Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
ĆWICZENIE NR ...
DRGANIA UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze zjawiskiem drgań mechanicznych układu o
dwóch stopniach swobody.
Na postawie wykonanych pomiarów należy określić częstości rezonansowe, postacie
drgań, sporządzić wykresy rezonansowe, a następnie porównać je z wynikami
obliczeń uzyskanych dla modelu matematycznego układu.
2. Opis stanowiska
Na rysunku 1 przedstawiono schemat układu drgającego o dwóch stopniach
swobody, którego głównymi elementami są:
•
Wahadła składające się z prętów o masie m
1
i obciążników o masie m;
•
Sprężyny o współczynnikach sztywności k
1
, k
2
, k
3
, k
4
;
•
Mechanizm korbowo-wodzikowy;
•
Silnik prądu stałego;
•
Autotransformator (do płynnej regulacji prędkości obrotowej silnika);
•
Tachometr elektroniczny (do pomiaru prędkości obrotowej silnika);
•
Tablica z naniesionymi skalami kątowymi (do odczytu wychyleń kątowych obu
wahadeł).
Laboratorium Drgań Mechanicznych
Bielsko-Biała 2010
2
DRGANIA UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY
Rys.1. Schemat stanowiska pomiarowego
3. Zależności obliczeniowe
Ruch wymuszający drgania jest realizowany przez mechanizm korbowo-wodzikowy
(w przybliżeniu należy przyjąć, że jest to ruch harmoniczny określony równaniem y =
e sin ωt). Równania ruchu mają postać:
t
e
l
k
l
k
l
k
gl
m
m
l
k
k
l
k
l
k
B
ω
φ
φ
φ
sin
]
[
]
)
2
(
)
(
[
1
1
2
2
3
3
2
2
2
1
1
2
3
4
3
2
2
2
2
1
1
1
=
+
−
+
+
+
+
+
+
(1)
0
]
)
2
(
)
(
[
)
(
2
1
2
3
4
3
2
2
2
1
2
3
3
2
2
2
2
=
+
+
+
+
+
+
−
φ
φ
φ
gl
m
m
l
k
k
l
k
l
k
l
k
B
(2)
gdzie:
3
l
m
ml
B
2
1
2
+
=
- masowy moment bezwładności; (3)
Przy obliczaniu masowego momentu bezwładności prawego wahadła pominięto
odcinek pręta o długości l
1
.
Laboratorium Drgań Mechanicznych
3
Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
Oznaczając:
gl
)
2
m
m
(
l
k
l
k
a
1
2
3
4
2
1
1
1
+
+
+
=
,
(4)
gl
)
2
m
m
(
l
k
a
1
2
3
4
2
+
+
=
,
(5)
2
3
3
2
2
2
l
k
l
k
b
+
=
,
(6)
e
l
k
q
1
1
=
,
(7)
można równania (1 i 2) zapisać w postaci (8, 9):
t
sin
q
b
)
b
a
(
B
2
1
1
1
ϖ
=
Φ
−
Φ
+
+
Φ
,
(8)
0
)
b
a
(
b
B
2
2
1
2
=
Φ
+
+
Φ
−
Φ
.
(9)
Częstość drgań własnych układu wyznacza się dla równań jednorodnych
otrzymanych z równań (8) i (9) po przyjęciu prawych stron równych zeru i założeniu
rozwiązań w postaci (10, 11):
)
t
sin(
A
1
1
δ
+
α
=
φ
,
(10)
)
t
sin(
A
2
2
δ
+
α
=
φ
.
(11)
Równanie częstości ma postać (12):
0
b
)
a
a
(
a
a
)
b
2
a
a
(
B
B
2
1
2
1
2
2
1
4
2
=
+
+
+
α
+
+
−
α
,
(12)
a jego pierwiastki można wyznaczyć z zależności (13):
B
2
b
4
)
a
a
(
)
b
2
a
a
(
2
2
2
1
2
1
2
2
,
1
+
+
±
+
+
=
α
.
(13)
Postacie drgań wynikają z rozwiązania równań jednorodnych otrzymanych z równań
(8) i (9) po podstawieniu częstości α
i
i są określone wzorami (14):
b
:
)
B
b
a
(
A
:
A
i
2
2
i
2
i
1
α
−
+
=
(14)
gdzie: i = 1,2
Całki szczególne równania (8) i (9) zakładamy w postaci (15):
t
sin
1
1
ϖ
Φ
=
φ
,
t
sin
2
2
ϖ
Φ
=
φ
(15)
Po podstawieniu rozwiązań (15) do równań (8) i (9) oraz porównaniu współczynników
przy sinωt otrzymuje się układ równań (16, 17):
Laboratorium Drgań Mechanicznych
4
DRGANIA UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY
q
b
)
B
b
a
(
2
1
2
1
=
Φ
−
Φ
ϖ
−
+
,
(16)
0
)
B
b
a
(
b
2
2
2
1
=
Φ
ϖ
−
+
+
Φ
−
.
(17)
z którego wyznaczamy amplitudy drgań wymuszonych (18, 19):
2
2
2
2
1
2
2
1
b
)
B
b
a
)(
B
b
a
(
)
B
b
a
(
q
−
ϖ
−
+
ϖ
−
+
ϖ
−
+
=
Φ
,
(18)
2
2
2
2
1
2
b
)
B
b
a
)(
B
b
a
(
qb
−
ϖ
−
+
ϖ
−
+
=
Φ
.
(19)
Porównując wzory (14) oraz (18) i (19) łatwo zauważyć, że dla częstości wymuszeń
i
α
ω
≅
zależności pomiędzy amplitudami drgań wymuszonych odpowiadają postacią
drgań (14), czyli:
1
2
1
2
1
:
:
α
ω ≅
Φ
Φ
≅
i
i
A
A
.
(20)
Zatem obserwacja amplitud drgań wymuszonych przy częstościach bliskich
rezonansowym pozwala wnioskować o postaciach drgań swobodnych. Z wzorów
(18) i (19) wynika, że dla częstości
B
b
a
2
+
=
ϖ
amplituda Φ
1
wahadła jest równa
zeru.
Na podstawie powyższych wzorów napisano w języku DELPHI program
komputerowy „Drgania 2”. Po wprowadzeniu danych program oblicza częstości
drgań rezonansowych, wykreśla teoretyczne wykresy rezonansowe obu wahadeł
oraz postacie drgań.
4. Przebieg ćwiczenia
•
Zanotować sztywności sprężyn: k
1
, k
2
, k
3
, k
4
, a także masy: m i m
1
;
•
Zmierzyć i zanotować wymiary długościowe: l, l
1
, l
2
, l
3
;
•
Dokonać pomiaru skoku s suwaka w mechaniźmie korbowo-wodzikowym, a
następnie na jego podstawie obliczyć wielkość mimośrodu e;
•
Wykonać pomiary niezbędne do narysowania wykresów rezonansowych. O ile
prowadzący nie poleci inaczej należy ustawić za pomocą autotransformatora
prędkość obrotową silnika na 50 obr/min i zanotować bezwzględne wartości
wychyleń kątowych
φ
1
i
φ
2
wahadeł. W trakcie pomiarów zwrócić uwagę na
zgodność fazy ruchu wahadeł względem siebie. Pomiary i obserwacje zgodności
fazy ruchu wahadeł powtórzyć w zakresie od 50 do 240 obr/min co 10 obr/min;
UWAGA – jeżeli wahadła zaczną uderzać o siebie, należy natychmiast
Laboratorium Drgań Mechanicznych
5
Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
zwiększyć lub zmniejszyć obroty, nie pozwalając na utrzymywanie się stanu
rezonansowego;
•
Wyniki pomiarów zestawić w tabeli o niżej podanej postaci, wypełniając kolumny
których nagłówki wyróżniono:
Lp.
Obroty
n
(obr/min)
Kąt wychylenia
φ
1
Kąt wychylenia
φ
2
W lewo
W prawo
W lewo
W prawo
Częstość
wymuszenia
ω
{rad/s)
Amplituda
wahadła 1
Φ
1
Amplituda
wahadła 2
Φ
2
Zgodność
fazy
ruchu
wahadeł
1
2
3
...
•
Obliczyć częstości wymuszenia
ω
odpowiadające kolejnym wartością prędkości
obrotowych silnika n. Wyniki obliczeń wstawić do tabeli;
•
Obliczyć amplitudy wychyleń kątowych wahadeł (prawego
Φ
1 i lewego
Φ
2).
Otrzymane wartości umieścić w tabeli;
•
Na podstawie wyników obliczeń sporządzić wykresy rezonansowe:
Φ
1=f(
ω
) oraz
Φ
2=f(
ω
). Przy sporządzaniu wykresów rezonansowych uwzględnić wyniki
obserwacji fazy ruchu wahadeł. Odczytać z wykresów częstości rezonansowe;
•
Wprowadzić dane stanowiska do programu komputerowego „Drgania 2", a
następnie wydrukować wykresy rezonansowe i postacie drgań;
5. Zawartość sprawozdania
•
Cel ćwiczenia;
•
Przebieg ćwiczenia (w punktach);
•
Schemat stanowiska laboratoryjnego (z opisem);
•
Dane wejściowe do przeprowadzanego ćwiczenia;
•
Zestawienie wyników pomiarów;
•
Przykładowe obliczenia z podaniem wzorów oraz podstawień do wzorów;
•
Zestawienie wyników obliczeń;
•
Wykresy rezonansowe i rysunki postaci drgań otrzymane dla danych
doświadczalnych oraz przy użyciu programu „Drgania 2";
•
Porównanie wyników doświadczalnych z wynikami teoretycznymi. Szczególną
uwagę należy zwrócić na porównanie częstości rezonansowych;
•
Sporządzony w trakcie ćwiczeń protokół;
•
Wnioski, spostrzeżenia i uwagi.
Laboratorium Drgań Mechanicznych
Document Outline