notatki z kółka matematycznego
rok szkolny 2004/2005 semestr II
Notatki z kółka matematycznego
Notatki z lekcji kółka matematycznego z panią mgr Alicją Jankowską z klasy 2G (LO7 we Wrocławiu).
Autorem notatek jest Mateusz Jędrzejewski. Niniejsza praca jest rozpowszechniana za darmo.
Rysunki wykresów są poglądowe i nie muszą dokładnie odzwierciedlać rzeczywistości.
Należy pamiętać, że praca możne zawierać błędy, mijać się z prawdą lub być niekompletna,
ale za to autor nie ponosi żadnej odpowiedzialności.
Temat:
Data: 2-02-2004
Całka oznaczona.
1. Co to jest całka oznaczona.
Niech
będzie funkcją ciągłą w przedziale
f
>
< b
a,
.
Całką oznaczoną funkcji
w przedziale
f
>
< b
a,
nazywamy liczbę
,
gdzie
)
(
)
(
a
F
b
F
−
F
jest funkcją pierwotną funkcji
w przedziale
f
>
< b
a,
.
∫
−
=
b
a
a
F
b
F
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
>
< b
a,
– przedział całkowania,
a
– dolna granica całkowania
b
– górna granica całkowania
założenie
a
b
>
2. Podstawowe
własności całki oznaczonej.
∫
=
a
a
dx
x
f
0
)
(
∫
∫
−
=
b
a
a
b
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
,
(
gdzie
)
(
)
(
)
(
b
a
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
b
c
c
a
b
a
∈
+
=
∫
∫
∫
3. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej.
Niech
będzie funkcją ciągłą i większą od zera w przedziale
f
>
< b
a,
0
)
(
,
≥
∧
>
∈<
x
f
b
a
x
wtedy całka
∫
b
a
dx
x
f
)
(
jest równa polu obszaru będącego zbiorem punktów XY płaszczyzny o współrzędnych
)
(
0
x
f
y
b
x
a
≤
≤
∧
≤
≤
to znaczy obszaru wyznaczonego przez wykres funkcji i proste
a
x
=
i
oraz osi OX.
b
x
=
x
y
0
a
b
strona 1 z 8
notatki z kółka matematycznego
rok szkolny 2004/2005 semestr II
dla
0
)
(
,
<
∧
>
∈<
x
f
b
a
x
∫
−
=
b
a
dx
x
f
P
)
(
x
y
0
a
b
4. Twierdzenie o polu figury ograniczonej wykresami dwóch funkcji.
5. Dla
funkcji
f
i , które są ciągłe w przedziale
g
>
< b
a,
i
dla
)
(
)
(
x
f
x
g
≥
>
∈< b
a
x
,
pole figury ograniczonej wykresami funkcji
i oraz prostymi
f
g
a
x
=
i
jest równe:
b
x
=
(
)
∫
−
=
b
a
dx
x
f
x
g
P
)
(
)
(
x
y
0
a
b
f
g
Zadania
I. Oblicza
wartość całki oznaczonej.
a)
[ ]
16
1
2
9
2
2
2
4
3
1
2
3
1
3
1
2
=
⋅
−
⋅
=
=
=
∫
x
x
xdx
b)
(
)
[
]
3
4
3
4
4
4
3
5
2
3
5
2
3
3
5
2
1
1
0
2
2
3
3
3
5
4
2
1
1
0
2
3
=
−
=
+
−
−
=
+
−
−
=
+
−
−
∫
x
x
x
x
dx
x
x
x
c)
[
]
4
4
4
0
0
2
1
0
0
4
4
Π
Π
Π
−
=
+
−
−
=
−
=
Π
Π
∫
tg
tg
x
tgx
xdx
tg
bo
c
x
tgx
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
xdx
tg
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
−
=
=
∫
∫
∫
∫
1
cos
1
cos
cos
1
cos
sin
2
2
2
2
2
2
gdzie
c
to stała całkowania, czyli dowolna liczba rzeczywista
II. Oblicz pole figury ograniczonej funkcjami
i
oraz prostymi
i
.
2
x
y
=
2
2
+
= x
y
1
=
x
3
=
x
(
)
[ ]
4
2
2
2
3
1
3
1
3
1
2
2
=
=
=
−
+
=
∫
∫
x
dx
dx
x
x
P
Odp. Pole tej figury wynosi
.
2
4 j
x
y
0 1
3
strona 2 z 8
notatki z kółka matematycznego
rok szkolny 2004/2005 semestr II
III. Oblicz pole figury ograniczonej krzywą
i prostą
x
y
8
2
=
2
=
x
.
Równanie wierzchołkowe paraboli (potocznie „parabola leżąca”) ma postać
.
ax
y
=
2
Nie jest to funkcja.
x
y
8
2
=
x
y
8
=
x
y
2
2
=
}
0
{
∪
∈
+
R
x
[
]
3
32
3
2
2
8
2
4
2
4
2
2
2
2
0
3
2
2
0
2
0
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
∫
∫
x
x
dx
x
dx
x
P
Odp. Pole tej figury wynosi
2
3
32
j
.
x
y
0
2
IV. Oblicz pole figury ograniczonej funkcją
i krzywą
.
2
x
y
=
x
y
=
2
„dwie parabole jedna normalna, a druga leżąca”
Punkt wspólne to
i
.
)
0
,
0
(
)
1
,
1
(
(
)
[
]
3
1
3
1
3
2
1
0
3
3
1
3
2
1
0
2
=
−
=
−
=
−
=
∫
x
x
x
dx
x
x
P
Odp. Pole tej figury wynosi
2
3
1
j
.
x
y
0
1
1
V. Oblicz pole figury ograniczonej funkcją
i prostą
x
x
y
2
sin
+
=
x
y
=
w przedziale
>
Π
∈< 2
,
0
x
.
VI.
{
}
2
x
2
:
)
,
(
R
x
y
y
x
F
∈
∧
≤
≤
=
VII.
{
}
2
x
8
:
)
,
(
3
≤
∧
≤
≤
=
y
x
y
x
F
VIII.
{
}
2
,
2
2
2
2
2
:
)
,
(
2
2
1
2
2
1
>
−
∈<
∧
+
−
≤
≤
−
+
−
=
x
x
x
y
x
x
y
x
F
IX. Oblicz pole figury ograniczonej łukiem krzywej
,
styczną do tej krzywej w punkcie
i osią OX.
2
x
y
=
)
9
,
3
(
A
X. Dana jest krzywa
2
1
x
y
=
oraz proste
1
=
x
i
m
x
=
gdzie
.
1
>
m
a) Wyznacz pole figury ograniczonej daną krzywą i danymi prostymi,
b) Oblicz
granicę dla
zmierzającego do
m
∞
.
strona 3 z 8
notatki z kółka matematycznego
rok szkolny 2004/2005 semestr II
Temat:
Data: 3-02-2004
Całka oznaczona – zadania.
Rozwiązania do zadań z poprzedniej lekcji.
V. Oblicz pole figury ograniczonej funkcją
i prostą
x
x
y
2
sin
+
=
x
y
=
w przedziale
>
Π
∈< 2
,
0
x
.
(
)
(
)
[
]
Π
=
Π
−
Π
=
−
=
−
=
=
=
−
+
=
Π
Π
Π
Π
∫
∫
∫
2
sin
2
sin
2
cos
1
sin
2
sin
2
2
1
0
2
1
0
0
2
0
2
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
x
x
P
bo
x
x
x
x
2
cos
1
sin
2
sin
1
2
cos
2
2
−
=
−
=
Odp. Pole tej figury wynosi
.
2
j
Π
x
y
0
Π
2
Π
VI. Oblicz pole figury
F
.
{
}
2
x
2
:
)
,
(
R
x
y
y
x
F
∈
∧
≤
≤
=
2
2
2
2
1
=
⋅
⋅
=
P
Odp. Pole tej figury wynosi
.
2
2 j
x
y
0
-1
1
2
VII. Oblicz pole figury
F
.
{
}
2
x
8
:
)
,
(
3
≤
∧
≤
≤
=
y
x
y
x
F
Po odcięciu figury pod osią OX i połączeniu jej z figurą
nad osią OX otrzymuje się prostokąt od bokach 4 na 8.
32
8
4
=
⋅
=
P
Odp. Pole tej figury wynosi
.
2
32 j
VIII. Oblicz pole figury
.
F
{
}
2
,
2
2
2
2
2
:
)
,
(
2
2
1
2
2
1
>
−
∈<
∧
+
−
≤
≤
−
+
−
=
x
x
x
y
x
x
y
x
F
Po narysowaniu wykresów funkcji i zaznaczeniu
półpłaszczyzny widać, że otrzymana figur
składa się z czterech jednakowych części.
Więc można policzyć pole figury w I ćw. układu XY.
(
)
(
)
[
]
(
)
(
) (
) (
)
3
80
3
2
64
2
2
8
2
8
2
8
4
2
4
2
2
4
0
dla
2
8
2
2
0
0
dla
2
2
2
6
1
2
8
0
2
3
6
1
2
8
0
2
2
1
2
2
1
2
2
1
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
−
−
−
⋅
−
⋅
=
+
−
−
=
=
+
−
−
=
≥
−
=
+
−
−
=
≥
+
−
−
=
−
−
∫
x
x
x
dx
x
x
P
x
x
x
x
x
x
x
y
y
0
-2
2
8
-8
x
strona 4 z 8
notatki z kółka matematycznego
rok szkolny 2004/2005 semestr II
IX. Oblicz pole figury ograniczonej łukiem krzywej
,
styczną do tej krzywej w punkcie
i osią OX.
2
x
y
=
)
9
,
3
(
A
)
(
)
(
'
0
0
0
x
x
x
f
y
y
−
⋅
=
−
– ogólne równanie prostej stycznej
(
)
[
]
x
y
0
3
3
9
3
9
6
9
6
)
3
(
6
9
6
)
3
(
'
2
)
(
'
3
3
3
1
3
0
2
3
3
1
3
0
2
−
⋅
=
+
−
=
+
−
=
−
=
−
=
−
=
=
∫
x
x
x
dx
x
x
P
x
y
x
y
f
x
x
f
j
9
3
9
=
⋅
+
Odp. Pole tej figury wynosi
9
.
2
X. Dana jest krzywa
2
1
x
y
=
oraz proste
1
=
x
i
m
x
=
gdzie
.
1
>
m
x
y
2
Π
0
4
Π
1
a. Wyznacz pole figury ograniczonej
daną krzywą i danymi prostymi,
m
m
m
f
m
x
dx
x
P
m
m
1
)
(
1
1
1
1
1
1
2
−
=
+
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−
=
=
∫
x
y
m
0
1
b. Oblicz
granicę dla
m
zmierzającego do
∞
.
1
)
1
(
lim
1
=
−
∞
→
m
m
m
m
Nowa zadanie.
I. Oblicz pole figury
.
F
{
}
(
)
[
]
1
2
1
2
2
2
cos
sin
sin
cos
,
0
cosx
y
sinx
:
)
,
(
4
4
0
0
2
−
=
−
⋅
=
+
=
−
=
>
∈<
∧
≤
≤
=
Π
Π
∫
Π
x
x
dx
x
x
P
x
y
x
F
Odp. Pole tej figury wynosi
2
1
2
j
−
.
strona 5 z 8
notatki z kółka matematycznego
rok szkolny 2004/2005 semestr II
Temat:
Data: 9-02-2004
Obliczanie objętości brył za pomocą całki oznaczona.
I. Oblicz pole figury ograniczonej funkcjami
x
y
1
=
i
x
y
4
=
oraz prostymi
1
=
y
i
.
4
=
y
(
)
(
)
[
] [
]
4
ln
3
4
ln
4
4
ln
4
ln
4
4
ln
1
1
ln
4
4
4
ln
4
ln
1
1
ln
4
ln
4
ln
4
1
4
1
4
1
4
1
1
4
1
4
1
1
4
1
4
1
=
+
−
=
+
=
=
+
−
−
+
+
−
−
=
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
∫
∫
x
x
x
x
dx
dx
P
x
x
bo wiadomo, że
0
1
ln
=
x
y
x
y
2
Π
0
2
Π
−
1
-1
Przydatne wzory:
a) na
obliczanie
objętości bryły obrotowej
[
]
∫
Π
=
b
a
dx
x
f
V
2
)
(
b) na obliczanie pola powierzchni bryły obrotowej
[
]
∫
+
⋅
Π
=
b
a
dx
x
f
x
f
S
2
)
(
'
1
)
(
2
c) na
obliczanie
długości łuku
[
]
∫
+
=
b
a
dx
x
f
L
2
)
(
'
1
zakłada się że funkcja
jest ciągła i nieujemna w przedziale
f
>
< b
a,
.
II. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi OX.
2
2x
y
=
⇒
0
3
=
−
+ x
y
⇒
3
+
−
= x
y
⇒
3
2
2
+
−
= x
x
(
)
(
)
1
0
1
25
24
1
0
3
2
2
3
2
1
2
=
⇒
≥
∧
−
=
∨
=
=
+
=
Δ
=
−
+
x
x
x
x
x
x
(
)
[
]
(
)
[
]
[
]
Π
=
−
Π
=
−
+
−
Π
=
−
+
−
Π
=
=
−
+
−
Π
=
−
+
−
Π
=
∫
∫
15
166
15
7
15
90
5
4
3
1
1
0
5
5
4
2
3
3
1
1
0
4
2
1
0
4
2
)
(
2
9
3
2
9
3
2
4
9
6
2
4
3
2
x
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
V
III. Oblicz pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu funkcji
x
y
cos
=
wokół osi OX dla
>
−
∈<
Π
Π
2
2
,
x
.
(
)
(
)
(
)
[
]
(
) (
)
[
]
(
)
(
)
2
2
2
3
ln
2
2
2
1
ln
2
1
ln
2
1
ln
2
1
ln
2
1
sin
sin
1
sin
sin
ln
2
sin
1
cos
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
+
+
Π
=
+
−
−
+
Π
=
=
+
−
−
+
+
Π
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
+
+
+
Π
=
=
+
Π
=
Π
Π
Π
Π
−
−
∫
x
x
x
x
dx
x
x
S
Całka elementarna (czyli jest w tablicach matematycznych):
∫
+
+
+
+
+
=
+
c
k
x
k
x
x
dx
k
x
x
k
2
2
2
2
2
ln
Różnica logarytmów to logarytm różnic.
x
y
0
3
-3
3
4
1
4
0
4
1
1
strona 6 z 8
notatki z kółka matematycznego
rok szkolny 2004/2005 semestr II
Temat:
Data: 10-02-2004
Obliczaniu pól figur – zadania.
I. Oblicz pole figury ograniczonej
funkcją kwadratową
oraz
c
bx
x
y
+
+
=
2
stycznymi
3
4
13
4
+
−
=
−
=
x
y
x
y
.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
5
5
)
1
3
(
5
,
2
2
4
5
3
4
3
5
10
2
3
4
13
4
3
4
0
13
4
0
)
3
,
0
(
)
3
,
4
(
)
1
,
2
(
3
2
2
4
1
2
2
4
4
3
4
3
16
64
5
8
4
0
64
16
4
2
8
8
16
20
8
4
2
8
8
16
44
8
4
/
)
4
(
4
5
2
4
/
4
4
11
2
2
2
5
2
2
2
11
2
11
2
,
2
13
2
8
,
2
11
2
13
2
8
2
2
4
2
4
2
2
)
(
'
2
)
(
'
2
)
(
'
)
(
2
1
4
3
4
13
2
1
2
1
2
4
1
2
2
2
2
2
1
2
4
1
2
1
2
4
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
=
−
⋅
−
⋅
=
−
⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
+
=
−
=
−
=
−
=
⎩
⎨
⎧
+
−
=
−
=
=
=
+
−
=
−
=
−
=
+
=
=
−
=
=
Δ
+
−
=
=
⇒
+
−
⋅
=
−
−
=
⇒
=
+
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
+
−
−
+
−
=
+
+
−
−
+
+
=
+
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
+
−
+
−
=
−
−
⋅
+
+
−
+
=
+
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
−
+
−
=
−
−
+
−
−
+
−
−
=
+
+
−
−
−
−
−
+
=
−
−
=
−
−
=
−
=
−
=
+
=
+
+
=
+
=
+
=
+
+
=
Δ
P
B
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
x
x
A
A
W
x
x
x
y
c
c
b
b
c
b
b
b
b
b
c
b
b
b
b
b
c
b
b
b
b
c
b
b
b
b
c
b
b
b
b
c
b
b
b
b
b
b
A
b
b
A
b
y
b
y
b
x
b
x
b
x
b
x
b
x
x
f
b
x
x
f
b
x
x
f
c
bx
x
x
f
x
y
1
A
B
2
A
strona 7 z 8
notatki z kółka matematycznego
rok szkolny 2004/2005 semestr II
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
[ ]
052
,
4
4
96
389
5
5
2
3
4
3
4
16
4
16
8
13
4
3
4
3
2
9
18
9
3
2
3
4
96
5
3
4
96
37
3
4
192
37
0
1
2
192
37
1
3
3
1
1
2
1
2
2
192
37
3
2
3
3
1
3
2
3
2
1
3
4
3
1
3
1
2
3
3
1
3
1
2
0
4
3
4
3
4
3
4
13
4
13
4
13
≈
=
=
+
−
=
+
−
⋅
=
+
−
+
=
=
=
=
−
+
+
−
=
=
+
−
=
+
−
=
+
−
+
−
=
=
+
+
−
+
−
=
+
−
−
=
+
−
−
=
Δ
∫
∫
∫
∫
∫
P
P
P
P
P
P
x
dx
x
dx
x
x
x
P
x
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
P
x
x
x
dx
x
x
P
Odp. Pole tej figury wynosi
2
96
389
j
.
strona 8 z 8
Document Outline