1. WST ¾

EP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ.

1

1

WST ¾

EP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ.

1.1

Funkcja wymierna, warto´s´c bezwzgl ¾

edna.

Zad. 1

Rozwi ¾

aza´c równania i nierówno´sci:

a)

x

3

1 > 0;

b)

x

3

5x

2

+ 6x > 0;

c)

x

4

2x

2

+ 3

0;

d)

4

x

2

4

1

2

x

= 1;

e)

16

4x

2

x

3

0;

f )

2x

2

+ x + 1

x

2

7x + 12

< 0;

g)

1

x

4

1

x

3

;

h)

x

2

+ 1

x

2;

i)

x +

2

x

> 3;

j)

1 +

1

x

4

<

5

x + 3

;

k)

x

1

x

2

4

1

2

x

<

3

2 + x

+ 2;

l)

4 <

3

x

2

1

< 1:

Zad. 2

Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c f ( x) < 2 f (x), gdzie f (x) =

2x

x + 1

:

(Odp. x 2 ( 1; 1) [ (0; 1) [ (3; +1))

Zad. 3

Rozwi ¾

aza´c równania i nierówno´sci:

a)

x

2

+ 2 jx + 5j

10 = 0;

b)

jx

2j + jxj = 2;

c)

x

2

4 = 5;

d)

jx

4j

2;

e)

j2x

3j < x;

f )

jx + 1j + x

1

x

2

;

g)

x

2

+ x + 3 < 3;

h)

x

2

2x > x;

i)

1

jx

4j

< 2;

j)

1

jx + 2j

<

2

jx

1j

;

k)

jx + 2j

3 jxj

2;

l)

p

x

2

+ 4x + 4 +

p

x

2

> 4:

Zad. 4

Naszkicowa´c wykres funkcji:

a)

f (x) =

1

x

2

;

b)

f (x) = j2x

4j ;

c)

f (x) = x

2

x ;

d)

f (x) =

jx

1j dla x < 1;

x

2

x

dla x

1;

e)

f (x) = x

2

4 jxj + 4;

f )

f (x) =

p

x

2

+ 6x + 9;

g)

f (x) =

p

x

4

4x

2

+ 4;

h)

f (x) =

( 1

x

dla jxj < 1;

2x

1 dla jxj

1:

Zad. 5

Wyznaczy´c zbiory A \ B; A [ B; A n B; B n A, je´sli:

a)

A = fx 2 R : j3

xj

1g ; B = x 2 R n f4g :

x

x

4

< 1 ;

b)

A = x 2 R : x

2

+ 2

1 ; B =

x 2 R n f2g :

3x + 2

x

2

< 2 :

2006

EM

1. WST ¾

EP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ.

2

Zad. 6

Wyznaczy´c zbiór C = R n (A [ B), je´sli

a)

A =

x 2 R n f0g :

1

x

+ x

2 ; B = fx 2 R; jx + 1j

2g ;

b)

A =

x 2 R n f0g :

x

2

+ 1

2x

<

1 ; B = fx 2 R : jx

1j

2xg :

Zad. 7

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e funkcji:

a)

f (x) =

p

2 + x

x

2

;

b)

f (x) =

p

3x

x

3

;

c)

f (x) =

x

1 + x

;

d)

f (x) =

p

x

2

+ 2x + 1;

e)

f (x) =

p

4 + 4x

x

2

;

f )

f (x) = (x

2)

r

1 + x
1

x

:

Zad. 8

Funkcja f : R n f0g ! R okre´slona jest wzorem f (x) =

1

x

+ 1. Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c

f (x) > f (2

x) :

1.2

Funkcja wyk÷

adnicza.

Zad. 9

Rozwi ¾

aza´c równania i nierówno´sci:

a)

2
3

x+1

3
4

x+1

1
8

x

=

1

32

;

b)

2
3

x+1

3
4

x+1

1
8

x

< 8;

c)

1
3

1
2

2
x

>

1

27

;

d)

7

x 4

=

p

7

2 3x

;

e)

5

x

2

5x+4

=

1

25

;

f )

5

x

5

x

2

5

x

3

1
5

;

g)

2
3

x

2

>

q

3
2

x

;

h)

3

2x+1

+ 5 3

x

2 = 0;

i)

3

2x+1

+ 5 3

x

2 > 0;

j)

4

p

x

2

p

x

+ 1

0;

k)

9

x

10 3

x

+ 9

0;

l)

4

x

2 5

2x

< 10

x

:

Zad. 10

Wyznaczy´c miejsca zerowe funkcji f; je´sli f (x) = 16

x

+ 4

x+2

oraz rozwi ¾

aza´c równanie f (x) = 36:

Zad. 11

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e, zbiór warto´sci funkcji danej wzorem f (x) = 3

p

x

+ 3

p

x

: Naszkicowa´c jej

wykres.

Zad. 12

Wyznaczy´c zbiory: A = fx 2 R : f (x)

0g ; A \ Z; A \ N; je´sli

a)

f (x) = 2

2x 4

17 2

x 4

+ 1;

b)

f (x) = 3

x+1

+ 3

x 1

30:

Zad. 13

Naszkicowa´c wykres funkcji:

a)

f (x) =

8

<

:

3

x

dla x < 1;

0

dla x = 1;

2

x

dla x > 1;

b)

f (x) =

8

<

:

(

1
2

)

x

dla x < 0;

1

dla x 2 [0; 2);

p

x

dla x

2:

2006

EM

1. WST ¾

EP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ.

3

1.3

Funkcja logarytmiczna.

Zad. 14

Rozwi ¾

aza´c równania i nierówno´sci:

a)

log

4

(x + 3)

log

4

(x

1) = 2

log

4

8;

b)

log

4

(x

2

1)

log

4

(x 2)

= 2;

c)

log

3

(3

x

8) = 2

x;

d)

log (2

x

4

x

)

log 8 = log 2

x 1

1
4

;

e)

log

2

3

x

log

3

x

3

+ 2 = 0;

f )

log

1
2

5x + 4

x

2

> 1;

g)

log

3

(3

x

8)

2;

h)

log

2

(8

x)

log

2

(x

2) < 2;

i)

log

3

(x + 1) + log

3

1

x

< log

3

27;

j)

3

log

1
2

x < 1;

k)

log

2

jxj +

1
2

1

l)

ln

2

x

ln x < 0;

m)

log

2

1
3

x

1

0;

n)

1

log x

+

1

1

log x

1;

o)

log

5

x + log

25

x = log

1
5

p

3;

p)

8

log

2

x

= 4x;

q)

log

2

x + log

2

x

2

+ log

2

x

3

> log

x

64;

r)

log

1
3

x + 2 log

3

x < 3:

Zad. 15

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e funkcji f; je´sli

a)

f (x) = log x

2

4 ;

b)

f (x) = log (x + 2)

log (3

x)

c)

f (x) = ln

p

x

2;

d)

f (x) =

p

ln (x

2);

e)

f (x) = log

1 x

2 + x

x

2

;

f )

f (x) =

log(2

x

4

x

)

log x

:

Zad. 16

Dana jest funkcja f okre´slona wzorem f (x) = log

0;5

x

2

5x + 4

log

0;5

(5x

5) :

a)

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e i miejsca zerowe funkcji f .

b)

Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c f (x)

1:

Zad. 17

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e funkcji f oraz przedzia÷

y, w których f przyjmuje warto´sci dodatnie:

a)

f (x) = log x

2

+ 2x + 1 ;

b)

f (x) = log

1
2

3x + 5

x

3

:

Zad. 18

Wyznaczy´c zbiór B =

x 2 Z : log

x

2

3x

9

x

4

0 ^ x < 5 :

2006

EM

1. WST ¾

EP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ.

4

1.4

Funkcje trygonometryczne.

Zad. 19

Obliczy´c:

a)

sin(

17

4

)

2 cos(3 +

5
3

) + tg(

25

2

) =

b)

ctg(3

3
4

) + sin(150 ) + cos( 120 ) =

Zad. 20

Rozwi ¾

aza´c równania i nierówno´sci:

a)

2 sin(2x) =

p

3;

b)

sin x

cos x = 0;

c)

cos(3x) <

p

3

2

;

d)

sin

x
2

1
2

;

e)

1

jcos xj > 0;

f )

jtg xj > 1;

g)

jsin x + 1j

1;

h)

sin

2

x

sin x

0

i)

cos

2

x >

1
4

;

j)

6 cos

2

x

5 sin x

2 > 0;

k)

4 sin

2

x

4 jcos xj

1 > 0;

l)

cos

4

x + 2 cos

2

x

1

0:

Zad. 21

Naszkicowa´c wykres funkcji:

a)

f (x) = 2 sin jxj ;

b)

f (x) = jcos 2xj + 1:

Zad. 22

Wyznaczy´c okres funkcji:

a)

f (x) = 2 sin 3x;

b)

f (x) = 3 cos(

1
2

x

3);

c)

f (x) = tg

1
2

x;

d)

f (x) =

ctg(2x + 1):

1.5

Funkcje cyklometryczne.

Zad. 23

Obliczy´c:

a)

arcsin(sin

6

) + arcsin(sin

7
6

) =

b)

arctg(

p

3) + 3 arcsin 1 + 2 arccos 0 =

c)

arccos(cos

3
4

)

arcctg(sin(

2

))

d)

sin(arcsin 1) cos(arcsin 0) =

Zad. 24

Rozwi ¾

aza´c równania i nierówno´sci

a)

arcsin x = 1;

b)

arccos(x

1) =

1
2

;

c)

arcsin (3x + 9)

6

;

d)

jarctg xj <

4

:

2006

EM

1. WST ¾

EP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ.

5

Zad. 25

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e funkcji:

a)

f (x) = arcsin(x

2

x

1);

b)

f (x) = arccos(j2 log x

3j);

c)

f (x) = arccos( x

2

+ x

1)

2

1

;

d)

f (x) =

p

arcsin x

4

:

Zad. 26

Naszkicowa´c wykres funkcji:

a)

f (x) =

sgn x

dla jxj < 1;

arcsin x dla jxj

1;

b)

f (x) = jarcsin xj ;

c)

f (x) =

2 arctg jxj ;

d)

f (x) =

jarctg xj dla x 6= 0;
arccos x

dla x = 0;

e)

f (x) =

1
2

arcctg(x + 2);

f )

f (x) = arcsin x + arccos x;

Zad. 27

Wykaza´c, ·

ze

a)

V

x2[ 1;1]

arcsin( x) =

arcsin x;

b)

V

x2R

arctg( x) =

arctg x;

c)

V

x2[0;1]

arcsin x + arccos x =

2

;

d)

V

x2R

arctg x + arcctg x =

2

;

e)

V

x>0

arctg x = arcctg

1
x

:

1.6

W÷

asno´sci funkcji: monotoniczno´s´c, ró·

znowarto´sciowo´s´c, parzysto´s´c, okresowo´s´c.

Zad. 28

Korzystaj ¾

ac z de…nicji zbada´c monotoniczno´s´c podanych funkcji:

a)

f (x) = x

3

+ 3x;

b)

f (x) = x

2

1;

c)

f (x) = 1

p

3x + 2;

d)

f (x) = x +

p

x;

e)

f (x) =

x

2

4 dla x

0;

1

dla x < 0;

f )

f (x) = ln(x

2

1); x > 1;

g)

f (x) = 2

arctg( x)

+ 1;

h)

f (x) =

1

1

arcsin x

:

Które spo´sród badanych funkcji s ¾

a ró·

znowarto´sciowe?

Zad. 29

Zbada´c ró·

znowarto´sciowo´s´c podanych funkcji:

a)

f (x) =

1

x

2

+ 1

;

b)

f (x) =

x + 1 dla x < 1;
x

3

dla x

1

c)

f (x) = arcsin(2

x

1);

d)

f (x) = log(jx

1j + 2):

2006

EM

1. WST ¾

EP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ.

6

Zad. 30

Zbada´c parzysto´s´c-nieparzysto´s´c podanych funkcji:

a)

f (x) =

x

x

2

+ 4

;

b)

f (x) = sin(x

3

x);

c)

f (x) = x jxj ;

d)

f (x) = cos

1

x

;

e)

f (x) =

x

4

+ 1

sin x

;

f )

f (x) = sin x + cos x;

g)

f (x) = x

2

x

+ 1

2

x

1

;

h)

f (x) = x +

1

x

;

i)

f (x) = log

x

1

x + 1

;

j)

f (x) = jarcsin(tg x)j :

Zad. 31

Wyznaczy´c okres funkcji f i naszkicowa´c jej wykres

a)

f (x) = cos( x);

b)

f (x) = sin x + jsin xj ;

c)

f (x) = sin

2

x;

d)

f (x) = [x]

d e f

= maxfk 2 Z : k

xg:

Zad. 32

Naszkicowa´c wykres funkcji f : R ! R; je´sli wiadomo , ·

ze jest okresowa o okresie podstawowym

T = 1 oraz f (x) = j1

2xj dla x 2 [0; 1] : Wyznaczy´c zbiór A = x 2 R : f (x)

1
2

.

Zad. 33

Które z podanych stwierdze´n s ¾

a prawdziwe? Uzasadni´c odpowiedzi negatywne, podaj ¾

ac odpowied-

nie przyk÷

ady.

a)

Istnieje nieparzysta funkcja okresowa o okresie T =

2

:

b)

Istnieje parzysta funkcja ró·

zowarto´sciowa.

c)

Istnieje funkcja jednocze´snie parzysta i nieparzysta.

d)

Je´sli funkcja jest ´sci´sle monotoniczna, to jest ró·

znowarto´sciowa.

e)

Je´sli funkcja jest ró·

znowarto´sciowa, to jest ´sci´sle monotoniczna.

f )

Je´sli funkcja jest parzysta, to jest ró·

znowarto´sciowa.

1.7

Obraz, przeciwobraz. Funkcja z÷

o·

zona, funkcja odwrotna.

Zad. 34

Naszkicowa´c wykres funkcji, wyznaczy´c D

f

; f [D

f

]; f [A]; f

1

[B]; je´sli

a)

f (x) =

3x

dla x <

2;

x

2

4 dla x

2;

A = [ 3; 1]; B = ( 1; 0);

b)

f (x) = x

2 +

p

x

2

6x + 9; A = [ 1; 0]; B = (0; 2);

c)

f (x) = x

2

2x ; A = [ 1; 3) [ f0g; B = (

1
2

;

1
2

);

d)

f (x) = 2

jxj

; A = ( 2; 1); B = [4; +1);

e)

f (x) =

jarctg xj

dla x

1;

ln(x

3) dla x

4;

A = [ 1; 1]; B = [0;

6

);

f )

f (x) =

1
2

x

1 ; A = [1; +1); B = ( 1; 1];

2006

EM

1. WST ¾

EP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ.

7

g)

f (x) =

x

2

1

jx + 1j

; A = ( 1; 2); B = [ 3; 3];

h)

f (x) = 3 sin 2x + 1; A = (0;

2

); B = [4; +1):

Zad. 35

Funkcja f : R ! R okre´slona jest wzorem f (x) =

1
2

x

: Wyznaczy´c taki zbiór A

R, ·

ze obraz

f [A] = (0; 4] :

Zad. 36

Wyznaczy´c funkcje z÷

o·

zone: f

f; g

g; f

g; g

f oraz ich dziedziny, je´sli

a)

f (x) =

1

x

1

, g (x) = 2

x

;

b)

f (x) =

p

x, g (x) = x

2

;

c)

f (x) = jxj , g (x) = x

2

x;

d)

f (x) =

1

x

; g (x) =

p

2x

1:

Zad. 37

Wyznaczy´c funkcje z÷

o·

zone: f

g; g

f , ich dziedziny oraz przeciwdziedziny, je´sli

a)

f (x) = sin x + 1, g (x) =

p

x;

b)

f (x) = ln x, g (x) = x

2

+ 1;

c)

f (x) =

1

x + 2

, g (x) = arcsin x;

d)

f (x) = e

x 2

; g(x) = x

2

;

e)

f (x) = arctg x; g (x) = x

3

;

f )

f (x) = jxj ; g(x) = arccos x:

Zad. 38

Wyznaczy´c funkcje z÷

o·

zone: f

g

h; g

f

h; h

f

g oraz ich dziedziny, je´sli

f (x) = ln x;

g (x) = x

1;

h(x) = e

2x

:

Zad. 39

Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c g (2x) + (f

g) (x)

4; je´sli f (x) = x

2

, g (x) = 2

x

:

Odp

. x 2

1
2

; +1

Zad. 40

Wyznaczy´c D

f

; f [D

f

] oraz (o ile to mo·

zliwe) funkcj ¾

e odwrotn ¾

a do f; je´sli

a)

f (x) = x

3

1;

b)

f (x) = x

3

3x

2

+ 3x + 27;

c)

f (x) =

1

x

2

+ 1

; x

1;

d)

f (x) =

p

x

2

1; x <

1;

e)

f (x) =

p

x

2

1; x > 1;

f )

f (x) =

1

x

2

dla x < 0;

p

x

1 dla x

0;

g)

f (x) =

p

2

x

3

1;

h)

f (x) = ln(

x

x + 1

);

i)

f (x) = log

3

x;

j)

f (x) = arctg log

2

(3x

1);

k)

f (x) = cos(x

1); x 2 [1; 3];

l)

f (x) =

1
x

dla x < 0;

p

x + 1 dla x

0:

2006

EM

1. WST ¾

EP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ.

8

1.8

Powtórzenie

Zad. 41

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e funkcji f , je´sli

a)

f (x) =

p

4

x

2

x+1

jx + 4j

1

;

b)

f (x) = log (cos (log x)) ;

c)

f (x) = arcsin

x + 1
x

2

;

d)

f (x) =

p

log (1

x) +

p

x

2

+ x + 1;

e)

f (x) =

1

log

3

(x

2

4)

+

1

x

3

;

f )

f (x) = log

2

2x

1

4

x

+

r

1

x

2

x;

g)

f (x) = ln (x + 1) + arccos

p

2x;

h)

f (x) = log(

x
2

+1

) 3 + 2x

x

2

;

i)

f (x) =

1

pp

3

3 tg x

;

j)

f (x) =

log(arcsin(2 cos x))

p

x

2

+3x

;

k)

f (x) =

p

1

x

3

arcsin 5

log

2

x+2

;

l)

f (x) = arccos (2

x

4) + arcsin (jxj

1) :

Zad. 42

Wyznaczy´c dziedzin ¾

e i zbiór warto´sci funkcji f , je´sli

a)

f (x) =

p

2 + x

x

2

;

b)

f (x) =

1

sin x

;

c)

f (x) = 1 +

p

log (arctg x);

d)

f (x) = e

x

2

1

;

e)

f (x) = log (1

2 cos x) ;

f )

f (x) =

arcsin

p

x:

Zad. 43

Rozwi ¾

aza´c nierówno´sci:

a)

log

1
3

2

x + 1

cos ;

b)

cos x

2

log

0;5

(x + 5)

> arctg 0;

c)

4

2

1

jxj

x

;

d)

log(4

x

2

x+1

+ 1)

arcsin 0;

e)

3 log 4

x

2

ctg x > x

2

x

2

; :

Zad. 44

Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c

f (x)

(f

f ) (x) < (f

g) (x)

(f

f

g) (x) ;

je´sli f (x) =

1

x

oraz g (x) = x

3

:

Zad. 45

Naszkicowa´c wykres funkcji f i poda´c jej podstawowe w÷

a´sno´sci, jesli

a)

f (x) = x jx + 2j ;

b)

f (x) = jsin 2xj ;

c)

f (x) =

arcsin( x) gdy jxj

1;

0

dla

jxj > 1;

d)

f (x) = arcsin(sin x);

e)

f (x) =

2

x+1

+ 3;

f )

f (x) =

log( x)

gdy x < 0;

arctg(x

1) dla

x

0:

2006

EM