Algebra z geometri¡ I

Zadanie 1.1. Czy funkcja f okre±lona wzorem f (x, y) = x+y −2 jest dziaªaniem wewn¦trz-

nym w zbiorze liczb naturalnych?

Zadanie 1.2. W zbiorze G = (−1, 1) ⊂ R okre±lamy dziaªanie

a ∗ b =

a + b

1 + ab

.

Sprawd¹, czy dziaªanie to jest:

a) przemienne,

b) ª¡czne.

Zadanie 1.3. W zbiorze H = {a, b} okre±lamy dziaªanie tabelk¡:

a

b

a

a

a

b

a

b

Sprawd¹, czy dziaªanie jest:

a) przemienne,

b) ª¡czne.

Zadanie 1.4. W zbiorze J = {a, b, c, d, e} okre±lamy dziaªanie ⊕ tabelk¡:

⊕

a

b

c

d

e

a

d

c

e

b

a

b

c

e

e

a

b

c

e

e

d

b

c

d

b

a

c

e

d

e

a

b

c

d

e

Sprawd¹, czy dziaªanie ⊕:

a) jest przemienne,

b) ma element neutralny,

c) ma t¦ wªasno±¢, »e ka»dy element zbioru J ma dokªadnie jeden element odwrotny.

Zadanie 1.5. Czy para (G, ∗)  patrz zadanie 1.2  jest grup¡?
Zadanie 1.6. Zbadaj, czy (R, •), gdzie

u • v =

u + v

2

,

jest grup¡.

Zadanie 1.7. Czy zbiór

n

a

√

2 + b

√

5 : a, b ∈ Q

o

z dziaªaniem mno»enia liczb jest grup¡?

Zadanie 1.8. Udowodnij, »e (Z, ◦), gdzie

a ◦ b = a + b + 2

jest grup¡. Czy jest to grupa abelowa? Oblicz (−1 ◦ 5) ◦ (6 ◦ 2).

Zadanie 1.9. W zbiorze G = (R \ {−1}) okre±lamy dziaªanie  wzorem

x  y = x + y + xy.

Algebra z geometri¡ I

Udowodnij, »e (G, ) jest grup¡ abelow¡.

Zadanie 1.10. W zbiorze P =



(x, y, z) ∈ R

3

: x 6= 0, y 6= 0

okre±lamy dziaªanie

(x, y, z)  (k, l, m) = (kx, ly, mx + lz) .

Udowodnij, »e (P, ) jest grup¡.

Zadanie 1.11. Udowodnij, »e je»eli (X, •) jest grup¡, to dziaªanie • ma dokªadnie jeden

element neutralny.

Zadanie 1.12. Zbadaj, czy (A, +) jest podgrup¡ grupy (R, +), je»eli

a) A = R,

b) A = N,

c) A =

n

a + b

√

2 : a, b ∈ Z

o

.

Zadanie 1.13. Niech dane b¦d¡ cztery przeksztaªcenia pªaszczyzny R

2

: I  to»samo±¢, S

x



symetria wzgl¦dem osi x, S

y

 symetria wzgl¦dem osi y, S

o

 symetria wzgl¦dem pocz¡tku ukªadu

wspóªrz¦dnych. Niech S = {I, S

x

, S

y

, S

o

}

. Przyjmijmy, »e dziaªanie ◦, okre±lone w zbiorze S, jest

skªadaniem przeksztaªce«. Wyznacz wszystkie podgrupy grupy (S, ◦).

Zadanie 1.14. W zbiorze Z

4

= {0, 1, 2, 3}

okre±lamy dziaªanie

a ⊕ b =

reszta z dzielenia a + b przez 4.

Wyznacz wszystkie podgrupy grupy (Z

4

, ⊕)

.

Zadanie 1.15. Narysuj tabelki dziaªa« grupowych dla grup (S, ◦) oraz (Z

4

, ⊕)

 patrz za-

dania 1.13 i 1.14. Czy grupy te s¡ izomorczne?

Zadanie 1.16. Czy grupa abelowa mo»e by¢ izomorczna z grup¡, która nie jest przemienna?

Zadanie 1.17. Udowodnij, »e grupy (R, +) oraz (R \ {0} , ·) nie s¡ izomorczne.

Algebra z geometri¡ II

Zadanie 1.18. Udowodnij, »e odwzorowanie f : P → R \ {0}, dane wzorem

f (a, b, c) = ab

jest homomorzmem grup (P, ) oraz (R \ {0} , ·). Czy grupy te s¡ izomorczne? Uwaga: zbiór
P

 patrz zadanie 1.10.

Zadanie 1.19. Wiemy, »e zbiór A = (2, +∞) ⊂ R wraz z dziaªaniem ∗, które jest okre±lone

nast¦puj¡co

x ∗ y = xy − 2x − 2y + 6

jest grup¡. Wyka», »e odwzorowanie f : A → R

+

, dane wzorem

f (a) = a − 2,

jest izomorzmem grup (A, ∗) oraz (R

+

, ·)

. Uwaga: R

+

def

= {x ∈ R : x > 0}.

Zadanie 1.20. Udowodnij, »e (Z, +, ·) jest pier±cieniem. Sprawd¹, »e

a) pier±cie« (Z, +, ·) jest pier±cieniem przemiennym,

b) pier±cie« (Z, +, ·) ma jedynk¦,

c) zbiór Z (3)

def

= {p ∈ Z : 3|p} jest podpier±cieniem pier±cienia (Z, +, ·),

d) pier±cienie (Z, +, ·) oraz (Z (3) , +, ·) s¡ izomorczne.

Czy (Z, +, ·) jest ciaªem?

Zadanie 1.21. Udowodnij, »e R

2

, ⊕, 

, gdzie

(a, b) ⊕ (x, y) = (a + x, b + y) ,

(a, b)  (x, y) = (ax − by, ay + bx) ,

jest ciaªem.

Zadanie 1.22. Udowodnij, »e zbiór

H =

n

a + b

√

5 : a, b ∈ Q

o

jest podciaªem ciaªa (R, +, ·).

Zadanie 1.23. W zbiorze R

+

okre±lamy dziaªanie

a ∗ b = a

b

.

Sprawd¹, czy (R

+

, ·, ∗)

jest ciaªem. Je»eli tak, to czy sprawd¹, czy jest ciaªem izomorcznym

z (R, +, ·).

Zadanie 1.24. W zbiorze R okre±lamy dziaªania

a † b = a + b + 1,

a ‡ b = a + b + ab.

Sprawd¹, czy

a) (R, †, ‡) jest ciaªem,

b) grupy (R \ {−1} , ‡, ) oraz (R \ {0} , ·) s¡ izomorczne.

Algebra z geometri¡ IV

Zadanie 1.25. Doko«czy¢!!! Rozwa»my ciaªo (A, ⊕, ) oraz ciaªo (B, •, ?).

a) Czy odwzorowanie p : A → B, dane wzorem p (a) = . . . jest homomorzmem ciaªa (A, ⊕, )

w ciaªo (B, •, ?)?

b) Czy rozwa»ane ciaªa s¡ izomorczne?

c) Czy mo»na wskaza¢ homomorzm ciaªa (B, •, ?) w ciaªo (A, ⊕, )?

Zadanie 1.26. Znajd¹ takie liczby rzeczywiste x, y, aby zachodziªa równo±¢

a) x (2 + 3i) + y (4 − 5i) = 6 − 2i,

b)

x

3+2i

+

y

2−3i

= 1

.

Zadanie 1.27. Przedstaw rozwi¡zania poni»szych równa« z niewiadom¡ z w postaci x + iy,

gdzie x, y ∈ R:

a) (a − bi) z = a + bi,

b) (a + bi)



a − bi



(1 − z) + (a − bi)

2

(1 + z) = 0

.

Zadanie 1.28. Przedstaw w postaci trygonometrycznej poni»sze liczby zespolone:

a) 1 + i, 1 − i, −1 + i, −1 − i,

b) 1 + i

√

3

, 1 − i

√

3

, −1 + i

√

3

, −1 − i

√

3

,

c) (1 + i)



1 − i

√

3



,

d)

1+i

1+i

√

3

,

e) 2 + i

√

12

,

f) 1 − cos α − i sin α, 1 + cos α + i sin α,

g) 1 + i tg α, 1 − i tg α,

h)

1+i tg α
1−i tg α

,

Zadanie 1.29. Rozwi¡» równania:

a) z

2

+ z + 1 = 0

,

b) z

2

+ 2z + 5 = 0

.

Algebra z geometri¡ IV

Zadanie 1.30. Wyznacz:

a) ±rodek odcinka o ko«cach z

1

i z

2

,

b) czwarty wierzchoªek równolegªoboku (z

4

), znaj¡c trzy pozostaªe (z

1

, z

2

, z

3

) i wiedz¡c, »e

odcinek ª¡cz¡cy z

1

i z

2

jest przek¡tn¡ tego równolegªoboku,

c) dwusieczn¡ k¡ta o wierzchoªku z

w

i ramionach przechodz¡cych przez z

1

i z

2

,

d) symetraln¡ odcinka o ko«cach z

1

i z

2

.

Zadanie 1.31. Opisz i narysuj zbiory liczb zespolonych z speªniaj¡cych podane warunki:

a) |z − z

0

| = r

, z

0

∈ C, r > 0,

b) |z − z

0

| < r

, z

0

∈ C, r > 0,

c) |z − 2 + i| ¬ 3,

d) Arg (z − z

0

) = ϕ

, z

0

∈ C, ϕ ∈ [0, 2π),

e) Arg (z − 2 − i) = π,

f) |z − 1 + i| = |z − i|,

g)





z−2i

z+1





= 1

,

h) |z − i| < |z + 1|,

i) |z + i| ­ |iz + 2|,

j) Re z ­ 3,

k) Im (z + 1) > −1,

l) |Re z| + |Im z| ¬ 1,

m) Im z

2

¬ 0

,

n) Re z

2

+ i

= 1

.

Zadanie 1.32. Stosuj¡c wzór de Moivre'a oblicz:

a) (1 + i)

8

,

b)



√

3 + i



9

,

c)



cos α+i sin α

1+i

√

3



10

,

d)



1+i

1+i

√

3



144

,

e) (cos 3

◦

+ i sin 3

◦

)

100

,

f)

(1+i)

101

(

i−

√

3

)

102

i

1523

(

1+i

√

3

)

103

,

g)

1

2

2002





1 + i

√

3



2002

+



−1 + i

√

3



2002

+



1 − i

√

3



2002



,

h)

1

2

122

·



1−i

√

3

1−i



30

· (1 + i)

40

·



√

3 − i



50



√

3 + i



60

.

Zadanie 1.33. Stosuj¡c wzór de Moivre'a zapisz:

a) sin 2x i cos 2x za pomoc¡ sin x i cos x,

b) sin 3x i cos 3x za pomoc¡ sin x i cos x,

c) sin 4x i cos 4x za pomoc¡ sin x i cos x.

Algebra z geometri¡ IV

Zadanie 1.34. Korzystaj¡c z to»samo±ci:

cos x =

(cos x + i sin x) + (cos x − i sin x)

2

,

sin x =

(cos x + i sin x) − (cos x − i sin x)

2i

,

a nast¦pnie wykorzystuj¡c wzór de Moivre'a zapisz

a) sin

2

x

i cos

2

x

za pomoc¡ cos 2x,

b) cos

3

x

za pomoc¡ cos 3x i cos x,

c) sin

3

x

za pomoc¡ sin 3x i sin x,

d) sin

4

x

i cos

4

x

za pomoc¡ cos 4x i cos 2x.

Zadanie 1.35. Wyprowad¹ wzór na pierwiastki

√

z =



z + |z|

|z + |z||

q

|z|, −

z + |z|

|z + |z||

q

|z|



dla z ∈ C \ {r ∈ R : r ¬ 0}.

Zadanie 1.36. Oblicz pierwiastki:

a)

√

i

,

4

√

16

,

b)

√

−11 + 60i

,

c)

q

−4 + 4

√

3i

,

4

q

−8 + 8i

√

3

,

d)

3

q

(3 + 4i)

3

,

Zadanie 1.37. Wyznaczaj¡c pierwiastek z odpowiednio dobranej liczby zespolonej, oblicz

sin 15

◦

oraz cos 15

◦

.

Zadanie 1.38. Wyznacz

6

√

−1 = {w

1

, w

2

, w

3

, w

4

, w

5

, w

6

}

oraz oblicz:

w

1

+ w

2

+ w

3

+ w

4

+ w

5

+ w

6

,

w

1

· w

2

· w

3

· w

4

· w

5

· w

6

.

Zadanie 1.39. Rozwi¡» równania:

a) z

2

= i

,

b) z

3

= −27

c) z

8

= 2

8

,

d) z

2

− 3z + 3 + i = 0

,

e) z

2

− (2 + i) z − 1 + 7i = 0

,

f) z

2

+ 2

z + 3 = 0

,

g) z

4

− 30z

2

+ 289 = 0

,

h) z

4

+ (15 + 7i) z

2

+ 8 − 15i = 0

,

i) 2z

2

+ 2



−1 + i

√

3



z +

2+i2

√

3

1−i

√

3

= 0

,

j) z |z| = 2z.

Zadanie 1.40. Udowodnij, »e dla dowolnych z

1

, z

2

∈ C zachodzi równo±¢:

|z

1

+ z

2

|

2

+ |z

1

− z

2

|

2

= 2



|z

1

|

2

+ |z

2

|

2



.

Algebra z geometri¡ VIII

Zadanie 2.1. Stosuj¡c schemat Hornera wykonaj dzielenie z reszt¡ wielomianu f (x) przez

x − x

0

, a nast¦pnie podaj warto±¢ f (x

0

)

:

a) f (x) = 2x

5

− 4x

4

− x

3

+ x

2

+ 2x − 3

, x

0

= 2

b) f (x) = x

4

+ x

2

+ 2

, x

0

= −1

,

c) f (x) = 4x

5

− 4x

4

+ 3x

3

− 3x

2

+ 9x − 9

, x

0

= 1 + i

,

Zadanie 2.2. Oblicz reszt¦ z dzielenia wielomianu f (x) przez g (x), a nast¦pnie podaj war-

to±¢ f (x

0

)

:

a) f (x) = 3x

4

+ 2x

3

− 7x − 1

, g (x) = x + 4, x

0

= −4

,

b) f (x) = x

3

+ x

2

+ x + 2

, g (x) = 2x − 1, x

0

=

1
2

,

c) f (x) = x

4

+ (3 − 8i) x

3

− (21 + 18i) x

2

− (33 − 20i) x + 7 + 18i

,

g (x) = x − x

0

, x

0

= 2i − 1

.

Zadanie 2.3. Dla jakich a i b wielomian

a) x

4

− 3x

3

+ ax

2

+ bx + a

jest podzielny przez x

2

− 1

?

b) ax

n+1

+ bx

n

+ 1

jest podzielny przez (x − 1)

2

?

c) x

5

+ ax

3

+ b

ma ró»ny od zera pierwiastek podwójny?

Zadanie 2.4. Wielomian przy dzieleniu przez (x − 1) (x − 2) daje reszt¦ x + 1, przy dziele-

niu przez (x + 1) daje reszt¦ (−2). Znajd¹ reszt¦ z dzielenia tego wielomianu przez wielomian
(x − 1) (x − 2) (x + 1)

.

Zadanie 2.5. Rozªó» na czynniki nierozkªadalne (nad ciaªem liczb rzeczywistych oraz nad

ciaªem liczb zespolonych):

a) x

4

− 1

,

b) x

4

+ 81

,

c) x

4

+ x

2

+ 1

,

d) x

4

− x

2

+ 1

.

Zadanie 2.6. Rozwi¡» równania (w zbiorze liczb rzeczywistych oraz w zbiorze liczb zespo-

lonych):

a) x

4

− 1 = 0

,

b) x

6

− x

3

+ 1 = 0

,

c) x

4

+ 2x

3

− 9x

2

− 2x + 8 = 0

,

d) x

5

− 4x

3

− 2x

2

+ 3x + 2 = 0

,

e) x

4

− 2x

3

− 2x

2

− 2x − 3 = 0

,

f) x

4

− 2x

3

+ 5x

2

− 8x + 4 = 0

,

g) x

4

+ 6x

2

− 8ix − 3 = 0

(tylko w C).

Zadanie 2.7. Rozwi¡» ukªady równa«:

a)











x + y + z = 9

xy + yz + zx = 27

xyz = 27,

b)

(

xy (x + y) = 30

x

3

+ y

3

= 35.

Zadanie 2.8. Dany jest wielomian w (x) = 3x

4

−10x

3

+a

2

x

2

+a

1

x+a

0

, dla którego stosunek

pierwiastków wynosi:

x

1

: x

2

: x

3

: x

4

= 1 : 2 : 3 : 4.

Znajd¹ wspóªczynniki a

0

, a

1

i a

2

.

Algebra z geometri¡ IX

Zadanie 2.9. Liczby p

1

, p

2

i p

3

s¡ pierwiastkami równania a

3

x

3

+ a

2

x

2

+ a

1

x + a

0

= 0

. Wyra¹

za pomoc¡ a

0

, a

1

, a

2

, a

3

:

a) p

2

1

+ p

2

2

+ p

2

3

,

b) p

3

1

+ p

3

2

+ p

3

3

,

c)

1

p

1

+

1

p

2

+

1

p

3

.

Zadanie 2.10. Zrób zadanie 1.38 wykorzystuj¡c wzory Viète'a.
Zadanie 2.11. Sprawd¹, czy zbiór

A =

n

(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

: 2x

1

+ x

2

+ x

3

= 0

o

z dziaªaniami

x ⊕ y = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, x

3

+ y

3

) ,

α  x = (αx

1

, αx

2

, αx

3

) ,

gdzie x = (x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

, y = (y

1

, y

2

, y

3

) ∈ R

3

, α ∈ R, jest przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem R.

Zadanie 2.12. Sprawd¹, czy zbiór C [0, 1] funkcji ci¡gªych f : [0, 1] → R z dziaªaniami

(f + g) (x) = f (x) + g (x) , x ∈ [0, 1] ,

(α · f ) (x) = αf (x) , x ∈ [0, 1] ,

gdzie f, g ∈ C [0, 1], α ∈ R, jest przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem R.

Zadanie 2.13. W zbiorze V = R

+

okre±lamy dziaªania:

v ⊕ w = v · w, v, w ∈ V,

α  v = v

α

, v ∈ V, α ∈ R.

Czy czwórka (R, V, ⊕, ) jest przestrzeni¡ wektorow¡?

Zadanie 2.14. Sprawd¹, czy zbiór V jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni liniowej P nad

ciaªem R, je»eli

a) P = R

3

, V =



(x, y, z) ∈ R

3

: x > 0

,

b) P = R

3

, V =



(x, y, z) ∈ R

3

: x + y + z = 0

,

c) P = R

3

, V =



(x, y, z) ∈ R

3

: x + 2y − z = 1

,

d) P = R

3

, V =



(x, y, z) ∈ R

3

: x ∈ Q

,

e) P = R

3

, V =



(x, y, z) ∈ R

3

: yz ¬ 0

,

f) P = R

3

, V =



(x, y, z) ∈ R

3

: x + y + z = x − y = 0

,

g) P = R

4

, V =



(x, y, z, t) ∈ R

4

: x = z

lub y = t

,

h) P = R

4

, V =



(x, y, z, t) ∈ R

4

: x = z

oraz y = t

,

i) P = R

5

, V =



(2x, x + y, 7, 13, x − y) ∈ R

5

: x, y ∈ R

.

Zadanie 2.15. Udowodnij, »e czwórka (R, V, +, ·), gdzie

V =

n

(x, y, z) ∈ R

3

: x + 2y + 3z = 0

o

⊂ R

3

jest podprzestrzeni¡ liniow¡ przestrzeni R, R

3

, +, ·

. Sprawd¹, »e wektory e

1

= (−2, 1, 0)

oraz

e

2

= (−3, 0, 1)

nale»¡ do V , s¡ liniowo niezale»ne i tworz¡ baz¦ przestrzeni V . Jaki jest wymiar

przestrzeni V ?

Algebra z geometri¡ IX

Zadanie 2.16. Sprawd¹, »e wektory

e

1

= (1, 1, 2, 1) ,

e

2

= (1, −1, 0, 1) ,

e

3

= (0, 0, −1, 1) ,

e

4

= (1, 2, 2, 0)

tworz¡ baz¦ przestrzeni R

4

. Znajd¹ wspóªrz¦dne wektora v = (1, 2, 2, 0) w tej bazie.

Zadanie 2.17. Niech dane b¦d¡ wektory

e

1

= (1, 2, 0) ,

e

2

= (2, 1, −1) ,

e

3

= (−4, −5, −1) ,

e

4

= (3, −3, 1)

Znajd¹ dim L (e

1

, e

2

, e

3

, e

4

)

oraz jak¡kolwiek baz¦ przestrzeni L (e

1

, e

2

, e

3

, e

4

)

.

Zadanie 2.18. Udowodnij, »e ukªad wektorów

e

1

= (1, 2, 0, 4) ,

e

2

= (−1, 0, 5, 1) ,

e

3

= (1, 6, 10, 14) ,

jest liniowo zale»ny oraz zapisz nietrywialn¡ kombinacj¦ liniow¡

α

1

e

1

+ α

2

e

2

+ α

3

e

3

= θ,

gdzie θ = (0, 0, 0, 0). Sprawd¹, czy v = (0, 8, 20, 20) ∈ L (e

1

, e

2

, e

3

)

.

Zadanie 2.19. Udowodnij, »e wektory

f

1

= (1, 1, 1, 1, 1) , f

2

= (0, 1, 1, 1, 1) , f

3

= (0, 0, 1, 1, 1) , f

4

= (0, 0, 0, 1, 1) , f

5

= (0, 0, 0, 0, 1) ,

tworz¡ baz¦ w przestrzeni R

5

. Znajd¹ wspóªrz¦dne wektora x = (1, 0, 1, 0, 1) w tej bazie.

Zadanie 2.20. Znajd¹ baz¦ przestrzeni wektorowej W = L (v

1

, v

2

, v

3

, v

4

)

, gdzie

v

1

= (1, 2, 3, 4) ,

v

2

= (4, 7, 10, 13) ,

v

3

= (2, 3, 4, 5) ,

v

4

= (3, 5, 7, 9)

oraz sprawd¹, czy wektor v = (2, 1, 1, 2) jest elementem przestrzeni W .

Zadanie 2.21. Zadanie na izomorzm przestrzeni wektorowych...

Algebra z geometri¡ XI

Zadanie 2.22. Oblicz

a)









0

0

2

3

2 −2 −1

2

1

0

4

0

−3

1

5 −1









·









1

4 −2

0

3 −2

4 −3

0

1 −1

0

2

2

5

1









,

b)






1 −4

7

2 −5

8

3

6 −9






·






0 −3 −2

1

4 −1

2

5

0






+






4

2

0

1

0

1

0 −3 −2






.

Zadanie 2.23. Oblicz

a)

v
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
t

















0

0

2

0

3

0

2 12

4

2

7

3

1

0

4

0

9

0

1 12

5

3

7

6

2

0

8

0 27

0

−3 12

5

4

3 10

















+

















1

0

2

0

3

0

3 12

4

2

7

3

0

0

4

0

9

0

7 12

5

3

7

6

−1

0

8

0 27

0

12 12

5

4

3 10

















,

b)







12547 13447

28523 28423







+












35 59 71 52

42 70 77 54

43 68 72 52

29 49 65 50












+














24 11 13 17 19

51 13 32 40 46

61 11 14 50 56

62 20

7 13 52

80 24 45 57 70














−1

,

c)




















1

2

3

4

2

3

1

2

1

1

1 −1

1

0 −2 −6












·












22 −6 −26

17

−17

5

20 −13

−1

0

2 −1

4

1

5

3




















2005

,

d)









1 2005

2004

2004

2005

0 2005

2005

2005

2005

0

0

2005

1

2005

2005









·














2 −1

3

4 −5

4 −2

7

8 −7

−6

4 −9 −2

3

3 −2

4

1 −2

−2

6

5

4 −3














.

Zadanie 2.24. Oblicz wyznacznik macierzy











2

2

2

2

5

2

2

2

5

2

2

2

5

2

2

2

5

2

2

2

5

2

2

2

2











.

Algebra z geometri¡ XI

Zadanie 2.25. Znajd¹ rz¡d macierzy











3

2 −1

2

0

1

4

1

0 −3

0

2

2 −1 −2

1

1 −3

3

1

3 −9 −1

6

3 −1 −5

7

2 −7











oraz wska» niezerowy minor najwi¦kszego stopnia.

Zadanie 2.26. Za pomoc¡ minorów znajd¹ wymiar przestrzeni liniowej rozpi¦tej przez ukªad

wektorów

a

1

= (1, 2, 3, 4) ,

a

2

= (2, 3, 4, 5) ,

a

3

= (3, 4, 5, 6) ,

a

4

= (4, 5, 6, 7) .

Napisz dowoln¡ baz¦ tej przestrzeni.

Zadanie 2.27. Oblicz









1

2 −1 −2

3

8

0 −4

2

2 −4 −3

3

8 −1 −6









−1

.

Zadanie 2.28. Rozwi¡» równania macierzowe:

a)






1

2 −3

3

2 −4

2 −1

0






· X +






0

1

0

−5 −1 −3
−4 −3 −3






=






1 −2

0

5

1

4

6

4

5






,

b)

"

1

2

#

·

h

2

1

i

+

"

0

0

−6 −2

#!

· X ·

"

−2

3

−1

1

#

T

=

"

1

0

0

0

#

+ 2

"

0 −1

0

1

#

,

c)

"

3 −1

5 −2

#

· X ·

"

1

1

1

1

#

+

"

4

5

6

7

#!

=

"

14

16

9

10

#

,

d)

"

1

2

0

1

#

+

"

0

0

3

3

#!

· X =

"

3

5

5

9

#

T

,

e) X ·






5

3

1

1 −3 −2

5

2

1






=






−8

0 −2

0

9 15

1

0

1






T

+






0

3 −1

−5

0

0

0

0 −1






,

f)









1

2

3

2

3

4

3

1

2









3

·









−10 −7 −1

16 11

2

−7 −5 −1









3

·






250 −470 −230

482 −238

2

−478

242

722






+ X ·







2 ·






1

1 −1

2

1

0

1 −1

1






−1

+






1

4

5

2

0

0

1

4

3






T







=












4

1 −2

1

1

3

1

4

−2

6

0

5

5

1

2

0












·






−1

2

1

−2

1

0

2 −1 −3






.

Algebra z geometri¡ XI

Zadanie 2.29. Rozwi¡» równanie












1 −1

2

1

2 −1

4

2

3

0

1

0

−2

1 −2 −1












·












1

0

0 −1

−2

1

0

0

3

0

1

3

−6

1 −2

5












·






1

2

1

2

1 −5

0 −1 −2






·






x

y

z






=






1

2

3






.

Zadanie 2.30. Dla jakich liczb α ∈ R macierz

A =






2

0

α

0

1

1

1

0

0






jest nieosobliwa? Znajd¹ w tym przypadku macierz odwrotn¡ do A.

Zadanie 2.31. Rozwi¡» ukªady równa« z niewiadomymi x, y, z i parametrem λ ∈ R:











λx + y + 2z = 1

x + λy + 2z = 1

x + y + 2λz = 1











x + λ

2

y + z = −λ

x + y − λz = λ

2

y + z = 1











λx + y + z = 1

x + λy + z = λ

x + y + λz = λ

2

Zadanie 2.32. Rozwi¡» ukªad równa« z niewiadomymi x

1

, x

2

, x

3

, x

4

i parametrem λ ∈ R:























λx

1

+ x

2

+ x

3

+ x

4

= 1

x

1

+ λx

2

+ x

3

+ x

4

= 1

x

1

+ x

2

+ λx

3

+ x

4

= 1

x

1

+ x

2

+ x

3

+ λx

4

= 1

Zadanie 2.33. Znajd¹ rozwi¡zania ogólne poni»szych ukªadów równa«, podaj wymiar prze-

strzeni rozwi¡za« oraz fundamentalne ukªady rozwi¡za«.























3x + 4y + z + 2w + 3t = 0

5x + 7y + z + 3w + 4t = 0

4x + 5y + 2z + w + 5t = 0

7x + 10y + z + 6w + 5t = 0























6x − 2y + 2z + 5w + 7t = 0

9x − 3y + 4z + 8w + 9t = 0

6x − 2y + 6z + 7w + t = 0

3x − y + 4z + 4w − t = 0































x

1

− x

3

+ x

5

= 0

x

2

− x

4

+ x

6

= 0

x

1

− x

2

+ x

5

− x

6

= 0

x

2

− x

3

+ x

6

= 0

x

1

− x

4

+ x

5

= 0

Zadanie 2.34. Rozwi¡» ukªady równa«































8x

1

+ 6x

2

+ 5x

3

+ 2x

4

= 21

3x

1

+ 3x

2

+ 2x

3

+ x

4

= 10

4x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

+ x

4

= 8

7x

1

+ 4x

2

+ 5x

3

+ 2x

4

= 18

3x

1

+ 2x

2

+ x

3

+ x

4

= 15























10x

1

+ 23x

2

+ 17x

3

+ 44x

4

= 25

15x

1

+ 35x

2

+ 26x

3

+ 69x

4

= 40

25x

1

+ 57x

2

+ 42x

3

+ 108x

4

= 65

30x

1

+ 69x

2

+ 51x

3

+ 133x

4

= 95

Zadanie 2.35. Rozwi¡» ukªady równa«























2x

1

+ 2x

2

− x

3

+ x

4

= 4

4x

1

+ 3x

2

− x

3

+ 2x

4

= 6

8x

1

+ 5x

2

− 3x

3

+ 4x

4

= 12

3x

1

+ 3x

2

− 2x

3

+ 2x

4

= 6























24x

1

+ 14x

2

+ 30x

3

+ 40x

4

+ 41x

5

= 28

36x

1

+ 21x

2

+ 45x

3

+ 61x

4

+ 62x

5

= 43

48x

1

+ 28x

2

+ 60x

3

+ 82x

4

+ 83x

5

= 58

60x

1

+ 35x

2

+ 75x

3

+ 99x

4

+ 102x

5

= 69

Algebra z geometri¡ XI

Zadanie 2.36. Zbadaj istnienie i znajd¹ ogólne rozwi¡zanie ukªadu równa«











2x

1

− x

2

+ 3x

3

− 7x

4

= 5

6x

1

− 3x

2

+ x

3

− 4x

4

= 7

4x

1

− 2x

2

+ 14x

3

− 31x

4

= 18.

Algebra z geometri¡  Geometria

Zadanie 3.1. Sprawd¹, czy dana funkcja jest iloczynem skalarnym (w odpowiedniej prze-

strzeni wektorowej):

a) h(x

1

, x

2

) , (y

1

, y

2

)i = x

1

y

1

+ x

2

y

2

, gdzie (x

1

, x

2

) , (y

1

, y

2

) ∈ R

2

b) h(x

1

, . . . , x

n

) , (y

1

, . . . , y

n

)i = x

1

y

1

+ . . . + x

n

y

n

, gdzie (x

1

, x

2

) , (y

1

, y

2

) ∈ R

n

,

c) h(x

1

, x

2

) , (y

1

, y

2

)i = 2x

1

y

1

+ x

1

y

2

+ x

2

y

1

+ x

2

y

2

, gdzie (x

1

, x

2

) , (y

1

, y

2

) ∈ R

2

,

d) h(x

1

, x

2

) , (y

1

, y

2

)i = x

1

y

1

− x

2

y

2

, gdzie (x

1

, x

2

) , (y

1

, y

2

) ∈ R

2

,

e) h(x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) , (y

1

, y

2

, y

3

, y

4

)i = 3x

1

y

1

+ x

2

y

2

+ x

3

y

3

+ 2x

4

y

4

+ x

2

y

4

+ x

4

y

2

,

gdzie (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) , (y

1

, y

2

, y

3

, y

4

) ∈ R

4

,

f) hf, gi =

R

b

a

f (x) g (x) dx

, gdzie f, g ∈ C [a, b] (patrz zad. 2.12).

Zapisz funkcje z punktów a)  e) w postaci macierzowej: hx, yi = x

T

Ay

. Czy mo»na co± powiedzie¢

o macierzy A, je»eli dana funkcja jest iloczynem skalarnym?

Zadanie 3.2. Dana jest przestrze« (X, h·, ·i). Symbolem kxk =

p

hx, xi

oznaczmy dªugo±¢

wektora x ∈ X. Udowodnij, »e dla dowolnych x, y ∈ X oraz t ∈ R mamy

a) kxk ­ 0,

b) kxk = 0 ⇔ x = 0,

c) ktxk = |t| kxk,

d) kx + yk ¬ kxk + kyk (nierówno±¢ trójk¡ta).

Zadanie 3.3. Dana jest przestrze« (X, h·, ·i). Udowodnij, »e dla dowolnych x, y ∈ X maj¡

miejsce wzory

a) kx + yk

2

= kxk

2

+ 2 hx, yi + kyk

2

,

b) kx − yk

2

= kxk

2

− 2 hx, yi + kyk

2

,

c) kxk

2

− kyk

2

= hx − y, x + yi = hx + y, x − yi

,

d) hx, yi =

1
4



kx + yk

2

− kx − yk

2



(prawo równolegªoboku),

e) kx − zk

2

+ ky − zk

2

− kx − yk

2

= 2 hx − z, y − zi

.

Zadanie 3.4. Udowodnij, »e funkcja f : R

2

× R

2

dana wzorem

f (x, y) = x

1

y

1

+

1

2

x

1

y

2

+

1

2

x

2

y

1

+ x

2

y

2

,

gdzie x = (x

1

, x

2

)

, y = (y

1

, y

2

)

, jest iloczynem skalarnym w R

2

. Znajd¹ k¡t mi¦dzy wektorami

e

1

= (1, 0)

i e

2

= (0, 1)

.

Zadanie 3.5. Dane s¡ wektory: a = (1, −1, 2), b = (2, 0, 3), c = (−1, 2, −1) ∈ R

3

. Oblicz:

a) dªugo±ci tych wektorów,

b) iloczyny skalarne wektorów a i b, a i c, b i c oraz a − 2b + c i a + b,

c) cosinusy k¡tów mi¦dzy wektorami a i b, a i c, b i c.

Przyjmij, »e w R

3

wprowadzono iloczyn skalarny:

(1) euklidesowy,
(2) wzorem ϕ ((x

1

, x

2

, x

3

) , (y

1

, y

2

, y

3

)) = x

1

y

1

+ x

1

y

2

+ x

2

y

1

+ 2x

2

y

2

+ x

3

y

3

,

gdzie (x

1

, x

2

, x

3

) , (y

1

, y

2

, y

3

) ∈ R

3

.

Zadanie 3.6. Dane s¡ wektory p, q ∈ R

2005

. Oblicz hp, qi oraz kp − qk, je»eli wiadomo, »e:

a) kpk = 2, kqk = 3, ^ (p, q) =

π

3

,

b) kpk = 1, kqk = 2, ^ (p, q) =

5π

6

.

Algebra z geometri¡  Geometria

Zadanie 3.7. Oblicz dªugo±¢ wektora u = 2a + 3b, je»eli wiadomo, »e a, b ∈ R

777

, kak = 3,

kbk = 1

, ^ (a, b) =

π

3

.

Zadanie 3.8. Znajd¹ k¡t mi¦dzy wektorami u i v, je»eli wiadomo, »e:

a) u = 6m + 4n, v = 2m + 10n, kmk = 5, knk = 3 oraz ^ (m, n) =

7
4

π

,

b) u = 5a + b, v = 2a + 3b, a wektory a i b s¡ jednostkowe i do siebie prostopadªe.

Zadanie 3.9. Wykorzystuj¡c w odpowiedni sposób nierówno±¢ Schwarza udowodnij, »e

a) a + b ¬

√

2 ·

√

a

2

+ b

2

, dla dowolnych a, b ∈ R,

b) 2a + 4b + c + 2d ¬ 5

√

a

2

+ b

2

+ c

2

+ d

2

, dla dowolnych a, b, c, d ∈ R,

c) 2a + 3b ¬

√

10 ·

√

4a

2

+ b

2

, dla dowolnych a, b ∈ R.

Zadanie 3.10. Dla jakich wektorów a i b, wektory a + b i a − b s¡ do siebie prostopadªe?
Zadanie 3.11. Oblicz k¡t mi¦dzy wektorami a i b, wiedz¡c, »e wektor a+3b jest prostopadªy

do wektora 7a − b, za± wektor a − 4b jest prostopadªy do wektora 7a − 2b.

Zadanie 3.12. W trójk¡cie o wierzchoªkach A (1, 2), B (3, 1), C (−1, −1), znajd¹ na boku

BC

taki punkt P , aby wektory

−

−

→

BC

i

−→

AP

byªy ortogonalne. Oblicz pole trójk¡ta ABC.

Zadanie 3.13. Znajd¹ dowoln¡ baz¦ podprzestrzeni

P =

n

(x, y, z, t) ∈ R

4

: 4x − z = 2y − 3z + 2t = 0

o

a nast¦pnie zortogonalizuj j¡.

Zadanie 3.14. Korzystaj¡c z procesu ortogonalizacji skonstruuj baz¦ ortonormaln¡ prze-

strzeni L (e

1

, e

2

, e

3

)

, gdzie

e

1

= (1, 2, 2, −1) ,

e

2

= (1, 1, −5, 3) ,

e

3

= (3, 2, 8, 7) .

Zadanie 3.15. Zortogonalizuj baz¦ B = {e

1

, e

2

, e

3

, e

4

}

przestrzeni R

4

, je»eli

e

1

= (2, 1, 3, −1) ,

e

2

= (7, 4, 3, −3) ,

e

3

= (1, 1, −6, 0) ,

e

4

= (5, 7, 7, 8) .

Zadanie 3.16. Zortonormalizuj baz¦ B = {e

1

, e

2

, e

3

}

przestrzeni R

3

, je»eli

e

1

= (1, 2, 3) ,

e

2

= (2, 1, 0) ,

e

3

= (3, 1, 2) .

Zadanie 3.17. Sprawd¹, »e ukªad wektorów

e

1

=



2

3

,

1

3

,

2

3



,

e

2

=



2

3

,

1

3

, −

2

3



jest ortonormalny i uzupeªnij go do bazy ortonormalnej w R

3

.

Zadanie 3.18. W przestrzeni liniowej funkcji ci¡gªych C [−1, 1] (patrz zad. 2.12) wprowa-

dzono iloczyn skalarny wzorem

hf, gi =

Z

1

−1

f (t) g (t) dt,

f, g ∈ C [−1, 1] .

Oblicz hf

i

, f

j

i

, gdzie f

i

(t) = t

i

, i ∈ {0, 1, 2}, a nast¦pnie wyznacz baz¦ ortogonaln¡ przestrzeni

L (f

0

, f

1

, f

2

)

.

Algebra z geometri¡  Geometria

Zadanie 3.19. Oblicz iloczyn wektorowy wektorów:

a) x = (1, 2, 4), y = (−1, 0, 2),

b) x = (−2, −1, 3), y = (1, 1, 2),

c) x = (2, −2, 6), y = (−1, 1, −3).

Które z podanych par wektorów s¡ wspóªliniowe?

Zadanie 3.20. Oblicz pola oraz dªugo±ci wysoko±ci trójk¡tów o wierzchoªkach:

a) A = (1, 3, 1), B = (0, 1, 2), C = (2, 7, −4) ∈ R

3

,

b) A = (1, 1, 0, 0), B = (0, 1, 1, 0), C = (0, 1, 0, 1) ∈ R

4

.

Zadanie 3.21. Sprawd¹, »e dla dowolnych a, b, c ∈ R

3

mamy:

a) ka × bk

2

+ ha, bi

2

= kak

2

kbk

2

,

b) ha × b, c × di = det

"

ha, ci ha, di

hb, ci hb, di

#

,

c) (a × b) × c = ha, ci b − hb, ci a,

d) a × (b × c) = ha, ci b − ha, bi c.

Zadanie 3.22. Dla danych wektorów a = 2005, −2005, e

2005

, b = (2, 0, 0), c = (0, 0, 5)

oblicz b × (b + c) + (a + c) × (c + b) + (b + c) × (c + a).

Zadanie 3.23. Czy iloczyn wektorowy jest dziaªaniem ª¡cznym?
Zadanie 3.24. Oblicz iloczyn mieszany wektorów:

a) x = (1, 1, 4), y = (−1, 2, 1), z = (0, 1, 2),

b) x = (2, 3, −2), y = (1, 2, −2), z = (1, −2, 2),

c) x = (1, −3, 6), y = (2, 1, 3), z = (1, 4, −3).

Które z podanych trójek wektorów s¡ wspóªpªaszczyznowe (tzn. le»¡ w jednej pªaszczy¹nie)?

Zadanie 3.25. Sprawd¹, »e dla dowolnych a, b, c ∈ R

3

prawdziwa jest nast¦puj¡ca równo±¢:

ha + 2b − c, (a − b) × (a − b − c)i = 3 (a · b · c)

.

Zadanie 3.26. Obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach p, q, r jest równa

3. Oblicz obj¦to±¢ czworo±cianu zbudowanego na wektorach a = p + q − r, b = 2p − q + r,
c = p + 2q − 3r

.

Zadanie 3.27. Udowodnij, »e obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na przek¡tnych ±cian

danego równolegªo±cianu jest dwa razy wi¦ksza od obj¦to±ci równolegªo±cianu danego.

Zadanie 3.28. Oblicz obj¦to±¢ czworo±cianu o wierzchoªkach A(2, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0, 0, 2)

i D(2, 3, 8) oraz dªugo±¢ wysoko±ci poprowadzonej z wierzchoªka D.

Zadanie 3.29. Wyznacz obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach AB = b,

AC = c

, AD = d, gdzie A(3, 4, 3), B(9, 5, −1), C(1, 7, 0), D(3, 2, 5).

Zadanie 3.30. Dane s¡ wektory AB = b, AC = c, AD = d, gdzie A(1, 1, 2), B(−1, 3, 2),

C(2, −1, 4)

, D(2, 3, 0). Wyznacz:

a) obj¦to±¢ czworo±cianu o wierzchoªkach A, B, C, D,

b) obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach b, c i d,

c) dªugo±¢ wysoko±ci czworo±cianu poprowadzonej z wierzchoªka D.

Zadanie 3.31. Oblicz odlegªo±¢ mi¦dzy prostymi sko±nymi przechodz¡cymi odpowiednio

przez punkty A = (1, 0, 0) i B = (1, 1, 0) oraz C = (0, 1, 0) i D = (1, 1, 1).

Algebra z geometri¡  Geometria

Zadanie 3.32. Napisz równania prostych przechodz¡cych przez punkty:

a) A (−1, 3), B (0, 2),

b) A (−1, 5, 1), B (1, −2, 0),

c) A (1, 2, 3, −5), B (−1, 0, 3, 2).

Zadanie 3.33. Napisz równanie prostej przechodz¡cej przez punkt A (2, −1) oraz:

a) równolegªej do prostej 2x + 4y − 1 = 0,

b) równolegªej do prostej x = 1 + t, y = 1 − t,

c) prostopadªej do prostej x + 2y − 1 = 0,

d) prostopadªej do prostej x = t, y = 2 − t,

e) nachylonej do osi Ox pod k¡tem

π

3

.

Zadanie 3.34. Napisz równanie pªaszczyzny:

a) zawieraj¡cej punkty A (−1, 2, 3), B (1, 0, 1), C (1, 0, 3),

b) zawieraj¡cej punkt A (0, −2, 1) i prost¡ x = 1 − t, y = 2 + t, z = 2t,

c) zawieraj¡cej punkt A (1, 1, 1) i prostopadªej do prostej x = −t, y = 1 + t, z = 2,

d) zawieraj¡cej punkt A (−2, 1, 4) i równolegªej do pªaszczyzny x + y + z + 1 = 0,

e) zawieraj¡cej punkt A (−2, 1, 4) i równolegªej do pªaszczyzny x = 1 + 2t + s, y = 1 − t,

z = t − s

,

f) zawieraj¡cej punkt A (−2, 1, 4) i równolegªej do prostych x = t, y = 1 + 2t, z = 2 − t oraz

x = 2t

, y = 1, z = 3 + t,

g) zawieraj¡cej proste równolegªe x = 1+t, y = 2−t, z = −t oraz x = 2+t, y = −t, z = 3−t,

h) zawieraj¡cej proste przecinaj¡ce si¦ x = 2t, y = 2−t, z = 1−t oraz x = 2, y = t, z = −1+t.

Zadanie 3.35. Napisz równanie prostej:

a) zawieraj¡cej punkt (4, 0, 1) i przecinaj¡cej proste x = 2 + t, y = −1, z = t oraz x = 6 − t,

y = 1 + 2t

, z = 2,

b) prostopadªej do prostych x = 7 + t, y = 3 + 2t, z = 9 − t oraz x = 3 − 7t, y = 1 + 2t,

z = 1 + 3t

,

c) przechodz¡cej przez punkt przeci¦cia prostych











x = 2 + 2t

y = 2 + t

z = −1 − t

oraz











x = −3 + 3t

y = t

z = −1 + t

i prostopadªej do nich,

d) która jest rzutem prostej x = y = z na pªaszczyzn¦ x − y + z = 0.

Zadanie 3.36. Znajd¹ punkt symetryczny do punktu

a) A (1, 2) ∈ R

2

wzgl¦dem prostej x + y + 3 = 0,

b) B (2, 3, −6) ∈ R

3

wzgl¦dem pªaszczyzny x + 2y + z + 4 = 0.

Zadanie 3.37. Oblicz odlegªo±¢ punktu

a) A (2, 3) ∈ R

2

od prostej 2x + 4y − 5 = 0,

b) A (−1, −1, −3) ∈ R

3

od pªaszczyzny x + 2y − 5z + 1 = 0.

Algebra z geometri¡  Geometria

Zadanie 3.38. Zbadaj wzajemne poªo»enie prostych:

a) x − y + 2 = 0 i x + 2y + 5 = 0 w R

2

,

b) x = 7 + t, y = 3 + 2t, z = 9 − t oraz x = 3 − 7t, y = 1 + 2t, z = 1 + 3t, w R

3

,

c) x = 2 − t, y = t, z = 1 + t oraz x = 3 − 7t, y = 1 + 2t, z = 1 + 3t, w R

3

d)











x = t

y = −8 − 4t

z = −3 − 3t

oraz

(

x + y − z = 0

2x − y + 2z − 17 = 0,

w R

3

,

e)

(

x + z − 1 = 0

3x + y − z + 13 = 0

oraz

(

x − 2y + 3 = 0

y + 2z + 8 = 0,

w R

3

.

Je»eli proste:

(1) s¡ równolegªe, wyznacz punkt pªaszczyzn¦, która je zawiera,
(2) przecinaj¡ si¦, to wyznacz punkt przeci¦cia, k¡t mi¦dzy nimi, i pªaszczyzn¦, która je zawiera,
(3) s¡ sko±ne, to oblicz odlegªo±¢ mi¦dzy nimi,

Zadanie 3.39. Przez punkt A (3, 5) poprowadzono prost¡ tworz¡c¡ k¡t

π

4

z prost¡ o równaniu

2x − 3y − 7 = 0

. Znajd¹ równanie tej prostej.

Zadanie 3.40. Przez punkt M = (15, 6) poprowad¹ prost¡, która z prostymi o równaniach

5x − 2y − 5 = 0

oraz 2x + 5y − 2 = 0

tworzy trójk¡t o polu równym 29.

Zadanie 3.41. Na prostej o równaniu

2x = y + 7 = z − 1,

znale¹¢ punkt poªo»ony najbli»ej punktu A (3, 2, 6).

Zadanie 3.42. Dany jest trójk¡t o wierzchoªkach A (6, −1), B (0, 3), C (2, 1). Wyznacz rów-

nania prostych zawieraj¡cych:

a) boki trójk¡ta,

b) symetralne boków,

c) ±rodkowe,

d) wysoko±ci,

e) dwusieczne k¡tów.

Znajd¹:

a) ±rodek okr¦gu opisanego na trójk¡cie,

b) ±rodek okr¦gu wpisanego w trójk¡t,

c) ±rodek ci¦»ko±ci trójk¡ta,

d) punkt przeci¦cia wysoko±ci.

Algebra z geometri¡  Geometria

Zadanie 3.43. Dane s¡ dwa przeksztaªcenie aniczne

f :

(

x

0

= 2x + 3y − 1

y

0

= x − 2y + 2,

g :











x

0

= 2x + 3y − z + 1

y

0

= x − 2z + 2

z

0

= 2x − y + 3z − 2.

Zapisz je w postaci macierzowej, a nast¦pnie znajd¹ (dowoln¡ metod¡) przeksztaªcenia do nich
odwrotne: f

−1

oraz g

−1

.

Zadanie 3.44. Dane jest przeksztaªcenie aniczne

f :

(

x

0

= x − y + 2

y

0

= 2x + y − 1

Wyznacz:

a) obrazy punktów A (1, −3), B (−1, 0), C (1, 1),

b) obraz prostej przechodz¡cej przez punkty A i B,

c) obraz prostej x = 1 + t, y = 2 − 3t,

d) obraz prostej x + y − 2 = 0,

e) pole trójk¡ta, którego wierzchoªkami s¡ obrazy punktów A, B, C.

Zadanie 3.45. Dane jest przeksztaªcenie aniczne

f :











x

0

= x − 2y + z − 2

y

0

= 3x − 2y + 1

z

0

= x + y + z − 3

Wyznacz:

a) obrazy punktów A (0, 1, 3), B (2, 1, −1, ), C (0, 0, 0),

b) obraz prostej przechodz¡cej przez punkty A i B,

c) obraz prostej x = 2 − t, y = 1 + 2t, z = t,

d) obraz pªaszczyzny x = 1 + 2s − 3t, y = 2t − s, z = 3 − t + s,

e) obraz pªaszczyzny x + 2y − z + 1 = 0,

f) obraz prostej

(

x + y + z + 1 = 0

x − 2y + z − 1 = 0,

g) pole trójk¡ta, którego wierzchoªkami s¡ obrazy punktów A, B, C.

Zadanie 3.46. Dla jakich warto±ci parametru λ, przeksztaªcenie

y

1

= λx

1

+ 2x

2

+ 2,

y

2

= x

1

− λx

2

− 1,

a) jest przeksztaªceniem anicznym?

b) jest przeksztaªceniem anicznym zachowuj¡cym pole powierzchni?

c) jest przeksztaªceniem anicznym zachowuj¡cym odlegªo±¢ (czyli izometri¡)?

Zadanie 3.47. Przeksztaªcenie aniczne

x

0

=

1
2

x −

√

3

2

y + 1

y

0

=

√

3

2

x +

1
2

y − 2

zapisz jako zªo»enie obrotu i przesuni¦cia.

Algebra z geometri¡  Geometria

Zadanie 3.48. Ukªad wspóªrz¦dnych Oxy obrócono o k¡t 120

◦

. W tak otrzymanym nowym

ukªadzie wspóªrz¦dnych O

0

x

0

y

0

dane s¡ punkty A =



2

√

3, −4



i B =



√

3, 0



. Jakie wspóªrz¦dne

maj¡ te punkty w starym ukªadzie? Jakie równanie w nowym ukªadzie ma prosta, która w starym
ukªadzie ma równanie x + 2y + 3 = 0?

Zadanie 3.49. Dane jest przeksztaªcenie aniczne

x

0

= a

11

x + a

12

y + a

1

y

0

= a

21

x + a

22

y + a

2

oraz trójk¡t 4ABC o wierzchoªkach A = (0, 0), B =



√

2, 0



i C =



0,

√

2



. Uzasadnij, »e jego

obrazem b¦dzie pewien trójk¡t 4A

0

B

0

C

0

i znajd¹ jego pole.

Zadanie 3.50. Podane równania krzywych stopnia drugiego sprowad¹ do postaci kanonicz-

nej. Jakie to krzywe?

a) x

2

+ y

2

+ 4x + 6y − 12 = 0

,

b) x

2

+ y

2

− 2x + 8y − 11 = 0

,

c) x

2

− 3y

2

+ 2x − 6y − 8 = 0

,

d) y

2

− 4y + 6x − 2 = 0

,

e) x

2

+ 2y

2

− 2x + 8y + 9 = 0

,

f) x

2

+ y

2

− 6x + 4y + 15 = 0

,

g) 4x

2

− xy = 0

.

Algebra z geometri¡  c.d.

Zadanie 4.1. Znajd¹ warto±ci wªasne macierzy

A =






1

2

0

0

2

0

−2 −2 −1






Czy wektory wªasne tej macierzy s¡ liniowo niezale»ne?

Zadanie 4.2. Dane jest odwzorowanie liniowe A : R

3

→ R

3

A (x

1

, x

2

, x

3

) = (7x

1

− 12x

2

+ 6x

3

, 10x

1

− 19x

2

+ 10x

3

, 12x

1

− 24x

2

+ 13x

3

) .

Znajd¹ jego wektory i warto±ci wªasne.

Zadanie 4.3. Znajd¹ warto±ci wªasne i wektory wªasne przeksztaªcenia P : R

3

→ R

3

zada-

nego w pewnej bazie macierz¡






1 −3

1

3 −3 −2

3 −5

1






.

Zadanie 4.4. Znajd¹ wektory wªasne i odpowiadaj¡ce im warto±ci wªasne odwzorowania

liniowego A : R

3

→ R

3

danego wzorem

A (x, y, z) = (2x + z, 3y + z, 6y + 2z) ,

a nast¦pnie zortonormalizuj otrzymany ukªad wektorów wªasnych.

Zadanie 4.5. Znajd¹ wektory wªasne odwzorowania liniowego A : R

2

→ R

2

, którego macierz

A

B

w bazie B = (e

1

, e

2

)

jest nast¦puj¡ca

A

B

=

"

5 −1

−2

4

#

.

Znajd¹ macierz tego odwzorowania w dowolnej bazie przestrzeni rozpi¦tej przez jego wektory
wªasne.

Zadanie 4.6. Rozwa»my odwzorowanie liniowe A : R

3

→ R

3

, którego macierz w bazie

kanonicznej jest postaci






1

3

0

0

2 −1

0

0

4






.

Znajd¹ macierz tego odwzorowania w dowolnej bazie jego wektorów wªasnych.

Zadanie 4.7. Znajd¹ macierz odwzorowania liniowego

f (x

1

, x

2

) =



−10x

1

− 7x

2

, −7x

1

−

10

13

x

2



w bazie jego unormowanych wektorów wªasnych.

Zadanie 4.8. Znajd¹ posta¢ formy kwadratowej

A (x) = 6x

2
1

+ 5x

2
2

+ 7x

2
3

− 4x

1

x

2

+ 4x

1

x

3

,

gdzie x = (x

1

, x

2

, x

3

)

, w bazie jej unormowanych wektorów wªasnych.

Algebra z geometri¡  c.d.

Zadanie 4.9. Wyka», »e odwzorowanie A : R

4

→ R

4

dane wzorem

A (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) = (x

1

+ 2x

2

+ 4x

3

− 3x

4

, 3x

1

+ 5x

2

+ 6x

3

− 4x

4

,

4x

1

+ 5x

2

− 2x

3

+ 3x

4

, 3x

1

+ 8x

2

− 24x

3

+ 19x

4

)

jest liniowe, znajd¹ dim Im A oraz baz¦ podprzestrzeni ker A.

Zadanie 4.10. Dane jest odwzorowanie liniowe A : R

3

→ R

3

A (x

1

, x

2

, x

3

) = (2x

1

+ x

2

− 4x

3

, 3x

1

+ 5x

2

− 7x

3

, 4x

1

− 5x

2

− 6x

3

) .

Znajd¹ bazy jego j¡dra i obrazu.

Zadanie 4.11. Dane jest odwzorowanie liniowe A : R

3

→ R

3

A (x) = (2x

1

− x

2

− x

3

, x

1

− 2x

2

+ x

3

, x

1

+ x

2

− 2x

3

) ,

gdzie x = x

1

e

1

+ x

2

e

2

+ x

3

e

3

, a {e

1

, e

2

, e

3

}

jest baz¡ kanoniczn¡ w R

3

. Znajd¹ wymiar i baz¦

j¡dra ker A oraz wymiar i baz¦ obrazu Im A.

Zadanie 4.12. Niech dane b¦d¡ trzy bazy przestrzeni R

3

B

1

= {f

1

, f

2

, f

3

}

B

2

= {g

1

, g

2

, g

3

}

B

3

= {h

1

, h

2

, h

3

}

oraz wektor v = −2h

1

− h

2

+ 3h

3

. Wiemy, »e

g

1

= f

1

− f

3

,

h

1

= −7f

1

+ f

3

,

g

2

= 2f

1

+ f

2

,

h

2

= −f

1

+ 3f

2

+ f

3

,

g

3

= f

2

+ f

3

,

h

3

= f

1

+ f

2

Znajd¹ wspóªrz¦dne wektora v w bazie B

2

.

Zadanie 4.13. Niech b¦d¡ dane trzy bazy B

1

, B

2

, B

3

przestrzeni liniowej R

3

oraz macierze

przej±cia

T

B

1

→B

2

=






1

2

0

0

1

1

−1

0

1






,

T

B

1

→B

3

=






−7 −1

1

0

3

1

2

1

0






.

Wspóªrz¦dne wektora v ∈ R

3

w bazie B

3

s¡ nast¦puj¡ce (−2, −1, 3). Znajd¹ wspóªrz¦dne tego

wektora w bazie B

2

.

Zadanie 4.14. Dane jest odwzorowanie liniowe A : R

3

→ R

3

A (x

1

e

1

+ x

2

e

2

+ x

3

e

3

) = (x

1

− x

2

+ x

3

) f

1

+ (x

1

+ x

2

− x

3

) f

2

+ (−x

1

+ x

2

+ x

3

) f

3

.

gdzie (e

1

, e

2

, e

3

)

oraz (f

1

, f

2

, f

3

)

s¡ takimi bazami, »e

e

1

= (1, 0, −1) ,

f

1

= (0, 2, 0) ,

e

2

= (0, 1, −1) ,

f

2

= (1, 2, 0) ,

e

3

= (1, 1, 0) ,

f

3

= (0, 0, 2) .

Znajd¹ macierz odwzorowania A w bazie (e

1

, e

2

, e

3

)

.

Algebra z geometri¡  c.d.

Zadanie 4.15. Przeksztaªcenie liniowe B : R

3

→ R

3

ma w bazie {e

1

, e

2

, e

3

}

nast¦puj¡c¡

macierz






15 −11

5

20 −15

8

8 −7

6






.

Znajd¹ jego macierz w bazie {f

1

, f

2

, f

3

}

, gdzie

f

1

= 2e

1

+ 3e

3

+ e

3

,

f

2

= 3e

1

+ 4e

2

+ e

3

,

f

3

= e

1

+ 2e

2

+ 3e

3

.

Zadanie 4.16. Znajd¹ w bazie B = (e

1

, e

2

, e

3

)

macierz przeksztaªcenia liniowego f : R

3

→

R

3

, które przeprowadza, odpowiednio, wektory a

1

, a

2

, a

3

w wektory b

1

, b

2

, b

3

, gdzie

a

1

= 2e

1

+ 3e

2

+ 5e

3

,

b

1

= e

1

+ e

2

+ e

3

,

a

2

= e

1

+ 2e

3

,

b

2

= e

1

+ e

2

− e

3

,

a

3

= e

1

,

b

3

= 2e

1

+ e

2

+ 2e

3

.

Zadanie 4.17. Niech (R, V, +, ·) b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ z baz¡ B = (e

1

, e

2

)

, za±

A

B

0

=

"

0 −1

−1

3

#

macierz¡ funkcjonaªu dwuliniowego w bazie B

0

= (e

1

+ 2e

2

, 2e

1

+ e

2

)

. Wyznacz macierz tego

funkcjonaªu w bazie B

00

= (4e

1

− 3e

2

, 5e

1

− 3e

2

)

.

Zadanie 4.18. Przeksztaªcenie A ma w bazie B = {e

1

, e

2

, e

3

}

macierz

A

B

=






15 −11

5

20 −15

8

8 −7

6






.

Znajd¹ jego macierz w bazie B

0

= {2e

1

+ 3e

2

+ e

3

, 3e

1

+ 4e

2

+ e

3

, e

1

+ 2e

2

+ 2e

3

}

.

Zadanie 4.19. Przeksztaªcenie A ma w bazie B

0

= {−3e

1

+ 7e

2

, e

1

− 2e

2

}

macierz

A

B

0

=

"

2 −1

5 −3

#

,

a przeksztaªcenie B ma w bazie B

00

= {6e

1

− 7e

2

, −5e

1

+ 6e

2

}

macierz

A

B

00

=

"

1

3

2

7

#

.

Znajd¹ macierz odwzorowania A ◦ B w bazie B = {e

1

, e

2

}

.

Zadanie 4.20. W przestrzeni R

2

w bazie B

0

= {e

0

1

, e

0

2

}

, gdzie e

0

1

= e

1

+ 2e

2

, e

0

2

= 2e

1

+ 3e

2

,

endomorzm A ma macierz

A

B

0

=

"

3

5

4

3

#

.

Endomorzm B w bazie B

00

= {e

00

1

, e

00

2

}

, gdzie e

00

1

= 3e

1

+ e

2

, e

00

2

= 4e

1

+ 2e

2

, ma macierz

A

B

00

=

"

4

6

6

9

#

.

Znajd¹ macierz endomorzmu A + B w bazie B

00

.

Algebra z geometri¡  c.d.

Zadanie 4.21. W przestrzeni R

2

w bazie E = {e

1

, e

2

}

endomorzm A ma reprezentacj¦

macierzow¡

A

E

=

"

1

3

2

4

#

,

Endomorzm B w bazie G = {g

1

, g

2

}

, gdzie g

1

= 3e

1

+ e

2

, g

2

= 4e

1

+ 2e

2

, ma reprezentacj¦

macierzow¡

A

G

=

"

4

6

6

9

#

.

Endomorzm C w bazie H = {h

1

, h

2

}

, gdzie h

1

= e

1

+ 2e

2

, h

2

= 2e

1

+ 3e

2

, ma reprezentacj¦

macierzow¡

A

H

=

"

3

5

4

3

#

.

Znajd¹ macierz endomorzmu A + B + C w bazie G.

Zadanie 4.22. Stosuj¡c metod¦ Lagrange'a znajd¹ posta¢ kanoniczn¡ formy kwadratowej

F (x) = 2x

1

x

2

+ 4x

1

x

3

− x

2
2

− 8x

2
3

,

gdzie x = (x

1

, x

2

, x

3

)

, oraz przeksztaªcenie liniowe przeprowadzaj¡ce j¡ do tej postaci.

Zadanie 4.23. Znajd¹ posta¢ kanoniczn¡ oraz przeksztaªcenie liniowe przeprowadzaj¡ce do

tej postaci form¦ kwadratow¡

F (x) = x

1

x

2

+ x

1

x

3

+ x

2

x

3

.

Zadanie 4.24. Podane w zadaniu 3.50 równania krzywych stopnia drugiego w postaci

F (x, y) = 0

sprowad¹ do postaci kanonicznej stosuj¡c:

a) metod¦ Lagrange'a,

b) metod¦ warto±ci wªasnych,

Podaj równania izometrii przeprowadzaj¡cych te krzywe na krzywe o równaniach kanonicznych
wyliczonych metod¡ warto±ci wªasnych.