Witold Bołt
na podstawie wykładu
dr. hab. Andrzeja Szczepańskiego, prof. UG

Geometria różniczkowa

15 czerwca 2007

Uwaga!

Jeśli zauważysz jakieś błędy to pisz: Witold Bołt hja@hope.art.pli.

Aktualną wersję tego dokumentu można zawsze znaleźć w Internecie na stronie
domowej autora: http://www.hope.art.pl/skrypty/geom/.

Dziękuję wszystkim, którzy swoją cierpliwością i jakąkolwiek pomocą przyczynili
się do powstania tego tekstu.

Witold Bołt

Spis treści

1

Teoria krzywych

5

1.1

Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Podstawowe własności, wzory Freneta . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Wzory Freneta w R

n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4

Krzywe w przestrzeni R

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2

Teoria powierzchni

13

2.1

Rozmaitości różniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Podstawowe pojęcia, metryka Riemanna . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3

Geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3.1

Równania różniczkowe geodezyjnych

. . . . . . . . . . . . .

16

2.4

Krzywizna powierzchni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4.1

Krywizna Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4.2

Druga forma kwadratowa i przekroje normalne . . . . . . . .

18

2.4.3

Lokalny układ współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5

Twierdzenie Egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.6

Twierdzenie Gaussa–Bonneta

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.6.1

Płaszczyzna hiperboliczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.6.2

Współrzędne geodezyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.6.3

Dowód twierdzenia Gaussa–Bonneta

. . . . . . . . . . . . .

35

Bibliografia

39

3

Rozdział 1

Teoria krzywych

Oznaczenia.

Literą I będziemy oznaczać przedziały (zazwyczaj domknięte) [a, b]

w R. Niech dana będzie funkcja różniczkowalna f : I → R

n

, oraz niech t

0

∈ I. Po-

chodną f w punkcie t

0

oznaczamy f

0

(t

0

) i rozumiemy jako wektor: lim

h→0

f (t

0

+h)−f (t

0

)

h

.

1.1

Podstawowe definicje

Definicja 1.1.1 (krzywa i parametryzacja krzywej). Krzywą γ w przestrzeni R

n

nazywamy dowolny ciągły obraz odcinka I = [a, b].

Funkcję ciągłą c : I → R

n

nazywamy parametryzacją krzywej γ, o ile γ = c(I).

W dalszej części tego opracowania będziemy utożsamiać (tam gdzie to możliwe)

krzywą i jej opis parametryczny (na obie te rzeczy będziemy mówić krzywa). Krzywe
oznaczać będziemy literami c lub γ.

Będziemy zakładać (jeśli nie napisano inaczej), że rozważane przez nas krzywe

są klasy C

m

dla pewnego m > 0.

Definicja 1.1.2 (krzywa regularna). Mówimy, że krzywa γ jest regularna (ma opis
regularny), gdy:

∀

t∈I

γ

0

(t) 6= 0.

Przykład 1.1.3. Niech dane będą krzywe, zadane przez parametryzacje: γ

1

(t) =

(cos t, sin t), t ∈ [0, 2π]; γ

2

(t) = (cos −2t, sin −2t), t ∈ [0, π]. Obie parametryzacje

opisują tą samą krzywą. Z drugiej strony, zauważmy, że γ

1

(0) = γ

2

(0) = (1, 0), oraz

γ

0

1

(0) = (0, 1), γ

0

2

(0) = (0, −2). Pochodne wyznaczają tutaj wektory styczne. W obu

przypadkach są one równoległe, jednak różnią się, zależnie od parametryzacji.

Definicja 1.1.4 (długość krzywej). Niech γ : [α, β] → R

n

będzie krzywą. Długość

krzywej γ oznaczamy przez L(γ) i definiujemy:

L(γ) =

Z

β

α

|γ

0

(t)|dt

5

6

ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH

Definicja 1.1.5 (parametryzacja łukowa). Parametryzacja krzywej γ : I → R

n

jest

łukowa o ile:

∀

t

1

<t

2

∈I

L(γ|

[t

1

,t

2

]

) = t

2

− t

1

1.2

Podstawowe własności, wzory Freneta

Stwierdzenie 1.2.1.

1. Regularny opis parametryczny jest opisem łukowym, wte-

dy i tylko wtedy gdy ∀

t∈I

|γ

0

(t)| = 1.

2. Każda krzywa regularna klasy C

1

ma łukowy opis parametryczny.

Dowód.

1. Załóżmy, że krzywa ma parametryczny opis łukowy. Wówczas:

|γ

0

(t)| =

d

dt

Z

t

t

0

|γ

0

(s)|ds =

d

dt

|t − t

0

| = 1

czyli rzeczywiście dla dowolnego t ∈ I zachodzi |γ

0

(t)| = 1.

Załóżmy, teraz że zachodzi ∀

t∈I

|γ

0

(t)| = 1 i sprawdzimy, czy krzywa γ ma opis

łukowy. Ustalmy t

0

∈ I. Dla t ­ t

0

mamy:

L(γ|

[t

0

,t]

) =

Z

t

t

0

|γ

0

(s)|ds =

Z

t

t

0

1ds = t − t

0

czyli krzywa ma parametryzacje łukową.

2. Niech c(t) krzywa regularna, oraz t

0

∈ I. Zdefiniujmy funkcję s : I → R

wzorem:

s(t) = sgn(t − t

0

)

Z

t

t

0

|c

0

(τ )|dτ.

Funkcja s jest różniczkowalna, ponadto zachodzi:

ds

dt

=





dc

dt





. Pochodna c nie

zeruje się, więc pochodna s jest zawsze dodatnia, stąd s monotoniczna (ro-
snąca). Istnieje więc funkcja odwrotna t(s) = s

−1

(t). Niech γ(s) = c(t(s)).

Sprawdzimy, że taka γ(s) ma opis łukowy.







dγ

ds







=







dc

dt







·







dt

ds







=







ds

dt







·







dt

ds







= 1.

Przykład 1.2.2.

1. Krzywa (odcinek) c(t) = (αt + x

0

, βt + y

0

) jest łukowo spa-

rametryzowana wtedy i tylko wtedy, gdy α

2

+ β

2

= 1.

2. Łukowy opis parametryczny okręgu o środku (0, 0) i promieniu R ma postać:

c(s) =



R cos

s

r

, R sin

s

R



s ∈ [0, 2πR]

1.2. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI, WZORY FRENETA

7

Stwierdzenie 1.2.3. Jeżeli c : I → R

n

jest krzywą różniczkowalną oraz f : R

n

→

R

m

jest odwzorowaniem różniczkowalnym, to:

∀

t

0

∈I

(f ◦ c)

0

(t

0

) = df

c(t

0

)

(c

0

(t

0

)).

Dowód. Niech f = (f

1

, . . . , f

m

), gdzie f

i

: R

n

→ R. Podobnie niech c = (x

1

, . . . , x

n

).

Zachodzi wówczas: (f ◦ c)

0

= ((f

1

◦ c)

0

, . . . , (f

m

◦ c)

0

). Ustalmy 1 ¬ k ¬ m. Mamy:

 

d

dt

(f

k

◦ c)

!

(t

0

) =

k

X

i=0

∂f

k

∂x

i

(c(t

0

))

dx

i

dt

(t

0

),

z czego wynika, że:

(f ◦ c)

0

(t

0

) =

"

∂f

i

∂x

j

(c(t

0

))

#

i,j







x

0
1

(t

0

)

..

.

x

0
n

(t

0

)







= df

c(t

0

)

(c

0

(t

0

)).

Definicja 1.2.4 (orientacja dodatnia i ujemna). Układ v

1

, . . . , v

n

∈ R

n

ma orien-

tację ujemną (dodatnią), gdy det(v

1

, . . . , v

n

) < 0 (det(v

1

, . . . , v

n

) > 0).

Wniosek 1.2.5. W przypadku gdy n = 1 wybór orientacji, to wybór kierunku
poruszania się po prostej.

Zakładamy, że dane są krzywa c : I → R

2

, c(s

0

) = p. Oznaczmy kąt mię-

dzy wektorami stycznymi do krzywej c w punktach s

0

i s

0

+ ∆s przez: ∆

p

ϕ =

^( ˙c(s

0

), ˙c(s

0

+ ∆s)), gdzie ˙c oznacza pierwszą pochodną c względem s.

Definicja 1.2.6 (krzywizna krzywej). Jeśli c jest zorientowaną krzywą płaską klasy
C

2

, to wielkość:

K

c

(p) = lim

∆s→0

∆

p

ϕ

∆s

,

nazywamy krzywizną krzywej c w punkcie p.

Definicja 1.2.7 (reper Freneta). Niech c będzie sparametryzowaną łukowo płaską
krzywą zorientowaną dodatnio, a e

1

(t), e

2

(t) dodatnio zorientowaną bazą ortonor-

malną w R

2

, taką, że e

1

(t) = c

0

(t). Wtedy układ e

1

(t), e

2

(t) nazywamy reperem

Freneta krzywej c w punkcie c(t).

Przykład 1.2.8. Niech c : I → R

2

krzywa sparametryzowana łukowo, dana wzorem

c(t) = (x(t), y(t)). Przyjmijmy e

1

(t) = ( ˙

x(t), ˙

y(t)), oraz e

2

(t) = (− ˙

y(t), ˙x(t)). Układ

e

1

, e

2

jest reperem Freneta krzywej c, ponieważ he

1

, e

2

i = 0 oraz det[e

1

, e

2

] = 1.

Twierdzenie 1.2.9. Niech c krzywa płaska klasy C

2

sparametryzowana łukowo.

Wówczas:

8

ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH

1. Krzywizna jest określona w każdym punkcie.

2. Jeśli e

1

, e

2

reper Freneta, to zachodzi:

K

c

(c(t))e

2

(t) = ¨

c(t)

K

c

(c(t)) = h¨

c(t), e

2

(t)i

|K

c

(c(t))| = | ˙c(t)|

3. Reper Freneta e

1

, e

2

spełnia:







¨

c = e

0
1

= K

c

e

2

e

0
2

= −K

c

e

1

co można zapisać w postaci macierzowej jako:

d

dt

"

e

1

e

2

#

=

"

0

K

c

−K

c

0

# "

e

1

e

2

#

Dowód. Wektory e

1

(s), e

2

(s) stanowią bazę ortonormalną R

2

. Zapiszmy więc wektor

e

1

(s + ∆s) w tej bazie:

e

1

(s + ∆s) = he

1

(s + ∆s), e

1

(s)ie

1

(s) + he

1

(s + ∆s), e

2

(s)ie

2

(s).

Niech ∆ϕ oznacza kąt

^(e

1

(s), e

1

(s + ∆s)). Wektory e

1

(s), e

2

(s) są ortonormalne

(dla każdego s), czyli w szczególności mają długość 1. Stąd iloczyn skalarny wekto-
rów e

1

(s) i e

1

(s + ∆s) równy jest kosinusowi kąta między nimi:

he

1

(s + ∆s), e

1

(s)i = cos ∆ϕ.

Podobnie:

he

1

(s + ∆s), e

2

(s)i = cos

^(e

1

(s + ∆s), e

2

(s)).

Zauważmy również, że:

^(e

1

(s + ∆s), e

2

(s)) =

^(e

1

(s), e

2

(s)) +

^(e

1

(s + ∆s), e

1

(s)) = π − ∆ϕ

Mamy więc, że:

he

1

(s + ∆s), e

2

(s)i = sin ∆ϕ.

Czyli ostateczne:

e

1

(s + ∆s) = cos ∆ϕe

1

(s) + sin ∆ϕe

2

(s).

Sprawdzamy warunki z punktu 2 w treści twierdzenia. Policzmy drugą pochodną

krzywej c. Z definicji e

1

(s) wiemy, że ¨

c = e

0
1

. Policzymy więc pierwszą pochodną e

1

:

de

1

ds

= lim

∆s→0

e

1

(s + ∆s) − e

1

(s)

∆s

=

1.2. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI, WZORY FRENETA

9

Stosujemy teraz wyliczoną wcześniej postać e

1

(s + ∆s):

= lim

∆s→0

cos ∆ϕe

1

(s) + sin ∆ϕe

2

(s) − e

1

(s)

∆s

= lim

∆s→0

cos ∆ϕ − 1

∆s

e

1

(s) + lim

∆s→0

sin ∆ϕ

∆s

e

2

(s)

=

 

lim

∆ϕ→0

cos ∆ϕ − 1

∆ϕ

lim

∆s→0

∆ϕ

∆s

!

e

1

(s) +

 

lim

∆ϕ→0

sin ∆ϕ

∆ϕ

lim

∆s→0

∆ϕ

∆s

!

e

2

(s)

= 0 · e

1

(s) + K

c

(c(s))e

2

(s)

Mamy więc:

hc

00

, e

1

i = hK

c

e

2

, e

2

i = K

c

,

co daje:

|c

00

|

2

= hc

00

, c

00

i = K

2

c

he

2

, e

2

i = K

2

c

W ten sposób udowodniliśmy punkt 2. Przechodzimy do dowodu punktu 3.

Wektory e

1

, e

2

stanowią bazę, więc wektor ˙e

i

możemy zapisać w tej bazie:

˙e

i

(t) = w

i1

(t)e

1

(t) + w

i2

(t)e

2

(t)

gdzie w

ij

(t) ∈ R. Korzystamy teraz z faktu, że he

i

, e

j

i = δ

ij

=







1

i = j

0

i 6= j

. Licząc

obustronnie pochodną w tej równości otrzymujemy:

0 =

d

dt

he

i

, e

j

i = h ˙e

i

, e

j

i + he

i

, ˙e

j

i

Podstawimy teraz do powyższego wzoru, ˙e

1

przedstawione w bazie e

1

, e

2

:

0 = hw

11

e

1

+ w

12

e

2

, e

2

i + he

1

, w

21

e

1

, w

22

e

2

i = w

12

+ w

21

Podobnie wyliczamy

d

dt

he

1

, e

1

i:

0 = h ˙e

1

, e

1

i + he

1

, ˙e

1

i = w

11

+ w

11

= 0

Z powyższych rozważań wynika, że:







w

21

= −w

12

w

11

= w

22

= 0

Co daje nam:







˙e

1

= w

12

e

2

˙e

2

= −w

12

e

1

Z wcześniej udowodnionych własności wynika, że ˙e

1

= ¨

c = K

c

e

2

= w

12

e

2

, czyli

w

12

= K

c

.

10

ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH

1.3

Wzory Freneta w R

n

Definicja 1.3.1 (krzywa niezdegenerowana). Krzywa regularna jest niezdegenero-
wana jeśli ∀

t∈I

wektory c

0

(t), c

00

(t), . . . , c

(n)

(t) ∈ R

n

są liniowo niezależne.

Definicja 1.3.2 (reper Freneta). Reperem Freneta regularnej, niezdegenerowanej
krzywej c : I → R

n

nazywamy układ funkcji e

1

, . . . , e

n

: I → R

n

, taki, że funkcje

e

1

, . . . , e

n−1

powstają z układu c

0

, . . . , c

(n−1)

przez jego ortonormalizację, a funkcję

e

n

wybieramy tak, aby cały układ był ortonormalny i zorientowany dodatnio.

Uwaga 1.3.3. Można pokazać, że:

d

dt







e

1

..

.

e

n







=









0

K

1

0

. . .

0

−K

1

0

K

2

0

. . .

..

.

..

.

..

.

..

.

..

.

0

0

. . . −K

n−1

0















e

1

..

.

e

n







,

gdzie K

i

jest i-tą krzywizną krzywej c.

1.4

Krzywe w przestrzeni R

3

Dana jest krzywa w przestrzeni R

3

z parametryzacją łukową c : I → R

3

. Układ wek-

torów stanowiący reper Freneta tej krzywej obliczamy zgodnie z definicją podaną w
poprzednim punkcie. Zauważmy, że skoro układ ten musi być zorientowany dodat-
nio, to mając dwa pierwsze wektory, możemy wyznaczyć trzeci z wzoru: e

3

= e

1

×e

2

.

Wzory Freneta w przypadku trój-wymiarowym mają postać:

d

dt






e

1

e

2

e

3






=






0

k

0

−k

0

τ

0

−τ

0











e

1

e

2

e

3






Liczby k oraz τ nazywamy odpowiednio krzywizną i skręceniem krzywej.

Definicja 1.4.1 (trójścian Freneta). Niech c krzywa w R

3

, p ∈ R

3

, oraz e

1

, e

2

, e

3

reper Freneta krzywej c w punkcie p. Definiujemy następujące płaszczyzny:

• ściśle styczna – rozpięta na wektorach e

1

, e

2

,

• normalna – rozpięta na wektorach e

1

, e

3

,

• prostująca – rozpięta na wektorach e

2

, e

3

.

Sumę tych trzech płaszczyzn nazywamy trójścianem Freneta.

Definicja 1.4.2. krzywa płaska Jeśli krzywa c : I → R

3

leży w pewnej płaszczyźnie,

to mówimy, że jest to krzywa płaska.

1.4. KRZYWE W PRZESTRZENI R

3

11

Fakt 1.4.3. Niech c : I → R

3

sparametryzowana łukowo, niezdegenerowana krzywa.

Jeśli wektor e

3

w układzie Freneta jest stały, to c jest krzywą płaską.

Dowód. Zakładamy, że e

3

stały. Korzystamy z wzoru na różniczkowanie iloczynu

skalarnego:

hc, e

3

i

0

= hc

0

, e

3

i + hc, e

0
3

i

Zauważmy, że z wzorów Freneta mamy w szczególności, że:

hc

0

, e

3

i = 0

natomiast z założeń wiemy, że e

3

jest stały, więc e

0
3

= 0. Wiemy więc, że:

hc, e

3

i

0

= 0 ⇒ hc, e

3

i = D ∈ R– stała.

Załóżmy, że daną mamy jakąś parametryzację c postaci:

c(t) = (x(t), y(t), z(t))

oraz, że wektor e

3

jest postaci:

e

3

(t) = (A, B, C).

Wiemy więc, że:

hc, e

3

i = h(x(t), y(t), z(t)), (A, B, C)i = D

a to dokładnie oznacza, że:

Ax(t) + By(t) + Cz(t) = D

co dowodzi, że każdy punkt krzywej c leży na płaszczyźnie danej równaniem:

Ax + By + Cz = D

Stwierdzenie 1.4.4. Niech c : I → R

3

będzie łukowo sparametryzowaną krzywą

niezdegenerowaną. Następujące warunki są równoważne:

(i) c jest krzywą płaską,

(ii) τ = 0,

(iii) c leży w płaszczyźnie równoległej do swej płaszczyzny stycznej,

(iv) wszystkie płaszczyzny styczne do c pokrywają się.

12

ROZDZIAŁ 1. TEORIA KRZYWYCH

Dowód. Części (iii) ⇐⇒ (iv) oraz (iii) ⇒ (i) są oczywiste.

Udowodnimy teraz (i) ⇒ (ii). Z wzorów Freneta mamy, że:

e

0
3

= −τ e

2

.

Zakładamy, że c jest krzywą płaską. Wiemy więc, że e

3

stały, czyli e

0
3

= 0. Ponieważ

e

2

nie jest wektorem zerowym to natychmiast dostajemy, że τ = 0.

Wynikanie (ii) ⇒ (i) otrzymujemy wprost z udowodnionego wcześniej faktu i z

równości e

0
3

= −τ e

2

.

Pozostało do pokazania, że z punktu (i) wynika (iii). Załóżmy, że t

0

∈ I. Jeśli c

jest krzywą płaską, to płaszczyzna P zawierająca c i płaszczyzna Π równoległa do
płaszczyzny ściśle stycznej w punkcie c(t

0

) i zawierająca ten punkt są równoległe

(wektor e

3

(t

0

) jest prostopadły do obu tych płaszczyzn). Ponieważ c(t

0

) ∈ P ∩ Π,

oraz P i Π równoległe, to P = Π.

Uwaga 1.4.5. Do obliczenia krzywizny i skręcenia krzywej w przestrzeni R

3

można

korzystać z wzorów:

k =

|c

0

× c

00

|

|c

0

|

3

τ =

hc

0

× c

00

, c

000

i

|c

0

× c

00

|

2

=

det[c

0

, c

00

, c

000

]

|c

0

× c

00

|

2

Rozdział 2

Teoria powierzchni

2.1

Rozmaitości różniczkowe

Definicja 2.1.1 (mapa). Niech X będzie przestrzenią topologinczą. Mapą na X
nazywamy dowolny homeomorfizm Φ

α

: U

α

→ W

α

, gdzie U

α

jest otwartym podzbio-

rem X, a W

α

jest otwartym podzbiorem R

n

.

Definicja 2.1.2 (atlas). Atlasem nazywamy zbiór map pewnej przestrzeni topolo-
gicznej X:

{Φ

α

: U

α

→ W

α

}

α∈I

taki, że

S

α∈I

U

α

= X.

Mówimy, że atlas jest gładki (klasy C

r

) jeśli funkcje Φ

β

◦ Φ

−1
α

: Φ

α

(U

α

∩ V

β

) →

Φ

β

(U

α

∩ V

β

) są gładkie (klasy C

r

).

Definicja 2.1.3. Niech {U

α

, Φ

α

}, {V

β

, η

β

} będą atlasami odpowiednio na przestrze-

ni topologicznej na X i Y . Odwzorowanie f : X → Y jest gładkie (klasy C

r

) jeśli

funkcje: η

β

◦ f ◦ Φ

−1
α

|

Φ

α

(U

α

∩f

−1

(V

β

))

są gładkie (klasy C

r

).

Definicja 2.1.4 (atlasy równoważne). Dwa atlasy na przestrzeni topologicznej X:
{Φ

α

}, {Ψ

β

} są równoważne jeśli identyczność na X jest funkcją gładką.

Definicja 2.1.5 (rozmaitość). Gładką (klasy C

r

) n-wymiarową rozmaitością nazy-

wamy przestrzeń topologiczną z zadaną na niej klasą atlasów równoważnych. Klasy
równoważności atlasów nazywamy strukturą różniczkową na rozmaitości X.

Uwaga 2.1.6. Z reguły rozmaitość definiuje się jako przestrzeń, która jest lokal-
nie homeomorficzna (lub dyfeomorficzna) z przestrzenią euklidesową. Ogólny sens
wszystkich tych definicji jest taki sam i sprowadza się do tego, że w analizie rozma-
itości możemy lokalnie patrzeć na nią jak na fragment „zwykłej” przestrzeni R

n

.

Przykład 2.1.7. Typowe rozmaitości, to: R

n

, S

n

, RP

n

, CP

n

, H

n

, D

n

, torus.

13

14

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

2.2

Podstawowe pojęcia, metryka Riemanna

Definicja 2.2.1 (powierzchnia). Powierzchnia jest to dowolna, zwarta i spójna
rozmaitość 2-wymiarowa.

W dalszej części tego opracowania, jeśli nie zaznaczono inaczej, rozpatrujemy

powierzchnie zanurzone w przestrzeni R

3

.

Definicja 2.2.2 (wektor styczny i przestrzeń styczna). Wektorem stycznym do
powierzchni M w punkcie p nazywamy każdy wektor styczny w tym punkcie do
pewnej krzywej różniczkowalnej c : I → M . Zbiór wektorów stycznych do M w
punkcie p nazywamy przestrzenią styczną i oznaczamy przez T

p

M .

Przykład 2.2.3.

1. Niech p ∈ R

2

. Wówczas T

p

R

2

= R

2

.

2. Niech M pewna powierzchnia, oraz niech U ⊂ M otwarty, oraz p ∈ U . Wów-

czas zachodzi: T

p

U = T

p

M .

3. Załóżmy, że powierzchnia jest sparametryzowana w następujący sposób:

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

gdzie (u, v) ∈ U ⊂ R

2

, zbiór U jest otwarty, a funkcje x, y, z są różniczkowalne.

Wprowadźmy oznaczenia:

x

u

=

∂x
∂u

(u, v) y

u

=

∂y
∂u

(u, v) z

u

=

∂z

∂u

(u, v)

x

v

=

∂x
∂v

(u, v)

y

v

=

∂y
∂v

(u, v)

z

v

=

∂z
∂v

(u, v)

Wówczas wektory dr(e

1

) = [x

u

, y

u

, z

u

], dr(e

2

) = [x

v

, y

v

, z

v

] stanowią bazę

przestrzeni stycznej.

Definicja 2.2.4 (pierwsza forma kwadratowa). Pierwszą formą kwadratową po-
wierzchni M w punkcie p nazywamy iloczyn skalarny:

h, i : T

p

M × T

p

M → R

Definicja 2.2.5 (metryka Riemanna). Metryką Riemanna na powierzchni M na-
zywamy różniczkowe przyporządkowanie każdemu punktowi p ∈ M iloczynu skalar-
nego na przestrzeni T

p

M .

Standardową bazą przestrzeni stycznej T

p

M jest

∂

∂x

i

. Rozważmy macierz [g

ij

]

i,j=1,2

,

zdefiniowaną jako: g

ij

= h

∂

∂x

i

,

∂

∂x

j

i (gdzie iloczyn skalarny h, i to standardowy iloczyn

skalarny z R

n

). Z symetrii iloczynu skalarnego mamy g

ij

= g

ji

. Macierz ta wyznacza

jednoznacznie metrykę Riemanna. Załóżmy bowiem, że mamy dwie krzywe c, d w
M. Ustalmy dowolny punkt p ∈ M . Wtedy oczywiście:

c

0

(p) = c

1

(p)

∂(p)

∂x

1

+ c

2

(p)

∂(p)

∂x

2

2.3. GEODEZYJNE

15

d

0

(p) = d

1

(p)

∂(p)

∂x

1

+ d

2

(p)

∂(p)

∂x

2

Aby policzyć iloczyn skalarny (wyznaczony przez metrykę Riemanna) wystarczy
policzyć:

hc

0

(p), d

0

(p)i =

*

c

1

∂(p)

∂x

1

+ c

2

∂(p)

∂x

2

, d

1

∂(p)

∂x

1

+ d

2

∂(p)

∂x

2

+

=

= g

11

c

1

d

1

+ g

12

c

1

d

2

+ g

21

c

2

d

1

+ g

22

c

2

d

2

=

2

X

i,j=1

g

ij

c

i

d

j

Wobec tego iloczyn skalarny wyznaczony przez metrykę Riemanna odpowiada for-
mie dwuliniowej o macierzy [g

ij

]

i,j=1,2

.

Definicja 2.2.6 (pierwsza forma kwadratowa). Macierz [g

ij

] zdefiniowana powyżej

wyznacza formę kwadratową, którą będziemy nazywać pierwszą formą kwadratową.

Tradycyjnie jej macierz oznacza się:

"

E

F

F

G

#

.

Określenie metryki Riemanna, pozwala nam zdefiniować długość krzywej na

powierzchni. Niech c : [a, b] → U ⊂ M będzie dowolną krzywą różniczkowalną,
wtedy długość tej krzywej wynosi:

L(c) =

Z

b

a

hc

0

(t), c

0

(t)i

1
2

dt =

Z

b

a





2

X

i,j=1



g

ij

(c(t))c

0
i

(t)c

0
j

(t)







1
2

dt

2.3

Geodezyjne

Definicja 2.3.1 (geodezyjna). Niech c : I → M będzie parametryzacją krzywej,
proporcjonalną do długości. Jeśli dla każdego t

0

∈ I istnieje δ > 0 taka, że każdy

odcinek c|

[t

0

,t

1

]

długości mniejszej niż δ jest najkrótszą krzywą łączącą c(t

0

) z c(t

1

),

to mówimy, że c jest krzywą geodezyjną.

Przykład 2.3.2. Rozważmy sferę dwuwymiarową w R

3

. Pomiędzy dwoma punkta-

mi leżącymi na antypodach możemy poprowadzić nieskończenie wiele geodezyjnych.
Jeśli natomiast wybierzemy dwa punkty leżące na równiku to istnieje dokładnie jed-
na geodezyjna łącząca te punkty.

Przykład 2.3.3. W przestrzeni R

2

geodezyjne to odcinki.

Twierdzenie 2.3.4. Niech M będzie powierzchnią, wówczas:

(i) dla każdego p ∈ M i v ∈ T

p

M istnieje  > 0 i dokładnie jedna, sparametryzo-

wana łukowo geodezyjna c : (−, ) → M taka, że c(0) = p i c

0

(0) = v;

(ii) dwa dowolne, dostatecznie bliskie punkty M można połączyć dokładnie jedną,

sparametryzowaną łukowo geodezyjną.

16

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

2.3.1

Równania różniczkowe geodezyjnych

Niech [g

ij

] oznacza macierz pierwszej formy kwadratowej. Przez [g

ij

] będziemy ozna-

czać macierz odwrotną do [g

ij

].

Definicja 2.3.5 (symbole Christoffela). W ponieższych wzorach i, j, k, s = 1, 2.

1. Symbole Christoffela pierwszego rodzaju Γ

kij

=

∂g

ij

∂x

k

+

∂g

jk

∂x

i

−

∂g

ki

∂x

j

,

2. Symbole Christoffela drugiego rodzaju: Γ

k
ij

=

1
2

P

2
s=1

g

ks

Γ

jis

.

Uwaga 2.3.6. Γ

k
ij

= Γ

k
ji

.

Twierdzenie 2.3.7. Niech r : U → M będzie lokalną parametryzacją (lokalną ma-
pą), niech c będzie krzywą leżącą w r(U ) i niech r

−1

(c(t)) = (x

1

(t), x

2

(t)). Następu-

jące warunki są równoważne:

(i) c jest geodezyjną sparametryzowaną łukowo,

(ii) c jest rozwiązaniem następującego układu równań różniczkowych:

d

2

x

k

dt

2

+

2

X

i,j=1

Γ

k
ij

dx

i

dt

dx

j

dt

= 0

dla k = 1, 2.

2.4

Krzywizna powierzchni

2.4.1

Krywizna Gaussa

Definicja 2.4.1 (odwzorowanie sferyczne). Odwzorowaniem sferycznym nazywamy
ciągłe przekształcenie n : M → S

2

, które każdemu punktowi powierzchni M ⊂ R

3

przyporządkowuje wektor normalny do M .

Jeśli dla danej powierzchni M istnieje odwzorowanie sferyczne n, to mówimy, że

powierzchnia M jest zorientowana.

Definicja 2.4.2. Niech c : I → M dowolna krzywa, p ∈ M . Definiujemy odwzoro-
wanie dn

p

: T

p

M → T

n(p)

S

2

wzorem dn

p

(c

0

(p)) = (n ◦ c)

0

(p).

Uwaga 2.4.3. Odwzorowanie dn

p

jest liniowe.

Definicja 2.4.4 (krzywizna powierzchni). Niech M powierzchnia, p ∈ M . Niech
{A

k

}

∞
k=1

, będzie ciągiem otoczeń punktu p, których średnice dążą do zera. Liczbę:

K

M

(p) = sgn(det dn

p

) lim

k→∞

pole n(A

k

)

pole A

k

nazywamy krzywizną powierzchni M (krzywizną Gaussa) w punkcie p.

2.4. KRZYWIZNA POWIERZCHNI

17

Przykład 2.4.5.

1. Krzywizna płaszczyzny wynosi zero, ponieważ każdemu punk-

towi płaszczyzny odwzorowanie n przyporządkowuje jeden, ten sam wektor,
więc pole n(A

k

) zawsze wynosi 0.

2. Krzywizna sfery o promieniu R wynosi

1

R

2

, ponieważ dla dowolnego punktu p

sfery dwuwymiarowej o promieniu R, n(p) =

1

R

p, a co za tym idzie pole(A

k

) =

1

R

2

pole n(A

k

).

Twierdzenie 2.4.6. Jeśli M jest rozmaitością dwuwymiarową klasy C

2

, to:

∀

p∈M

K

M

(p) = det dn

p

.

Lemat 2.4.7. Jeśli L : V → V jest przekształceniem liniowym przestrzeni dwuwy-
miarowej, v, w ∈ V , to:

det[L(v), L(w)] = det L det[v, w].

Dowód. Niech α będzie bazą przestrzeni V , oraz niech dana będzie macierz L w tej
bazie: M

αα

(L) = [α

ij

]. Niech v = (v

1

, v

2

), w = (w

1

, w

2

). Wtedy:

det[Lv, Lw] = det

 

[α

ij

]

"

v

1

w

1

v

2

w

2

#!

= det L det[v, w].

Lemat 2.4.8. Załóżmy, że U jest otwartym, spójnym podzbiorem R

n

. Funkcje

f, g : U → R są ciągłe. Ponadto rodzina {∆

k

}

k∈N

podzbiorów U jest ciągiem otwar-

tych, spójnych i ograniczonych otoczeń punktu p. Jeżeli diam ∆

k

= δ(∆

k

) → 0,

to:

lim

k→∞

R

∆

k

f dx

R

∆

k

gdx

=

f (p)

g(p)

.

Dowód. Niech m

k

, M

k

oznaczają odpowiednio najmniejszą i największą wartość

funkcji f na zbiorze ∆

k

oraz niech m(A) oznacza miarę Lebesguea zbioru A. Wtedy:

R

∆

k

f dx

m(∆

k

)

∈ [m

k

, M

k

] = f (∆

k

).

Z twierdzenia o wartości pośredniej (własność Darboux) istnieje x

k

∈ ∆

k

takie, że:

R

∆

k

f dx

m(∆

k

)

= f (x

k

).

Analogicznie, dla g istnieje y

k

takie, że: g(y

k

) =

R

∆k

gdx

m(∆

k

)

. Ponieważ δ(∆

k

) → 0, oraz

p ∈

T

k∈N

∆

k

, więc x

k

→ p i y

k

→ p, a stąd:

lim

k→∞

R

∆

k

f dx

R

∆

k

gdx

= lim

k→∞

R

∆

k

f dx

m(∆

k

)

·

m(∆

k

)

R

∆

k

gdx

= lim

k→∞

f (x

k

)

g(y

k

=

f (p)

g(p)

18

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

Dowód twierdzenia 2.4.6. Zauważmy, że sgn dn

p

= sgn K

M

(p), więc aby udowodnić

twierdzenie, wystarczy sprawdzić, że |K

M

(p)| = | det(dn

p

)|. Niech r : D → M będzie

lokalną mapą w otoczeniu punktu p. Niech {D

k

}

k∈N

będzie ciągiem otwartych, spój-

nych, ograniczonych podzbiorów D takich, że δ(D

k

) → 0. Wtedy r

−1

(p) ∈

T

k∈N

D

k

.

Z definicji iloczynu wektorowego |r

u

× r

v

| jest polem równoległoboku rozpiętego na

r

u

i r

v

i jest ono równe |det[r

u

, r

v

]|.

Zauważmy, że pole n(r(D

k

) można wyrazić przez całkę:

ZZ

D

k

| det[(n ◦ r)u, (n ◦ r)v]|dudv =

Z Z

D

k

| det[dn

(u,v)

(r

u

), dn

(u,v)

(r

v

)]|dudv.

Niech f (u, v) = |det[dn

(u,v)

(r

u

), dn

(u,v)

(r

v

)]|. Z lematu 2.4.7 wynika:

f (u, v) = det dn

(u,v)

|det[r

u

, r

v

]|.

Niech g(u, v) = | det[r

u

, r

v

]|.

|K

M

(p)| = lim

k→∞

pole n(r(D

k

))

pole r(D

k

)

= lim

k→∞

RR

D

k

f (u, v)dudv

RR

D

k

g(u, v)dudv

=

f (p)

g(p)

= | det dn

p

|.

2.4.2

Druga forma kwadratowa i przekroje normalne

Definicja 2.4.9 (druga forma kwadratowa). Odwzorowanie, które każdemu punk-
towi p ∈ M przyporządkowuje formę kwadratową:

T

p

M 3 x 7→ h−dn

p

(x), xi ∈ R

nazywamy drugą formą kwadratową.

Poza zdefiniowaną wyżej formą kwadratową, będziemy rozpatrywać też wyzna-

czoną przez nią, formę dwulinową:

Π : T

p

M × T

p

M 3 (x, y) 7→ h−dn

p

(x), yi ∈ R

Definicja 2.4.10 (przekrój normalny). Niech p ∈ M , x ∈ ST

p

M = {v ∈ T

p

M :

||v|| = 1}. Niech P

x

oznacza płaszczyznę rozpiętą na wektorach n(p) oraz x. Prze-

krojem normalnym M w kierunku x nazywamy sparametryzowaną łukowo krzywą
płaską c powstałą w wyniku przecięcia powierzchni M płaszczyzną P

x

taką, że

c

0

|

p

= x oraz c(0) = p.

Krzywiznę K

c

(p) nazywamy krzywizną przekroju normalnego i oznaczamy K

x

.

Aby jednoznacznie określić krzywiznę przekroju normalnego należy ustalić orienta-
cję płaszczyzny P

x

. Jest ona zadana przez dodatnio zorientowaną bazę x, n(p), tzn.

układ x, n(p) ma być reperem Freneta krzywej c w punkcie p.

2.4. KRZYWIZNA POWIERZCHNI

19

Stwierdzenie 2.4.11. Jeżeli p ∈ M , x ∈ ST

p

M , to Π(x, x) = K

x

.

Dowód. Niech c oznacza przekrój normalny w kierunku x taki, że c(0) = p. Wówczas
c

0

(0) = x. Ponieważ c leży na M więc hc

0

, n ◦ ci = 0. Różniczkując ostatnią równość

otrzymujemy:

hc

00

(0), (n ◦ c)(0)i + hc

0

(0), (n ◦ c)

0

(0)i = 0

Ponieważ K

x

= hc

00

(0), (n ◦ c)(0)i, mamy:

K

x

= −hc

0

(0),

d(n ◦ c)

dt

(0)i = −hc

0

(0), dn

p

(

dc

dt

(0))i = Π(c

0

(0), c

0

(0)) = Π(x, x)

Definicja 2.4.12 (przekształcenie samosprzężone). Niech V dowolna przestrzeń z
iloczynem sklaranym, oraz A : V → V pewien operator. Przez A

?

oznaczmy taki

operator, że: A

?

: V → V oraz ∀

x,y∈V

hAx, yi = hx, A

?

yi. Jeśli A = A

?

, to mówimy,

że A jest operatorem (przekształceniem) samosprzężonym.

Fakt 2.4.13. Jeśli A : V → V odwzorowanie liniowe, samosprzężone, posiada dwie
wartości własne λ

1

, λ

2

oraz v

1

, v

2

są wektorami własnymi odpowiadającymi tym war-

tościom własnym, to hv

1

, v

2

i = 0.

Dowód. Odwzorowanie A jest samosprzężone, więc hAv

1

, v

2

i = hv

1

, Av

2

i. Z definicji

Av

i

= λ

i

v

i

, czyli mamy hλ

1

v

1

, v

2

i = hv

1

, λ

2

v

2

i. Stąd

λ

1

λ

2

hv

1

, v

2

i = hv

1

, v

2

i, co znaczy,

że albo λ

1

= λ

2

, albo hv

1

, v

2

i = 0, ale pierwsza możliwość jest wykluczona, bo

zakładamy λ

1

6= λ

2

.

Stwierdzenie 2.4.14. a) Niech U 3 (x

1

, x

2

) 7→ r(x

1

, x

2

) ∈ M będzie lokalną pa-

rametryzacją M , p ∈ M . Niech N : U

r

−

→ M

n

−

→ S

2

,→ R

3

i α = (r

x

1

, r

x

2

) będzie

bazą T

r(x

1

,r

2

)

M . Ponadto oznaczmy przez M

α

(Π) macierz Π w bazie α. Wówczas

M

α

(Π) ma postać:

M

α

(Π) = [hN , r

x

i

x

j

i].

b) Π : T

p

M × T

p

M → R jest formą dwuliniową symetryczną.

c) dn

p

: T

p

M → T

p

M jest przekształceniem samosprzężonym.

Dowód. a) Ponieważ wektory r

x

1

i r

x

2

są wektorami stycznymi, a wartości N są

wektorami normalnymi, więc hN , r

x

j

i = 0 dla j = 1, 2. Stąd:

0 =

∂

∂x

i

hN , r

x

j

i = hN

x

i

, r

x

j

i + hN , r

x

j

x

i

i.

Zatem:

hN , r

x

j

x

i

i = −hN

x

i

, r

x

j

i = −hdn(r

x

i

), r

x

j

i = Π(r

x

i

, r

x

j

).

b) Ponieważ r

x

1

x

2

= r

x

2

x

1

, więc z punktu poprzedniego: Π(r

x

1

, r

x

2

) = Π(r

x

2

, r

x

1

).

Liniowość wynika natomiast z liniowości pochodnej.

20

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

c) Niech v, w ∈ T

r(x

1

,x

2

)

M , p = r(x

1

, x

2

).

hdn

p

(v), wi = −Π(v, w) = −Π(w, v) = hdn

p

(w), vi = hv, dn

p

(w)i.

Uwaga 2.4.15. a) Odwzorowanie N : U → R

3

opisane w poprzednim twierdzeniu,

nazywa się odwzorowaniem Weingartena.

b) Tradycyjnie przyjmuje się oznaczenia (pochodzą one od Gaussa): L = hN , r

x

1

x

1

i,

N = hN , r

x

1

x

2

i, M = hN , r

x

2

x

2

i. Przy powyższych oznaczeniach macierz drugiej

formy kwadratowej ma postać:

"

L

M

M

N

#

.

Definicja 2.4.16 (krzywizny, wektory i kierunki główne). Niech M powierzchnia,
p ∈ M . Liczby K

1

= min

y∈ST

p

M

K

y

, K

2

= max

y∈ST

p

M

K

y

nazywamy krzywiznami

głównymi powierzchni M w punkcie p. Wektory v

1

, v

2

∈ ST

p

M takie, że K

v

i

= K

i

nazywamy wektorami głównymi, a kierunki wyznaczone przez te wektory nazywamy
kierunkami głównymi.

Definicja 2.4.17 (krzywizna średnia). Liczbę H =

1
2

(K

1

+ K

2

) nazywamy krzywi-

zną średnią powierzchni M w punkcie p.

Twierdzenie 2.4.18. a) Krzywizny główne K

1

i K

2

są wartościami własnymi od-

wzorowania −dn

p

: T

p

M → T

p

M , a wektory główne są unormowanymi wektora-

mi własnymi.

b) Zachodzi równość K

M

(p) = K

1

K

2

.

c) Jeśli y ∈ ST

p

M i układ y

1

, y

2

jest bazą ortonormalną wektorów głównych, oraz

ϕ = ^(y, y

1

), to: K

y

= K

1

cos

2

ϕ + K

2

sin

2

ϕ.

Dowód. Niech λ

1

¬ λ

2

to wartości własne przekształcenia samosprzężonego −dn

p

,

oraz y

1

, y

2

wektory własne odpowiadające tym wartościom własnym. Ponieważ −dn

p

jest samosprzężone, więc y

1

, y

2

są ortogonalne. Możemy więc zakładać, że są one

ortonormalne. Niech y ∈ ST

p

M , oraz a

i

= hy, y

i

i. Wtedy oczywiście y = a

1

y

1

+a

2

y

2

.

Ponieważ y ∈ ST

p

M , mamy:

|y|

2

= 1 =

2

X

i,j=1

a

2
i

hy

i

, y

i

i = a

2
1

+ a

2
2

A stąd:

K

y

= Π(y, y) = Π(a

1

y

1

+ a

2

y

2

, a

1

y

1

+ a

2

y

2

) =

2

X

i,j=1

a

i

a

j

h−dn

p

y

i

, y

j

i =

=

2

X

i,j=1

a

i

a

j

hλ

i

y

i

, y

j

i = a

2
1

λ

1

+ a

2
2

λ

2

.

2.4. KRZYWIZNA POWIERZCHNI

21

Z powyższego wzoru i definicji K

y

wynika w szczególności: K

y

i

= λ

i

, oraz K

y

¬

max(λ

i

)(a

2
1

+a

2
2

) = λ

2

= K

y

2

, K

y

­ min(λ

i

)(a

2
1

+a

2
2

) = λ

1

= K

y

1

. Czyli rzeczywiście:

K

y

i

zdefiniowane jako λ

i

spełniają definicję 2.4.16, co kończy dowód a).

Macierz −dn

p

w bazie y

1

, y

2

ma postać:

"

K

1

0

0

K

2

#

. Korzystając z twierdzenia

2.4.6, dostajemy natychmiast K

M

(p) = K

1

K

2

, co kończy dowód b).

Niech ϕ =

^(y, y

1

). Wiemy, że

^(y

1

, y

2

) =

π

2

, stąd:

^(y, y

2

) =

π

2

− ϕ. Z wzoru

cos

^(x, y) =

hx,yi
|x||y|

i z faktu, że |y| = |y

1

| = |y

2

| = 1 mamy: hy, y

2

i = cos(

π

2

− ϕ) =

sin ϕ. Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami: y = hy, y

1

iy

1

+ hy, y

2

iy

2

= cos ϕy

1

+

sin ϕy

2

. Ponieważ K

y

= a

2
1

K

y

1

+ a

2
2

K

y

2

, mamy natychmiast: K

y

= cos

2

ϕK

1

+

sin

2

ϕK

2

.

2.4.3

Lokalny układ współrzędnych

Twierdzenie 2.4.19. Niech M będzie pewną powierzchnią, p ∈ M oraz niech r
będzie parametryzacją pewnego otoczenia p. Niech [g

ij

] i [l

ij

] oznaczają odpowiednio

macierze pierwszej i drugiej formy kwadratowej w bazie x

1

=

∂

∂x

2

, x

2

=

∂

∂x

1

. Wtedy:

(i) K

M

(p) =

det[Π(x

i

,x

j

)]

det[hx

i

,x

j

i]

=

det[l

ij

]

det[g

ij

]

,

(ii) w = |r

x

1

× r

x

2

| =

q

det[g

ij

], l

ij

=

1

w

hr

x

1

× r

x

2

, r

x

1

x

2

i =

1

w

det[r

x

1

, r

x

2

, r

x

1

x

2

],

(iii) niech f : R

2

→ R klasy C

2

i niech powierzchnia M dana jest wzorem M =

{(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

: x

3

= f (x

1

, x

2

)}, oraz Λ =

q

1 + f

2

x

1

+ f

2

x

2

, wtedy:

l

ij

=

f

x

i

x

j

Λ

,

K

M

=

det[f

x

i

x

j

]

Λ

4

.

Dowód. Niech β = (y

1

, y

2

) będzie bazą ortonormalną w T

p

M , składającą się z wek-

torów własnych operatora −dn

p

. Z poprzedniego twierdzenia wiemy, że są to też

wektory główne. Dla dowolnego k = 1, 2 zachodzi oczywiście:

x

k

= hx

k

, y

1

iy

1

+ hx

k

, y

2

iy

2

.

(?)

Ponadto Π(y

i

, y

j

) = h−dn

p

(y

i

), y

j

i = K

i

hy

i

, y

j

i = K

i

δ

ij

. Wiemy już z poprzed-

nich rozważań, że: det[Π(y

i

, y

j

)] = K

M

(p). Niech M

α

(Π) = [Π(x

i

, x

j

)], M

β

(Π) =

[Π(y

i

, y

j

)] będą macierzami Π w bazach α = (x

i

, x

j

) i β = (y

i

, y

j

). Zgodnie z wzo-

rem (?) macierz C = [hx

i

, y

j

i]

T

jest macierzą przejścia z bazy α do β. Stąd

det M

α

(Π) = det(CM

β

(Π)C

T

) = K

M

(p) det C

2

(??)

Podobnie dla pierwszej formy kwadratowej (którą oznaczamy przez I):

det M

α

(I) = det[hx

i

, x

j

i] = det[hy

i

, y

j

i] det C

2

= det C

2

22

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

Z wzoru (??) mamy: K

M

(p) =

det[Π(x

i

,x

j

)]

det C

2

=

det[Π(x

i

,x

j

)]

det[hx

i

,x

j

i]

co kończy dowód punktu (i).

Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego oraz elementów g

ij

, mamy równości:

w = |r

x

1

× r

x

2

| =

q

det[g

ij

] =

q

| det[hr

x

i

, r

x

j

i]|. Ponieważ odwzorowanie sferyczne

wyraża się wzorem: n(u, v) =

r

u

×r

v

|r

u

×r

v

|

, odwzorowanie Weingartena spełnia:

N = |r

x

1

× r

x

2

|

−1

(r

x

1

× r

x

2

) = w

−1

(r

x

1

× r

x

2

).

Pokazaliśmy wcześniej, że l

ij

= hN , r

x

i

x

j

i, wobec czego:

l

ij

=

1

w

hr

x

1

× r

x

2

, r

x

i

x

j

i =

1

w

det[r

x

1

, r

x

2

, r

x

i

x

j

],

co kończy dowód punktu (ii).

Policzmy teraz pochodne r

x

1

i r

x

2

i r

x

i

x

j

:

r

x

1

= (1, 0, f

x

1

), r

x

2

= (0, 1, f

x

2

), r

x

i

x

j

= (0, 0, f

x

i

x

j

)

Zgodnie ze wzorem na N , mamy:

N =

(r

x

1

× r

x

2

)

|r

x

1

× r

x

2

|

=

(−f

x

1

, −f

x

2

, 1)

|(−f

x

1

, −f

x

2

, 1)|

= Λ

−1

(f

x

1

, f

x

2

, 1).

Podstawiając ten wynik do wzoru na l

ij

otrzymujemy:

l

ij

= hN , r

x

i

x

j

i = Λ

−1

h(−f

x

1

, −f

x

2

, 1), (0, 0, f

x

i

x

j

)i = Λ

−1

f

x

i

x

j

.

Korzystając teraz ze wzoru g

ij

= hr

x

i

, r

x

j

i uzyskujemy:

det[g

ij

] = det

"

1 + f

2

x

1

f

x

1

f

x

2

f

x

1

f

x

2

1 + f

2

x

2

#

= (1 + f

2

x

1

)(1 + f

2

x

2

) − f

2

x

1

f

2

x

2

.

Podstawiając otrzymane wyniki do wzoru na K

M

z punktu (i) otrzymujemy:

K

M

=

det[l

ij

]

det[g

ij

]

=

Λ

−2

det[f

x

i

f

x

j

]

Λ

2

=

det[f

x

i

f

x

j

]

Λ

4

.

Uwaga 2.4.20. Jeśli przyjmiemy tradycyjne oznaczenia macierzy pierwszej i dru-

giej formy kwadratowej, odpowiednio:

"

E

F

F

G

#

i

"

L

M

M

N

#

, wzór na krzywiznę ma

postać:

K

M

=

LN − M

2

EF − G

2

,

2.5. TWIERDZENIE EGREGIUM

23

gdzie

E = hr

u

, r

u

i, F = hr

u

, r

v

i, G = hr

v

, r

v

i

L =

1

w

hr

u

× r

v

, r

uu

i =

1

w

det[r

u

, r

v

, r

uu

],

M =

1

w

hr

u

× r

v

, r

uv

i =

1

w

det[r

u

, r

v

, r

uv

],

N =

1

w

hr

u

× r

v

, r

vv

i =

1

w

det[r

u

, r

v

, r

vv

],

w = |r

u

× r

v

| =

√

EG − F

2

.

Przykład 2.4.21 (płaszczyzna z ujemną krzywizną). Płaszczyzna M zadana jest
równaniem z = x

2

− y

2

, czyli f (x, y) = x

2

− y

2

, a dowolny punkt powierzchni ma

współrzędne (x, y, x

2

− y

2

). Wtedy f

xx

= 2, f

yy

= −2, f

xy

= 0 i mamy:

K

M

=

det

"

2

0

0 −2

#



√

1 + 4x

2

+ 4y

2



4

=

−4



√

1 + 4x

2

+ 4y

2



4

< 0

2.5

Twierdzenie Egregium

Definicja 2.5.1 (dyfeomorfizm). Odwzorowanie gładkie nazywamy dyfeomorfi-
zmem o ile jest bijekcją i odwzorowanie odwrotne jest również gładkie.

Definicja 2.5.2 (izomorfizm). Niech M, N powierzchnie z metrykami Riemanna
h, i

M

i h, i

N

. Dyfeomorfizm f : M → N nazywamy izometrią jeżeli:

∀

p∈M

∀

v,w∈T

p

M

hdf

p

(v), df

p

(w)i

N

= hv, wi

M

Fakt 2.5.3. Dla izomorfizmów f : R

n

→ R

n

następujące warunki są równoważne:

(i) ∀

x,y∈R

n

d(f (x), f (y)) = d(x, y), gdzie d to metryka Euklidesowa,

(ii) dla każdej krzywej różniczkowalnej c : I → R

n

zachodzi: L(c) = L(f ◦ c),

(iii) ∀

x∈R

n

∀

v,w∈T

x

R

n

hdf

x

(v), df

x

(w)i = hv, wi.

Twierdzenie 2.5.4 (egregium, Gauss, 1828). Niech M, N powierzchnie. Jeżeli
f : M → N jest izometrią, to ∀

p∈M

K

M

(p) = K

N

(f (p)).

Twierdzenie egregium udowodnimy w nieco innej wersji. Aby ją sformułować,

wprowadzimy najpierw kilka definicji. Niech [g

ij

] i [h

ij

] to macierze odpowiednio

pierwszej i drugiej formy kwadratowej pewnej powierzchni M . Przez [g

ij

] oznaczamy

macierz odwrotną do [g

ij

]. Symbol g

ij,k

oznacza pochodną względem zmiennej k z

g

ij

.

24

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

Definicja 2.5.5 (tensor krzywizny). Tensor krzywizny powierzchni M jest zbiorem
funkcji:

R

iljk

=

X

m

g

lm

R

m
ijk

1 ¬ i, j, k, l ¬ 2

gdzie:

R

m
ijk

= Γ

m
ij,k

− Γ

m
ik,j

+

X

l

(Γ

l
ij

Γ

m
lk

− Γ

l
ik

Γ

m
ij

)

1 ¬ i, j, k, m ¬ 2

Rozważmy powierzchnię M sparametryzowaną przez funkcję f : R

2

→ R

3

. Niech

u ∈ R

2

, wtedy p = f (u) jest pewnym punktem powierzchni M , a na punkt u może-

my patrzeć jak na lokalne współrzędne punktu p. Wektory f

1

(u), f

2

(u), n(u) stano-

wią bazę przestrzeni R

3

, przy czym przez f

i

(u) rozumiemy wektory styczne do M

w punkcie p, wyznaczone za pomocą i-tej pochodnej cząstkowej f , natomiast wek-
tor n(u) to wektor normalny zaczepiony w p. Wektory f

1

, f

2

wyznaczają przestrzeń

styczną do M w p.

Twierdzenie 2.5.6 (egregium). Przy powyższych założeniach i oznaczeniach, za-
chodzi wzór:

K

M

(u) =

R

1212

(u)

det[g

ij

(u)]

Zanim podamy dowód twierdzenia egregium udowodnimy kilka faktów pomoc-

niczych.

Fakt 2.5.7. Zachodzą następujące wzory:

f

ik

(u) =

X

l

Γ

l
ik

(u)f

l

(u) + h

ik

(u)n(u),

n

i

(u) = −

X

l,k

h

il

g

lk

f

k

(u),

gdzie:

Γ

l
ik

=

X

j

g

lj

hf

ik

, f

j

i =

1

2

X

j

g

lj

(g

ij,k

+ g

jk,i

− g

ki,j

).

Uwaga 2.5.8. Zakładamy, że wektory f

1

, f

2

, n stanowią układ ortonormalny.

Dowód. Z algebry liniowej wiadomo, że:

f

ik

= f

ki

=

X

l

Γ

l
ik

f

l

+ a

ik

n,

przy czym a

ik

= hn, f

ik

i = h

ik

. Obie strony powyższej równości pomnóżmy skalarnie

przez f

i

:

hf

ik

, f

i

i = h

X

l

Γ

l
ik

f

l

, f

i

i =

X

l

Γ

l
ik

g

li

= [Γ

l
ik

][g

il

]

Stąd mamy:

Γ

l
ik

=

X

l

g

li

hf

ik

, f

i

i = Γ

l
ki

.

2.5. TWIERDZENIE EGREGIUM

25

Ponieważ g

ij,k

= hf

i

, f

j

i

k

, to z uzyskanych wyżej wzorów (i z wzoru na pochodną

iloczynu skalarnego) mamy:

g

ij,k

= hf

ik

, f

j

i + hf

i

, f

jk

i =

=

P

l

Γ

l
ik

g

lj

+

P

l

Γ

l
jk

g

li

(α)

g

ki,j

=

P

l

Γ

l
kj

g

lj

+

P

l

Γ

l
ij

g

lk

(β)

g

jk,i

=

P

l

Γ

l
ji

g

ik

+

P

l

Γ

l
ki

g

ij

(γ)

Policzmy teraz (α) − (β) + (γ):

X

l

Γ

l
ik

g

lj

+

X

l

Γ

l
jk

g

li

−

X

l

Γ

l
kj

g

lj

−

X

l

Γ

l
ij

g

lk

+

X

l

Γ

l
ji

g

ik

+

X

l

Γ

l
ki

g

ij

= 2

X

l

Γ

l
ik

g

lj

A stąd:

Γ

l
ik

=

X

j

g

lj

hf

ik

, f

j

i =

1

2

X

j

g

lj

(g

ij,k

+ g

jk,i

− g

ki,j

)

Twierdzenie 2.5.9. Równości f

ijk

= f

ikj

oraz n

ij

= n

ji

są równoważne następu-

jącym zależnościom między g

ik

, h

ik

, g

ik,l

oraz Γ

k
ij,l

:

(i) Γ

m
ij,k

− Γ

m
ik,j

+

P

l

(Γ

l
ij

Γ

m
lk

− Γ

l
ik

Γ

m
lj

) =

P

l

(h

ij

h

kl

− h

ik

h

jl

)g

lm

,

(ii)

P

l

Γ

l
ij

h

lk

−

P

l

Γ

l
ik

h

lj

+ h

ij,k

− h

ik,j

= 0.

Równania (i) nazywa się równaniami Gaussa, natomiast równania (ii) nazywa się
równaniami Codazzi–Mainardiego.

Dowód. Niech f

ijk

=

P

m

A

m
ijk

f

m

+ B

ijk

n. Na mocy faktu 2.5.7, możemy wyrazić

A

m
ijk

jako

1

:

A

m
ijk

= Γ

m
ij,k

+

X

l

Γ

l
ij

Γ

m
lk

−

X

l

h

ij

h

kl

g

lm

.

Z założenia f

ijk

= f

ikj

, więc A

m
ijk

= A

m
ikj

, skąd natychmiast (wystarczy zapisać

wzory na A

m
ijk

i A

m
ikj

i przenieść niektóre składniki na drugą stronę w równaniu

A

m
ijk

= A

m
ikj

) otrzymujemy (i).

Ponownie, korzystając z faktu 2.5.7 możemy napisać:

B

ijk

=

X

l

Γ

l
ij

h

lk

+ h

ij,k

.

Ponieważ B

ijk

= B

ikj

, to zachodzi (ii).

1

Fakt 2.5.7 daje wzór na f

ij

, który trzeba zróżniczkować względem k-tej współrzędnej, a następ-

nie skorzystać z wzoru na n

i

i ostatecznie napisać wzór na współczynnik przy f

m

dla ustalonego

m. Jest to techniczny „szczegół”, który pomijamy w tym opracowaniu.

26

ROZDZIAŁ 2. TEORIA POWIERZCHNI

Lemat 2.5.10. Tensory krzywizny R

iljk

spełniają:

R

iljk

= h

ij

h

kl

− h

ik

h

jl

.

Uwaga 2.5.11. Będziemy wykorzystywać jedynie fakt:

R

1212

= det[h

ij

],

który jest wnioskiem z powyższego lematu.

Dowód. Z definicji:

R

iljk

=

X

m

g

lm

R

m
ijk

=

X

m

g

lm

 

Γ

m
ij,k

− Γ

m
ik,j

+

X

l

(Γ

l
ij

Γ

m
lk

− Γ

l
ik

Γ

m
lj

)

!

=

Stosujemy teraz punkt (i) z poprzedniego twierdzenia:

=

X

m

g

lm

 

X

l

(h

ij

h

kl

− h

ik

h

jl

)g

lm

!

(?)

Z definicji [g

ij

] jako macierzy odwrotnej do [g

ij

], mamy:

g

l1

g

11

+ g

l2

g

12

=







1

gdy l = 1

0

gdy l = 2

g

l1

g

21

+ g

l2

g

22

=







0

gdy l = 1

1

gdy l = 2

Rozpisując sumę z wzoru (?) i grupując odpowiednio składniki, oraz stosując po-
wyższe zależności, otrzymujemy tezę lematu.

Dowód twierdzenia egregium. Zauważmy, że dowód powyższego lematu jest właści-
wie dowodem twierdzenia egregium. Z twierdzenia 2.4.19 mamy bowiem:

K

M

=

det[h

ij

]

det[g

ij

]

,

a z lematu det[h

ij

] = R

1212

, czyli rzeczywiście:

K

M

=

R

1212

det[g

ij

]

.