Witold Bołt
na podstawie wykładu
dr. hab. Andrzeja Szczepańskiego, prof. UG

Geometria różniczkowa

15 czerwca 2007

Uwaga!

Jeśli zauważysz jakieś błędy to pisz: Witold Bołt hja@hope.art.pli.

Aktualną wersję tego dokumentu można zawsze znaleźć w Internecie na stronie
domowej autora: http://www.hope.art.pl/skrypty/geom/.

Dziękuję wszystkim, którzy swoją cierpliwością i jakąkolwiek pomocą przyczynili
się do powstania tego tekstu.

Witold Bołt

Spis treści

Teoria krzywych

1.1

Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Podstawowe własności, wzory Freneta . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

Wzory Freneta w R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

Krzywe w przestrzeni R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teoria powierzchni

2.1

Rozmaitości różniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Podstawowe pojęcia, metryka Riemanna . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

Geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1

Równania różniczkowe geodezyjnych

. . . . . . . . . . . . .

2.4

Krzywizna powierzchni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1

Krywizna Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.2

Druga forma kwadratowa i przekroje normalne . . . . . . . .

2.4.3

Lokalny układ współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

Twierdzenie Egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6

Twierdzenie Gaussa–Bonneta

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.1

Płaszczyzna hiperboliczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.2

Współrzędne geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.3

Dowód twierdzenia Gaussa–Bonneta

. . . . . . . . . . . . .

Bibliografia

Rozdział 1

Teoria krzywych

Oznaczenia.

Literą I będziemy oznaczać przedziały (zazwyczaj domknięte) [a, b]

w R. Niech dana będzie funkcja różniczkowalna f : I → R

, oraz niech t

∈ I. Po-

chodną f w punkcie t

oznaczamy f

) i rozumiemy jako wektor: lim

h→0

f (t

+h)−f (t

)

1.1

Podstawowe definicje

Definicja 1.1.1 (krzywa i parametryzacja krzywej). Krzywą γ w przestrzeni R

nazywamy dowolny ciągły obraz odcinka I = [a, b].

Funkcję ciągłą c : I → R

nazywamy parametryzacją krzywej γ, o ile γ = c(I).

W dalszej części tego opracowania będziemy utożsamiać (tam gdzie to możliwe)

krzywą i jej opis parametryczny (na obie te rzeczy będziemy mówić krzywa). Krzywe
oznaczać będziemy literami c lub γ.

Będziemy zakładać (jeśli nie napisano inaczej), że rozważane przez nas krzywe

są klasy C

dla pewnego m > 0.

Definicja 1.1.2 (krzywa regularna). Mówimy, że krzywa γ jest regularna (ma opis
regularny), gdy:

∀

t∈I

(t) 6= 0.

Przykład 1.1.3. Niech dane będą krzywe, zadane przez parametryzacje: γ

(t) =

(cos t, sin t), t ∈ [0, 2π]; γ

(t) = (cos −2t, sin −2t), t ∈ [0, π]. Obie parametryzacje

opisują tą samą krzywą. Z drugiej strony, zauważmy, że γ

(0) = γ

(0) = (1, 0), oraz

(0) = (0, 1), γ

(0) = (0, −2). Pochodne wyznaczają tutaj wektory styczne. W obu

przypadkach są one równoległe, jednak różnią się, zależnie od parametryzacji.

Definicja 1.1.4 (długość krzywej). Niech γ : [α, β] → R

będzie krzywą. Długość

krzywej γ oznaczamy przez L(γ) i definiujemy:

L(γ) =

|γ

(t)|dt

ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH

Definicja 1.1.5 (parametryzacja łukowa). Parametryzacja krzywej γ : I → R

jest

łukowa o ile:

∀

∈I

L(γ|

]

) = t

− t

1.2

Podstawowe własności, wzory Freneta

Stwierdzenie 1.2.1.

1. Regularny opis parametryczny jest opisem łukowym, wte-

dy i tylko wtedy gdy ∀

t∈I

|γ

(t)| = 1.

2. Każda krzywa regularna klasy C

ma łukowy opis parametryczny.

Dowód.

1. Załóżmy, że krzywa ma parametryczny opis łukowy. Wówczas:

|γ

(t)| =

|γ

(s)|ds =

|t − t

| = 1

czyli rzeczywiście dla dowolnego t ∈ I zachodzi |γ

(t)| = 1.

Załóżmy, teraz że zachodzi ∀

t∈I

|γ

(t)| = 1 i sprawdzimy, czy krzywa γ ma opis

łukowy. Ustalmy t

∈ I. Dla t t

mamy:

L(γ|

,t]

) =

|γ

(s)|ds =

1ds = t − t

czyli krzywa ma parametryzacje łukową.

2. Niech c(t) krzywa regularna, oraz t

∈ I. Zdefiniujmy funkcję s : I → R

wzorem:

s(t) = sgn(t − t

)

(τ )|dτ.

Funkcja s jest różniczkowalna, ponadto zachodzi:

. Pochodna c nie

zeruje się, więc pochodna s jest zawsze dodatnia, stąd s monotoniczna (ro-
snąca). Istnieje więc funkcja odwrotna t(s) = s

−1

(t). Niech γ(s) = c(t(s)).

Sprawdzimy, że taka γ(s) ma opis łukowy.

dγ

= 1.

Przykład 1.2.2.

1. Krzywa (odcinek) c(t) = (αt + x

, βt + y

) jest łukowo spa-

rametryzowana wtedy i tylko wtedy, gdy α

+ β

= 1.

2. Łukowy opis parametryczny okręgu o środku (0, 0) i promieniu R ma postać:

c(s) =

R cos

, R sin

s ∈ [0, 2πR]

1.2. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI, WZORY FRENETA

Stwierdzenie 1.2.3. Jeżeli c : I → R

jest krzywą różniczkowalną oraz f : R

→

jest odwzorowaniem różniczkowalnym, to:

∀

∈I

(f ◦ c)

) = df

c(t

)

)).

Dowód. Niech f = (f

, . . . , f

), gdzie f

: R

→ R. Podobnie niech c = (x

, . . . , x

Zachodzi wówczas: (f ◦ c)

= ((f

◦ c)

, . . . , (f

◦ c)

). Ustalmy 1 ¬ k ¬ m. Mamy:

◦ c)

) =

i=0

∂f

∂x

(c(t

))

z czego wynika, że:

(f ◦ c)

) =

∂f

∂x

(c(t

))

i,j







0
1

)

0
n

)







= df

c(t

)

)).

Definicja 1.2.4 (orientacja dodatnia i ujemna). Układ v

, . . . , v

∈ R

ma orien-

tację ujemną (dodatnią), gdy det(v

, . . . , v

) < 0 (det(v

, . . . , v

) > 0).

Wniosek 1.2.5. W przypadku gdy n = 1 wybór orientacji, to wybór kierunku
poruszania się po prostej.

Zakładamy, że dane są krzywa c : I → R

, c(s

) = p. Oznaczmy kąt mię-

dzy wektorami stycznymi do krzywej c w punktach s

i s

+ ∆s przez: ∆

ϕ =

^( ˙c(s

), ˙c(s

+ ∆s)), gdzie ˙c oznacza pierwszą pochodną c względem s.

Definicja 1.2.6 (krzywizna krzywej). Jeśli c jest zorientowaną krzywą płaską klasy
C

, to wielkość:

(p) = lim

∆s→0

∆

∆s

nazywamy krzywizną krzywej c w punkcie p.

Definicja 1.2.7 (reper Freneta). Niech c będzie sparametryzowaną łukowo płaską
krzywą zorientowaną dodatnio, a e

(t), e

(t) dodatnio zorientowaną bazą ortonor-

malną w R

, taką, że e

(t) = c

(t). Wtedy układ e

(t), e

(t) nazywamy reperem

Freneta krzywej c w punkcie c(t).

Przykład 1.2.8. Niech c : I → R

krzywa sparametryzowana łukowo, dana wzorem

c(t) = (x(t), y(t)). Przyjmijmy e

(t) = ( ˙

x(t), ˙

y(t)), oraz e

(t) = (− ˙

y(t), ˙x(t)). Układ

, e

jest reperem Freneta krzywej c, ponieważ he

, e

i = 0 oraz det[e

, e

] = 1.

Twierdzenie 1.2.9. Niech c krzywa płaska klasy C

sparametryzowana łukowo.

Wówczas:

ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH

1. Krzywizna jest określona w każdym punkcie.

2. Jeśli e

, e

reper Freneta, to zachodzi:

(c(t))e

(t) = ¨

c(t)

(c(t)) = h¨

c(t), e

(t)i

(c(t))| = | ˙c(t)|

3. Reper Freneta e

, e

spełnia:







c = e

0
1

= K

0
2

= −K

co można zapisać w postaci macierzowej jako:

−K

# "

Dowód. Wektory e

(s), e

(s) stanowią bazę ortonormalną R

. Zapiszmy więc wektor

(s + ∆s) w tej bazie:

(s + ∆s) = he

(s + ∆s), e

(s)ie

(s) + he

(s + ∆s), e

(s)ie

(s).

Niech ∆ϕ oznacza kąt

^(e

(s), e

(s + ∆s)). Wektory e

(s), e

(s) są ortonormalne

(dla każdego s), czyli w szczególności mają długość 1. Stąd iloczyn skalarny wekto-
rów e

(s) i e

(s + ∆s) równy jest kosinusowi kąta między nimi:

(s + ∆s), e

(s)i = cos ∆ϕ.

Podobnie:

(s + ∆s), e

(s)i = cos

^(e

(s + ∆s), e

(s)).

Zauważmy również, że:

^(e

(s + ∆s), e

(s)) =

^(e

(s), e

(s)) +

^(e

(s + ∆s), e

(s)) = π − ∆ϕ

Mamy więc, że:

(s + ∆s), e

(s)i = sin ∆ϕ.

Czyli ostateczne:

(s + ∆s) = cos ∆ϕe

(s) + sin ∆ϕe

(s).

Sprawdzamy warunki z punktu 2 w treści twierdzenia. Policzmy drugą pochodną

krzywej c. Z definicji e

(s) wiemy, że ¨

c = e

0
1

. Policzymy więc pierwszą pochodną e

= lim

∆s→0

(s + ∆s) − e

(s)

∆s

1.2. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI, WZORY FRENETA

Stosujemy teraz wyliczoną wcześniej postać e

(s + ∆s):

= lim

∆s→0

cos ∆ϕe

(s) + sin ∆ϕe

(s) − e

(s)

∆s

= lim

∆s→0

cos ∆ϕ − 1

∆s

(s) + lim

∆s→0

sin ∆ϕ

∆s

(s)

lim

∆ϕ→0

cos ∆ϕ − 1

∆ϕ

lim

∆s→0

∆ϕ

∆s

(s) +

lim

∆ϕ→0

sin ∆ϕ

∆ϕ

lim

∆s→0

∆ϕ

∆s

(s)

= 0 · e

(s) + K

(c(s))e

(s)

Mamy więc:

, e

i = hK

, e

i = K

co daje:

= hc

, c

i = K

, e

i = K

W ten sposób udowodniliśmy punkt 2. Przechodzimy do dowodu punktu 3.

Wektory e

, e

stanowią bazę, więc wektor ˙e

możemy zapisać w tej bazie:

˙e

(t) = w

(t)e

(t) + w

(t)e

(t)

gdzie w

(t) ∈ R. Korzystamy teraz z faktu, że he

, e

i = δ







i = j

i 6= j

. Licząc

obustronnie pochodną w tej równości otrzymujemy:

0 =

, e

i = h ˙e

, e

i + he

, ˙e

Podstawimy teraz do powyższego wzoru, ˙e

przedstawione w bazie e

, e

0 = hw

+ w

, e

i + he

, w

i = w

+ w

Podobnie wyliczamy

, e

0 = h ˙e

, e

i + he

, ˙e

i = w

+ w

= 0

Z powyższych rozważań wynika, że:







= −w

= w

= 0

Co daje nam:







˙e

= w

˙e

= −w

Z wcześniej udowodnionych własności wynika, że ˙e

= ¨

c = K

= w

, czyli

= K

ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH

1.3

Wzory Freneta w R

Definicja 1.3.1 (krzywa niezdegenerowana). Krzywa regularna jest niezdegenero-
wana jeśli ∀

t∈I

wektory c

(t), c

(t), . . . , c

(n)

(t) ∈ R

są liniowo niezależne.

Definicja 1.3.2 (reper Freneta). Reperem Freneta regularnej, niezdegenerowanej
krzywej c : I → R

nazywamy układ funkcji e

, . . . , e

: I → R

, taki, że funkcje

, . . . , e

n−1

powstają z układu c

, . . . , c

(n−1)

przez jego ortonormalizację, a funkcję

wybieramy tak, aby cały układ był ortonormalny i zorientowany dodatnio.

Uwaga 1.3.3. Można pokazać, że:





















. . .

−K

. . .

. . . −K

n−1





















gdzie K

jest i-tą krzywizną krzywej c.

1.4

Krzywe w przestrzeni R

Dana jest krzywa w przestrzeni R

z parametryzacją łukową c : I → R

. Układ wek-

torów stanowiący reper Freneta tej krzywej obliczamy zgodnie z definicją podaną w
poprzednim punkcie. Zauważmy, że skoro układ ten musi być zorientowany dodat-
nio, to mając dwa pierwsze wektory, możemy wyznaczyć trzeci z wzoru: e

= e

×e

Wzory Freneta w przypadku trój-wymiarowym mają postać:
















−k

−τ
















Liczby k oraz τ nazywamy odpowiednio krzywizną i skręceniem krzywej.

Definicja 1.4.1 (trójścian Freneta). Niech c krzywa w R

, p ∈ R

, oraz e

, e

reper Freneta krzywej c w punkcie p. Definiujemy następujące płaszczyzny:

• ściśle styczna – rozpięta na wektorach e

, e

• normalna – rozpięta na wektorach e

, e

• prostująca – rozpięta na wektorach e

, e

Sumę tych trzech płaszczyzn nazywamy trójścianem Freneta.

Definicja 1.4.2. krzywa płaska Jeśli krzywa c : I → R

leży w pewnej płaszczyźnie,

to mówimy, że jest to krzywa płaska.

1.4. KRZYWE W PRZESTRZENI R

Fakt 1.4.3. Niech c : I → R

sparametryzowana łukowo, niezdegenerowana krzywa.

Jeśli wektor e

w układzie Freneta jest stały, to c jest krzywą płaską.

Dowód. Zakładamy, że e

stały. Korzystamy z wzoru na różniczkowanie iloczynu

skalarnego:

hc, e

= hc

, e

i + hc, e

0
3

Zauważmy, że z wzorów Freneta mamy w szczególności, że:

, e

i = 0

natomiast z założeń wiemy, że e

jest stały, więc e

0
3

= 0. Wiemy więc, że:

hc, e

= 0 ⇒ hc, e

i = D ∈ R– stała.

Załóżmy, że daną mamy jakąś parametryzację c postaci:

c(t) = (x(t), y(t), z(t))

oraz, że wektor e

jest postaci:

(t) = (A, B, C).

Wiemy więc, że:

hc, e

i = h(x(t), y(t), z(t)), (A, B, C)i = D

a to dokładnie oznacza, że:

Ax(t) + By(t) + Cz(t) = D

co dowodzi, że każdy punkt krzywej c leży na płaszczyźnie danej równaniem:

Ax + By + Cz = D

Stwierdzenie 1.4.4. Niech c : I → R

będzie łukowo sparametryzowaną krzywą

niezdegenerowaną. Następujące warunki są równoważne:

(i) c jest krzywą płaską,

(ii) τ = 0,

(iii) c leży w płaszczyźnie równoległej do swej płaszczyzny stycznej,

(iv) wszystkie płaszczyzny styczne do c pokrywają się.

ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH

Dowód. Części (iii) ⇐⇒ (iv) oraz (iii) ⇒ (i) są oczywiste.

Udowodnimy teraz (i) ⇒ (ii). Z wzorów Freneta mamy, że:

0
3

= −τ e

Zakładamy, że c jest krzywą płaską. Wiemy więc, że e

stały, czyli e

0
3

= 0. Ponieważ

nie jest wektorem zerowym to natychmiast dostajemy, że τ = 0.

Wynikanie (ii) ⇒ (i) otrzymujemy wprost z udowodnionego wcześniej faktu i z

równości e

0
3

= −τ e

Pozostało do pokazania, że z punktu (i) wynika (iii). Załóżmy, że t

∈ I. Jeśli c

jest krzywą płaską, to płaszczyzna P zawierająca c i płaszczyzna Π równoległa do
płaszczyzny ściśle stycznej w punkcie c(t

) i zawierająca ten punkt są równoległe

(wektor e

) jest prostopadły do obu tych płaszczyzn). Ponieważ c(t

) ∈ P ∩ Π,

oraz P i Π równoległe, to P = Π.

Uwaga 1.4.5. Do obliczenia krzywizny i skręcenia krzywej w przestrzeni R

można

korzystać z wzorów:

k =

× c

τ =

× c

, c

000

× c

det[c

, c

000

]

× c

Rozdział 2

Teoria powierzchni

2.1

Rozmaitości różniczkowe

Definicja 2.1.1 (mapa). Niech X będzie przestrzenią topologinczą. Mapą na X
nazywamy dowolny homeomorfizm Φ

: U

→ W

, gdzie U

jest otwartym podzbio-

rem X, a W

jest otwartym podzbiorem R

Definicja 2.1.2 (atlas). Atlasem nazywamy zbiór map pewnej przestrzeni topolo-
gicznej X:

{Φ

: U

→ W

}

α∈I

taki, że

α∈I

= X.

Mówimy, że atlas jest gładki (klasy C

) jeśli funkcje Φ

◦ Φ

−1
α

: Φ

∩ V

) →

∩ V

) są gładkie (klasy C

Definicja 2.1.3. Niech {U

, Φ

}, {V

, η

} będą atlasami odpowiednio na przestrze-

ni topologicznej na X i Y . Odwzorowanie f : X → Y jest gładkie (klasy C

) jeśli

funkcje: η

◦ f ◦ Φ

−1
α

∩f

−1

))

są gładkie (klasy C

Definicja 2.1.4 (atlasy równoważne). Dwa atlasy na przestrzeni topologicznej X:
{Φ

}, {Ψ

} są równoważne jeśli identyczność na X jest funkcją gładką.

Definicja 2.1.5 (rozmaitość). Gładką (klasy C

) n-wymiarową rozmaitością nazy-

wamy przestrzeń topologiczną z zadaną na niej klasą atlasów równoważnych. Klasy
równoważności atlasów nazywamy strukturą różniczkową na rozmaitości X.

Uwaga 2.1.6. Z reguły rozmaitość definiuje się jako przestrzeń, która jest lokal-
nie homeomorficzna (lub dyfeomorficzna) z przestrzenią euklidesową. Ogólny sens
wszystkich tych definicji jest taki sam i sprowadza się do tego, że w analizie rozma-
itości możemy lokalnie patrzeć na nią jak na fragment „zwykłej” przestrzeni R

Przykład 2.1.7. Typowe rozmaitości, to: R

, S

, RP

, CP

, H

, D

, torus.

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

2.2

Podstawowe pojęcia, metryka Riemanna

Definicja 2.2.1 (powierzchnia). Powierzchnia jest to dowolna, zwarta i spójna
rozmaitość 2-wymiarowa.

W dalszej części tego opracowania, jeśli nie zaznaczono inaczej, rozpatrujemy

powierzchnie zanurzone w przestrzeni R

Definicja 2.2.2 (wektor styczny i przestrzeń styczna). Wektorem stycznym do
powierzchni M w punkcie p nazywamy każdy wektor styczny w tym punkcie do
pewnej krzywej różniczkowalnej c : I → M . Zbiór wektorów stycznych do M w
punkcie p nazywamy przestrzenią styczną i oznaczamy przez T

M .

Przykład 2.2.3.

1. Niech p ∈ R

. Wówczas T

= R

2. Niech M pewna powierzchnia, oraz niech U ⊂ M otwarty, oraz p ∈ U . Wów-

czas zachodzi: T

U = T

M .

3. Załóżmy, że powierzchnia jest sparametryzowana w następujący sposób:

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

gdzie (u, v) ∈ U ⊂ R

, zbiór U jest otwarty, a funkcje x, y, z są różniczkowalne.

Wprowadźmy oznaczenia:

∂x
∂u

(u, v) y

∂y
∂u

(u, v) z

∂z

∂u

(u, v)

∂x
∂v

(u, v)

∂y
∂v

(u, v)

∂z
∂v

(u, v)

Wówczas wektory dr(e

) = [x

, y

, z

], dr(e

) = [x

, y

, z

] stanowią bazę

przestrzeni stycznej.

Definicja 2.2.4 (pierwsza forma kwadratowa). Pierwszą formą kwadratową po-
wierzchni M w punkcie p nazywamy iloczyn skalarny:

h, i : T

M × T

M → R

Definicja 2.2.5 (metryka Riemanna). Metryką Riemanna na powierzchni M na-
zywamy różniczkowe przyporządkowanie każdemu punktowi p ∈ M iloczynu skalar-
nego na przestrzeni T

M .

Standardową bazą przestrzeni stycznej T

M jest

∂

∂x

. Rozważmy macierz [g

]

i,j=1,2

zdefiniowaną jako: g

= h

∂

∂x

∂

∂x

i (gdzie iloczyn skalarny h, i to standardowy iloczyn

skalarny z R

). Z symetrii iloczynu skalarnego mamy g

= g

. Macierz ta wyznacza

jednoznacznie metrykę Riemanna. Załóżmy bowiem, że mamy dwie krzywe c, d w
M. Ustalmy dowolny punkt p ∈ M . Wtedy oczywiście:

(p) = c

(p)

∂(p)

∂x

+ c

(p)

∂(p)

∂x

2.3. GEODEZYJNE

(p) = d

(p)

∂(p)

∂x

+ d

(p)

∂(p)

∂x

Aby policzyć iloczyn skalarny (wyznaczony przez metrykę Riemanna) wystarczy
policzyć:

(p), d

(p)i =

∂(p)

∂x

+ c

∂(p)

∂x

, d

∂(p)

∂x

+ d

∂(p)

∂x

= g

+ g

i,j=1

Wobec tego iloczyn skalarny wyznaczony przez metrykę Riemanna odpowiada for-
mie dwuliniowej o macierzy [g

]

i,j=1,2

Definicja 2.2.6 (pierwsza forma kwadratowa). Macierz [g

] zdefiniowana powyżej

wyznacza formę kwadratową, którą będziemy nazywać pierwszą formą kwadratową.

Tradycyjnie jej macierz oznacza się:

Określenie metryki Riemanna, pozwala nam zdefiniować długość krzywej na

powierzchni. Niech c : [a, b] → U ⊂ M będzie dowolną krzywą różniczkowalną,
wtedy długość tej krzywej wynosi:

L(c) =

(t), c

(t)i

1
2

dt =





i,j=1

(c(t))c

0
i

(t)c

0
j

(t)





1
2

2.3

Geodezyjne

Definicja 2.3.1 (geodezyjna). Niech c : I → M będzie parametryzacją krzywej,
proporcjonalną do długości. Jeśli dla każdego t

∈ I istnieje δ > 0 taka, że każdy

odcinek c|

]

długości mniejszej niż δ jest najkrótszą krzywą łączącą c(t

) z c(t

to mówimy, że c jest krzywą geodezyjną.

Przykład 2.3.2. Rozważmy sferę dwuwymiarową w R

. Pomiędzy dwoma punkta-

mi leżącymi na antypodach możemy poprowadzić nieskończenie wiele geodezyjnych.
Jeśli natomiast wybierzemy dwa punkty leżące na równiku to istnieje dokładnie jed-
na geodezyjna łącząca te punkty.

Przykład 2.3.3. W przestrzeni R

geodezyjne to odcinki.

Twierdzenie 2.3.4. Niech M będzie powierzchnią, wówczas:

(i) dla każdego p ∈ M i v ∈ T

M istnieje > 0 i dokładnie jedna, sparametryzo-

wana łukowo geodezyjna c : (−, ) → M taka, że c(0) = p i c

(0) = v;

(ii) dwa dowolne, dostatecznie bliskie punkty M można połączyć dokładnie jedną,

sparametryzowaną łukowo geodezyjną.

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

2.3.1

Równania różniczkowe geodezyjnych

Niech [g

] oznacza macierz pierwszej formy kwadratowej. Przez [g

] będziemy ozna-

czać macierz odwrotną do [g

Definicja 2.3.5 (symbole Christoffela). W ponieższych wzorach i, j, k, s = 1, 2.

1. Symbole Christoffela pierwszego rodzaju Γ

kij

∂g

∂x

∂g

∂x

−

∂g

∂x

2. Symbole Christoffela drugiego rodzaju: Γ

k
ij

1
2

2
s=1

jis

Uwaga 2.3.6. Γ

k
ij

= Γ

k
ji

Twierdzenie 2.3.7. Niech r : U → M będzie lokalną parametryzacją (lokalną ma-
pą), niech c będzie krzywą leżącą w r(U ) i niech r

−1

(c(t)) = (x

(t), x

(t)). Następu-

jące warunki są równoważne:

(i) c jest geodezyjną sparametryzowaną łukowo,

(ii) c jest rozwiązaniem następującego układu równań różniczkowych:

i,j=1

k
ij

= 0

dla k = 1, 2.

2.4

Krzywizna powierzchni

2.4.1

Krywizna Gaussa

Definicja 2.4.1 (odwzorowanie sferyczne). Odwzorowaniem sferycznym nazywamy
ciągłe przekształcenie n : M → S

, które każdemu punktowi powierzchni M ⊂ R

przyporządkowuje wektor normalny do M .

Jeśli dla danej powierzchni M istnieje odwzorowanie sferyczne n, to mówimy, że

powierzchnia M jest zorientowana.

Definicja 2.4.2. Niech c : I → M dowolna krzywa, p ∈ M . Definiujemy odwzoro-
wanie dn

: T

M → T

n(p)

wzorem dn

(p)) = (n ◦ c)

(p).

Uwaga 2.4.3. Odwzorowanie dn

jest liniowe.

Definicja 2.4.4 (krzywizna powierzchni). Niech M powierzchnia, p ∈ M . Niech
{A

}

∞
k=1

, będzie ciągiem otoczeń punktu p, których średnice dążą do zera. Liczbę:

(p) = sgn(det dn

) lim

k→∞

pole n(A

)

pole A

nazywamy krzywizną powierzchni M (krzywizną Gaussa) w punkcie p.

2.4. KRZYWIZNA POWIERZCHNI

Przykład 2.4.5.

1. Krzywizna płaszczyzny wynosi zero, ponieważ każdemu punk-

towi płaszczyzny odwzorowanie n przyporządkowuje jeden, ten sam wektor,
więc pole n(A

) zawsze wynosi 0.

2. Krzywizna sfery o promieniu R wynosi

, ponieważ dla dowolnego punktu p

sfery dwuwymiarowej o promieniu R, n(p) =

p, a co za tym idzie pole(A

) =

pole n(A

Twierdzenie 2.4.6. Jeśli M jest rozmaitością dwuwymiarową klasy C

, to:

∀

p∈M

(p) = det dn

Lemat 2.4.7. Jeśli L : V → V jest przekształceniem liniowym przestrzeni dwuwy-
miarowej, v, w ∈ V , to:

det[L(v), L(w)] = det L det[v, w].

Dowód. Niech α będzie bazą przestrzeni V , oraz niech dana będzie macierz L w tej
bazie: M

αα

(L) = [α

]. Niech v = (v

, v

), w = (w

, w

). Wtedy:

det[Lv, Lw] = det

[α

]

= det L det[v, w].

Lemat 2.4.8. Załóżmy, że U jest otwartym, spójnym podzbiorem R

. Funkcje

f, g : U → R są ciągłe. Ponadto rodzina {∆

}

k∈N

podzbiorów U jest ciągiem otwar-

tych, spójnych i ograniczonych otoczeń punktu p. Jeżeli diam ∆

= δ(∆

) → 0,

to:

lim

k→∞

∆

f dx

∆

gdx

f (p)

g(p)

Dowód. Niech m

, M

oznaczają odpowiednio najmniejszą i największą wartość

funkcji f na zbiorze ∆

oraz niech m(A) oznacza miarę Lebesguea zbioru A. Wtedy:

∆

f dx

m(∆

)

∈ [m

, M

] = f (∆

Z twierdzenia o wartości pośredniej (własność Darboux) istnieje x

∈ ∆

takie, że:

∆

f dx

m(∆

)

= f (x

Analogicznie, dla g istnieje y

takie, że: g(y

) =

∆k

gdx

m(∆

)

. Ponieważ δ(∆

) → 0, oraz

p ∈

k∈N

∆

, więc x

→ p i y

→ p, a stąd:

lim

k→∞

∆

f dx

∆

gdx

= lim

k→∞

∆

f dx

m(∆

)

m(∆

)

∆

gdx

= lim

k→∞

f (x

)

g(y

f (p)

g(p)

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

Dowód twierdzenia 2.4.6. Zauważmy, że sgn dn

= sgn K

(p), więc aby udowodnić

twierdzenie, wystarczy sprawdzić, że |K

(p)| = | det(dn

)|. Niech r : D → M będzie

lokalną mapą w otoczeniu punktu p. Niech {D

}

k∈N

będzie ciągiem otwartych, spój-

nych, ograniczonych podzbiorów D takich, że δ(D

) → 0. Wtedy r

−1

(p) ∈

k∈N

Z definicji iloczynu wektorowego |r

× r

| jest polem równoległoboku rozpiętego na

i r

i jest ono równe |det[r

, r

]|.

Zauważmy, że pole n(r(D

) można wyrazić przez całkę:

| det[(n ◦ r)u, (n ◦ r)v]|dudv =

Z Z

| det[dn

(u,v)

), dn

(u,v)

)]|dudv.

Niech f (u, v) = |det[dn

(u,v)

), dn

(u,v)

)]|. Z lematu 2.4.7 wynika:

f (u, v) = det dn

(u,v)

|det[r

, r

]|.

Niech g(u, v) = | det[r

, r

]|.

(p)| = lim

k→∞

pole n(r(D

))

pole r(D

)

= lim

k→∞

f (u, v)dudv

g(u, v)dudv

f (p)

g(p)

= | det dn

2.4.2

Druga forma kwadratowa i przekroje normalne

Definicja 2.4.9 (druga forma kwadratowa). Odwzorowanie, które każdemu punk-
towi p ∈ M przyporządkowuje formę kwadratową:

M 3 x 7→ h−dn

(x), xi ∈ R

nazywamy drugą formą kwadratową.

Poza zdefiniowaną wyżej formą kwadratową, będziemy rozpatrywać też wyzna-

czoną przez nią, formę dwulinową:

Π : T

M × T

M 3 (x, y) 7→ h−dn

(x), yi ∈ R

Definicja 2.4.10 (przekrój normalny). Niech p ∈ M , x ∈ ST

M = {v ∈ T

M :

||v|| = 1}. Niech P

oznacza płaszczyznę rozpiętą na wektorach n(p) oraz x. Prze-

krojem normalnym M w kierunku x nazywamy sparametryzowaną łukowo krzywą
płaską c powstałą w wyniku przecięcia powierzchni M płaszczyzną P

taką, że

= x oraz c(0) = p.

Krzywiznę K

(p) nazywamy krzywizną przekroju normalnego i oznaczamy K

Aby jednoznacznie określić krzywiznę przekroju normalnego należy ustalić orienta-
cję płaszczyzny P

. Jest ona zadana przez dodatnio zorientowaną bazę x, n(p), tzn.

układ x, n(p) ma być reperem Freneta krzywej c w punkcie p.

2.4. KRZYWIZNA POWIERZCHNI

Stwierdzenie 2.4.11. Jeżeli p ∈ M , x ∈ ST

M , to Π(x, x) = K

Dowód. Niech c oznacza przekrój normalny w kierunku x taki, że c(0) = p. Wówczas
c

(0) = x. Ponieważ c leży na M więc hc

, n ◦ ci = 0. Różniczkując ostatnią równość

otrzymujemy:

(0), (n ◦ c)(0)i + hc

(0), (n ◦ c)

(0)i = 0

Ponieważ K

= hc

(0), (n ◦ c)(0)i, mamy:

= −hc

(0),

d(n ◦ c)

(0)i = −hc

(0), dn

(

(0))i = Π(c

(0), c

(0)) = Π(x, x)

Definicja 2.4.12 (przekształcenie samosprzężone). Niech V dowolna przestrzeń z
iloczynem sklaranym, oraz A : V → V pewien operator. Przez A

oznaczmy taki

operator, że: A

: V → V oraz ∀

x,y∈V

hAx, yi = hx, A

yi. Jeśli A = A

, to mówimy,

że A jest operatorem (przekształceniem) samosprzężonym.

Fakt 2.4.13. Jeśli A : V → V odwzorowanie liniowe, samosprzężone, posiada dwie
wartości własne λ

, λ

oraz v

, v

są wektorami własnymi odpowiadającymi tym war-

tościom własnym, to hv

, v

i = 0.

Dowód. Odwzorowanie A jest samosprzężone, więc hAv

, v

i = hv

, Av

i. Z definicji

= λ

, czyli mamy hλ

, v

i = hv

, λ

i. Stąd

, v

i = hv

, v

i, co znaczy,

że albo λ

= λ

, albo hv

, v

i = 0, ale pierwsza możliwość jest wykluczona, bo

zakładamy λ

6= λ

Stwierdzenie 2.4.14. a) Niech U 3 (x

, x

) 7→ r(x

, x

) ∈ M będzie lokalną pa-

rametryzacją M , p ∈ M . Niech N : U

−

→ M

−

→ S

,→ R

i α = (r

, r

) będzie

bazą T

r(x

)

M . Ponadto oznaczmy przez M

(Π) macierz Π w bazie α. Wówczas

(Π) ma postać:

(Π) = [hN , r

i].

b) Π : T

M × T

M → R jest formą dwuliniową symetryczną.

c) dn

: T

M → T

M jest przekształceniem samosprzężonym.

Dowód. a) Ponieważ wektory r

i r

są wektorami stycznymi, a wartości N są

wektorami normalnymi, więc hN , r

i = 0 dla j = 1, 2. Stąd:

0 =

∂

∂x

hN , r

i = hN

, r

i + hN , r

Zatem:

hN , r

i = −hN

, r

i = −hdn(r

), r

i = Π(r

, r

b) Ponieważ r

= r

, więc z punktu poprzedniego: Π(r

, r

) = Π(r

, r

Liniowość wynika natomiast z liniowości pochodnej.

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

c) Niech v, w ∈ T

r(x

)

M , p = r(x

, x

hdn

(v), wi = −Π(v, w) = −Π(w, v) = hdn

(w), vi = hv, dn

(w)i.

Uwaga 2.4.15. a) Odwzorowanie N : U → R

opisane w poprzednim twierdzeniu,

nazywa się odwzorowaniem Weingartena.

b) Tradycyjnie przyjmuje się oznaczenia (pochodzą one od Gaussa): L = hN , r

N = hN , r

i, M = hN , r

i. Przy powyższych oznaczeniach macierz drugiej

formy kwadratowej ma postać:

Definicja 2.4.16 (krzywizny, wektory i kierunki główne). Niech M powierzchnia,
p ∈ M . Liczby K

= min

y∈ST

, K

= max

y∈ST

nazywamy krzywiznami

głównymi powierzchni M w punkcie p. Wektory v

, v

∈ ST

M takie, że K

= K

nazywamy wektorami głównymi, a kierunki wyznaczone przez te wektory nazywamy
kierunkami głównymi.

Definicja 2.4.17 (krzywizna średnia). Liczbę H =

1
2

+ K

) nazywamy krzywi-

zną średnią powierzchni M w punkcie p.

Twierdzenie 2.4.18. a) Krzywizny główne K

i K

są wartościami własnymi od-

wzorowania −dn

: T

M → T

M , a wektory główne są unormowanymi wektora-

mi własnymi.

b) Zachodzi równość K

(p) = K

c) Jeśli y ∈ ST

M i układ y

, y

jest bazą ortonormalną wektorów głównych, oraz

ϕ = ^(y, y

), to: K

= K

cos

ϕ + K

sin

ϕ.

Dowód. Niech λ

¬ λ

to wartości własne przekształcenia samosprzężonego −dn

oraz y

, y

wektory własne odpowiadające tym wartościom własnym. Ponieważ −dn

jest samosprzężone, więc y

, y

są ortogonalne. Możemy więc zakładać, że są one

ortonormalne. Niech y ∈ ST

M , oraz a

= hy, y

i. Wtedy oczywiście y = a

Ponieważ y ∈ ST

M , mamy:

|y|

= 1 =

i,j=1

2
i

, y

i = a

2
1

+ a

2
2

A stąd:

= Π(y, y) = Π(a

+ a

, a

+ a

) =

i,j=1

h−dn

, y

i =

i,j=1

hλ

, y

i = a

2
1

+ a

2
2

2.4. KRZYWIZNA POWIERZCHNI

Z powyższego wzoru i definicji K

wynika w szczególności: K

= λ

, oraz K

max(λ

)(a

2
1

2
2

) = λ

= K

, K

min(λ

)(a

2
1

2
2

) = λ

= K

. Czyli rzeczywiście:

zdefiniowane jako λ

spełniają definicję 2.4.16, co kończy dowód a).

Macierz −dn

w bazie y

, y

ma postać:

. Korzystając z twierdzenia

2.4.6, dostajemy natychmiast K

(p) = K

, co kończy dowód b).

Niech ϕ =

^(y, y

). Wiemy, że

^(y

, y

) =

, stąd:

^(y, y

) =

− ϕ. Z wzoru

cos

^(x, y) =

hx,yi
|x||y|

i z faktu, że |y| = |y

| = |y

| = 1 mamy: hy, y

i = cos(

− ϕ) =

sin ϕ. Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami: y = hy, y

+ hy, y

= cos ϕy

sin ϕy

. Ponieważ K

= a

2
1

+ a

2
2

, mamy natychmiast: K

= cos

ϕK

sin

ϕK

2.4.3

Lokalny układ współrzędnych

Twierdzenie 2.4.19. Niech M będzie pewną powierzchnią, p ∈ M oraz niech r
będzie parametryzacją pewnego otoczenia p. Niech [g

] i [l

] oznaczają odpowiednio

macierze pierwszej i drugiej formy kwadratowej w bazie x

∂

∂x

, x

∂

∂x

. Wtedy:

(i) K

(p) =

det[Π(x

)]

det[hx

det[l

]

det[g

]

(ii) w = |r

× r

| =

det[g

], l

× r

, r

i =

det[r

, r

(iii) niech f : R

→ R klasy C

i niech powierzchnia M dana jest wzorem M =

{(x

, x

) ∈ R

: x

= f (x

, x

)}, oraz Λ =

1 + f

+ f

, wtedy:

det[f

]

Dowód. Niech β = (y

, y

) będzie bazą ortonormalną w T

M , składającą się z wek-

torów własnych operatora −dn

. Z poprzedniego twierdzenia wiemy, że są to też

wektory główne. Dla dowolnego k = 1, 2 zachodzi oczywiście:

= hx

, y

+ hx

, y

(?)

Ponadto Π(y

, y

) = h−dn

), y

i = K

, y

i = K

. Wiemy już z poprzed-

nich rozważań, że: det[Π(y

, y

)] = K

(p). Niech M

(Π) = [Π(x

, x

)], M

(Π) =

[Π(y

, y

)] będą macierzami Π w bazach α = (x

, x

) i β = (y

, y

). Zgodnie z wzo-

rem (?) macierz C = [hx

, y

jest macierzą przejścia z bazy α do β. Stąd

det M

(Π) = det(CM

(Π)C

) = K

(p) det C

(??)

Podobnie dla pierwszej formy kwadratowej (którą oznaczamy przez I):

det M

(I) = det[hx

, x

i] = det[hy

, y

i] det C

= det C

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

Z wzoru (??) mamy: K

(p) =

det[Π(x

)]

det C

det[Π(x

)]

det[hx

co kończy dowód punktu (i).

Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego oraz elementów g

, mamy równości:

w = |r

× r

| =

det[g

] =

| det[hr

, r

i]|. Ponieważ odwzorowanie sferyczne

wyraża się wzorem: n(u, v) =

×r

, odwzorowanie Weingartena spełnia:

N = |r

× r

−1

× r

) = w

−1

× r

Pokazaliśmy wcześniej, że l

= hN , r

i, wobec czego:

× r

, r

i =

det[r

, r

co kończy dowód punktu (ii).

Policzmy teraz pochodne r

i r

= (1, 0, f

), r

= (0, 1, f

), r

= (0, 0, f

)

Zgodnie ze wzorem na N , mamy:

N =

× r

)

× r

(−f

, −f

, 1)

|(−f

, −f

, 1)|

= Λ

−1

, f

, 1).

Podstawiając ten wynik do wzoru na l

otrzymujemy:

= hN , r

i = Λ

−1

h(−f

, −f

, 1), (0, 0, f

)i = Λ

−1

Korzystając teraz ze wzoru g

= hr

, r

i uzyskujemy:

det[g

] = det

1 + f

= (1 + f

)(1 + f

) − f

Podstawiając otrzymane wyniki do wzoru na K

z punktu (i) otrzymujemy:

det[l

]

det[g

]

−2

det[f

]

det[f

]

Uwaga 2.4.20. Jeśli przyjmiemy tradycyjne oznaczenia macierzy pierwszej i dru-

giej formy kwadratowej, odpowiednio:

, wzór na krzywiznę ma

postać:

LN − M

EF − G

2.5. TWIERDZENIE EGREGIUM

gdzie

E = hr

, r

i, F = hr

, r

i, G = hr

, r

L =

× r

, r

i =

det[r

, r

M =

× r

, r

i =

det[r

, r

N =

× r

, r

i =

det[r

, r

w = |r

× r

| =

√

EG − F

Przykład 2.4.21 (płaszczyzna z ujemną krzywizną). Płaszczyzna M zadana jest
równaniem z = x

− y

, czyli f (x, y) = x

− y

, a dowolny punkt powierzchni ma

współrzędne (x, y, x

− y

). Wtedy f

= 2, f

= −2, f

= 0 i mamy:

det

0 −2

√

1 + 4x

+ 4y

−4

√

1 + 4x

+ 4y

< 0

2.5

Twierdzenie Egregium

Definicja 2.5.1 (dyfeomorfizm). Odwzorowanie gładkie nazywamy dyfeomorfi-
zmem o ile jest bijekcją i odwzorowanie odwrotne jest również gładkie.

Definicja 2.5.2 (izomorfizm). Niech M, N powierzchnie z metrykami Riemanna
h, i

i h, i

. Dyfeomorfizm f : M → N nazywamy izometrią jeżeli:

∀

p∈M

∀

v,w∈T

hdf

(v), df

(w)i

= hv, wi

Fakt 2.5.3. Dla izomorfizmów f : R

→ R

następujące warunki są równoważne:

(i) ∀

x,y∈R

d(f (x), f (y)) = d(x, y), gdzie d to metryka Euklidesowa,

(ii) dla każdej krzywej różniczkowalnej c : I → R

zachodzi: L(c) = L(f ◦ c),

(iii) ∀

x∈R

∀

v,w∈T

hdf

(v), df

(w)i = hv, wi.

Twierdzenie 2.5.4 (egregium, Gauss, 1828). Niech M, N powierzchnie. Jeżeli
f : M → N jest izometrią, to ∀

p∈M

(p) = K

(f (p)).

Twierdzenie egregium udowodnimy w nieco innej wersji. Aby ją sformułować,

wprowadzimy najpierw kilka definicji. Niech [g

] i [h

] to macierze odpowiednio

pierwszej i drugiej formy kwadratowej pewnej powierzchni M . Przez [g

] oznaczamy

macierz odwrotną do [g

]. Symbol g

ij,k

oznacza pochodną względem zmiennej k z

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

Definicja 2.5.5 (tensor krzywizny). Tensor krzywizny powierzchni M jest zbiorem
funkcji:

iljk

m
ijk

1 ¬ i, j, k, l ¬ 2

gdzie:

m
ijk

= Γ

m
ij,k

− Γ

m
ik,j

(Γ

l
ij

m
lk

− Γ

l
ik

m
ij

)

1 ¬ i, j, k, m ¬ 2

Rozważmy powierzchnię M sparametryzowaną przez funkcję f : R

→ R

. Niech

u ∈ R

, wtedy p = f (u) jest pewnym punktem powierzchni M , a na punkt u może-

my patrzeć jak na lokalne współrzędne punktu p. Wektory f

(u), f

(u), n(u) stano-

wią bazę przestrzeni R

, przy czym przez f

(u) rozumiemy wektory styczne do M

w punkcie p, wyznaczone za pomocą i-tej pochodnej cząstkowej f , natomiast wek-
tor n(u) to wektor normalny zaczepiony w p. Wektory f

, f

wyznaczają przestrzeń

styczną do M w p.

Twierdzenie 2.5.6 (egregium). Przy powyższych założeniach i oznaczeniach, za-
chodzi wzór:

(u) =

1212

(u)

det[g

(u)]

Zanim podamy dowód twierdzenia egregium udowodnimy kilka faktów pomoc-

niczych.

Fakt 2.5.7. Zachodzą następujące wzory:

(u) =

l
ik

(u)f

(u) + h

(u)n(u),

(u) = −

l,k

(u),

gdzie:

l
ik

, f

i =

ij,k

+ g

jk,i

− g

ki,j

Uwaga 2.5.8. Zakładamy, że wektory f

, f

, n stanowią układ ortonormalny.

Dowód. Z algebry liniowej wiadomo, że:

= f

l
ik

+ a

przy czym a

= hn, f

i = h

. Obie strony powyższej równości pomnóżmy skalarnie

przez f

, f

i = h

l
ik

, f

i =

l
ik

= [Γ

l
ik

][g

]

Stąd mamy:

l
ik

, f

i = Γ

l
ki

2.5. TWIERDZENIE EGREGIUM

Ponieważ g

ij,k

= hf

, f

, to z uzyskanych wyżej wzorów (i z wzoru na pochodną

iloczynu skalarnego) mamy:

ij,k

= hf

, f

i + hf

, f

i =

l
ik

l
jk

(α)

ki,j

l
kj

l
ij

(β)

jk,i

l
ji

l
ki

(γ)

Policzmy teraz (α) − (β) + (γ):

l
ik

l
jk

−

l
kj

−

l
ij

l
ji

l
ki

= 2

l
ik

A stąd:

l
ik

, f

i =

ij,k

+ g

jk,i

− g

ki,j

)

Twierdzenie 2.5.9. Równości f

ijk

= f

ikj

oraz n

= n

są równoważne następu-

jącym zależnościom między g

, h

, g

ik,l

oraz Γ

k
ij,l

(i) Γ

m
ij,k

− Γ

m
ik,j

(Γ

l
ij

m
lk

− Γ

l
ik

m
lj

) =

− h

(ii)

l
ij

−

l
ik

+ h

ij,k

− h

ik,j

= 0.

Równania (i) nazywa się równaniami Gaussa, natomiast równania (ii) nazywa się
równaniami Codazzi–Mainardiego.

Dowód. Niech f

ijk

m
ijk

+ B

ijk

n. Na mocy faktu 2.5.7, możemy wyrazić

m
ijk

jako

m
ijk

= Γ

m
ij,k

l
ij

m
lk

−

Z założenia f

ijk

= f

ikj

, więc A

m
ijk

= A

m
ikj

, skąd natychmiast (wystarczy zapisać

wzory na A

m
ijk

i A

m
ikj

i przenieść niektóre składniki na drugą stronę w równaniu

m
ijk

= A

m
ikj

) otrzymujemy (i).

Ponownie, korzystając z faktu 2.5.7 możemy napisać:

ijk

l
ij

+ h

ij,k

Ponieważ B

ijk

= B

ikj

, to zachodzi (ii).

Fakt 2.5.7 daje wzór na f

, który trzeba zróżniczkować względem k-tej współrzędnej, a następ-

nie skorzystać z wzoru na n

i ostatecznie napisać wzór na współczynnik przy f

dla ustalonego

m. Jest to techniczny „szczegół”, który pomijamy w tym opracowaniu.

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

Lemat 2.5.10. Tensory krzywizny R

iljk

spełniają:

iljk

= h

− h

Uwaga 2.5.11. Będziemy wykorzystywać jedynie fakt:

1212

= det[h

który jest wnioskiem z powyższego lematu.

Dowód. Z definicji:

iljk

m
ijk

m
ij,k

− Γ

m
ik,j

(Γ

l
ij

m
lk

− Γ

l
ik

m
lj

)

Stosujemy teraz punkt (i) z poprzedniego twierdzenia:

− h

(?)

Z definicji [g

] jako macierzy odwrotnej do [g

], mamy:

+ g







gdy l = 1

gdy l = 2

+ g







gdy l = 1

gdy l = 2

Rozpisując sumę z wzoru (?) i grupując odpowiednio składniki, oraz stosując po-
wyższe zależności, otrzymujemy tezę lematu.

Dowód twierdzenia egregium. Zauważmy, że dowód powyższego lematu jest właści-
wie dowodem twierdzenia egregium. Z twierdzenia 2.4.19 mamy bowiem:

det[h

]

det[g

]

a z lematu det[h

] = R

1212

, czyli rzeczywiście:

1212

det[g

]

2.6. TWIERDZENIE GAUSSA–BONNETA

2.6

Twierdzenie Gaussa–Bonneta

Twierdzenie 2.6.1 (elegantissimus Gaussa). Niech D będzie trójkątem geodezyj-
nym, α

, i = 1, 2, 3 jego kątami zewnętrznymi, a β

= π − α

. Wtedy:

i=1

= π +

Z Z

Kdσ.

Definicja 2.6.2 (defekt trójkata geodezyjnego). Liczbę π −

3
i=1

nazywamy de-

fektem trójkąta geodezyjnego.

Twierdzenie 2.6.1 jest szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego twierdzenia

Gaussa–Bonneta.

Twierdzenie 2.6.3 (Gaussa–Bonneta, 1848). Jeżeli D jest podzbiorem dwuwymia-
rowej rozmaitości, ograniczonym łamaną geodezyjną γ = γ

∪γ

∪. . .∪γ

, a α

, . . . , α

to kąty zewnętrzne D, to:

Z Z

Kdσ +

j=1

= 2π

Istnieje również tzw. globalna wersja tego twierdzenia. Aby ją sformułować na-

leży wprowadzić pojęcie triangulacji powierzchni. Okazuje się (czego nie udowod-
nimy), że dowolną powierzchnię M można przedstawić jako sumę (pokryć sumą)
trójkątów krzywoliniowch, takich, że część wspólna każdych dwóch z nich to: zbiór
pusty, pojedynczy wierzchołek lub krawędź.

Definicja 2.6.4 (charakterystyka Eulera). Niech M powierzchnia z wprowadzoną
triangulacją. Wtedy liczbę:

χ(M ) = liczba wierzchołków − liczba krawędzi + liczba trójkątów

nazywamy charakterystyką Eulera powierzchni M .

Uwaga 2.6.5. Liczba χ(M ) jest niezmiennikiem topologicznym.

Twierdzenie 2.6.6 (Gaussa–Bonneta (globalne)). Niech M powierzchnia. Wtedy:

Z Z

Kdσ = 2πχ(M ).

Twierdzenie 2.6.7 (Harriot, 1603). Dla dowolnego trójkąta na sferze o kątach
α, βγ, funkcja f (α, β, γ) = α + β + γ − π jest proporcjonalna do powierzchni trójkąta
i stąd niezerowa.

Dowód.

1. Pole sektora kąta α pomiędzy dwoma kołami wielkimi sfery wynosi

2π

powierzchni całej sfery S

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

2. Pole jest niezmiennikiem izometrii.

3. Pole jest funkcją addytywną, tzn. P (∆

+ ∆

) = P (∆

) + P (∆

4. Niech ∆

αβγ

będzie dowolnym trójkątem na S

. Przedłużając boki tego trójkąta

do kół wielkich, otrzymujemy podział S

na 8 trójkątów. Niech ∆

, ∆

i ∆

oznaczają odpowiednio trójkąty przylegające do jednego z wierzchołków ∆

αβγ

przy odpowiednim kącie. Wówczas na mocy punktu 1 mamy:

P (∆

αβγ

) + P (∆

) =

2π

P (S

P (∆

αβγ

) + P (∆

) =

2π

P (S

P (∆

αβγ

) + P (∆

)

2π

P (S

A stąd wynika, że:

3P (∆

αβγ

) + P (∆

) =

α + β + γ

2π

P (S

)

(?).

Cztery trójkąty ∆

αβγ

, ∆

są izomroficzne z czterema pozostałymi

trójkątami powstałymi w kroku 4. Z punktu 2 mamy więc, że:

P (∆

αβγ

) + P (∆

) =

P (S

)

(??).

Z równości (?) i (??) wynika:

3P (∆

αβγ

) − P (∆

αβγ

) +

P (S

) =

α + β + γ

2π

P (S

A stąd:

2P (∆

αβγ

) =

P (S

)

α + β + γ

− 1

2P (∆

αβγ

) =

2π

P (S

) (α + β + γ − π) .

Czyli mamy:

P (∆

αβγ

) =

4π

P (S

)f (α, β, γ).

2.6.1

Płaszczyzna hiperboliczna

W drodze do dowodu twierdzenia Gaussa–Bonneta, które sformułowano na począt-
ku tego rozdziału, przyjrzymy się bliżej trójkątom na płaszczyźnie hiperbolicznej,
która w pewnym sensie będzie ilustracją zagadnień, którymi się tu zajmujemy.

Płaszczyznę hiperboliczną będziemy oznaczać przez H

. Jako zbiór jest to po

prostu część płaszczyzny R

, a mianowicie: H

= {(x, y) ∈ R

: y > 0}. Metryka

Riemanna na powierzchni hiperbolicznej określona jest w następujący sposób:

h, i

(x,y)

2
x

+ d

2
y

2.6. TWIERDZENIE GAUSSA–BONNETA

Macierz pierwszej formy kwadratowej ma postać:

] =

Powierzchnia hiperboliczna ma stałą krzywiznę równą −1.

Geodezyjne na płaszczyźnie hiperbolicznej.

Aby scharakteryzować geode-

zyjne na płaszczyźnie hiperbolicznej, rozwiążemy równania różniczkowe geodezyj-
nych, opisane w podrozdziale 2.3.1:







2
i,j=1

1
ij

= 0

2
i,j=1

2
ij

= 0

Wyliczymy najpierw Γ

k
ij

. Ponieważ g

= δ

, to mamy (z wzoru na Γ

k
ij

ik,j

+ g

jk,i

− g

ij,k

) =







kk,i

gdy j = k

−g

ii,k

gdy j = i, k 6= i

Co daje nam wzory:

2
11

(−g

11,2

) =

−1

1
12

= Γ

1
21

= Γ

2
22

−2y

−1

a pozostałe Γ

k
ij

= 0. Otrzymane wyniki wstawiamy do rozpatrywanych równań

różniczkowych:







−

2
y

= 0

1
y

−

1
y

= 0

Zamiast pisać x

, x

będziemy dalej używać standardowych oznaczeń na zmienne

x, y. Nasze równania mają postać:







2
y

1
y

−

1
y

Aby rozwiązać ten układ równań zastosujemy podstawienie:

p =

co daje nam:

= p

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

Powyższą równość różniczkujemy obustronnie po t:

+ p

Ponieważ

dp
dy

, to mamy:

+ p

Podstawiając powyższe do pierwszego równania naszego układu równań, mamy:

+ p

Teraz podstawiamy drugie równanie z układu równań za

+ p





−





Z definicji p mamy:

−

Otrzymane równanie dzielimy obustronnie przez

i otrzymujemy:

−

p + p

Otrzymane równanie możemy obustronnie scałkować:

p + p

co daje nam:

ln p − ln

+ 1 = ln y + c,

c ∈ R,

√

+ 1

= ln c

∈ R.

2.6. TWIERDZENIE GAUSSA–BONNETA

Z różnowartościowości funkcji logarytm mamy, że:

√

+ 1

= c

+ 1

= c

2
1

= c

2
1

+ 1)

(1 − c

2
1

) = c

2
1

Zakładamy, że y 6=

i dzielimy obustronnie przez (1 − c

2
1

1 − c

p =

1 − c

Z definicji p, mamy więc, że:

1 − c

Rozważmy dwa przypadki. Przypadek 1, gdy c

= 0, wtedy

dx
dy

= 0, czyli x = a,

a ∈ R. Przypadek 2, gdy c

6= 0. Podstawmy wtedy c

1
a

, gdzie a ∈ R

. Wtedy:

y
a

1 −

y
a

Stąd mamy:

dx =

y
a

1 −

y
a

dy,

co możemy obustronnie scałkować:

dx =

y
a

1 −

y
a

i stąd:

x = −

− y

+ b,

b ∈ R

(x − b)

= a

− y

(x − b)

+ y

= a

Wniosek 2.6.8. Geodezyjne w H

to albo półproste {(a, y) : y > 0, a ∈ R ustalone},

albo górne półokręgi ze środkiem na osi OX.

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

Trójkąty asymptotyczne.

Zajmiemy się teraz trójkątami asymptotycznymi, czy-

li takimi, których jeden kąt wewnętrzny wynosi 0.

Twierdzenie 2.6.9. Pole trójkąta asymptotycznego ∆

αβ

o kątach α, β jest równe

π − (α + β).

Dowód. Niech λ = cos(π − α), µ = cos(β).

P (∆

αβ

) =

Z Z

∆

αβ

dxdy

∞

√

1−x

√

1 − x

Stosujemy podstawienie x = cos θ:

π−α

− sin θ

sin θ

dθ =

π−α

−1 dθ = −β + π − α = π − α − β.

Wniosek 2.6.10. Pole ∆

αβγ

jest równe π − (α + β + γ) < π.

2.6.2

Współrzędne geodezyjne

Definicja 2.6.11 (pole wektorowe wzdłuż krzywej). Niech M powierzchnia, c : I →
M pewna krzywa. Funkcję gładką, która każdemu punktowi t ∈ I przyporządkowuje
wektor v(t) ∈ T

c(t)

M nazywamy polem wektorowym określonym wzdłuż c. Zbiór pól

wektorowych określonych wzdłuż c oznaczać będziemy X

Przykład 2.6.12. Najbardziej naturalnym polem wektorowym wzdłuż krzywej róż-
niczkowalnej jest:

t 7→ c

(t),

czyli pole wektorów stycznych do c.

Definicja 2.6.13 (pochodna kowariantna). Niech X ∈ X

oraz niech projekcja

c(t)

: R

→ T

c(t)

M jest rzutem ortogonalnym. Wtedy wektor:

(t) = pr

c(t)

(t),

nazywamy pochodną kowariantną pola X w punkcie c(t).

Twierdzenie 2.6.14. Jeżeli krzywa u jest gładka, X, Y ∈ X

, a, b ∈ R, funkcja

f : M → R jest klasy C

∞

, to pochodna kowariantna ma następujące własności:

(i)

D(aX+bY )

= a

+ b

(ii)

D(f X)

df
dt

X + f

(iii)

hX, Y i = h

, Y i + hX,

2.6. TWIERDZENIE GAUSSA–BONNETA

Dowód. Punkt (i) wynika wprost z liniowości pochodnej i rzutowania. Przejdźmy
do dowodu (ii). Z definicji:

D(f X)

= pr

d(f X)

Zgodnie z wzorem na pochodną iloczynu, mamy:

= pr

X + f

Co z liniowości projekcji ortogonalnej równe jest:

= pr

+ pr

Ponieważ

df
dt

X jest elementem T

u(t)

M , mamy:

X + f

W ten sposób udowodniliśmy punkt (ii). Przejdźmy do dowodu (iii). Zauważmy po
pierwsze, że:

hX, Y i = h

, Y i + hX,

Wektor

można zapisać jako:

= pr

u(t)

+ V,

gdzie V to wektor normalny do T

u(t)

M . Stąd:

, Y i = h

, Y i + hV, Y i

}

Analogicznie pokazujemy, że hX,

i = hX,

i, co w rezultacie daje punkt (iii).

Definicja 2.6.15 (pole wektorowe równoległe). Pole wektorowe X ∈ X

jest rów-

noległe, jeżeli

= 0 dla każdego t ∈ I.

Uwaga 2.6.16. Jeżeli pola X, Y są równoległe, to:

hX, Y i = h

, Y i + hX,

i = 0,

stąd hX, Y i = const. W szczególności więc, pola równoległe mają stałą długość.
Stały jest też kąt między nimi.

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

Lemat 2.6.17. Przypuśćmy, że M to powierzchnia sparametryzowana tak, że g

0. Wtedy g

oraz Γ

k
ik

kk,i

Dowód lematu wynika wprost z wcześniejszych rozważań (z poprzednich pod-

rozdziałów).

Twierdzenie 2.6.18. Krzywa c(t) jest geodezyjną o ile pochodna kowariantna pola
wektorów stycznych jest równa zero.

Twierdzenie 2.6.19 (istnienie ortogonalnych współrzędnych geodezyjnych). Niech
c(s) będzie krzywą na powierzchni M . Ustalmy s

∈ I, takie, że c

) 6= 0. Istnieje

zamiana zmiennych (map) φ : U → V

⊂ M , gdzie V

jest otwartym otoczeniem

c(s

), taka, że spełnione są poniższe warunki.

(i) c(s) = φ(u

(s), u

(s)) dla |s − s

| dostatecznie małych, ma parametryzację

= 0, u

= s.

(ii) Krzywe u

= const są geodezyjnymi sparametryzowanymi przez długość łuku.

Krzywe u

= const przecinają się z nimi ortogonalnie.

(iii) Parametryzacja u = (u

, u

) jest ortogonalnym układem współrzędnych dla φ,

tzn. g

= 0, g

= 1, g

> 0.

Odwrotnie, jeżeli macierz pierwszej formy kwadratowej ma postać

0 g

, to punkt

(ii) jest prawdziwy.

Definicja 2.6.20 (współrzędne geodezyjne). Współrzędne spełniające warunki (i),
(ii) z powyższego twierdzenia nazywamy współrzędnymi geodezyjnymi.

Twierdzenie 2.6.21. Niech powierzchnia M ma współrzędne geodezyjne. Wtedy
geodezyjna dana wzorem:

c = {c(t) = f (t, u

) : t

¬ t ¬ t

}

jest krótsza od każdej krzywej b = {b(s) = f (x(s), y(s)) : s

¬ s ¬ s

} prowadzącej

z punktu p

= f (t

, u

2
0

) do p

= f (t

, u

2
0

). Innymi słowy: L(b)  L(c).

Dowód.

L(b) =

(s))

+ g

(x(s), y(s))y

(s)

ds 

(s)| ds

 x(s

) − x(s

) = t

− t

= L(c).

Twierdzenie 2.6.22 (Levi–Civita). Niech U , c = ∂S, będą kolejno mapą na po-
wierzchni M , obszarem i jego brzegiem, przy czym c : I = [0, α] → M jest para-
metryzacją ∂S. Niech p ∈ ∂S, oraz niech c jest krzywą gładką, zamkniętą. Niech
ρ(0) ∈ T

M takie, że |ρ(0)| = 1, oraz ρ(t) = ζ

(ρ(0)) będzie przesunięciem po

równoległym polu wektorowym wzdłuż c. Jeśli c leży w U i ogranicza obszar home-
omorficzny kołu, to kąt pomiędzy ρ(0) a ρ(α) jest równy:

Kds.

2.6. TWIERDZENIE GAUSSA–BONNETA

Definicja 2.6.23 (krzywizna geodezyjna). Niech M powierzchnia, c krzywa na M ,
oraz niech e

(t), e

(t) pola wektorowe wyznaczające reper Freneta wzdłuż c. Wtedy

krzywizną geodezyjną w punkcie c(t) nazywamy liczbę:

(t) = h

(t), e

(t)i,

gdzie iloczyn skalarny liczony jest zgodnie z metryką Riemanna w punkcie c(t).

2.6.3

Dowód twierdzenia Gaussa–Bonneta

Przejdziemy teraz do dowodu twierdzenia Gaussa–Bonneta. Udowodnimy je w nieco
ogólniejszej postaci niż ta, która została podana wcześniej, a mianowicie:

Twierdzenie 2.6.24 (Gaussa–Bonneta, 1848). Niech M powierzchnia, F wielokąt
geodezyjny ograniczający obszar w M , α

kąty zewnętrzne F , P : F → M pewne

odwzorowanie. Wtedy:

Z Z

K dM +

∂P

dt +

= 2π.

Zanim rozpoczniemy dowód, wprowadzimy kilka oznaczeń i wyprowadzimy kilka

dodatkowych faktów. Zakładamy, że w M mamy współrzędne geodezyjne (x, y),

macierz pierwszej formy kwadratowej ma postać:

1 0
0 g

, oraz:

∂

∂x

√

∂

∂y

Lemat 2.6.25. Jeśli c : [a, b] → R

jest krzywą regulrną, oraz e

(t), e

(t) stanowią

układ Freneta dla tej krzywej, to istnieje funkcja θ : [a, b] → R, taka, że:

(t) = (cos θ(t), sin θ(t)),

oraz różnica θ(b) − θ(a) nie zależy od wyboru θ.

Dowód. Podzielmy przedział [a, b] na podprzedziały:

a = t

< t

< . . . < t

= b

tak, że e

k−1

]

⊂ S

. Jest to możliwe ponieważ e

(t) ciągła. Niech θ(a) będzie

takie, że e

(a) = (cos θ(a), sin θ(a)). Z ciągłości e

(t) możemy określić θ na [t

, t

Następnie poprzez indukcję możemy rozszerzać θ na kolejnych przedziałach [t

j−1

, t

korzystając wciąż z ciągłości.

Przypuśćmy, że mamy dwa odwzorowania θ i φ spełniające warunki lematu.

Wtedy φ(t) − θ(t) = 2πk(t), gdzie k(t) ∈ Z i k funkcja ciągła, co jest możliwe tylko,
gdy k stała. Stąd φ(a) − θ(a) = φ(b) − θ(b), co daje natychmiast, że:

θ(b) − θ(a) = φ(b) − φ(a).

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

Z powyższego lematu i definicji E

wynika:

(t) = cos θ(t)E

+ sin θ(t)E

(t) = − sin θ(t)E

+ cos θ(t)E

Lemat 2.6.26. Przy powyższych oznaczeniach i założeniach, zachodzi wzór:

(t) = ˙

θ(t) +

√

(t)

Dowód. Wiadomo, że: hE

, E

i = δ

. Różniczkując tą równość i stosując twierdze-

nie 2.6.14, otrzymujemy:

, E

i + hE

i = 0,

co oznacza, że w szczególności jest spełnione: h

, E

i = −h

, E

Z poprzedniego lematu oraz twierdzenia 2.6.14, mamy:

D(cos θ(t)E

+ sin θ(t)E

)

D(cos θ(t)E

)

D(sin θ(t)E

)

= − sin θ(t)E

θ(t) + cos θ(t)

+ cos θ(t)E

θ(t) + sin θ(t)

Wykorzystując powższe zależności wyliczymy teraz k

zgodnie z definicją:

, e

i = h ˙θ(t)(− sin θ(t)E

+ cos θ(t)E

), e

i + hcos θ(t)

+ sin θ(t)

, e

= ˙

θ(t) − cos θ(t) sin θ(t)hE

i + cos

θ(t)h

, E

− sin

θ(t)h

, E

i + sin θ(t) cos θ(t)h

, E

= ˙

θ(t) + cos

θ(t)h

, E

i − sin

θ(t)h

, E

= ˙

θ(t) + (cos

θ(t) + sin

θ(t))h

, E

= ˙

θ(t) + h

, E

i = ˙θ(t) +

√

(t)

Twierdzenie 2.6.27 (o dywergencji). Niech M zorientowana powierzchnia z me-
tryką Riemanna, X pole wektorowe na M , F wielokąt w M , P : F → M . Wtedy:

Z Z

(div X) dM =

∂P

dM,

gdzie: X = ξ

+ ξ

, div X =

√

∂

∂x

√

gξ

, i

dM = −ξ

√

gdx

+ ξ

√

gdx

Dowód twierdzenia Gaussa–Bonneta. Wcześniej pokazaliśmy, że:

K =

1212

det[g

]

−

√

Niech X =

−

√

, wtedy mamy dalej:

K =

√

∂

∂x

√

−

√

∂

∂x

· 0

= div X.

Z twierdzenia o dywergencji (ξ

= 0), mamy:

K dM =

∂P

√

gξ

−

√

gξ

= −

∂P

√

Zakładamy, że możemy łukowo sparametryzować i dodatnio zorientować brzeg ∂P .
Niech u(t) = (u

(t), u

(t)) będzie taką właśnie parametryzacją. Niech I

= [a

, b

]

będzie podziałem dziedziny powyższej parametryzacji takim, że parametryzacja ta
jest gładka na każdym z tych odcinków. Z lematu 2.6.26 mamy:

−

∂P

√

θ(t)dt −

(t)dt

Lemat 2.6.28.

θ(t)dt +

= 2π

Lemat podajemy bez dowodu. Mamy teraz:

Z Z

K dM = −

∂P

√

θ(t)dt −

(t)dt

No a stąd dostajemy:

K dM +

(t) dt = 2π −

co natychmiast daje tezę twierdzenia.

Bibliografia

Większość tekstu została napisana w oparciu o notatki z wykładu dr. hab. Andrzeja
Szczepńskiego, prof. UG, który odbywał się w semestrze letnim roku akademickie-
go 2006/2007 na Uniwersytecie Gdańskim. Dodatkowo, niektóre fragmenty zostały
rozbudowane na podstawie poniższych źródeł.

1. M. Sadowski – Geometria różniczkowa, Gdańsk, 1998.

2. W. Klingenberg – A course in differential geometry, Nowy Jork, 1978.

3. J. Oprea – Geometria różniczkowa i jej zastosowania, Warszawa 2002.

W internecie można też znaleźć inne opracowania wykładów z Geometrii Róż-

niczkowej z różnych uczelni. Poniżej zebrano najciekawszych z nich. Wszystkie po-
dane odnośniki działały poprawnie dnia 14 czerwca 2007.

1. A. Altland – Differential Geometry

http://www.thp.uni-koeln.de/alexal/PDF_DOCUMENTS/diff_geo.pdf

2. A. Białynicki-Birula – Geometria różniczkowa II

http://www.mimuw.edu.pl/~bbirula/matdyd/g_roz99_00/wyk1.pdf

3. B. Csikós – Differential Geometry

http://www.cs.elte.hu/geometry/csikos/dif/dif.html

4. P. Michor – Topics in Differential Geometry