WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW 

 

( WPROWADZENIE )

 

 
 
Wytrzymałość materiałów jest nauką o trwałości spotykanych w praktyce typowych 
elementów konstrukcji, poddanych działaniu obciążenia zewnętrznego (sił i 
momentów). Jej podstawą są prawa i zasady mechaniki ogólnej, w której badane 
ciała są rozpatrywane jako elementy sztywne. 
 
Wytrzymałość materiałów uwzględnia zdolność ciał stałych do odkształcania  i 
zajmuje się badaniem oraz ustalaniem zależności odkształceń od sił 
zewnętrznych, działających na rozpatrywane elementy konstrukcyjne. Zatem 
jest nauką stosowaną, zajmującą się badaniem zjawisk występujących w ciałach 
odkształcalnych. 
 
Podstawą wytrzymałości materiałów są obliczenia teoretyczne i badania 
doświadczalne. Obliczenia teoretyczne stanowią zastosowanie zasad mechaniki 
ogólnej, a przede wszystkim praw statyki. Badania doświadczalne opisują 
odkształcenie materiałów w funkcji obciążeń przy różnych warunkach zewnętrznych. 
 
W wytrzymałości materiałów dokonujemy pewnych uproszczeń w opisie materiału. 
Wynika to z rzeczywistej budowy materii (budowę atomową).  
 
Mówimy o materiale ciała, że jest jednorodny, jeżeli interesujące nas własności 
fizyczne są takie same w każdej jego części. Jeżeli materiał ciała nie spełnia tego 
warunku, uważamy go za niejednorodny. 
 
Z pojęcia jednorodności wynika, że w uproszczonym modelu materiał wypełnia 
objętość ciała w sposób ciągły. Przy analizie takiego ciała można wówczas stosować 
pojęcia i cały aparat analizy matematycznej, jak różniczkowanie i całkowanie. 
 
Większość analizowanych zagadnień w wytrzymałości materiałów rozpatruje się przy 
założeniu idealnej sprężystości materiału, gdzie wywołane obciążeniem 
odkształcenia znikają całkowicie. Przeciwieństwem ciała idealnie sprężystego jest 
ciało idealnie plastyczne, tzn. takie, którego odkształcenia wywołane obciążeniem 
mają charakter trwały.  
Należy zaznaczyć, że rzeczywiste ciała nie są ani idealnie sprężyste, ani idealnie 
plastyczne. 
 
 
Wytrzymałością elementu konstrukcyjnego nazywamy graniczną wartość 
obciążenia, przy którym ten element ulega zniszczeniu lub niedopuszczalnemu 
odkształceniu. 
 
 
Wytrzymałość materiałów wykorzystuje rozwiązania nauk pokrewnych, takich jak: 
teoria sprężystości i teoria plastyczności, przy czym, przez wprowadzenie wielu 
uproszczeń, podaje proste rozwiązania z dostateczną dla techniki dokładnością. 

SIŁY ZEWNĘTRZNE, WEWNĘTRZNE NAPRĘŻENIA 

 

Siłami zewnętrznymi nazywamy siły, które zastępują działanie sił 
oddziałujących na rozpatrywane ciało, przy izolowaniu tego ciała od 
innych, pierwotnie z nim połączonych. Występują one jako tzw. siły 
czynne obciążające ciało i jako reakcje więzów, tzw. siły bierne. 
 
Siły wewnętrzne stanowią oddziaływania między poszczególnymi 
elementami ciała. Na podstawie piątej zasady statyki siły wewnętrzne są 
zawsze parami przeciwne, mają równe wartości i działają wzdłuż tej 
samej prostej. W celu ujawnienia tych sił stosuje się metodę przecięć, 
która polega na myślowym przecięciu ciała dowolną płaszczyzną. 

 

                      

 

 

Wypadkowym naprężeniem p w punkcie O nazywa się 

 

                  

 

 

Podstawową jednostką naprężenia jest paskal (Pa).  

 

                  

 

O wytrzymałości materiału decydują dwa rodzaje sił wewnętrznych. Są to 

siły normalne

 do powierzchni przekroju 

∆N  i

 siły styczne

 

∆T  leżące w 

płaszczyźnie przekroju. 
 

 

 
Naprężeniem normalnym nazywamy stosunek wartości siły normalnej 
N do pola A przekroju i obliczamy ze wzoru 

 

                  

 

 

Naprężeniem stycznym nazywamy stosunek wartości siły stycznej T do 
pola A przekroju i wyznaczamy ze wzoru 

 

                 

 

 

Określenie wartości naprężeń normalnego 

σ i stycznego τ  w 

poszczególnych punktach przekroju jest podstawowym zadaniem 
wytrzymałości materiałów. 

 
 
 

ODKSZTAŁCENIA CIAŁA SPRĘŻYSTEGO 

 

Pod wpływem sił zewnętrznych elementy konstrukcyjne mogą zmieniać 
swoje pierwotne kształty. W celu jednoznacznego określenia tych zmian 
wprowadzono pojęcia odkształcenia liniowego i odkształcenia 
postaciowego. 
 
 
W zależności od sposobu działania obciążenia na ciało rozróżniamy 
następujące podstawowe rodzaje odkształceń: 

rozciąganie

, 

ściskanie

, 

ścinanie

, 

skręcanie

 i 

zginanie

. 

 
 
Rozciąganie. Składają się na nie dwie przeciwnie działające siły, 
powodujące wydłużenie ciała w kierunku linii działania tych sił. 
Elementy pracujące na rozciąganie nazywamy prętami i cięgnami. 

 

                   

 

 

Ściskanie. Składają się na nie dwie siły o przeciwnych zwrotach, 
powodujące ściśnięcie (skrócenie) ciała w kierunku linii działania tych sił. 

                   

 

 

 
 

Ścinanie. Wywołane jest działaniem dwóch sił tworzących parę sił, 
powodują w ostateczności ścięcie elementu. 
Na ścinanie pracują przede wszystkim nity, śruby, sworznie i spoiny. 

 
 

                   

 

 

Skręcanie. Wywołane jest siłami dającymi moment skręcający, pod 
którego działaniem poszczególne przekroje poprzeczne przedmiotu 
zostają obrócone względem siebie wokół pewnej osi. 
Typowym przykładem elementów skręcanych są wały maszyn. 

                   

 

 
 
 
 
 
 
 

 

Zginanie. Wywołane jest działaniem sił prostopadłych do osi belki i 
leżącymi w płaszczyźnie zawierającej tę oś lub równoległej do niej. 
Typowe elementy zginane to: belki, osie i wały maszyn. 
 

         

 

 
 
 

W praktyce częściej spotykanymi odkształceniami są odkształcenia 
złożone (jednoczesne zginanie i skręcanie, zginanie ukośne, zginanie z 
rozciąganiem lub ściskaniem). 

 

PRAWO HOOKE’a 

 
Symboliczna postać prawa Hooke'a (prawo proporcjonalności) wyraża się 
następująco 
 

                  

 

 
gdzie E - współczynnik (moduł) sprężystości wzdłużnej (moduł Younga), 

ε - 

wydłużenie względne, które obliczamy ze wzoru 
 

                 

  

 
gdzie 

∆l - całkowite wydłużenie (skrócenie), l - długość początkowa. 

 

 

 
Według tego prawa wartość naprężenia normalnego do przekroju jest proporcjonalna 
do wartości względnego wydłużenia w kierunku prostopadłym do tego przekroju. 
 
Uwzględniając w tym prawie inne związki, otrzymujemy 
 

                 

  

 
gdzie: P - siła rozciągająca (ściskająca), A - pole przekroju poprzecznego 
 
Współczynnikiem Poissona 

ν określamy jako bezwzględną wartość ilorazu 

względnego odkształcenia poprzecznego 

ε

p

 i względnego wydłużenia wzdłużnego ε

w

 

 

                 

 

 

 

DOŚWIADCZALNE PODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW 

 
W celu poznania właściwości mechanicznych materiału przeprowadza się w 
laboratoriach wytrzymałościowych różnego rodzaju badania doświadczalne. 
 
Rozróżniamy dwa rodzaje badań laboratoryjnych. Do pierwszej grupy zaliczamy 
badania podstawowe, znormalizowane, dotyczące ustalenia własności samego 
materiału (statyczna próba rozciągania, statyczna próba ściskania, próby twardości). 
Do grupy drugiej należą badania specjalistyczne, mające na celu określenie 
zachowania się elementów lub całych konstrukcji pod obciążeniem zewnętrznym 
(badania z zastosowaniem tensometrii elektrooporowej, badania ultradźwiękowe, 
drgań, zmęczeniowe, udarowe, elastooptyczne). 
 
Znormalizowane próby wytrzymałościowe powinny być wykonywane ściśle według 
zaleceń Polskich Norm. Dotyczy to przygotowania próbek, przeprowadzenia samej 
próby, interpretacji wyników i stosowania jednolitych oznaczeń. 
 
Ze względu na zachowanie się przy rozciąganiu i ściskaniu wszystkie materiały 
możemy podzielić na plastyczne i kruche. 
 
Elementy z materiałów plastycznych mogą być poddawane dość dużym 
obciążeniom i ulegają zniszczeniu dopiero przy znacznych odkształceniach. Do 
takich materiałów należą stale niskowęglowe, miedź, aluminium, ołów etc. 
 
Elementy z materiałów kruchych odkształcają się nieznacznie i ulegają zniszczeniu 
już przy bardzo małych obciążeniach. Do materiałów kruchych należą: żeliwo, 
kamień, beton, szkło, stale o dużej zawartości węgla etc. 
 

 

Rys.1. Wykres rozciągania 

 

 

 
Pierwsza część wykresu od 0 do punktu H jest odcinkiem prostej. W tym zakresie 
obciążeń wydłużenie jest proporcjonalne do obciążenia. Proporcjonalność ta kończy 
się w punkcie H, który odpowiada sile F

H

. Stosunek siły F

H

 do początkowego pola 

przekroju S

o

 próbki nazywamy granicą proporcjonalności.  

Dla stali miękkich granica proporcjonalności wynosi około 200 MPa. 
 

R

H

 = F

H

/S

o

 [Pa]

 

Granica proporcjonalności R

H

 jest to naprężenie, 

po przekroczeniu którego materiał nie podlega 

prawu Hooke'a.

 

 
Następny odcinek wykresu H-E ma przebieg krzywoliniowy z wypukłością zwróconą 
do góry. W tym zakresie wydłużenie wzrasta szybciej niż obciążenie. Przy sile Fe 
próbka "płynie". Jej wydłużenie powiększa się bez widocznego wzrostu siły 
rozciągającej. Stosunek siły Fe do pierwotnego pola przekroju So próbki nazywamy 
wyraźną granicą plastyczności.  
Dla stali niskowęglowych - 250 MPa. 

 

Re = Fe/So [Pa]

 

Granica plastyczności jest to naprężenie, po 

osiągnięciu którego występuje wyraźny wzrost 

wydłużenia rozciąganej próbki bez wzrostu lub 

nawet przy spadku obciążenia.

 

 

Po przekroczeniu granicy plastyczności materiał staje się odporniejszy na 
odkształcenie. Dalsze wydłużanie próbki następuje już przy wzrastającym 
obciążeniu. Tak się dzieje do punktu M, któremu odpowiada siła Fm. Jest to 
największa siła przenoszona przez próbkę w czasie całej próby rozciągania. 
Stosunek siły Fm do pierwotnego pola przekroju poprzecznego So próbki nazywamy 
wytrzymałością na rozciąganie.  
Dla stali zwykłej jakości wynosi ona około 400 MPa. 

 

Rm = Fm/So [Pa]

 

Wytrzymałość materiału na rozciąganie Rm jest to 

stosunek największej siły Fm przenoszonej przez 

próbkę do pierwotnego pola So przekroju próbki.

 

 

Po przekroczeniu punktu M charakter odkształcenia całkowicie się zmienia. 
Dotychczas wydłużała się cała próbka. Dalsze odkształcenie zostaje zlokalizowane w 
jednym miejscu. W miejscu tym próbka przewęża się, Tworzy się tzw. "szyjka". 
Wydłużenie zachodzi teraz przy coraz to mniejszej sile (bo i pole przekroju próbki jest 
o wiele mniejsze od pierwotnego), aż wreszcie w punkcie U przy sile Fu następuje 
zerwanie. 

 

Ru = Fu/Su [Pa]

 

Naprężenie rozrywające Ru jest to stosunek siły 

Fu, przy której następuje zerwanie próbki, do pola 

przekroju Su próbki w miejscu zerwania.

 

 

 

Rys.2. Na powyższym rysunku widzimy próbkę przed zerwaniem oraz w chwili 

zerwania. 

 
 
 
 

 

 

Rys. Graficzne przedstawienie tworzenia się szyjki przy coraz większej sile rozciągającej 

 
 

 
Sprężystość 
 
Przerywając próbę w fazie początkowej zauważymy, że odciążona próbka wraca do 
swoich pierwotnych wymiarów. Odkształcenie próbki jest więc całkowicie sprężyste. 
Można znaleźć graniczne obciążenie Fx, przy czym będziemy mieli do czynienia 
jeszcze z odkształceniem sprężystym. Odpowiadający temu odkształceniu punkt S 
na wykresie leży nieco wyżej, lecz w pobliżu punktu H, który odpowiada granicy 
proporcjonalności.  
Pojęcie siły granicznej Fs, która odpowiadałaby granicy sprężystego zachowania się 
próbki (granicy sprężystości) ma znaczenie teoretyczne. 
Stosunkowo trudno jest ustalić graniczną siłę Fs, od której pojawiają się pierwsze, 
niewielkie początkowo, wydłużenia plastyczne (trwałe).  
Punkty S i E mogą nie być na wykresie wyraźnie zaznaczone. 
 

R0,02 = F0,02/So 

[Pa] 

Umowną granicą sprężystości R0,02 nazywamy 

naprężenie wywołujące w próbce wydłużenie 

trwałe równe 0,02% długości pomiarowej. 

 

R0,2 = F0,2/So 

[Pa] 

Umowną granicą plastyczności R0,2 nazywamy 

naprężenie wywołujące w próbce wydłużenie 

trwałe równe 0,2% długości pomiarowej. 

 
Oznaczając przez l długość pierwotną, a przez lu długość próbki po zerwaniu 
możemy określić wydłużenie jednostkowe po zerwaniu  
 

wydłużenie jednostkowe  

 A = [(lu-l)/l] * 100% 

 
Dla stali niskowęglowych wydłużenie to wynosi około 25%. 
 
Oznaczając przez So przekrój pierwotny próbki, a przez Su jej przekrój w miejscu 
zerwania, możemy obliczyć przewężenie względne Z przy zerwaniu  
 

przewężenie względne  

 Z = [(So-Su)/So] * 100% 

 
Im większa jest ta wartość, tym bardziej odkształcony jest materiał. Dla stali miękkich 
przewężenie to wynosi około 65%. 

Ze względu na zachowanie się przy rozciąganiu i ściskaniu wszystkie materiały 
możemy podzielić na wykazujące właściwości plastyczne i kruche:  

o 

Elementy z materiałów wykazujących właściwości plastyczne mogą być 
poddawane dość dużym odkształceniom i ulegają zniszczeniu dopiero przy 
znacznych odkształceniach. Do takich materiałów należą stale niskowęglowe, 
miedź, aluminium, ołów itp. 

o 

Elementy z materiałów wykazujących właściwości kruche nie wykazują 
tendencji do odkształceń. Ulegają one zniszczeniu już przy bardzo małych, 

czasem niezauważalnych, odkształceniach. Do materiałów kruchych należą: 
żeliwo, kamień, beton, szkło, stale o dużej zawartości węgla itp. 

 

 

 

NAPRĘŻENIA DOPUSZCZALNE 

 
Poszczególne elementy konstrukcyjne w czasie pracy przenoszą pewne obciążenia. 
W elementach tych panują więc naprężenia, które nazywamy naprężeniami 
rzeczywistymi. 
 
Naprężenia, które mogą występować w materiale bez obawy naruszenia warunku 
wytrzymałości i warunku sztywności, nazywamy naprężeniami dopuszczalnymi. 
Oznaczamy je literą k z odpowiednim indeksem dolnym, charakteryzującym rodzaj 
odkształcenia: 
 

      k

r

 - naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu, 

      k

c

 - naprężenie dopuszczalne przy ściskaniu, 

      k

g

 - naprężenie dopuszczalne przy zginaniu, 

      k

t

 - naprężenie dopuszczalne przy ścinaniu, 

      k

s

 - naprężenie dopuszczalne przy skręcaniu. 

 
Liczbę n oznaczającą, ile razy naprężenie dopuszczalne jest mniejsze od granicy 
wytrzymałości (dla materiałów kruchych) lub od granicy plastyczności (dla materiałów 
plastycznych), nazywa się współczynnikiem bezpieczeństwa. 
 
W przypadku rozciągania materiałów kruchych 
 

                  

 

 
Dla materiałów plastycznych 
 

                  

 

 
gdzie: R

m

 - granica wytrzymałości na rozciąganie, otrzymana w wyniku prób 

wytrzymałościowych, R

e

 - granica plastyczności.