CIĄGI LICZBOWE

Poziom podstawowy

Zadanie 1. (3 pkt.)

Suma n pierwszych liczb wyrazów ciągu (a_n) dana jest wzorem
. Dowieść, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym.

Zadanie 2. (4 pkt.)

Ciąg (a_n) określony jest następujący:

dla jakich n suma n pierwszych wyrazów tego ciągu jest większa od 10².

Zadanie 3. (5 pkt.)

Dany jest ciąg (a_n) o wyrazów ogólnym

1. Sporządź wykres ciągu a_n w układzie współrzędnych dla pierwszych czterech wyrazów.

2. Ile wyrazów ciągu należy do przedziału
   .

3. Zbadaj monotoniczność ciągu.

Zadanie 4. (5 pkt.)

Trzy początkowe wyrazy malejącego ciągu arytmetycznego są pierwiastkami wielomianu
, a jednym z nich jest
:

1. znajdź pierwszy wyraz tego ciągu

2. oblicz sumę
   

Zadanie 5.* (6 pkt.)

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 6, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
. Dla jakich
spełniona jest nierówność
.

Zadanie 6. (4 pkt.)

Liczby
są trzema wyrazami ciągu arytmetycznego o wyrazach całkowitych:

a) oblicz x

b) podaj wzór na n-ty wyraz tego ciągu

Zadanie 7. (6 pkt.)

Ciąg 36,
, 24,….. jest ciągiem geometrycznym

1. oblicz iloraz tego ciągu

2. zapisz n-ty wyraz tego ciągu w postaci abⁿ

3. oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 8. (4 pkt.)

Dane są cztery liczby. Trzy pierwsze z nich tworzą ciąg geometryczny, zaś trzy ostatnie ciąg arytmetyczny. Suma skrajnych liczb jest równa 14 zaś suma liczb środkowych wynosi 12. Znajdź te liczby.

Zadanie 9. (8 pkt.)

Dany jest ciąg

1. zbadaj czy jest to ciąg arytmetyczny

2. zbadaj czy jest to ciąg geometryczny

3. zbadaj monotoniczność ciągu

4. sporządź wykres zbioru
   .

Zadanie 10. (4 pkt.)

Pomiędzy liczby 243 i 48 wstaw takie trzy liczby aby wraz z danymi tworzyły

1. ciąg arytmetyczny,

2. ciąg geometryczny.

Zadanie 11. (4 pkt.)

Liczby
tworzą (w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny i są trzema początkowymi wyrazami czterowyrazowego ciągu (a_n). Oblicz czwarty wyraz ciągu (a_n), wiedząc że liczby a₂, a₃, a₄ są trzema kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego.

Zadanie 12. (4 pkt.)

Ciąg (a_n) określony jest wzorem

1. oblicz pierwszy i trzeci wyraz tego ciągu

2. uzasadnij korzystając z definicji ciągu geometrycznego, że ciąg (a_n) jest geometryczny

Schemat punktowania - ciągi liczbowe

Poziom podstawowy

Numer zadania	Etapy rozwiązywania zadania	Liczba punktów
1.	Wyznaczenie wyrazu ogólnego ciągu z własności sumy wyrazów	1
		Zbadanie czy ciąg jest arytmetyczny	2
	2.	Uzasadnienie, że ciąg jest ciągiem geometrycznym oraz zapisanie wzorów na wyraz ogólny i sumę n-wyrazów	2
		Poprawne rozwiązanie nierówności n>4	2
	3.	Zaznaczenie wyrazów ciągu w układzie współrzędnych podpunkt a)	1
		Podpunkt b) 9 wyrazów	2
		Podpunkt c) jest monotoniczny	2
	4.	Wyznaczenie pierwiastków wielomianu	2
		Podpunkt b)	2
5.	Zapisanie w postaci układu nierówności modułu oraz wyznaczenie n , stąd n > 9	6
6.	Podpunkt a) x= 1	2
		Podpunkt b)	2
	7.	Podpunkt a)	2
		Podpunkt b)	2
		Podpunkt c)	2
	8.	Zapisanie odpowiedniego układów równań zawierającego wszystkie warunki dla liczb a, b, c, d	2
		Rozwiązanie 2,4,8,12 lub	2
9.	Dwa punkty za każdy podpunkt -jest arytmetyczny, nie jest geometryczny, jest rosnący	2
10.	Podpunkt a) 243,x,y,z,48 i	2
		Podpunkt b) ) 243,x,y,z,48 i	2
	11.	Rozwiązanie pierwiastków wielomianu x=1 lub x =2	2
		Rozwiązanie zadania x=1 wtedy 0,1,2,4, lub x=2 wtedy 2,4,6,9	2
	12.	Podpunkt a) 7 oraz 28	2
		Podpunkt b)	2

Ciągi liczbowe

34