Egzamin z matematyki, Wydział TŻ, sem.I, st.z. 14.02.2009r.

1.

(10pt) Ułożyć dietę dla podanej niżej tabelki (odpowiedź wyrazić w gramach):

Zawartość składników

w 100 gramach produktów

Składniki

pokarmowe

Dzienne

zapotrzebowanie (w g)

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 3

Składnik 1

4

2

3

25

Składnik 2

1

1

5

21

Składnik 3

4

1

0

12

Zawartość składników

w 100 gramach produktów

Składniki

pokarmowe

Dzienne

zapotrzebowanie (w g)

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 3

Składnik 1

4

2

3

25

Składnik 2

1

1

5

21

Składnik 3

4

1

0

12

2.

(10pt) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji

y =

x − 2

x

2

+ 5

w przedziale [0

, 6].

3. (10pt)

Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji: y = x e

4x

.

4.

(10pt) Obliczyć pole figury zawartej między liniami: y = x − 4, y = x − x

2

.

5.

(10pt) Obliczyć:

e

Z

1

x

ln x dx ;

∞

Z

1

e

−2x+1

dx .

6.

(10pt) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f

(x, y) = 3x

2

− y

3

+ 6x y.

Egzamin z matematyki, Wydział TŻ, sem.I, st.z. 14.02.2009r.

1.

(10pt) Ułożyć dietę dla podanej niżej tabelki (odpowiedź wyrazić w gramach):

Zawartość składników

w 100 gramach produktów

Składniki

pokarmowe

Dzienne

zapotrzebowanie (w g)

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 3

Składnik 1

0

4

2

10

Składnik 2

2

1

3

18

Składnik 3

1

5

1

12

Zawartość składników

w 100 gramach produktów

Składniki

pokarmowe

Dzienne

zapotrzebowanie (w g)

Produkt 1

Produkt 2

Produkt 3

Składnik 1

0

4

2

10

Składnik 2

2

1

3

18

Składnik 3

1

5

1

12

2.

(10pt) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji

y = x e

−3x

w przedziale [0

, 2].

3. (10pt)

Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji: y =

x

2

+ 3

x + 1

.

4.

(10pt) Obliczyć pole figury zawartej między liniami: y = −x

2

, y = x − 2.

5.

(10pt) Obliczyć:

π/2

Z

0

x

sin

(3x) dx;

3

Z

0

x

p

25 − x

2

dx .

6.

(10pt) Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji: f

(x, y) = 2x y

2

−

3y

x

.

7. (10pt)

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego:

x

0

= 5x,

x

> 0.

Teoria:

1.

(5pt) Sformułować warunki: konieczny i dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji
jednej zmiennej. W jakich punktach spełniony jest warunek konieczny, a w jakich dostateczny
istnienia ekstremum lokalnego funkcji f

(x) = x

2

+ 2x + 3? Odpowieź uzasadnić.

2.

(5pt) Podać interpretacje geometryczną i wybraną ineterpretację fizyczną całki oznaczonej.

3.

(5pt) Podaj postać normalną równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu. Podaj
przykłady zastosowań takiego równania do opisu procesów chemicznych, fizycznych, mi-
krobiologicznych i.t.p. Co to są procesy pierwszego rzędu? Podaj przykład takiego procesu
i uzasadnij dlaczego jest to proces pierwszego rzędu. Czy równanie różniczkowe x

0

= t

3

jest

w postaci normalnej? Jeśli tak podaj rozwiązanie ogólne tego równania.

Uwaga.

Spośród zadań 1–7 należy wybrać 6 zadań. Osoby, które nie zaliczyły ćwiczeń mu-

szą uzyskać conajmniej 31 punktów z części zadaniowej (z wybranych 6–ciu zadań) by zaliczyć
ćwiczenia. Pytania z teorii są obowiązkowe dla wszystkich.

7. (10pt)

Obliczyć:

Z Z

D

(y − x

2

) dx dy, gdzie D = {(x, y) ∈ R

2

: −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}.

Teoria:

1.

(5pt) Podać definicje funkcji pierwotnej oraz jej związek z całką nieoznaczoną i oznaczoną.
Jaka jest funkcja pierwotna dla funkcji f

(x) = x

7

? Odpowieź uzasadnić na podstawie definicji

funkcji pierwotnej.

2.

(5pt) Podać dwie wybrane interpretacje pochodnej funkcji w punkcie.

3.

(5pt) Podaj postać normalną równania różniczkowego zwyczajnego pierwszego rzędu. Podaj
przykłady zastosowań takiego równania do opisu procesów chemicznych, fizycznych, mikro-
biologicznych i.t.p. Czy równanie różniczkowe x

0

= t

2

jest w postaci normalnej? Jeśli tak

podać rozwiązanie ogólne tego równania.

Uwaga.

Spośród zadań 1–7 należy wybrać 6 zadań. Osoby, które nie zaliczyły ćwiczeń mu-

szą uzyskać conajmniej 31 punktów z części zadaniowej (z wybranych 6–ciu zadań) by zaliczyć
ćwiczenia. Pytania z teorii są obowiązkowe dla wszystkich.