Algebra z geometri¡ I
Zadanie 1.1. Czy funkcja f okre±lona wzorem f (x, y) = x+y −2 jest dziaªaniem wewn¦trz-
nym w zbiorze liczb naturalnych?
Zadanie 1.2. W zbiorze G = (−1, 1) ⊂ R okre±lamy dziaªanie
a ∗ b =
a + b
1 + ab
.
Sprawd¹, czy dziaªanie to jest:
a) przemienne,
b) ª¡czne.
Zadanie 1.3. W zbiorze H = {a, b} okre±lamy dziaªanie tabelk¡:
a
b
a
a
a
b
a
b
Sprawd¹, czy dziaªanie jest:
a) przemienne,
b) ª¡czne.
Zadanie 1.4. W zbiorze J = {a, b, c, d, e} okre±lamy dziaªanie ⊕ tabelk¡:
⊕
a
b
c
d
e
a
d
c
e
b
a
b
c
e
e
a
b
c
e
e
d
b
c
d
b
a
c
e
d
e
a
b
c
d
e
Sprawd¹, czy dziaªanie ⊕:
a) jest przemienne,
b) ma element neutralny,
c) ma t¦ wªasno±¢, »e ka»dy element zbioru J ma dokªadnie jeden element odwrotny.
Zadanie 1.5. Czy para (G, ∗) patrz zadanie 1.2 jest grup¡?
Zadanie 1.6. Zbadaj, czy (R, •), gdzie
u • v =
u + v
2
,
jest grup¡.
Zadanie 1.7. Czy zbiór
n
a
√
2 + b
√
5 : a, b ∈ Q
o
z dziaªaniem mno»enia liczb jest grup¡?
Zadanie 1.8. Udowodnij, »e (Z, ◦), gdzie
a ◦ b = a + b + 2
jest grup¡. Czy jest to grupa abelowa? Oblicz (−1 ◦ 5) ◦ (6 ◦ 2).
Zadanie 1.9. W zbiorze G = (R \ {−1}) okre±lamy dziaªanie wzorem
x y = x + y + xy.
Algebra z geometri¡ I
Udowodnij, »e (G, ) jest grup¡ abelow¡.
Zadanie 1.10. W zbiorze P =
(x, y, z) ∈ R
3
: x 6= 0, y 6= 0
okre±lamy dziaªanie
(x, y, z) (k, l, m) = (kx, ly, mx + lz) .
Udowodnij, »e (P, ) jest grup¡.
Zadanie 1.11. Udowodnij, »e je»eli (X, •) jest grup¡, to dziaªanie • ma dokªadnie jeden
element neutralny.
Zadanie 1.12. Zbadaj, czy (A, +) jest podgrup¡ grupy (R, +), je»eli
a) A = R,
b) A = N,
c) A =
n
a + b
√
2 : a, b ∈ Z
o
.
Zadanie 1.13. Niech dane b¦d¡ cztery przeksztaªcenia pªaszczyzny R
2
: I to»samo±¢, S
x
symetria wzgl¦dem osi x, S
y
symetria wzgl¦dem osi y, S
o
symetria wzgl¦dem pocz¡tku ukªadu
wspóªrz¦dnych. Niech S = {I, S
x
, S
y
, S
o
}
. Przyjmijmy, »e dziaªanie ◦, okre±lone w zbiorze S, jest
skªadaniem przeksztaªce«. Wyznacz wszystkie podgrupy grupy (S, ◦).
Zadanie 1.14. W zbiorze Z
4
= {0, 1, 2, 3}
okre±lamy dziaªanie
a ⊕ b =
reszta z dzielenia a + b przez 4.
Wyznacz wszystkie podgrupy grupy (Z
4
, ⊕)
.
Zadanie 1.15. Narysuj tabelki dziaªa« grupowych dla grup (S, ◦) oraz (Z
4
, ⊕)
patrz za-
dania 1.13 i 1.14. Czy grupy te s¡ izomor czne?
Zadanie 1.16. Czy grupa abelowa mo»e by¢ izomor czna z grup¡, która nie jest przemienna?
Zadanie 1.17. Udowodnij, »e grupy (R, +) oraz (R \ {0} , ·) nie s¡ izomor czne.
Algebra z geometri¡ II
Zadanie 1.18. Udowodnij, »e odwzorowanie f : P → R \ {0}, dane wzorem
f (a, b, c) = ab
jest homomor zmem grup (P, ) oraz (R \ {0} , ·). Czy grupy te s¡ izomor czne? Uwaga: zbiór
P
patrz zadanie 1.10.
Zadanie 1.19. Wiemy, »e zbiór A = (2, +∞) ⊂ R wraz z dziaªaniem ∗, które jest okre±lone
nast¦puj¡co
x ∗ y = xy − 2x − 2y + 6
jest grup¡. Wyka», »e odwzorowanie f : A → R
+
, dane wzorem
f (a) = a − 2,
jest izomor zmem grup (A, ∗) oraz (R
+
, ·)
. Uwaga: R
+
def
= {x ∈ R : x > 0}.
Zadanie 1.20. Udowodnij, »e (Z, +, ·) jest pier±cieniem. Sprawd¹, »e
a) pier±cie« (Z, +, ·) jest pier±cieniem przemiennym,
b) pier±cie« (Z, +, ·) ma jedynk¦,
c) zbiór Z (3)
def
= {p ∈ Z : 3|p} jest podpier±cieniem pier±cienia (Z, +, ·),
d) pier±cienie (Z, +, ·) oraz (Z (3) , +, ·) s¡ izomor czne.
Czy (Z, +, ·) jest ciaªem?
Zadanie 1.21. Udowodnij, »e R
2
, ⊕,
, gdzie
(a, b) ⊕ (x, y) = (a + x, b + y) ,
(a, b) (x, y) = (ax − by, ay + bx) ,
jest ciaªem.
Zadanie 1.22. Udowodnij, »e zbiór
H =
n
a + b
√
5 : a, b ∈ Q
o
jest podciaªem ciaªa (R, +, ·).
Zadanie 1.23. W zbiorze R
+
okre±lamy dziaªanie
a ∗ b = a
b
.
Sprawd¹, czy (R
+
, ·, ∗)
jest ciaªem. Je»eli tak, to czy sprawd¹, czy jest ciaªem izomor cznym
z (R, +, ·).
Zadanie 1.24. W zbiorze R okre±lamy dziaªania
a † b = a + b + 1,
a ‡ b = a + b + ab.
Sprawd¹, czy
a) (R, †, ‡) jest ciaªem,
b) grupy (R \ {−1} , ‡, ) oraz (R \ {0} , ·) s¡ izomor czne.
Algebra z geometri¡ IV
Zadanie 1.25. Doko«czy¢!!! Rozwa»my ciaªo (A, ⊕, ) oraz ciaªo (B, •, ?).
a) Czy odwzorowanie p : A → B, dane wzorem p (a) = . . . jest homomor zmem ciaªa (A, ⊕, )
w ciaªo (B, •, ?)?
b) Czy rozwa»ane ciaªa s¡ izomor czne?
c) Czy mo»na wskaza¢ homomor zm ciaªa (B, •, ?) w ciaªo (A, ⊕, )?
Zadanie 1.26. Znajd¹ takie liczby rzeczywiste x, y, aby zachodziªa równo±¢
a) x (2 + 3i) + y (4 − 5i) = 6 − 2i,
b)
x
3+2i
+
y
2−3i
= 1
.
Zadanie 1.27. Przedstaw rozwi¡zania poni»szych równa« z niewiadom¡ z w postaci x + iy,
gdzie x, y ∈ R:
a) (a − bi) z = a + bi,
b) (a + bi)
a − bi
(1 − z) + (a − bi)
2
(1 + z) = 0
.
Zadanie 1.28. Przedstaw w postaci trygonometrycznej poni»sze liczby zespolone:
a) 1 + i, 1 − i, −1 + i, −1 − i,
b) 1 + i
√
3
, 1 − i
√
3
, −1 + i
√
3
, −1 − i
√
3
,
c) (1 + i)
1 − i
√
3
,
d)
1+i
1+i
√
3
,
e) 2 + i
√
12
,
f) 1 − cos α − i sin α, 1 + cos α + i sin α,
g) 1 + i tg α, 1 − i tg α,
h)
1+i tg α
1−i tg α
,
Zadanie 1.29. Rozwi¡» równania:
a) z
2
+ z + 1 = 0
,
b) z
2
+ 2z + 5 = 0
.
Algebra z geometri¡ IV
Zadanie 1.30. Wyznacz:
a) ±rodek odcinka o ko«cach z
1
i z
2
,
b) czwarty wierzchoªek równolegªoboku (z
4
), znaj¡c trzy pozostaªe (z
1
, z
2
, z
3
) i wiedz¡c, »e
odcinek ª¡cz¡cy z
1
i z
2
jest przek¡tn¡ tego równolegªoboku,
c) dwusieczn¡ k¡ta o wierzchoªku z
w
i ramionach przechodz¡cych przez z
1
i z
2
,
d) symetraln¡ odcinka o ko«cach z
1
i z
2
.
Zadanie 1.31. Opisz i narysuj zbiory liczb zespolonych z speªniaj¡cych podane warunki:
a) |z − z
0
| = r
, z
0
∈ C, r > 0,
b) |z − z
0
| < r
, z
0
∈ C, r > 0,
c) |z − 2 + i| ¬ 3,
d) Arg (z − z
0
) = ϕ
, z
0
∈ C, ϕ ∈ [0, 2π),
e) Arg (z − 2 − i) = π,
f) |z − 1 + i| = |z − i|,
g)
z−2i
z+1
= 1
,
h) |z − i| < |z + 1|,
i) |z + i| |iz + 2|,
j) Re z 3,
k) Im (z + 1) > −1,
l) |Re z| + |Im z| ¬ 1,
m) Im z
2
¬ 0
,
n) Re z
2
+ i
= 1
.
Zadanie 1.32. Stosuj¡c wzór de Moivre'a oblicz:
a) (1 + i)
8
,
b)
√
3 + i
9
,
c)
cos α+i sin α
1+i
√
3
10
,
d)
1+i
1+i
√
3
144
,
e) (cos 3
◦
+ i sin 3
◦
)
100
,
f)
(1+i)
101
(
i−
√
3
)
102
i
1523
(
1+i
√
3
)
103
,
g)
1
2
2002
1 + i
√
3
2002
+
−1 + i
√
3
2002
+
1 − i
√
3
2002
,
h)
1
2
122
·
1−i
√
3
1−i
30
· (1 + i)
40
·
√
3 − i
50
√
3 + i
60
.
Zadanie 1.33. Stosuj¡c wzór de Moivre'a zapisz:
a) sin 2x i cos 2x za pomoc¡ sin x i cos x,
b) sin 3x i cos 3x za pomoc¡ sin x i cos x,
c) sin 4x i cos 4x za pomoc¡ sin x i cos x.
Algebra z geometri¡ IV
Zadanie 1.34. Korzystaj¡c z to»samo±ci:
cos x =
(cos x + i sin x) + (cos x − i sin x)
2
,
sin x =
(cos x + i sin x) − (cos x − i sin x)
2i
,
a nast¦pnie wykorzystuj¡c wzór de Moivre'a zapisz
a) sin
2
x
i cos
2
x
za pomoc¡ cos 2x,
b) cos
3
x
za pomoc¡ cos 3x i cos x,
c) sin
3
x
za pomoc¡ sin 3x i sin x,
d) sin
4
x
i cos
4
x
za pomoc¡ cos 4x i cos 2x.
Zadanie 1.35. Wyprowad¹ wzór na pierwiastki
√
z =
z + |z|
|z + |z||
q
|z|, −
z + |z|
|z + |z||
q
|z|
dla z ∈ C \ {r ∈ R : r ¬ 0}.
Zadanie 1.36. Oblicz pierwiastki:
a)
√
i
,
4
√
16
,
b)
√
−11 + 60i
,
c)
q
−4 + 4
√
3i
,
4
q
−8 + 8i
√
3
,
d)
3
q
(3 + 4i)
3
,
Zadanie 1.37. Wyznaczaj¡c pierwiastek z odpowiednio dobranej liczby zespolonej, oblicz
sin 15
◦
oraz cos 15
◦
.
Zadanie 1.38. Wyznacz
6
√
−1 = {w
1
, w
2
, w
3
, w
4
, w
5
, w
6
}
oraz oblicz:
w
1
+ w
2
+ w
3
+ w
4
+ w
5
+ w
6
,
w
1
· w
2
· w
3
· w
4
· w
5
· w
6
.
Zadanie 1.39. Rozwi¡» równania:
a) z
2
= i
,
b) z
3
= −27
c) z
8
= 2
8
,
d) z
2
− 3z + 3 + i = 0
,
e) z
2
− (2 + i) z − 1 + 7i = 0
,
f) z
2
+ 2
z + 3 = 0
,
g) z
4
− 30z
2
+ 289 = 0
,
h) z
4
+ (15 + 7i) z
2
+ 8 − 15i = 0
,
i) 2z
2
+ 2
−1 + i
√
3
z +
2+i2
√
3
1−i
√
3
= 0
,
j) z |z| = 2z.
Zadanie 1.40. Udowodnij, »e dla dowolnych z
1
, z
2
∈ C zachodzi równo±¢:
|z
1
+ z
2
|
2
+ |z
1
− z
2
|
2
= 2
|z
1
|
2
+ |z
2
|
2
.
Algebra z geometri¡ VIII
Zadanie 2.1. Stosuj¡c schemat Hornera wykonaj dzielenie z reszt¡ wielomianu f (x) przez
x − x
0
, a nast¦pnie podaj warto±¢ f (x
0
)
:
a) f (x) = 2x
5
− 4x
4
− x
3
+ x
2
+ 2x − 3
, x
0
= 2
b) f (x) = x
4
+ x
2
+ 2
, x
0
= −1
,
c) f (x) = 4x
5
− 4x
4
+ 3x
3
− 3x
2
+ 9x − 9
, x
0
= 1 + i
,
Zadanie 2.2. Oblicz reszt¦ z dzielenia wielomianu f (x) przez g (x), a nast¦pnie podaj war-
to±¢ f (x
0
)
:
a) f (x) = 3x
4
+ 2x
3
− 7x − 1
, g (x) = x + 4, x
0
= −4
,
b) f (x) = x
3
+ x
2
+ x + 2
, g (x) = 2x − 1, x
0
=
1
2
,
c) f (x) = x
4
+ (3 − 8i) x
3
− (21 + 18i) x
2
− (33 − 20i) x + 7 + 18i
,
g (x) = x − x
0
, x
0
= 2i − 1
.
Zadanie 2.3. Dla jakich a i b wielomian
a) x
4
− 3x
3
+ ax
2
+ bx + a
jest podzielny przez x
2
− 1
?
b) ax
n+1
+ bx
n
+ 1
jest podzielny przez (x − 1)
2
?
c) x
5
+ ax
3
+ b
ma ró»ny od zera pierwiastek podwójny?
Zadanie 2.4. Wielomian przy dzieleniu przez (x − 1) (x − 2) daje reszt¦ x + 1, przy dziele-
niu przez (x + 1) daje reszt¦ (−2). Znajd¹ reszt¦ z dzielenia tego wielomianu przez wielomian
(x − 1) (x − 2) (x + 1)
.
Zadanie 2.5. Rozªó» na czynniki nierozkªadalne (nad ciaªem liczb rzeczywistych oraz nad
ciaªem liczb zespolonych):
a) x
4
− 1
,
b) x
4
+ 81
,
c) x
4
+ x
2
+ 1
,
d) x
4
− x
2
+ 1
.
Zadanie 2.6. Rozwi¡» równania (w zbiorze liczb rzeczywistych oraz w zbiorze liczb zespo-
lonych):
a) x
4
− 1 = 0
,
b) x
6
− x
3
+ 1 = 0
,
c) x
4
+ 2x
3
− 9x
2
− 2x + 8 = 0
,
d) x
5
− 4x
3
− 2x
2
+ 3x + 2 = 0
,
e) x
4
− 2x
3
− 2x
2
− 2x − 3 = 0
,
f) x
4
− 2x
3
+ 5x
2
− 8x + 4 = 0
,
g) x
4
+ 6x
2
− 8ix − 3 = 0
(tylko w C).
Zadanie 2.7. Rozwi¡» ukªady równa«:
a)
x + y + z = 9
xy + yz + zx = 27
xyz = 27,
b)
(
xy (x + y) = 30
x
3
+ y
3
= 35.
Zadanie 2.8. Dany jest wielomian w (x) = 3x
4
−10x
3
+a
2
x
2
+a
1
x+a
0
, dla którego stosunek
pierwiastków wynosi:
x
1
: x
2
: x
3
: x
4
= 1 : 2 : 3 : 4.
Znajd¹ wspóªczynniki a
0
, a
1
i a
2
.
Algebra z geometri¡ IX
Zadanie 2.9. Liczby p
1
, p
2
i p
3
s¡ pierwiastkami równania a
3
x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + a
0
= 0
. Wyra¹
za pomoc¡ a
0
, a
1
, a
2
, a
3
:
a) p
2
1
+ p
2
2
+ p
2
3
,
b) p
3
1
+ p
3
2
+ p
3
3
,
c)
1
p
1
+
1
p
2
+
1
p
3
.
Zadanie 2.10. Zrób zadanie 1.38 wykorzystuj¡c wzory Viète'a.
Zadanie 2.11. Sprawd¹, czy zbiór
A =
n
(x
1
, x
2
, x
3
) ∈ R
3
: 2x
1
+ x
2
+ x
3
= 0
o
z dziaªaniami
x ⊕ y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, x
3
+ y
3
) ,
α x = (αx
1
, αx
2
, αx
3
) ,
gdzie x = (x
1
, x
2
, x
3
) ∈ R
3
, y = (y
1
, y
2
, y
3
) ∈ R
3
, α ∈ R, jest przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem R.
Zadanie 2.12. Sprawd¹, czy zbiór C [0, 1] funkcji ci¡gªych f : [0, 1] → R z dziaªaniami
(f + g) (x) = f (x) + g (x) , x ∈ [0, 1] ,
(α · f ) (x) = αf (x) , x ∈ [0, 1] ,
gdzie f, g ∈ C [0, 1], α ∈ R, jest przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem R.
Zadanie 2.13. W zbiorze V = R
+
okre±lamy dziaªania:
v ⊕ w = v · w, v, w ∈ V,
α v = v
α
, v ∈ V, α ∈ R.
Czy czwórka (R, V, ⊕, ) jest przestrzeni¡ wektorow¡?
Zadanie 2.14. Sprawd¹, czy zbiór V jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni liniowej P nad
ciaªem R, je»eli
a) P = R
3
, V =
(x, y, z) ∈ R
3
: x > 0
,
b) P = R
3
, V =
(x, y, z) ∈ R
3
: x + y + z = 0
,
c) P = R
3
, V =
(x, y, z) ∈ R
3
: x + 2y − z = 1
,
d) P = R
3
, V =
(x, y, z) ∈ R
3
: x ∈ Q
,
e) P = R
3
, V =
(x, y, z) ∈ R
3
: yz ¬ 0
,
f) P = R
3
, V =
(x, y, z) ∈ R
3
: x + y + z = x − y = 0
,
g) P = R
4
, V =
(x, y, z, t) ∈ R
4
: x = z
lub y = t
,
h) P = R
4
, V =
(x, y, z, t) ∈ R
4
: x = z
oraz y = t
,
i) P = R
5
, V =
(2x, x + y, 7, 13, x − y) ∈ R
5
: x, y ∈ R
.
Zadanie 2.15. Udowodnij, »e czwórka (R, V, +, ·), gdzie
V =
n
(x, y, z) ∈ R
3
: x + 2y + 3z = 0
o
⊂ R
3
jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni R, R
3
, +, ·
. Sprawd¹, »e wektory e
1
= (−2, 1, 0)
oraz
e
2
= (−3, 0, 1)
nale»¡ do V , s¡ liniowo niezale»ne i tworz¡ baz¦ przestrzeni V . Jaki jest wymiar
przestrzeni V ?
Algebra z geometri¡ IX
Zadanie 2.16. Sprawd¹, »e wektory
e
1
= (1, 1, 2, 1) ,
e
2
= (1, −1, 0, 1) ,
e
3
= (0, 0, −1, 1) ,
e
4
= (1, 2, 2, 0)
tworz¡ baz¦ przestrzeni R
4
. Znajd¹ wspóªrz¦dne wektora v = (1, 2, 2, 0) w tej bazie.
Zadanie 2.17. Niech dane b¦d¡ wektory
e
1
= (1, 2, 0) ,
e
2
= (2, 1, −1) ,
e
3
= (−4, −5, −1) ,
e
4
= (3, −3, 1)
Znajd¹ dim L (e
1
, e
2
, e
3
, e
4
)
oraz jak¡kolwiek baz¦ przestrzeni L (e
1
, e
2
, e
3
, e
4
)
.
Zadanie 2.18. Udowodnij, »e ukªad wektorów
e
1
= (1, 2, 0, 4) ,
e
2
= (−1, 0, 5, 1) ,
e
3
= (1, 6, 10, 14) ,
jest liniowo zale»ny oraz zapisz nietrywialn¡ kombinacj¦ liniow¡
α
1
e
1
+ α
2
e
2
+ α
3
e
3
= θ,
gdzie θ = (0, 0, 0, 0). Sprawd¹, czy v = (0, 8, 20, 20) ∈ L (e
1
, e
2
, e
3
)
.
Zadanie 2.19. Udowodnij, »e wektory
f
1
= (1, 1, 1, 1, 1) , f
2
= (0, 1, 1, 1, 1) , f
3
= (0, 0, 1, 1, 1) , f
4
= (0, 0, 0, 1, 1) , f
5
= (0, 0, 0, 0, 1) ,
tworz¡ baz¦ w przestrzeni R
5
. Znajd¹ wspóªrz¦dne wektora x = (1, 0, 1, 0, 1) w tej bazie.
Zadanie 2.20. Znajd¹ baz¦ przestrzeni wektorowej W = L (v
1
, v
2
, v
3
, v
4
)
, gdzie
v
1
= (1, 2, 3, 4) ,
v
2
= (4, 7, 10, 13) ,
v
3
= (2, 3, 4, 5) ,
v
4
= (3, 5, 7, 9)
oraz sprawd¹, czy wektor v = (2, 1, 1, 2) jest elementem przestrzeni W .
Zadanie 2.21. Zadanie na izomor zm przestrzeni wektorowych...
Algebra z geometri¡ XI
Zadanie 2.22. Oblicz
a)
0
0
2
3
2 −2 −1
2
1
0
4
0
−3
1
5 −1
·
1
4 −2
0
3 −2
4 −3
0
1 −1
0
2
2
5
1
,
b)
1 −4
7
2 −5
8
3
6 −9
·
0 −3 −2
1
4 −1
2
5
0
+
4
2
0
1
0
1
0 −3 −2
.
Zadanie 2.23. Oblicz
a)
v
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
t
0
0
2
0
3
0
2 12
4
2
7
3
1
0
4
0
9
0
1 12
5
3
7
6
2
0
8
0 27
0
−3 12
5
4
3 10
+
1
0
2
0
3
0
3 12
4
2
7
3
0
0
4
0
9
0
7 12
5
3
7
6
−1
0
8
0 27
0
12 12
5
4
3 10
,
b)
12547 13447
28523 28423
+
35 59 71 52
42 70 77 54
43 68 72 52
29 49 65 50
+
24 11 13 17 19
51 13 32 40 46
61 11 14 50 56
62 20
7 13 52
80 24 45 57 70
−1
,
c)
1
2
3
4
2
3
1
2
1
1
1 −1
1
0 −2 −6
·
22 −6 −26
17
−17
5
20 −13
−1
0
2 −1
4
1
5
3
2005
,
d)
1 2005
2004
2004
2005
0 2005
2005
2005
2005
0
0
2005
1
2005
2005
·
2 −1
3
4 −5
4 −2
7
8 −7
−6
4 −9 −2
3
3 −2
4
1 −2
−2
6
5
4 −3
.
Zadanie 2.24. Oblicz wyznacznik macierzy
2
2
2
2
5
2
2
2
5
2
2
2
5
2
2
2
5
2
2
2
5
2
2
2
2
.
Algebra z geometri¡ XI
Zadanie 2.25. Znajd¹ rz¡d macierzy
3
2 −1
2
0
1
4
1
0 −3
0
2
2 −1 −2
1
1 −3
3
1
3 −9 −1
6
3 −1 −5
7
2 −7
oraz wska» niezerowy minor najwi¦kszego stopnia.
Zadanie 2.26. Za pomoc¡ minorów znajd¹ wymiar przestrzeni liniowej rozpi¦tej przez ukªad
wektorów
a
1
= (1, 2, 3, 4) ,
a
2
= (2, 3, 4, 5) ,
a
3
= (3, 4, 5, 6) ,
a
4
= (4, 5, 6, 7) .
Napisz dowoln¡ baz¦ tej przestrzeni.
Zadanie 2.27. Oblicz
1
2 −1 −2
3
8
0 −4
2
2 −4 −3
3
8 −1 −6
−1
.
Zadanie 2.28. Rozwi¡» równania macierzowe:
a)
1
2 −3
3
2 −4
2 −1
0
· X +
0
1
0
−5 −1 −3
−4 −3 −3
=
1 −2
0
5
1
4
6
4
5
,
b)
"
1
2
#
·
h
2
1
i
+
"
0
0
−6 −2
#!
· X ·
"
−2
3
−1
1
#
T
=
"
1
0
0
0
#
+ 2
"
0 −1
0
1
#
,
c)
"
3 −1
5 −2
#
· X ·
"
1
1
1
1
#
+
"
4
5
6
7
#!
=
"
14
16
9
10
#
,
d)
"
1
2
0
1
#
+
"
0
0
3
3
#!
· X =
"
3
5
5
9
#
T
,
e) X ·
5
3
1
1 −3 −2
5
2
1
=
−8
0 −2
0
9 15
1
0
1
T
+
0
3 −1
−5
0
0
0
0 −1
,
f)
1
2
3
2
3
4
3
1
2
3
·
−10 −7 −1
16 11
2
−7 −5 −1
3
·
250 −470 −230
482 −238
2
−478
242
722
+ X ·
2 ·
1
1 −1
2
1
0
1 −1
1
−1
+
1
4
5
2
0
0
1
4
3
T
=
4
1 −2
1
1
3
1
4
−2
6
0
5
5
1
2
0
·
−1
2
1
−2
1
0
2 −1 −3
.
Algebra z geometri¡ XI
Zadanie 2.29. Rozwi¡» równanie
1 −1
2
1
2 −1
4
2
3
0
1
0
−2
1 −2 −1
·
1
0
0 −1
−2
1
0
0
3
0
1
3
−6
1 −2
5
·
1
2
1
2
1 −5
0 −1 −2
·
x
y
z
=
1
2
3
.
Zadanie 2.30. Dla jakich liczb α ∈ R macierz
A =
2
0
α
0
1
1
1
0
0
jest nieosobliwa? Znajd¹ w tym przypadku macierz odwrotn¡ do A.
Zadanie 2.31. Rozwi¡» ukªady równa« z niewiadomymi x, y, z i parametrem λ ∈ R:
λx + y + 2z = 1
x + λy + 2z = 1
x + y + 2λz = 1
x + λ
2
y + z = −λ
x + y − λz = λ
2
y + z = 1
λx + y + z = 1
x + λy + z = λ
x + y + λz = λ
2
Zadanie 2.32. Rozwi¡» ukªad równa« z niewiadomymi x
1
, x
2
, x
3
, x
4
i parametrem λ ∈ R:
λx
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 1
x
1
+ λx
2
+ x
3
+ x
4
= 1
x
1
+ x
2
+ λx
3
+ x
4
= 1
x
1
+ x
2
+ x
3
+ λx
4
= 1
Zadanie 2.33. Znajd¹ rozwi¡zania ogólne poni»szych ukªadów równa«, podaj wymiar prze-
strzeni rozwi¡za« oraz fundamentalne ukªady rozwi¡za«.
3x + 4y + z + 2w + 3t = 0
5x + 7y + z + 3w + 4t = 0
4x + 5y + 2z + w + 5t = 0
7x + 10y + z + 6w + 5t = 0
6x − 2y + 2z + 5w + 7t = 0
9x − 3y + 4z + 8w + 9t = 0
6x − 2y + 6z + 7w + t = 0
3x − y + 4z + 4w − t = 0
x
1
− x
3
+ x
5
= 0
x
2
− x
4
+ x
6
= 0
x
1
− x
2
+ x
5
− x
6
= 0
x
2
− x
3
+ x
6
= 0
x
1
− x
4
+ x
5
= 0
Zadanie 2.34. Rozwi¡» ukªady równa«
8x
1
+ 6x
2
+ 5x
3
+ 2x
4
= 21
3x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ x
4
= 10
4x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ x
4
= 8
7x
1
+ 4x
2
+ 5x
3
+ 2x
4
= 18
3x
1
+ 2x
2
+ x
3
+ x
4
= 15
10x
1
+ 23x
2
+ 17x
3
+ 44x
4
= 25
15x
1
+ 35x
2
+ 26x
3
+ 69x
4
= 40
25x
1
+ 57x
2
+ 42x
3
+ 108x
4
= 65
30x
1
+ 69x
2
+ 51x
3
+ 133x
4
= 95
Zadanie 2.35. Rozwi¡» ukªady równa«
2x
1
+ 2x
2
− x
3
+ x
4
= 4
4x
1
+ 3x
2
− x
3
+ 2x
4
= 6
8x
1
+ 5x
2
− 3x
3
+ 4x
4
= 12
3x
1
+ 3x
2
− 2x
3
+ 2x
4
= 6
24x
1
+ 14x
2
+ 30x
3
+ 40x
4
+ 41x
5
= 28
36x
1
+ 21x
2
+ 45x
3
+ 61x
4
+ 62x
5
= 43
48x
1
+ 28x
2
+ 60x
3
+ 82x
4
+ 83x
5
= 58
60x
1
+ 35x
2
+ 75x
3
+ 99x
4
+ 102x
5
= 69
Algebra z geometri¡ XI
Zadanie 2.36. Zbadaj istnienie i znajd¹ ogólne rozwi¡zanie ukªadu równa«
2x
1
− x
2
+ 3x
3
− 7x
4
= 5
6x
1
− 3x
2
+ x
3
− 4x
4
= 7
4x
1
− 2x
2
+ 14x
3
− 31x
4
= 18.
Algebra z geometri¡ Geometria
Zadanie 3.1. Sprawd¹, czy dana funkcja jest iloczynem skalarnym (w odpowiedniej prze-
strzeni wektorowej):
a) h(x
1
, x
2
) , (y
1
, y
2
)i = x
1
y
1
+ x
2
y
2
, gdzie (x
1
, x
2
) , (y
1
, y
2
) ∈ R
2
b) h(x
1
, . . . , x
n
) , (y
1
, . . . , y
n
)i = x
1
y
1
+ . . . + x
n
y
n
, gdzie (x
1
, x
2
) , (y
1
, y
2
) ∈ R
n
,
c) h(x
1
, x
2
) , (y
1
, y
2
)i = 2x
1
y
1
+ x
1
y
2
+ x
2
y
1
+ x
2
y
2
, gdzie (x
1
, x
2
) , (y
1
, y
2
) ∈ R
2
,
d) h(x
1
, x
2
) , (y
1
, y
2
)i = x
1
y
1
− x
2
y
2
, gdzie (x
1
, x
2
) , (y
1
, y
2
) ∈ R
2
,
e) h(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) , (y
1
, y
2
, y
3
, y
4
)i = 3x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ x
3
y
3
+ 2x
4
y
4
+ x
2
y
4
+ x
4
y
2
,
gdzie (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) , (y
1
, y
2
, y
3
, y
4
) ∈ R
4
,
f) hf, gi =
R
b
a
f (x) g (x) dx
, gdzie f, g ∈ C [a, b] (patrz zad. 2.12).
Zapisz funkcje z punktów a) e) w postaci macierzowej: hx, yi = x
T
Ay
. Czy mo»na co± powiedzie¢
o macierzy A, je»eli dana funkcja jest iloczynem skalarnym?
Zadanie 3.2. Dana jest przestrze« (X, h·, ·i). Symbolem kxk =
p
hx, xi
oznaczmy dªugo±¢
wektora x ∈ X. Udowodnij, »e dla dowolnych x, y ∈ X oraz t ∈ R mamy
a) kxk 0,
b) kxk = 0 ⇔ x = 0,
c) ktxk = |t| kxk,
d) kx + yk ¬ kxk + kyk (nierówno±¢ trójk¡ta).
Zadanie 3.3. Dana jest przestrze« (X, h·, ·i). Udowodnij, »e dla dowolnych x, y ∈ X maj¡
miejsce wzory
a) kx + yk
2
= kxk
2
+ 2 hx, yi + kyk
2
,
b) kx − yk
2
= kxk
2
− 2 hx, yi + kyk
2
,
c) kxk
2
− kyk
2
= hx − y, x + yi = hx + y, x − yi
,
d) hx, yi =
1
4
kx + yk
2
− kx − yk
2
(prawo równolegªoboku),
e) kx − zk
2
+ ky − zk
2
− kx − yk
2
= 2 hx − z, y − zi
.
Zadanie 3.4. Udowodnij, »e funkcja f : R
2
× R
2
dana wzorem
f (x, y) = x
1
y
1
+
1
2
x
1
y
2
+
1
2
x
2
y
1
+ x
2
y
2
,
gdzie x = (x
1
, x
2
)
, y = (y
1
, y
2
)
, jest iloczynem skalarnym w R
2
. Znajd¹ k¡t mi¦dzy wektorami
e
1
= (1, 0)
i e
2
= (0, 1)
.
Zadanie 3.5. Dane s¡ wektory: a = (1, −1, 2), b = (2, 0, 3), c = (−1, 2, −1) ∈ R
3
. Oblicz:
a) dªugo±ci tych wektorów,
b) iloczyny skalarne wektorów a i b, a i c, b i c oraz a − 2b + c i a + b,
c) cosinusy k¡tów mi¦dzy wektorami a i b, a i c, b i c.
Przyjmij, »e w R
3
wprowadzono iloczyn skalarny:
(1) euklidesowy,
(2) wzorem ϕ ((x
1
, x
2
, x
3
) , (y
1
, y
2
, y
3
)) = x
1
y
1
+ x
1
y
2
+ x
2
y
1
+ 2x
2
y
2
+ x
3
y
3
,
gdzie (x
1
, x
2
, x
3
) , (y
1
, y
2
, y
3
) ∈ R
3
.
Zadanie 3.6. Dane s¡ wektory p, q ∈ R
2005
. Oblicz hp, qi oraz kp − qk, je»eli wiadomo, »e:
a) kpk = 2, kqk = 3, ^ (p, q) =
π
3
,
b) kpk = 1, kqk = 2, ^ (p, q) =
5π
6
.
Algebra z geometri¡ Geometria
Zadanie 3.7. Oblicz dªugo±¢ wektora u = 2a + 3b, je»eli wiadomo, »e a, b ∈ R
777
, kak = 3,
kbk = 1
, ^ (a, b) =
π
3
.
Zadanie 3.8. Znajd¹ k¡t mi¦dzy wektorami u i v, je»eli wiadomo, »e:
a) u = 6m + 4n, v = 2m + 10n, kmk = 5, knk = 3 oraz ^ (m, n) =
7
4
π
,
b) u = 5a + b, v = 2a + 3b, a wektory a i b s¡ jednostkowe i do siebie prostopadªe.
Zadanie 3.9. Wykorzystuj¡c w odpowiedni sposób nierówno±¢ Schwarza udowodnij, »e
a) a + b ¬
√
2 ·
√
a
2
+ b
2
, dla dowolnych a, b ∈ R,
b) 2a + 4b + c + 2d ¬ 5
√
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
, dla dowolnych a, b, c, d ∈ R,
c) 2a + 3b ¬
√
10 ·
√
4a
2
+ b
2
, dla dowolnych a, b ∈ R.
Zadanie 3.10. Dla jakich wektorów a i b, wektory a + b i a − b s¡ do siebie prostopadªe?
Zadanie 3.11. Oblicz k¡t mi¦dzy wektorami a i b, wiedz¡c, »e wektor a+3b jest prostopadªy
do wektora 7a − b, za± wektor a − 4b jest prostopadªy do wektora 7a − 2b.
Zadanie 3.12. W trójk¡cie o wierzchoªkach A (1, 2), B (3, 1), C (−1, −1), znajd¹ na boku
BC
taki punkt P , aby wektory
−
−
→
BC
i
−→
AP
byªy ortogonalne. Oblicz pole trójk¡ta ABC.
Zadanie 3.13. Znajd¹ dowoln¡ baz¦ podprzestrzeni
P =
n
(x, y, z, t) ∈ R
4
: 4x − z = 2y − 3z + 2t = 0
o
a nast¦pnie zortogonalizuj j¡.
Zadanie 3.14. Korzystaj¡c z procesu ortogonalizacji skonstruuj baz¦ ortonormaln¡ prze-
strzeni L (e
1
, e
2
, e
3
)
, gdzie
e
1
= (1, 2, 2, −1) ,
e
2
= (1, 1, −5, 3) ,
e
3
= (3, 2, 8, 7) .
Zadanie 3.15. Zortogonalizuj baz¦ B = {e
1
, e
2
, e
3
, e
4
}
przestrzeni R
4
, je»eli
e
1
= (2, 1, 3, −1) ,
e
2
= (7, 4, 3, −3) ,
e
3
= (1, 1, −6, 0) ,
e
4
= (5, 7, 7, 8) .
Zadanie 3.16. Zortonormalizuj baz¦ B = {e
1
, e
2
, e
3
}
przestrzeni R
3
, je»eli
e
1
= (1, 2, 3) ,
e
2
= (2, 1, 0) ,
e
3
= (3, 1, 2) .
Zadanie 3.17. Sprawd¹, »e ukªad wektorów
e
1
=
2
3
,
1
3
,
2
3
,
e
2
=
2
3
,
1
3
, −
2
3
jest ortonormalny i uzupeªnij go do bazy ortonormalnej w R
3
.
Zadanie 3.18. W przestrzeni liniowej funkcji ci¡gªych C [−1, 1] (patrz zad. 2.12) wprowa-
dzono iloczyn skalarny wzorem
hf, gi =
Z
1
−1
f (t) g (t) dt,
f, g ∈ C [−1, 1] .
Oblicz hf
i
, f
j
i
, gdzie f
i
(t) = t
i
, i ∈ {0, 1, 2}, a nast¦pnie wyznacz baz¦ ortogonaln¡ przestrzeni
L (f
0
, f
1
, f
2
)
.
Algebra z geometri¡ Geometria
Zadanie 3.19. Oblicz iloczyn wektorowy wektorów:
a) x = (1, 2, 4), y = (−1, 0, 2),
b) x = (−2, −1, 3), y = (1, 1, 2),
c) x = (2, −2, 6), y = (−1, 1, −3).
Które z podanych par wektorów s¡ wspóªliniowe?
Zadanie 3.20. Oblicz pola oraz dªugo±ci wysoko±ci trójk¡tów o wierzchoªkach:
a) A = (1, 3, 1), B = (0, 1, 2), C = (2, 7, −4) ∈ R
3
,
b) A = (1, 1, 0, 0), B = (0, 1, 1, 0), C = (0, 1, 0, 1) ∈ R
4
.
Zadanie 3.21. Sprawd¹, »e dla dowolnych a, b, c ∈ R
3
mamy:
a) ka × bk
2
+ ha, bi
2
= kak
2
kbk
2
,
b) ha × b, c × di = det
"
ha, ci ha, di
hb, ci hb, di
#
,
c) (a × b) × c = ha, ci b − hb, ci a,
d) a × (b × c) = ha, ci b − ha, bi c.
Zadanie 3.22. Dla danych wektorów a = 2005, −2005, e
2005
, b = (2, 0, 0), c = (0, 0, 5)
oblicz b × (b + c) + (a + c) × (c + b) + (b + c) × (c + a).
Zadanie 3.23. Czy iloczyn wektorowy jest dziaªaniem ª¡cznym?
Zadanie 3.24. Oblicz iloczyn mieszany wektorów:
a) x = (1, 1, 4), y = (−1, 2, 1), z = (0, 1, 2),
b) x = (2, 3, −2), y = (1, 2, −2), z = (1, −2, 2),
c) x = (1, −3, 6), y = (2, 1, 3), z = (1, 4, −3).
Które z podanych trójek wektorów s¡ wspóªpªaszczyznowe (tzn. le»¡ w jednej pªaszczy¹nie)?
Zadanie 3.25. Sprawd¹, »e dla dowolnych a, b, c ∈ R
3
prawdziwa jest nast¦puj¡ca równo±¢:
ha + 2b − c, (a − b) × (a − b − c)i = 3 (a · b · c)
.
Zadanie 3.26. Obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach p, q, r jest równa
3. Oblicz obj¦to±¢ czworo±cianu zbudowanego na wektorach a = p + q − r, b = 2p − q + r,
c = p + 2q − 3r
.
Zadanie 3.27. Udowodnij, »e obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na przek¡tnych ±cian
danego równolegªo±cianu jest dwa razy wi¦ksza od obj¦to±ci równolegªo±cianu danego.
Zadanie 3.28. Oblicz obj¦to±¢ czworo±cianu o wierzchoªkach A(2, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, 0, 2)
i D(2, 3, 8) oraz dªugo±¢ wysoko±ci poprowadzonej z wierzchoªka D.
Zadanie 3.29. Wyznacz obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach AB = b,
AC = c
, AD = d, gdzie A(3, 4, 3), B(9, 5, −1), C(1, 7, 0), D(3, 2, 5).
Zadanie 3.30. Dane s¡ wektory AB = b, AC = c, AD = d, gdzie A(1, 1, 2), B(−1, 3, 2),
C(2, −1, 4)
, D(2, 3, 0). Wyznacz:
a) obj¦to±¢ czworo±cianu o wierzchoªkach A, B, C, D,
b) obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach b, c i d,
c) dªugo±¢ wysoko±ci czworo±cianu poprowadzonej z wierzchoªka D.
Zadanie 3.31. Oblicz odlegªo±¢ mi¦dzy prostymi sko±nymi przechodz¡cymi odpowiednio
przez punkty A = (1, 0, 0) i B = (1, 1, 0) oraz C = (0, 1, 0) i D = (1, 1, 1).
Algebra z geometri¡ Geometria
Zadanie 3.32. Napisz równania prostych przechodz¡cych przez punkty:
a) A (−1, 3), B (0, 2),
b) A (−1, 5, 1), B (1, −2, 0),
c) A (1, 2, 3, −5), B (−1, 0, 3, 2).
Zadanie 3.33. Napisz równanie prostej przechodz¡cej przez punkt A (2, −1) oraz:
a) równolegªej do prostej 2x + 4y − 1 = 0,
b) równolegªej do prostej x = 1 + t, y = 1 − t,
c) prostopadªej do prostej x + 2y − 1 = 0,
d) prostopadªej do prostej x = t, y = 2 − t,
e) nachylonej do osi Ox pod k¡tem
π
3
.
Zadanie 3.34. Napisz równanie pªaszczyzny:
a) zawieraj¡cej punkty A (−1, 2, 3), B (1, 0, 1), C (1, 0, 3),
b) zawieraj¡cej punkt A (0, −2, 1) i prost¡ x = 1 − t, y = 2 + t, z = 2t,
c) zawieraj¡cej punkt A (1, 1, 1) i prostopadªej do prostej x = −t, y = 1 + t, z = 2,
d) zawieraj¡cej punkt A (−2, 1, 4) i równolegªej do pªaszczyzny x + y + z + 1 = 0,
e) zawieraj¡cej punkt A (−2, 1, 4) i równolegªej do pªaszczyzny x = 1 + 2t + s, y = 1 − t,
z = t − s
,
f) zawieraj¡cej punkt A (−2, 1, 4) i równolegªej do prostych x = t, y = 1 + 2t, z = 2 − t oraz
x = 2t
, y = 1, z = 3 + t,
g) zawieraj¡cej proste równolegªe x = 1+t, y = 2−t, z = −t oraz x = 2+t, y = −t, z = 3−t,
h) zawieraj¡cej proste przecinaj¡ce si¦ x = 2t, y = 2−t, z = 1−t oraz x = 2, y = t, z = −1+t.
Zadanie 3.35. Napisz równanie prostej:
a) zawieraj¡cej punkt (4, 0, 1) i przecinaj¡cej proste x = 2 + t, y = −1, z = t oraz x = 6 − t,
y = 1 + 2t
, z = 2,
b) prostopadªej do prostych x = 7 + t, y = 3 + 2t, z = 9 − t oraz x = 3 − 7t, y = 1 + 2t,
z = 1 + 3t
,
c) przechodz¡cej przez punkt przeci¦cia prostych
x = 2 + 2t
y = 2 + t
z = −1 − t
oraz
x = −3 + 3t
y = t
z = −1 + t
i prostopadªej do nich,
d) która jest rzutem prostej x = y = z na pªaszczyzn¦ x − y + z = 0.
Zadanie 3.36. Znajd¹ punkt symetryczny do punktu
a) A (1, 2) ∈ R
2
wzgl¦dem prostej x + y + 3 = 0,
b) B (2, 3, −6) ∈ R
3
wzgl¦dem pªaszczyzny x + 2y + z + 4 = 0.
Zadanie 3.37. Oblicz odlegªo±¢ punktu
a) A (2, 3) ∈ R
2
od prostej 2x + 4y − 5 = 0,
b) A (−1, −1, −3) ∈ R
3
od pªaszczyzny x + 2y − 5z + 1 = 0.
Algebra z geometri¡ Geometria
Zadanie 3.38. Zbadaj wzajemne poªo»enie prostych:
a) x − y + 2 = 0 i x + 2y + 5 = 0 w R
2
,
b) x = 7 + t, y = 3 + 2t, z = 9 − t oraz x = 3 − 7t, y = 1 + 2t, z = 1 + 3t, w R
3
,
c) x = 2 − t, y = t, z = 1 + t oraz x = 3 − 7t, y = 1 + 2t, z = 1 + 3t, w R
3
d)
x = t
y = −8 − 4t
z = −3 − 3t
oraz
(
x + y − z = 0
2x − y + 2z − 17 = 0,
w R
3
,
e)
(
x + z − 1 = 0
3x + y − z + 13 = 0
oraz
(
x − 2y + 3 = 0
y + 2z + 8 = 0,
w R
3
.
Je»eli proste:
(1) s¡ równolegªe, wyznacz punkt pªaszczyzn¦, która je zawiera,
(2) przecinaj¡ si¦, to wyznacz punkt przeci¦cia, k¡t mi¦dzy nimi, i pªaszczyzn¦, która je zawiera,
(3) s¡ sko±ne, to oblicz odlegªo±¢ mi¦dzy nimi,
Zadanie 3.39. Przez punkt A (3, 5) poprowadzono prost¡ tworz¡c¡ k¡t
π
4
z prost¡ o równaniu
2x − 3y − 7 = 0
. Znajd¹ równanie tej prostej.
Zadanie 3.40. Przez punkt M = (15, 6) poprowad¹ prost¡, która z prostymi o równaniach
5x − 2y − 5 = 0
oraz 2x + 5y − 2 = 0
tworzy trójk¡t o polu równym 29.
Zadanie 3.41. Na prostej o równaniu
2x = y + 7 = z − 1,
znale¹¢ punkt poªo»ony najbli»ej punktu A (3, 2, 6).
Zadanie 3.42. Dany jest trójk¡t o wierzchoªkach A (6, −1), B (0, 3), C (2, 1). Wyznacz rów-
nania prostych zawieraj¡cych:
a) boki trójk¡ta,
b) symetralne boków,
c) ±rodkowe,
d) wysoko±ci,
e) dwusieczne k¡tów.
Znajd¹:
a) ±rodek okr¦gu opisanego na trójk¡cie,
b) ±rodek okr¦gu wpisanego w trójk¡t,
c) ±rodek ci¦»ko±ci trójk¡ta,
d) punkt przeci¦cia wysoko±ci.
Algebra z geometri¡ Geometria
Zadanie 3.43. Dane s¡ dwa przeksztaªcenie a niczne
f :
(
x
0
= 2x + 3y − 1
y
0
= x − 2y + 2,
g :
x
0
= 2x + 3y − z + 1
y
0
= x − 2z + 2
z
0
= 2x − y + 3z − 2.
Zapisz je w postaci macierzowej, a nast¦pnie znajd¹ (dowoln¡ metod¡) przeksztaªcenia do nich
odwrotne: f
−1
oraz g
−1
.
Zadanie 3.44. Dane jest przeksztaªcenie a niczne
f :
(
x
0
= x − y + 2
y
0
= 2x + y − 1
Wyznacz:
a) obrazy punktów A (1, −3), B (−1, 0), C (1, 1),
b) obraz prostej przechodz¡cej przez punkty A i B,
c) obraz prostej x = 1 + t, y = 2 − 3t,
d) obraz prostej x + y − 2 = 0,
e) pole trójk¡ta, którego wierzchoªkami s¡ obrazy punktów A, B, C.
Zadanie 3.45. Dane jest przeksztaªcenie a niczne
f :
x
0
= x − 2y + z − 2
y
0
= 3x − 2y + 1
z
0
= x + y + z − 3
Wyznacz:
a) obrazy punktów A (0, 1, 3), B (2, 1, −1, ), C (0, 0, 0),
b) obraz prostej przechodz¡cej przez punkty A i B,
c) obraz prostej x = 2 − t, y = 1 + 2t, z = t,
d) obraz pªaszczyzny x = 1 + 2s − 3t, y = 2t − s, z = 3 − t + s,
e) obraz pªaszczyzny x + 2y − z + 1 = 0,
f) obraz prostej
(
x + y + z + 1 = 0
x − 2y + z − 1 = 0,
g) pole trójk¡ta, którego wierzchoªkami s¡ obrazy punktów A, B, C.
Zadanie 3.46. Dla jakich warto±ci parametru λ, przeksztaªcenie
y
1
= λx
1
+ 2x
2
+ 2,
y
2
= x
1
− λx
2
− 1,
a) jest przeksztaªceniem a nicznym?
b) jest przeksztaªceniem a nicznym zachowuj¡cym pole powierzchni?
c) jest przeksztaªceniem a nicznym zachowuj¡cym odlegªo±¢ (czyli izometri¡)?
Zadanie 3.47. Przeksztaªcenie a niczne
x
0
=
1
2
x −
√
3
2
y + 1
y
0
=
√
3
2
x +
1
2
y − 2
zapisz jako zªo»enie obrotu i przesuni¦cia.
Algebra z geometri¡ Geometria
Zadanie 3.48. Ukªad wspóªrz¦dnych Oxy obrócono o k¡t 120
◦
. W tak otrzymanym nowym
ukªadzie wspóªrz¦dnych O
0
x
0
y
0
dane s¡ punkty A =
2
√
3, −4
i B =
√
3, 0
. Jakie wspóªrz¦dne
maj¡ te punkty w starym ukªadzie? Jakie równanie w nowym ukªadzie ma prosta, która w starym
ukªadzie ma równanie x + 2y + 3 = 0?
Zadanie 3.49. Dane jest przeksztaªcenie a niczne
x
0
= a
11
x + a
12
y + a
1
y
0
= a
21
x + a
22
y + a
2
oraz trójk¡t 4ABC o wierzchoªkach A = (0, 0), B =
√
2, 0
i C =
0,
√
2
. Uzasadnij, »e jego
obrazem b¦dzie pewien trójk¡t 4A
0
B
0
C
0
i znajd¹ jego pole.
Zadanie 3.50. Podane równania krzywych stopnia drugiego sprowad¹ do postaci kanonicz-
nej. Jakie to krzywe?
a) x
2
+ y
2
+ 4x + 6y − 12 = 0
,
b) x
2
+ y
2
− 2x + 8y − 11 = 0
,
c) x
2
− 3y
2
+ 2x − 6y − 8 = 0
,
d) y
2
− 4y + 6x − 2 = 0
,
e) x
2
+ 2y
2
− 2x + 8y + 9 = 0
,
f) x
2
+ y
2
− 6x + 4y + 15 = 0
,
g) 4x
2
− xy = 0
.
Algebra z geometri¡ c.d.
Zadanie 4.1. Znajd¹ warto±ci wªasne macierzy
A =
1
2
0
0
2
0
−2 −2 −1
Czy wektory wªasne tej macierzy s¡ liniowo niezale»ne?
Zadanie 4.2. Dane jest odwzorowanie liniowe A : R
3
→ R
3
A (x
1
, x
2
, x
3
) = (7x
1
− 12x
2
+ 6x
3
, 10x
1
− 19x
2
+ 10x
3
, 12x
1
− 24x
2
+ 13x
3
) .
Znajd¹ jego wektory i warto±ci wªasne.
Zadanie 4.3. Znajd¹ warto±ci wªasne i wektory wªasne przeksztaªcenia P : R
3
→ R
3
zada-
nego w pewnej bazie macierz¡
1 −3
1
3 −3 −2
3 −5
1
.
Zadanie 4.4. Znajd¹ wektory wªasne i odpowiadaj¡ce im warto±ci wªasne odwzorowania
liniowego A : R
3
→ R
3
danego wzorem
A (x, y, z) = (2x + z, 3y + z, 6y + 2z) ,
a nast¦pnie zortonormalizuj otrzymany ukªad wektorów wªasnych.
Zadanie 4.5. Znajd¹ wektory wªasne odwzorowania liniowego A : R
2
→ R
2
, którego macierz
A
B
w bazie B = (e
1
, e
2
)
jest nast¦puj¡ca
A
B
=
"
5 −1
−2
4
#
.
Znajd¹ macierz tego odwzorowania w dowolnej bazie przestrzeni rozpi¦tej przez jego wektory
wªasne.
Zadanie 4.6. Rozwa»my odwzorowanie liniowe A : R
3
→ R
3
, którego macierz w bazie
kanonicznej jest postaci
1
3
0
0
2 −1
0
0
4
.
Znajd¹ macierz tego odwzorowania w dowolnej bazie jego wektorów wªasnych.
Zadanie 4.7. Znajd¹ macierz odwzorowania liniowego
f (x
1
, x
2
) =
−10x
1
− 7x
2
, −7x
1
−
10
13
x
2
w bazie jego unormowanych wektorów wªasnych.
Zadanie 4.8. Znajd¹ posta¢ formy kwadratowej
A (x) = 6x
2
1
+ 5x
2
2
+ 7x
2
3
− 4x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
,
gdzie x = (x
1
, x
2
, x
3
)
, w bazie jej unormowanych wektorów wªasnych.
Algebra z geometri¡ c.d.
Zadanie 4.9. Wyka», »e odwzorowanie A : R
4
→ R
4
dane wzorem
A (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = (x
1
+ 2x
2
+ 4x
3
− 3x
4
, 3x
1
+ 5x
2
+ 6x
3
− 4x
4
,
4x
1
+ 5x
2
− 2x
3
+ 3x
4
, 3x
1
+ 8x
2
− 24x
3
+ 19x
4
)
jest liniowe, znajd¹ dim Im A oraz baz¦ podprzestrzeni ker A.
Zadanie 4.10. Dane jest odwzorowanie liniowe A : R
3
→ R
3
A (x
1
, x
2
, x
3
) = (2x
1
+ x
2
− 4x
3
, 3x
1
+ 5x
2
− 7x
3
, 4x
1
− 5x
2
− 6x
3
) .
Znajd¹ bazy jego j¡dra i obrazu.
Zadanie 4.11. Dane jest odwzorowanie liniowe A : R
3
→ R
3
A (x) = (2x
1
− x
2
− x
3
, x
1
− 2x
2
+ x
3
, x
1
+ x
2
− 2x
3
) ,
gdzie x = x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ x
3
e
3
, a {e
1
, e
2
, e
3
}
jest baz¡ kanoniczn¡ w R
3
. Znajd¹ wymiar i baz¦
j¡dra ker A oraz wymiar i baz¦ obrazu Im A.
Zadanie 4.12. Niech dane b¦d¡ trzy bazy przestrzeni R
3
B
1
= {f
1
, f
2
, f
3
}
B
2
= {g
1
, g
2
, g
3
}
B
3
= {h
1
, h
2
, h
3
}
oraz wektor v = −2h
1
− h
2
+ 3h
3
. Wiemy, »e
g
1
= f
1
− f
3
,
h
1
= −7f
1
+ f
3
,
g
2
= 2f
1
+ f
2
,
h
2
= −f
1
+ 3f
2
+ f
3
,
g
3
= f
2
+ f
3
,
h
3
= f
1
+ f
2
Znajd¹ wspóªrz¦dne wektora v w bazie B
2
.
Zadanie 4.13. Niech b¦d¡ dane trzy bazy B
1
, B
2
, B
3
przestrzeni liniowej R
3
oraz macierze
przej±cia
T
B
1
→B
2
=
1
2
0
0
1
1
−1
0
1
,
T
B
1
→B
3
=
−7 −1
1
0
3
1
2
1
0
.
Wspóªrz¦dne wektora v ∈ R
3
w bazie B
3
s¡ nast¦puj¡ce (−2, −1, 3). Znajd¹ wspóªrz¦dne tego
wektora w bazie B
2
.
Zadanie 4.14. Dane jest odwzorowanie liniowe A : R
3
→ R
3
A (x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ x
3
e
3
) = (x
1
− x
2
+ x
3
) f
1
+ (x
1
+ x
2
− x
3
) f
2
+ (−x
1
+ x
2
+ x
3
) f
3
.
gdzie (e
1
, e
2
, e
3
)
oraz (f
1
, f
2
, f
3
)
s¡ takimi bazami, »e
e
1
= (1, 0, −1) ,
f
1
= (0, 2, 0) ,
e
2
= (0, 1, −1) ,
f
2
= (1, 2, 0) ,
e
3
= (1, 1, 0) ,
f
3
= (0, 0, 2) .
Znajd¹ macierz odwzorowania A w bazie (e
1
, e
2
, e
3
)
.
Algebra z geometri¡ c.d.
Zadanie 4.15. Przeksztaªcenie liniowe B : R
3
→ R
3
ma w bazie {e
1
, e
2
, e
3
}
nast¦puj¡c¡
macierz
15 −11
5
20 −15
8
8 −7
6
.
Znajd¹ jego macierz w bazie {f
1
, f
2
, f
3
}
, gdzie
f
1
= 2e
1
+ 3e
3
+ e
3
,
f
2
= 3e
1
+ 4e
2
+ e
3
,
f
3
= e
1
+ 2e
2
+ 3e
3
.
Zadanie 4.16. Znajd¹ w bazie B = (e
1
, e
2
, e
3
)
macierz przeksztaªcenia liniowego f : R
3
→
R
3
, które przeprowadza, odpowiednio, wektory a
1
, a
2
, a
3
w wektory b
1
, b
2
, b
3
, gdzie
a
1
= 2e
1
+ 3e
2
+ 5e
3
,
b
1
= e
1
+ e
2
+ e
3
,
a
2
= e
1
+ 2e
3
,
b
2
= e
1
+ e
2
− e
3
,
a
3
= e
1
,
b
3
= 2e
1
+ e
2
+ 2e
3
.
Zadanie 4.17. Niech (R, V, +, ·) b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ z baz¡ B = (e
1
, e
2
)
, za±
A
B
0
=
"
0 −1
−1
3
#
macierz¡ funkcjonaªu dwuliniowego w bazie B
0
= (e
1
+ 2e
2
, 2e
1
+ e
2
)
. Wyznacz macierz tego
funkcjonaªu w bazie B
00
= (4e
1
− 3e
2
, 5e
1
− 3e
2
)
.
Zadanie 4.18. Przeksztaªcenie A ma w bazie B = {e
1
, e
2
, e
3
}
macierz
A
B
=
15 −11
5
20 −15
8
8 −7
6
.
Znajd¹ jego macierz w bazie B
0
= {2e
1
+ 3e
2
+ e
3
, 3e
1
+ 4e
2
+ e
3
, e
1
+ 2e
2
+ 2e
3
}
.
Zadanie 4.19. Przeksztaªcenie A ma w bazie B
0
= {−3e
1
+ 7e
2
, e
1
− 2e
2
}
macierz
A
B
0
=
"
2 −1
5 −3
#
,
a przeksztaªcenie B ma w bazie B
00
= {6e
1
− 7e
2
, −5e
1
+ 6e
2
}
macierz
A
B
00
=
"
1
3
2
7
#
.
Znajd¹ macierz odwzorowania A ◦ B w bazie B = {e
1
, e
2
}
.
Zadanie 4.20. W przestrzeni R
2
w bazie B
0
= {e
0
1
, e
0
2
}
, gdzie e
0
1
= e
1
+ 2e
2
, e
0
2
= 2e
1
+ 3e
2
,
endomor zm A ma macierz
A
B
0
=
"
3
5
4
3
#
.
Endomor zm B w bazie B
00
= {e
00
1
, e
00
2
}
, gdzie e
00
1
= 3e
1
+ e
2
, e
00
2
= 4e
1
+ 2e
2
, ma macierz
A
B
00
=
"
4
6
6
9
#
.
Znajd¹ macierz endomor zmu A + B w bazie B
00
.
Algebra z geometri¡ c.d.
Zadanie 4.21. W przestrzeni R
2
w bazie E = {e
1
, e
2
}
endomor zm A ma reprezentacj¦
macierzow¡
A
E
=
"
1
3
2
4
#
,
Endomor zm B w bazie G = {g
1
, g
2
}
, gdzie g
1
= 3e
1
+ e
2
, g
2
= 4e
1
+ 2e
2
, ma reprezentacj¦
macierzow¡
A
G
=
"
4
6
6
9
#
.
Endomor zm C w bazie H = {h
1
, h
2
}
, gdzie h
1
= e
1
+ 2e
2
, h
2
= 2e
1
+ 3e
2
, ma reprezentacj¦
macierzow¡
A
H
=
"
3
5
4
3
#
.
Znajd¹ macierz endomor zmu A + B + C w bazie G.
Zadanie 4.22. Stosuj¡c metod¦ Lagrange'a znajd¹ posta¢ kanoniczn¡ formy kwadratowej
F (x) = 2x
1
x
2
+ 4x
1
x
3
− x
2
2
− 8x
2
3
,
gdzie x = (x
1
, x
2
, x
3
)
, oraz przeksztaªcenie liniowe przeprowadzaj¡ce j¡ do tej postaci.
Zadanie 4.23. Znajd¹ posta¢ kanoniczn¡ oraz przeksztaªcenie liniowe przeprowadzaj¡ce do
tej postaci form¦ kwadratow¡
F (x) = x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
.
Zadanie 4.24. Podane w zadaniu 3.50 równania krzywych stopnia drugiego w postaci
F (x, y) = 0
sprowad¹ do postaci kanonicznej stosuj¡c:
a) metod¦ Lagrange'a,
b) metod¦ warto±ci wªasnych,
Podaj równania izometrii przeprowadzaj¡cych te krzywe na krzywe o równaniach kanonicznych
wyliczonych metod¡ warto±ci wªasnych.