są: log4x = − 2 logx + 327 = − 2

Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego powinno się:

1. Ustalić dziedzinę

2. Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów:

• 
  np.
  

• Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np.
  , ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.

• Podać odpowiedź.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie log₂x = 5.

1. Ustalamy dziedzinę:
   

2. Własność
   sprawdzi się w tym przypadku. Otrzymamy




3. Odp. x = 32


Przykład 2

Chcemy rozwiązać równanie
. Możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę:




Zatem mamy równanie


2. Z własności
   i przekształcając odrobinę to równanie otrzymujemy:










3. Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie log₅x² = 3.

1. Ustalamy dziedzinę:

Liczba logarytmowana musi być większa od 0, dlatego zakładamy, że
. Zatem
.

2. 
   

3. I znajdujemy pierwiastki równania:

x² − 125 = 0




czyli
i


4. Odp.
   

Przykład 4

Rozwiążmy równanie
. (Pamiętamy, że
, a nie log₂(x²).)

1. Ustalamy dziedzinę:
   

2. Podstawiamy zmienną pomocniczą t = log₂x do równania
   i otrzymujemy:

t² − 10t + 16

3. 
   ,
   .

4. 
   ,
   

5. Ponieważ t = log₂x, więc:

log₂x = t₁ = 2




lub log₂x = t₂ = 8




6. Odp.
   

Przykład 5

Spróbujmy rozwiązać równanie log₂x − log₄x = 3.

1. Ustalamy dziedzinę:
   

2. Obydwa logarytmy musimy sprowadzić do wspólnej podstawy. W tym celu wykorzystujemy wzór
   . log₄x możemy zapisać jako
   . Zatem nasze równanie przybierze postać:







Obustronnie mnożymy przez 2:

log₂x = 6

x = 2⁶ = 64

3. Odp. x = 64

Przykład 6

Rozwiążmy równanie


1. Ustalamy dziedzinę:
   

2. Obydwa logarytmy podobnie jak w poprzednim przykładzie sprowadzamy do wspólnej podstawy otrzymując:










3. Teraz obustronnie dzielimy przez
   i mamy:

log₃(x − 3) = 2

4. 
   

5. Odp. x = 12

Przykład 7

Rozwiążmy równanie 2log_{x − 3}3 = 2.

1. Ustalamy dziedzinę pamiętając, że podstawa logarytmu musi należeć do sumy przedziałów
   :




czyli


2. Skorzystamy z własności klog_ax = log_ax^k:




zatem log_{x − 3}9 = 2

3. Ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe:

9 = (x − 3)²

9 = x² − 6x + 9

x(x − 6) = 0

Otrzymujemy:
i


4. Odp. x = 6

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

 

DEFINICJA Nierównością logarytmiczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami nierówności logarytmicznych są: logx > 5 logx + 14 = 4

Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału (0;1), dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w
zostawiamy znak taki, jaki był. Zresztą zaraz zobaczymy to na przykładach.

Przykład 1

Rozwiążmy nierówność log₃x > 4.

1. Ustalamy dziedzinę:
   

2. Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1, więc nie zmieniamy znaku na przeciwny, zatem:




x > 81

3. Znajdujemy cześć wspólną rozwiązania z dziedziną, czyli:




4. Odp.
   

Przykład 2

Rozwiążmy nierówność log_0,5(x²) < 4

1. Ustalamy dziedzinę:


, czyli:




2. Podstawa logarytmu (czyli 0,5)zawiera się w przedziale (0;1), więc musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:


i otrzymujemy, że:




czyli


3. Teraz znajdujemy część wspólną tego rozwiązania z dziedziną, czyli:




Odp.


Przykład 3

Zajmijmy się teraz taką nierównością
:

1. 
   

2. 
   , ponieważ podstawa jest mniejsza od 1

3. 
   

4. 
   

5. Czyli
   

6. Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że
   

7. Odp.
   

Przykład 4

Rozwiążmy nierówność log_{3x − 3}16 < 2:

1. Ustalamy dziedzinę:

Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru
, więc będzie także w tym przypadku. Mamy:




czyli


2. Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy
   i gdy
   , ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie.

• dla
  


, tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:




czyli
, a także
(z założenia)

czyli


• dla
  




czyli
i


czyli


3. Ostatecznie podsumowując te dwa przypadki otrzymujemy, że
   

4. Odp.
   

Podsumowanie

Po zapoznaniu się z tym rozdziałem, powinieneś umieć na poziomie rozszerzonym:

• Porównywać potęgi o wykładnikach rzeczywistych i stosować ich własności do przekształcania wyrażeń.

• Posługiwać się własnościami funkcji wykładniczych i logarytmicznych, a także szkicować ich wykres.

• Rozwiązywać proste równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne, a także rozwiązywać układy takich równań i nierówności.

---