L8

background image

1

Wykład 8

Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny

Wrocław University of Technology

07-I-2012

background image

2

Spr

ęż

ysto

ść

Ruch harmoniczny

07.I.2012

Gdy duża liczba atomów znajduje się
bardzo blisko siebie, atomy zajmują
położenia równowagi w trójwymiarowej
sieci. Atomy znajdują się blisko siebie
dzięki występującym między nimi siłom
międzyatomowym. Działają one tak, jak
gdyby atomy połączone były małymi
sprężynkami, jak na rysunku obok. Sieć
jest niezwykle sztywna, co oznacza,
ż

e te „międzyatomowe sprężynki" są

bardzo mocne.

background image

3

Spr

ęż

ysto

ść

Ruch harmoniczny

07.I.2012

Wszystkie rzeczywiste ciała „sztywne" są w
jakimś stopniu sprężyste, co oznacza, że
można nieznacznie zmienić ich rozmiary,
rozciągając je, ściskając lub skręcając.

background image

4

Prawo Hooke’a

Ruch harmoniczny

07.I.2012

Zależność odkształcenia od naprężenia dla
próbki ze stali. Próbka ulega odkształceniu
trwałemu po przekroczeniu przez naprężenie
granicy sprężystości materiału. Próbka pęka
po osiągnięciu przez naprężenie wartości
odpowiadającej naprężeniu niszczącemu dla
badanego materiału.

NAPRĘśENIE

=

MODUŁ

SPRĘśYSTOŚCI

x

ODKSZTAŁCENIE

L

L

E

S

F

=

background image

5

Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny

07.I.2012

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywamy
ruchem okresowym.

background image

6

Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny

07.I.2012

background image

7

Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny

07.I.2012

W ruchu harmonicznym zależność przemieszczenia x ciała względem
początku układu współrzędnych od czasu opisana jest wzorem:

gdzie:

x(t) – przemieszczenie w chwili czasu t,
A – amplituda,
ω

– częstość ko

ł

owa,

t – czas,
Φ – faza początkowa.

(

)

Φ

+

=

t

A

t

x

ω

cos

)

(

background image

8

Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny

07.I.2012

• (a) zmienia się A : stałe T

• (b) większe m : większe T

• (c) większe k : mniejsze T

T

m

k

t

A

t

x

π

ω

ω

2

0

)

cos(

)

(

0

0

=

=

=

Φ

Φ

+

=

background image

9

Ruch harmoniczny

)

cos(

)

(

t

A

t

x

ω

=

)

sin(

)

(

)

(

t

A

dt

t

dx

t

v

ω

ω

=

=

Ruch harmoniczny

07.I.2012

)

cos(

)

(

)

(

2

t

A

dt

t

dv

t

a

ω

ω

=

=

Przemieszczenie

Prędkość

Przyspieszenie

background image

10

Ruch harmoniczny

Ruch harmoniczny

07.I.2012

4

3

42

1

)

(

2

)

cos(

)

(

)

(

t

x

t

A

dt

t

dv

t

a

ω

ω

=

=

)

(

)

(

2

t

x

t

a

ω

=

W ruchu harmonicznym przyspieszenie jest proporcjonalne do przemieszczenia,
ale ma przeciwny znak, przy czym łączący obie wielkości współczynnik
proporcjonalności równy jest kwadratowi częstości kołowej.

background image

11

Siła w ruchu harmonicznym

Ruch harmoniczny

07.I.2012

Z drugiej zasady dynamiki Newtona

(

)

x

m

ma

F

2

ω

=

=

Z drugiej strony wiemy, że

kx

F

=

Stąd

x

k

2

ω

=

Ruch harmoniczny jest to ruch, jaki wykonuje ciało o masie m, na które działa
siła proporcjonalna do przemieszczenia, ale o przeciwnym znaku.

background image

12

Ruch harmoniczny

(

)

x

m

ma

2

ω

=

Ruch harmoniczny

07.I.2012

x

m

k

dt

x

d

=

2

2

(rad/s)

m

k

=

ω

Rozwiązanie

)

cos(

)

(

φ

ω

+

=

t

A

t

x

A

x

x

A

x

0

0

arccos

,

cos

)

0

(

=

=

=

φ

φ

A

f

T

f

,

/

1

,

2

/

=

=

π

ω

Cz

ę

sto

ść

[Hz]

Okres [s]

Amplituda

background image

13

Energia w ruchu harmonicznym

Ruch harmoniczny

07.I.2012

(

)

Φ

+

=

=

t

kA

kx

E

p

ω

2

2

2

cos

2

1

2

1

Energia potencjalna

Energia kinetyczna

(

)

Φ

+

=

=

t

kA

mv

E

k

ω

2

2

2

sin

2

1

2

1

Energia mechaniczna

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

sin

cos

2

1

sin

2

1

cos

2

1

kA

t

t

kA

t

kA

t

kA

E

E

k

p

=

Φ

+

+

Φ

+

=

=

Φ

+

+

Φ

+

=

+

ω

ω

ω

ω

background image

14

Energia w ruchu harmonicznym

Ruch harmoniczny

07.I.2012

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

x

A

m

k

v

kA

kx

mv

±

=

=

+

Energia mechaniczna ruchu harmonicznego jest stała, stąd

Prędkość maksymalna występuje dla x = 0 i wynosi:

A

A

m

k

v

ω

=

=

max

background image

15

Wahadło matematyczne

Ruch harmoniczny

07.I.2012

(

)

θ

sin

g

F

L

F

r

M

=

×

=

Z drugiej zasady dynamiki Newtona

(

)

ε

θ

I

mg

L

=

sin

θ

ε

I

Lmg

=

background image

16

Ruch harmoniczny tłumiony

Ruch harmoniczny

07.I.2012

Prosty oscylator tłumiony - klocek o masie m drga
w pionie zawieszony na sprężynie o stałej
sprężystości k. Do klocka przyczepiony jest pręt
zakończony łopatką (zakładamy, że oba te
elementy mają znikomą masę) zanurzoną w
cieczy. Gdy łopatka porusza się w górę i w dół,
ciecz wywiera na nią (i w konsekwencji na cały
układ drgający) siłę oporu. Z upływem czasu
energia mechaniczna układu klocek-sprężyna
maleje — przekształca się w energię termiczną
cieczy i łopatki.

Siła oporu F

0

, jaką działa ciecz, jest proporcjonalna

do wartości prędkości v łopatki i klocka (takie
założenie jest poprawne, gdy łopatka porusza się
powoli):

bv

F

=

0

background image

17

Ruch harmoniczny tłumiony dE/dt<0

Ruch harmoniczny

07.I.2012

Równanie ruchu harmonicznego tłumionego wynikające z prawa Newtona
przyjmuje postać:

ma

kx

bv

=

0

2

2

=

+

+

kx

dt

dx

b

dt

x

d

m

Rozwiązanie tego równania ma postać:

(

)

2

2

2

4

'

'

cos

)

(

m

b

m

k

t

Ae

t

x

m

bt

=

Φ

+

=

ω

ω

Rodzaje tłumień:

- Małe

(niedotłumienie)

- Średnie

(tłumienie krytyczne)

- Duże

(przetłumienie)

mk

b

mk

b

mk

b

>

=

<

background image

18

Ruch harmoniczny tłumiony

Ruch harmoniczny

07.I.2012

background image

19

Drgania wymuszone

Ruch harmoniczny

07.I.2012

Taki oscylator wymuszony drga
z częstością kołową ω

wym

siły

wymuszającej, a jego
przemieszczenie x(t) dane jest
wzorem:

)

cos(

)

(

Φ

+

=

t

A

t

x

wym

ω

background image

20

Drgania wymuszone

Ruch harmoniczny

07.I.2012

Kiedy periodycznie zmieniająca się siła wymuszająca o częstości kołowej ω

wym

jest przyłożona do harmonicznego oscylatora tłumionego, w rezultacie powstają
drgania wymuszone.

)

cos(

F

F

wym

max

wym

t

ω

=

ω

wym

=

0.4ω

ω

wym

=

1.01ω

ω

wym

=

1.6ω

By Dr. Dan Russell, Kettering University

Siła wymuszająca:

background image

21

Drgania wymuszone

Ruch harmoniczny

07.I.2012

Amplituda drgań wymuszonych:

2

2

2

2

max

)

(

wym

wym

b

m

k

F

A

ω

ω

+

=

A

Kiedy

wtedy A przyjmuje maksimum w

2

wym

m

k

ω

=

m

k

wym

/

=

ω

REZONANS


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
K4 L8
L8 kalkulacja współczynnikowa xlsx
L8
pattern, wisisz, wydzial informatyki, studia zaoczne inzynierskie, podstawy programowania, l8
M6 Engine Workshop Manual L8 LF L3 1 (2)
l8 (4)
l8(3)
L8
zpdots, wisisz, wydzial informatyki, studia zaoczne inzynierskie, podstawy programowania, l8
L8, Studia Odlewnictwo inż, Materiały Inżynierskie
ulamki, wisisz, wydzial informatyki, studia zaoczne inzynierskie, podstawy programowania, l8
ponadgim m3 L8
strukt~1, wisisz, wydzial informatyki, studia zaoczne inzynierskie, podstawy programowania, l8
szanow, wisisz, wydzial informatyki, studia zaoczne inzynierskie, podstawy programowania, l8
mod3, wisisz, wydzial informatyki, studia zaoczne inzynierskie, podstawy programowania, l8
zpdop, wisisz, wydzial informatyki, studia zaoczne inzynierskie, podstawy programowania, l8
kwadraty, wisisz, wydzial informatyki, studia zaoczne inzynierskie, podstawy programowania, l8
1 3 m2 L8
Zams Wrzyszcz L8

więcej podobnych podstron