13

Określanie sil węzłowych od obciążenia elementu

(wyrazów wolnych)

a) uwzględnienie sił masowych:

– przyjmijmy, że jedynymi siłami masowymi jest ciężar własny konstrukcji

γ. Wówczas

wektor obciążeń od sił masowych dla elementu „e” (rys.7.) ma postać:

{ }

{

}

{

}

T

T

y

x

M

f

γ

ρ

ρ

0

=

=

,

a wektor sił węzłowych spowodowanych tym obciążeniem przyjmie postać:

{ } {

}

[ ]

{ }

(

)

dV

N

V

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

⋅

⋅

=

=

=

∫

M

T

T

M

r

y

M

r

x

M

k

y

M

k

x

M

j

y

M

j

x

M

i

y

M

i

x

M

f

F

F

F

F

F

F

F

F

F

Po podstawieniu postaci funkcji kształtu i wektora obciążeń oraz wykonaniu całkowania
otrzymamy:

{ }

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⋅

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

∫ ∫

∫ ∫ ∫

− −

− − −

t

b

a

t

b

a

t

b

a

t

b

a

dxdy

n

n

n

n

t

dtdxdy

n

n

n

n

n

n

n

n

F

F

F

F

F

F

F

F

F

a

a

b

b

r

k

j

i

t

t

a

a

b

b

r

r

k

k

j

j

i

i

M

r

y

M

r

x

M

k

y

M

k

x

M

j

y

M

j

x

M

i

y

M

i

x

M

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

4

1

0

4

1

0

4

1

0

4

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

14

b) uwzględnienie sił powierzchniowych:

Przyjmijmy, że powierzchnia boczna elementu „e” (rys7) na odcinku j-r jest obciążona
równomiernie rozłożonym obciążeniem powierzchniowym o intensywności q

x

[kN/m

2

]

skierowanym zgodnie z osią „x” lokalnego układu współrzędnych.
Wówczas wektor obciążeń powierzchniowych przyjmie postać:

,

{ } {

}

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

=

−

−

0

x

T

r

j

y

r

j

x

S

q

p

p

f

a wektor sił węzłowych w elemencie spowodowanych tym obciążeniem przyjmie postać:

{ } {

}

[ ]

{ }

(

)

dS

f

N

F

F

F

F

F

F

F

F

F

S

S

T

T

S

r

y

S

r

x

S

k

y

S

k

x

S

j

y

S

j

x

S

i

y

S

i

x

S

⋅

⋅

=

=

∫

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

Po podstawieniu funkcji kształtu oraz wektora obciążeń i wykonaniu całkowania otrzymamy:

{ }

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

⋅

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⋅

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

∫ ∫

− −

0

)

2

1

(

0

)

2

1

(

0

)

2

1

(

0

)

2

1

(

4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

2

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

a

x

b

a

x

b

a

x

b

a

x

b

t

q

dtdy

q

n

n

n

n

n

n

n

n

F

F

F

F

F

F

F

F

F

x

t

t

b

b

x

r

r

k

k

j

j

i

i

S

r

y

S

r

x

S

k

y

S

k

x

S

j

y

S

j

x

S

i

y

S

i

x

S

Uwzględniając przy tym, że dla boku elementu j-r wartość x=+a/2 ostatecznie wektor sił
węzłowych spowodowanych obciążeniem powierzchniowym przyjmie postać:

{ }

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

0

2

0

0

0

2

0

0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

x

x

S

r

y

S

r

x

S

k

y

S

k

x

S

j

y

S

j

x

S

i

y

S

i

x

S

q

b

t

q

b

t

F

F

F

F

F

F

F

F

F

15

obciążenie elementu

i

j

r

k

x

y

podział tarczy i numeracja

elementów i węzłów w układzie

globalnym

3

y

a

a/2

e

q [kN/m

2

b

b/2

x

-

4

2

3

4

1

8

9

5

6

7

1

2

r

k

j

i

r

k

j

i

r

k

j

i

r

k

j

i

-

Rys.4.

Rys.7

podział tarczy i numeracja

elementów i węzłów w układzie

globalnym

3

x

-

2

3

4

1

4

3

8

9

5

6

7

1

2

r

k

j

i

r

k

j

i

r

k

j

i

r

k

j

i

Rys.5.

k

podział tarczy i numeracja

elementów i węzłów w układzie

globalnym

y

-

x

-

4

2

3

4

1

8

9

5

6

7

1

2

r

k

j

i

r

k

j

i

r

k

j

i

r

k

j

i

y

-

δ

Rys.6.