Jak rozwiązywać zadania z parametrem

background image

Zadania z parametrem

Zadania z parametrem są bardzo nielubiane przez maturzystów. Nie jest łatwo

odpowiedzieć na pytanie: dlaczego? Nie są to zadania o dużej skali trudności. Myślę, że
głównym powodem takiego stanu rzeczy jest nieumiejętność używania specyficznego
sposobu rozumowania prowadzącego do ich rozwiązania.

Bardzo często zdarza się, że z góry wiadomo, jak rozwiązywać takie zadanie – jeszcze

przed rozpoczęciem właściwych obliczeń. By to pokazać, zostanie „rozwiązanych” 10
przykładowych zadań. Cudzysłów jest niezbędny, gdyż zadania te nie zostaną rozwiązane,
lecz jedynie zostanie opisane, jak należy je rozwiązać. Obliczenia zostaną pominięte.

Wykorzystaj tę okazję:

1.

spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać dane zadanie i w razie
niepowodzenia:

2.

prześledź omówienie rozwiązania, wykonując wszelkie niezbędne obliczenia.

A więc do pracy:

......................................................................................................................................................

Zadanie 1. Dla jakich m suma odwrotności różnych pierwiastków równania

0

1

m

2

x

)

3

m

(

x

)

1

m

2

(

2

====

++++

++++

++++

−−−−

++++

jest większa od 1?

......................................................................................................................................................

Jednocześnie:

1.

Równanie ma mieć dwa różne rozwiązania i musi być kwadratowe:

0

1

m

2

≠≠≠≠

++++

i

0

>>>>

∆∆∆∆

, czyli

0

)

1

m

2

(

4

)

3

m

(

2

2

>>>>

++++

−−−−

++++

2.

Suma

odwrotności

pierwiastków

równania

ma

być

większa

od

1:

1

x

x

x

x

1

x

1

x

1

2

1

2

1

2

1

>>>>

++++

>>>>

++++

.

Zgodnie ze wzorami Viete’y:

1

1

m

2

3

m

c

b

a

c

a

b

x

x

x

x

2

1

2

1

>>>>

++++

++++

====

−−−−

====

−−−−

====

++++

Należy rozwiązać układ:

















>>>>

++++

++++

>>>>

++++

−−−−

++++

≠≠≠≠

++++

1

1

m

2

3

m

0

)

1

m

2

(

4

)

3

m

(

0

1

m

2

2

2

, którego rozwiązanie jest rozwiązaniem całego zadania.

Po wykonaniu wszystkich obliczeń otrzymasz wynik:













−−−−

3

1

,

2

1

m

.

......................................................................................................................................................

Zadanie 2.

Znajdź takie wartości parametru

R

m

, dla których jeden z pierwiastków

równania

0

m

3

2

mx

3

8

x

)

1

m

2

(

2

====

++++

++++

++++

jest sinusem, a drugi cosinusem tego samego kąta.

......................................................................................................................................................

Równanie musi mieć dwa rozwiązania, niekoniecznie różne (sinus kąta może być równy
cosinusowi),

czyli

musi

być

kwadratowe:

0

1

m

2

≠≠≠≠

++++

,

oraz

0

)

1

m

2

(

m

3

2

4

m

3

8

0

2

≥≥≥≥

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−−













≥≥≥≥

∆∆∆∆

.

background image

Sinus i cosinus tego samego kąta spełniają równanie

1

cos

sin

2

2

====

αααα

++++

αααα

, czyli ma być:

1

x

x

2
2

2

1

====

++++

.

((((

))))

2

1

2

2

1

2
2

2

1

x

x

2

x

x

x

x

−−−−

++++

====

++++

, więc możemy skorzystać ze wzorów Viete’y:

3

m

6

m

8

1

m

2

m

3

8

x

x

2

1

++++

−−−−

====

++++

−−−−

====

++++

oraz

3

m

6

m

2

1

m

2

m

3

2

x

x

2

1

++++

====

++++

====

.

Otrzymaliśmy równanie:

1

3

m

6

m

2

2

3

m

6

m

8

2

====

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−−













++++

−−−−

Rozwiązaniem zadania jest rozwiązanie układu:



















====

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−−













++++

−−−−

≥≥≥≥

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−−













≠≠≠≠

++++

1

3

m

6

m

2

2

3

m

6

m

8

0

)

1

m

2

(

m

3

2

4

m

3

8

0

1

m

2

2

2

Układ ten ma dwa rozwiązania:

2

17

3

12

m

i

2

17

3

12

m

2

1

++++

====

−−−−

====

, które są rozwiązaniem

zadania.

......................................................................................................................................................

Zadanie 3.

Zbadaj liczbę rozwiązań równania

k

x

k

x

====

++++

w zależności od wartości

parametru k.

......................................................................................................................................................

(*)

k

x

k

x

====

++++

Jest to typowe równanie „kwadratowo-podobne”: po podstawieniu

x

t

====

otrzymujemy

(**)

0

k

kt

t

2

====

−−−−

++++

z dziedziną

0

t

≥≥≥≥

, bo

0

x

t

≥≥≥≥

====

.

Zwróćmy uwagę, że należy zbadać liczbę rozwiązań równania (*), a więc należy wziąć pod

uwagę ile rozwiązań mają równania typu:

3

x

,

0

x

,

7

x

−−−−

====

====

====

, w zależności od

uzyskanych wartości t.

Jeżeli

0

t

≥≥≥≥

, to równanie

t

x

====

ma jedno rozwiązanie, a jeżeli

0

t

<<<<

- nie ma rozwiązań.

Gdy dla równania (**) obliczymy

k

4

k

2

++++

====

∆∆∆∆

, to

1.

Równanie (*) nie ma rozwiązań, gdy:

a)

0

<<<<

∆∆∆∆

, lub b)







<<<<

====

∆∆∆∆

0

t

0

0

, lub c)











<<<<

<<<<

>>>>

∆∆∆∆

0

t

0

t

0

2

1

rozwiązaniem punktu a) jest

)

0

,

4

(

k

−−−−

punkt b)

0

====

∆∆∆∆

gdy

4

k

0

k

−−−−

====

∨∨∨∨

====

Dla

0

t

:

0

k

0

====

====

, więc układ jest sprzeczny

Dla

4

t

:

4

k

0

====

−−−−

====

, więc układ jest sprzeczny

Ostatecznie przypadek b) nie zachodzi.

c)







<<<<

<<<<

0

t

0

t

2

1

zastępujemy w oparciu o wzory Viete’y zapisem:







<<<<

++++

>>>>

⋅⋅⋅⋅

0

t

t

0

t

t

2

1

2

1

, co daje







>>>>

<<<<

0

k

0

k

czyli układ c) jest sprzeczny – ten przypadek także nie zachodzi.

background image

Równanie (*) nie ma rozwiązań, gdy

)

0

,

4

(

k

−−−−

.

2.

Równanie (*) ma dwa różne rozwiązania, gdy równanie (**) ma dwa różne
rozwiązania, z których żadne nie jest ujemne. Musi więc by ć:











>>>>

++++

≥≥≥≥

⋅⋅⋅⋅

>>>>

∆∆∆∆

0

t

t

0

t

t

0

2

1

2

1

. Rozwiązaniem tego układu jest

((((

))))

4

,

k

−−−−

−−−−

.

3.

Dla pozostałych wartości k równanie ma jedno rozwiązanie, czyli dla

)))) {{{{ }}}}

4

,

0

k

−−−−

......................................................................................................................................................

Zadanie 4.

Dla jakich m nierówność

0

3

x

)

1

m

(

2

x

)

6

m

5

m

(

2

2

>>>>

++++

−−−−

−−−−

−−−−

++++

jest spełnione dla

każdego

R

x

?

......................................................................................................................................................

((((

))))

1

m

6

m

0

6

m

5

m

2

====

∨∨∨∨

−−−−

====

====

−−−−

++++

Dla tych dwóch wartości m nierówność jest pierwszego stopnia i:

dla

6

m

−−−−

====

przyjmuje postać

0

3

x

14

>>>>

++++

, czyli nie jest spełniona dla każdego

R

x

dla

1

m

====

przyjmuje postać

0

3

>>>>

, czyli jest spełniona dla każdego

R

x

1

m

====

jest jednym z rozwiązań zadania.

Dla

m

{{{{

}}}}

1

,

6

\

R

−−−−

nierówność jest kwadratowa i aby była spełniona dla każdego

R

x

,

wykres trójmianu musi być parabolą z ramionami skierowanymi do góry, leżącą nad osią OX,

czyli:







−−−−

<<<<

∆∆∆∆

−−−−

>>>>

−−−−

++++

zerowych

miejsc

brak

0

górę

w

ramiona

0

6

m

5

m

2

Rozwiązaniem tego układu jest

((((

)))) (((( ))))

−−−−

;

1

5

,

9

;

m

.

Wziąwszy pod uwagę

1

m

====

otrzymujemy ostateczne rozwiązanie zadania:

((((

))))

))))

−−−−

;

1

5

,

9

;

m

......................................................................................................................................................

Zadanie 5.

Dla jakich m funkcja

3

m

x

4

x

)

4

m

(

)

x

(

f

2

−−−−

++++

−−−−

−−−−

====

ma dwa miejsca zerowe, z

których jedno jest mniejsze od 1, a drugie większe od 1?

......................................................................................................................................................

Funkcja musi być kwadratowa:

4

m

≠≠≠≠

.

Musi mieć dwa miejsca zerowe:

0

)

4

m

)(

3

m

(

4

16

>>>>

−−−−

−−−−

−−−−

====

∆∆∆∆

, co daje















++++

−−−−

2

17

7

,

2

17

7

m

.

Wykres funkcji musi być następujący:

co daje układy:











>>>>

<<<<

>>>>

∆∆∆∆











<<<<

>>>>

>>>>

∆∆∆∆

0

)

1

(

f

4

m

0

lub

0

)

1

(

f

4

m

0

background image

Ostateczny wynik:













2

11

;

4

m

......................................................................................................................................................

Zadanie 6.

Wyznacz a i b wiedząc, że liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu

b

ax

x

5

x

)

x

(

W

2

3

++++

++++

−−−−

====

......................................................................................................................................................

Z tematu zadania wynika, że wielomian musi mieć dwa pierwiastki:

dwukrotny: 3

pojedynczy: p

Wobec tego jego postać iloczynowi jest następująca:

((((

)))) ((((

))))

p

x

3

x

)

x

(

W

2

−−−−

−−−−

====

, co po wykonaniu przekształceń daje:

p

9

x

)

9

p

6

(

x

)

6

p

(

x

)

x

(

W

2

3

−−−−

++++

++++

++++

−−−−

====

.

Porównując otrzymane równanie z równaniem

b

ax

x

5

x

)

x

(

W

2

3

++++

++++

−−−−

====

otrzymujemy układ

równań:











====

−−−−

====

++++

====

++++

b

p

9

a

9

p

6

5

6

p

, którego rozwiązaniem jest

9

b

,

3

a

====

====

.

......................................................................................................................................................

Zadanie 7.

Dla jakich m równanie

0

2

m

3

)

6

m

2

(

9

)

3

m

(

x

x

====

++++

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

−−−−

⋅⋅⋅⋅

−−−−

ma dwa różne

pierwiastki?

......................................................................................................................................................

Podstawiamy

x

3

t

====

i otrzymujemy: (**)

0

2

m

t

)

6

m

2

(

t

)

3

m

(

2

====

++++

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

−−−−

⋅⋅⋅⋅

−−−−

.

Równanie

Liczba

3

x

====

ma jedno rozwiązanie, gdy Liczba>0; nie ma rozwiązań, gdy

0

Liczba

≤≤≤≤

(wynika to z własności funkcji wykładniczej).

Równanie wyjściowe ma więc dwa rozwiązania, gdy:



















>>>>

−−−−

++++

====

++++

>>>>

−−−−

++++

====

>>>>

−−−−

++++

−−−−

++++

====

∆∆∆∆

≠≠≠≠

0

3

m

6

m

2

t

t

0

3

m

2

m

t

t

0

)

3

m

)(

2

m

(

4

)

6

m

2

(

3

m

2

1

2

1

2

Warunek:

pierwszy gwarantuje, że równanie jest kwadratowe

drugi – że ma dwa różne pierwiastki

trzeci i czwarty, że pierwiastki równania (**) są dodatnie

Rozwiązując ten układ otrzymujemy:

(((( ))))

,

3

m

......................................................................................................................................................

Zadanie 8.

Dla jakich wartości parametru m równanie

0

1

x

sin

m

4

)

x

sin

1

(

m

2

====

++++

++++

−−−−

−−−−

ma

rozwiązanie?

......................................................................................................................................................

Skoro m jest parametrem, a x – niewiadomą, to liczymy sinx:

)

m

1

)(

m

1

(

1

m

4

m

x

sin

2

++++

−−−−

−−−−

++++

−−−−

====

.

Ponieważ funkcja sinus przyjmuje wartości z przedziału

1

,

1

−−−−

, należy rozwiązać układ:

background image

{{{{ }}}}



















−−−−

≥≥≥≥

++++

−−−−

−−−−

++++

−−−−

≤≤≤≤

++++

−−−−

−−−−

++++

−−−−

−−−−

1

)

m

1

)(

m

1

(

1

m

4

m

1

)

m

1

)(

m

1

(

1

m

4

m

1

,

1

\

R

m

2

2

, co daje wynik

))))

,

2

2

1

,

0

m

......................................................................................................................................................

Zadanie 9.

Dla jakich wartości parametru













ππππ

αααα

2

,

0

prosta

x

2

y

====

jest styczna do wykresu

funkcji

3

sin

2

cos

x

x

)

x

(

f

3

++++

αααα

−−−−

αααα

−−−−

−−−−

====

?

......................................................................................................................................................

Korzystamy z własności, że współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji jest
równy pochodnej funkcji w punkcie styczności:

(((( ))))

0

0

x

,

2

x

'

f

====

- punkt styczności.

(((( ))))

1

x

3

x

'

f

2

−−−−

====

, stąd

(((( ))))

((((

))))

1

x

1

x

2

1

x

3

x

'

f

0

0

2

0

0

−−−−

====

∨∨∨∨

====

====

−−−−

====

Punkt styczności należy do stycznej, więc:

2

1

2

y

to

1

x

0

0

====

⋅⋅⋅⋅

====

====

2

)

1

(

2

y

to

1

x

0

0

−−−−

====

−−−−

⋅⋅⋅⋅

====

−−−−

====

Mamy dwa punkty styczności:

)

2

,

1

(

P

,

)

2

,

1

(

P

2

1

−−−−

−−−−

====

====

Punkt styczności należy też do wykresu funkcji:

a)

dla punktu

1

P

:

2

3

sin

2

cos

1

1

)

1

(

f

3

====

++++

αααα

−−−−

αααα

−−−−

−−−−

====

Rozwiązując to równanie otrzymujemy

2

1

sin

lub

0

sin

====

αααα

====

αααα

.

αααα

jest kątem ostrym, więc musi być

0

30

====

αααα

b)

dla punktu

2

P

:

2

3

sin

2

cos

)

1

(

)

1

(

)

1

(

f

3

====

++++

αααα

−−−−

αααα

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

====

−−−−

, co daje takie samo równanie, więc to samo

rozwiązanie.

Jedynym rozwiązaniem zadania jest

0

30

====

αααα

.

......................................................................................................................................................

Zadanie 10.

Dla jakich wartości parametrów a i b reszta z dzielenia wielomianu

b

ax

x

2

x

)

x

(

W

2

3

++++

++++

++++

====

przez wielomian

2

x

x

)

x

(

P

2

−−−−

++++

====

jest równa

3

x

4

)

x

(

R

−−−−

====

?

......................................................................................................................................................

Jeżeli wielomian W(x) dzielimy przez wielomian P(x), to otrzymamy wynik z dzielenia –
oznaczmy go Q(x), i resztę R(x), co można zapisać równaniem:

)

x

(

R

)

x

(

P

)

x

(

Q

)

x

(

W

++++

⋅⋅⋅⋅

====

.

)

1

x

)(

2

x

(

2

x

x

)

x

(

P

2

−−−−

++++

====

−−−−

++++

====

, czyli

3

x

4

)

1

x

)(

2

x

(

)

x

(

Q

b

ax

x

2

x

2

3

−−−−

++++

−−−−

++++

⋅⋅⋅⋅

====

++++

++++

++++

.

Do ostatniego równania:

a)

wstawiamy

2

x

−−−−

====

i otrzymujemy

11

b

a

2

−−−−

====

++++

−−−−

b)

wstawiamy

1

x

====

i otrzymujemy

2

b

a

−−−−

====

++++

Otrzymaliśmy układ równań, którego rozwiązaniem jest







−−−−

====

====

5

b

3

a

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Jak rozwiązywać zadania tekstowe
Jak rozwiązywać zadania logiczne czyli zagadka Einsteina
Jak rozwiązywać zadania z fizyki
Coaching mentoring i zarzadzanie Jak rozwiazywac problemy i budowac zespol
Pierwiastki Zadanie domowe [PDF], Pierwiastki Rozwiązanie zadania domowego
Obliczanie pochodnych Zadanie Rozwiazanie zadania domowego id
12 Przykład rozwiązania zadania projektowego
Ekstrema warunkowe Zadanie do Rozwiazanie zadania domowego id
fundamentowanie rozwiazane zadania (1)
PRZYKŁADOWE ROZWIĄZANIE ZADANIA 6 NA ETAP PRAKTYCZNY EGZAMINU Zakady Meblarskie MEBLEX
Jak rozwiazac problemy
JAK ROZWIĄZAĆ KONFLIKT ZEWNĘTRZNY

więcej podobnych podstron