GEOMETRIA ANALITYCZNA

Poziom podstawowy

Zadanie 1. (3 pkt.)

Dany jest okrąg o równaniu
i prosta l o równaniu
.

1. Wyznacz równanie prostej k równoległej do prostej l i przechodzącej przez środek danego okręgu.

2. Wyznacz równanie prostej m prostopadłej do prostej l i przechodzącej przez środek danego okręgu.

Zadanie 2. (4 pkt.)

Domy trzech kolegów znajdują się w punktach, które można zaznaczyć w układzie współrzędnych : dom Jacka w punkcie J(-2,-3), dom Marka w punkcie M(-5,1), dom Pawła w punkcie P(0,3).

1. Oblicz odległość między domami Marka i Jacka

2. Które domy położone są najdalej od siebie. Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie3. (3 pkt.)

Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach
,
.

ROZWIĄZANIE.

Niech
będzie dowolnym punktem należącym do symetralnej odcinka AB. Wtedy
.

Wynika stąd, że:

Zatem

ODPOWIEDŹ: równanie symetralnej odcinka AB jest następujące:
.

Postępując w analogiczny sposób wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A(4,-7),

B(-2,-5)

Zadanie 4. (4 pkt.)

Dla jakich wartości parametru m proste o równaniach
i
są

1. równoległe

2. prostopadłe?

Zadanie 5. (4 pkt.)

Oblicz obwód i pole kwadratu ABCD, którego dwa przeciwległe wierzchołki mają współrzędne:
,
.

Zadanie 6. (5 pkt.)

Punkty
,
,
są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wyznacz:

3. równania prostych zawierających boki AB i CD,

4. długość wysokości opuszczonej z punktu C na bok AB,

5. pole równoległoboku.

Zadanie 7. (3 pkt.)

Wyznacz k tak aby punkty
,
,
, były współliniowe.

Zadanie 8. (3 pkt.)

Napisz równanie okręgu którego średnicą jest odcinek AB jeśli:
,
.

Zadanie 9. (3 pkt.)

Dane są współrzędne trzech wierzchołków równoległoboku ABCD i
,
,
. Wyznacz współrzędne wierzchołka B.

Zadanie 10. (5 pkt.)

Punkt
jest wierzchołkiem kwadratu. Jeden z boków kwadratu zawiera się w prostej k o równaniu
. Oblicz pole tego kwadratu.

Schemat punktowania - geometria analityczna

Poziom podstawowy

Numer zadania	Etapy rozwiązania zadania	Liczba punktów
1.	Wyznaczenie współrzędnych środka okręgu.	1
		Znalezienie równania prostej k: .	1
		Znalezienie równania prostej m: .	1
	2.	Obliczenie odległości między punktami M i J: 5 [j]	1
		Obliczenie odległości między punktami M i P: [j]	1
		Obliczenie odległości między punktami J i P:2 [j]	1
		Wskazanie, które domy są położone najdalej od siebie. Odp. Dom Jacka i Pawła, ponieważ i .	1
	3.	Zapisanie równania stopnia drugiego, którego każdym rozwiązaniem jest para współrzędnych dowolnego punktu należącego do symetralnej odcinka AB. Odp.	2
		Wyznaczenie równania symetralnej odcinka AB. Odp.	1
	4.	Wyznaczanie wartości parametru m, dla których proste są równoległe:	2
		Wyznaczanie wartości parametru m, dla których proste są prostopadłe: lub .	2
	5.	Obliczanie długości przekątnej AC:	1
		Obliczenie długości boku kwadratu z wykorzystaniem wzoru na długość przekątnej d w zależności o długości boku a: Odp.	1
		Obliczenie obwodu i pola kwadratu [j]. [j^2]	2
	6.	Wyznaczenie równania prostej AB:	1
		Wyznaczenie równania prostej CD:	1
		Wyznaczanie długości wysokości opuszczonej z wierzchołka C na bok AB:	1
		Obliczenie długości boku AB:	1
		Obliczenie pola równoległoboku: [j^2]	1
	7.	Wyznaczenie równania prostej AC	1
		Podstawienie współrzędnych punktu B do równania prostej AC i wyznaczanie	2
	8.	Wyznaczenie współrzędnych środka okręgu:	1
		Obliczenie długości promienia	1
		Napisanie równania okręgu	1
	9.	Wyznaczenie współrzędnych środka symetrii równoległoboku ABCD:	1
		Obliczenie współrzędnych wierzchołka B:	2
	10.	Sprawdzenie, czy punkt A należy do prostej k	1
		Wyznaczenie równania prostej l prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A:	1
		Wyznaczenie współrzędnych drugiego wierzchołka kwadratu: Odp.	1
		Obliczenie długości boku kwadratu	1
		Obliczenie pola kwadratu: [j^2]	1

Geometria analityczna

16