Jenike Zbiór zadań

1. KINEMATYKA

Dodawanie wektorów i ruch jednostajny. Równania ruchu.

1.1 Dwa prostopadłe do siebie wektory a i b wartościach odpowiednio a = 30 jednostek i b = 40
jednostek są przyłożone w jednym punkcie. Oblicz wartość sumy i różnicy tych wektorów.

1.2 R. Dwa jednakowe wektory o wartości 20 jednostek każdy są skierowane w kierunkach
przecinających się pod kątem:

a) α

= 90°, b) α

= 60°, c) α

= 120°, d) α

= 0°.

Oblicz sumę i różnicę tych wektorów we wszystkich przypadkach.

(M-F) 1.3. W. Dwa jednakowe wektory o wartości a = 18 jednostek każdy tworzą dowolny kąt α. Oblicz
wartość sumy i różnicy tych wektorów. Wykonaj obliczenia dla α = 40°.

1.4.

W. Dwa wektory c i d o wartościach c = 20 jednostek i d = 30 jednostek przyłożone w

jednym punkcie są skierowane następująco: wektor c na północ, a wektor d na południowy-wschód.
Znajdź graficznie przybliżoną wartość sumy i różnicy tych wektorów.

1.5.

Obserwator znajdował się w odległości d= 100 m od szosy. W pewnej chwili samochód

poruszający się po szosie znalazł się w takim położeniu, że odcinek łączący samochód z
obserwatorem był do szosy prostopadły. Po czasie t = 10 s odległość między obserwatorem a
samochodem wzrosła do d

= 125 m. Jaki odcinek przejechał samochód w tym czasie? Jaka była

średnia prędkość samochodu na tym odcinku?

1.6. R. Samolot poruszał się poziomo z prędkością v = 900 km/h.

W pewnej chwili przeleciał nad

obserwatorem. Po upływie t = 40 s był widoczny przez obserwatora pod kątem α = 45° do pionu. Na jakiej
wysokości poruszał się samolot?

1.7. Pilot samolotu poruszającego się na wysokości h = 2000 m zobaczył wieżę kontrolną pod kątem
α= 30° w dół od poziomu (rys. 1.8). Następnie po upływie t = 20 s samolot przeleciał nad wieżą. Jaka
była prędkość samolotu?

1.8. Łódkę ustawiono prostopadle do brzegu rzeki. Szerokość rzeki wynosi l= 150 m, a prędkość prądu
v= 2 m/s. Łódka przepłynęła na drugi brzeg (ustawiona cały czas w tym samym kierunku) w ciągu t =
100 s. Oblicz, w jakiej odległości od punktu leżącego naprzeciwko miejsca startu wyląduje łódka. Jaka
jest prędkość łódki względem brzegu?

1.9. Motorówka poruszała się z prędkością względem wody równą

v= 2 m/s . Prędkość prądu rzeki ma

dokładnie taką samą wartość. Motorówkę skierowano tak, że jej oś tworzy kąt α = 60° z linią brzegu.
Jaka jest prędkość motorówki względem brzegu rzeki? W jakim czasie motorówka przepłynie na drugą
stronę rzeki, jeśli założymy, że jej szerokość wynosi l = 60 m ?

1.10. Prędkość ruchu motorówki względem wody wynosi v

(rys. 1.9). Prędkość prądu rzeki ma

dokładnie taką samą wartość. Motorówka wystartowała skierowana prostopadle do brzegu z punktu
A. Przybiła do drugiego brzegu w punkcie B. W drodze powrotnej skierowano motorówkę celując
„dziobem" dokładnie w punkt A. Szerokość rzeki wynosi l = 90 m. Jak daleko od punktu A wyląduje
motorówka?

1.11. R. Pod jakim kątem do brzegu należy ustawić motorówkę na rzece, aby poruszała się prostopadle
do brzegu. Jaka jest prędkość motorówki względem brzegu? Zakładamy, że prędkość prądu rzeki ma
wartość v

= 3 m/s, oraz że motorówka porusza się względem wody z prędkością v

= 5 m/s.

1.12.

Oblicz przemieszczenie i prędkość średnią samochodu poruszającego się na trasie Warszawa -

Poznań na odcinku między Kutnem a Koninem. Wiemy, że samochód ten znajdował się o godzinie 12

w Kutnie odległym od Warszawy o 125 km i o godzinie 13

w Koninie odległym o 205 km od Warszawy.

(Załóżmy, że trasa jest linią prostą).

1.13.

Oblicz przemieszczenie i prędkość średnią samolotu, który zbliżał się do Warszawy. O

godzinie 17

pilot zameldował, że samolot znajduje się nad Wybrzeżem w odległości 320 km od

Warszawy.
W następnym meldunku o godzinie 17

zgłosił pozycję odległą od Warszawy o 140 km. Wyjaśnij,

jak rozumiesz sens fizyczny znaku postawionego przed wartością prędkości.

1.14.

Ziemia porusza się wokół Słońca w przybliżeniu po okręgu o promieniu R = 150 mln km.

Oblicz przemieszczenie Ziemi w ciągu trzech miesięcy.

1.15.

Biegacz, który miał przebiec 100 m, wyruszył z punktu znajdującego się x

= 20 m za linią

startu. Załóżmy, że biegł on ruchem jednostajnym z prędkością v = 8 m/s. Ułóż równanie ruchu i
oblicz, kiedy dotarł do mety. Narysuj wykres x(t).

1.16. Ruch dwóch ciał zapisano równaniami:

(t) = 10 + 4t

(t)=28-2(t-3) dla t>3s

Gdzie i kiedy ciała się spotkają? Narysuj wykres x(t).

1.17. Napisz równania dla ruchu ciał, ilustrowanego wykresem (rys. 1.10).

1.18. Z pewnego punktu na drodze zaczął uciekać przestępca; biegł z prędkością v

= 5 m/s. W

odległości x

= 20 m za nim znajdował się policjant, który gonił go z prędkością v

= 7 m/s. Ruch

ich odbywał się stale wzdłuż tej samej prostej. Ułóż równania ruchu i oblicz, gdzie i kiedy policjant
dogoni przestępcę. Narysuj wykres x(t).

1.19. Z miejscowości A wyruszył turysta z prędkością v

=4 km/h w stronę miejscowości B odległej od

A o 20 km. W tym samym czasie z tejże miejscowości B w kierunku A wyruszył z prędkością v

= 6 km/h

rowerzysta. Obierz układ odniesienia i ułóż równania ruchu. Gdzie i kiedy obaj się spotkają?
Narysuj dla nich wykresy x(t).

1.20. Z miasta A wyruszył w stronę miasta B odległego od A o 100 km samochód ciężarowy z
prędkością v

= 40 km/h. Jednocześnie z miasta B w stronę A wyruszył samochód osobowy z

prędkością v

= 60 km/h. Gdzie i kiedy samochody się spotkają? Następnie z punktu odległego o x

= 20

km przed miastem B (licząc w stronę A) t

= 12 minut później niż samochód osobowy wyjechał

motocyklista i gonił samochód osobowy z prędkością v

= 100 km/h. Kiedy i gdzie dogoni motocyklista

samochód osobowy i minie ciężarówkę?

1.21. W. Obserwator stał na moście przerzuconym przez rzekę płynącą z prędkością v

= 1 m/s. W

pewnej chwili zauważył, że w odległości x

= 1 0 m przed mostem wrzucono do wody koło ratunkowe.

Obserwator po upływie czasu t

= 5 s rzucił z mostu do wody butelkę. Następnie po upływie t

= 20 s

zauważył, że z przystani położonej x

= 60 m poniżej mostu wyruszyła w górę rzeki motorówka.

Motorówka poruszała się względem brzegu z prędkością v

= 2 m/s. Narysuj wykres położenia koła,

butelki i motorówki w zależności od czasu. Oblicz gdzie i kiedy motorówka minie koło i butelkę.

(M-F) 1.22. R. Przez pierwsze dwie sekundy ciało poruszało się wzdłuż pewnej prostej z prędkością
v

= 3 m/s. Przez następne dwie sekundy wzdłuż tej samej prostej ciało kontynuowało ruch z prędkością

= 5 m/s. Następnie zawróciło i przez cztery sekundy poruszało się z prędkością v

= 4 m/s w stronę

punktu początkowego. Napisać równania ruchu. Narysować wykres x(t).

(M-F) 1.23. Pierwsze ciało wyruszyło z pewnego punktu i poruszało się z prędkością v

= 1 m/s przez

= 3 s, a następnie zatrzymało się na t

= 2 s, potem przez kolejne t

= 2 s poruszało się z prędkością

= 2 m/s, a potem przez kolejne t

= 5 s wróciło do położenia początkowego. Drugie ciało wyruszyło z

punktu odległego o x'

= 1 m za punktem startu pierwszego ciała i t’

= 4 s później ze stałą prędkością

v’

= 4 m/s goniąc poprzednie ciało. Kiedy i gdzie ciała się spotkają? Narysować wykres zależności

położenia ciał od czasu.

1.24. Na podstawie wykresu pokazanego na rys. 1.11 oblicz prędkości ciała na każdym odcinku. Ułóż dla
niego równania ruchu. (Pamiętaj o konieczności podania dziedziny każdego z nich). Oblicz średnią
prędkość ciała.

(M-F) 1.25. Z miasta A w stronę miasta B, o godzinie 10

wyruszył rowerzysta. Poruszał się z

prędkością v

= 5 m/s. O godzinie 10

z punktu C położonego w odległości x

= 6 km od miasta A,

ale po przeciwnej stronie niż miasto B, wyruszyła w stronę miasta B ciężarówka. Poruszała się ze stałą
prędkością v

= 15 m/s .Po pewnym czasie ciężarówka dogoniła rowerzystę. W miejscu spotkania

załadowano na nią rower. Postój trwał Δt = 20 minut. Następnie ciężarówka ruszyła wraz z rowerzystą
dalej w stronę miasta B, ale z mniejszą prędkością v

= 10 m/s. Do miasta B dotarli o godzinie 13

Oblicz, jak daleko leży miasto B od A. Ułóż równania ruchu i podaj dokładnie dziedzinę tych równań
(czas).

(M-F) 1.26. Na podstawie wyników poprzedniego zadania, oblicz średnią prędkość rowerzysty i

ciężarówki na trasie z miasta A do miasta B.

(M-F) 1.27. Z miasta A wyruszył rowerzysta z prędkością v

= 10 m/s w kierunku miasta B

odległego o x

= 200 km. Następnie t

= 60 minut później z tego samego punktu wyruszyła

ciężarówka z prędkością v

= 20 m/s i goniła rowerzystę. Po dogonieniu rowerzysty zatrzymała się i w

ciągu Δt = 15 minut załadowano rower na ciężarówkę i kontynuowano podróż. Gdy ciężarówka
przejeżdżała przez punkt odległy od miasta A o x = 18 km z miasta B wyruszył samochód dostawczy,
który poruszał się z prędkością v

= 30 m/s w stronę miasta A. Po spotkaniu ciężarówki samochody

zatrzymały się na Δt' = 10 minut. Przeładowano rower na samochód dostawczy. Następnie każdy
kontynuował poprzedni ruch. Po jakim czasie rower znajdzie się z powrotem w mieście A?

Uwaga: Posłuż się wykresem i równaniami ruchu!

1.28.

Oblicz przebytą drogę i średnią prędkość ruchu samochodu, zakładając, że w ciągu pierwszej

godziny jechał z prędkością v

= 20 m/s , a w ciągu drugiej z prędkością v

= 24 m/s.

1.29.

Oblicz czas i średnią prędkość ruchu samochodu, zakładając, że pierwszy odcinek drogi o

długości s

= 240 m przebył z prędkością v

= 20 m/s , a drugi takiej samej długości s

= s

z prędkością

= 24 m/s.

1.30. Dwaj turyści wyruszyli na wycieczkę. Pierwszy całą trasę przebył z prędkością v

= 5 km/h w

ciągu czterech godzin. Drugi przez pierwsze dwie godziny poruszał się z prędkością o Δv = 1 km/h
mniejszą od pierwszego, natomiast później z prędkością o Δv = 1 km/h większą od pierwszego. Który
prędzej dotarł do celu?

1.31. Dwaj turyści wyruszyli na wycieczkę. Mieli do przejścia s = 20 km. Pierwszy przebył całą trasę
ze stałą prędkością v

= 5 km/h. Drugi przez pierwszą połowę drogi poruszał się z prędkością o

Δv= 1 km/h mniejszą od pierwszego. Natomiast w drugiej połowie starał się stratę nadrobić i szedł z
prędkością o Δv większą od pierwszego. Który prędzej dotrze do celu? Z jaką prędkością musiałby się
poruszać drugi turysta na drugim odcinku, aby dotarli do celu równocześnie?

1.32. Statek, płynąc pod prąd rzeki, porusza się względem brzegu z prędkością v

= 6 km/h, a płynąc z

prądem z prędkością v

= 9 km/h. Oblicz prędkość statku względem wody i prędkość wody w rzece.

1.33. W. Dwa samochody w pewnej chwili poruszają się wzdłuż tej samej prostej z prędkościami o
jednakowych wartościach wynoszących v = 20 m/s. Oblicz prędkość drugiego samochodu
względem
pierwszego zakładając, że poruszają się tak, że wektory prędkości:
a) mają te same zwroty, b) mają zwroty przeciwne, c) tworzą kąt 60°.

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny

1.34.

R. Pociąg ruszył ze stacji ruchem jednostajnie przyspieszonym i w ciągu t= 200 s osiągnął

prędkość v = 20 m/s. Jaką drogę przebył pociąg w tym czasie?

1.35.

Autobus ruszył z miejsca i ruchem jednostajnie przyspieszonym przebył drogę s = 400 m,

osiągając prędkość końcową v= 10 m/s. Oblicz czas i przyspieszenie autobusu.

1.36. W czasie lądowania z prędkością v

= 100 m/s samolot wyhamował na odcinku pasa startowego

długości x = 500 m. Jaka była wartość przyspieszenia (opóźnienia) samolotu i czas hamowania?

1.37. Samochód jadący z prędkością v

= 30 m/s zahamował w czasie t = 15 s. Oblicz drogę hamowania.

1.38. W badaniach samochodów często uwzględnia się czas rozpędzania do prędkości v = 100 km/h.
Oblicz średnią wartość przyspieszenia i potrzebną do rozpędzenia drogę dla fiata 126 p i cinqueciento
900, jeżeli czasy te wynoszą odpowiednio 47 s, 15 s.

1.39. R. Pociąg zwiększył swą prędkość od v

= 5 m/s do v = 15 m/s na odcinku drogi s = 1000 m.

Oblicz przyspieszenie pociągu.

1.40. Samochód poruszający się z prędkością v

= 10 m/s, zwiększył swą prędkość dwukrotnie

przebywając drogę s = 300 m. Oblicz przyspieszenie i czas ruchu samochodu.

1.41. Toczący się po torze poziomym ruchem jednostajnie opóźnionym walec zwolnił do
dwukrotnie mniejszej prędkości niż początkowa na odcinku s= 1,5 m. Wartość przyspieszenia
wynosi a= 0,01 m/s

. Oblicz czas ruchu i średnią prędkość.

1.42. Na rysunku 1.12 przedstawiono wykres prędkości ciała w funkcji czasu. Jaka była

prędkość początkowa w tym ruchu?

1.43. Ciało ruszyło ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a = 2m/s

. Jaką drogę

przebyło w pierwszej, w drugiej, a jaką w trzeciej sekundzie ruchu?

1.44. W. Ciało ruszyło ruchem jednostajnie przyspieszonym. W czasie t przebyło odcinek s= 200 m.
Jaką drogę przebyło ciało w czasie pierwszej połowy czasu ruchu, a jaką w czasie drugiej?

1.45. Ciało poruszające się z prędkością początkową v

= 6 m/s zatrzymało się po trzech sekundach

ruchu. Oblicz drogę przebytą w pierwszej, drugiej i w trzeciej sekundzie tego ruchu.

1.46. W. Samochód hamował od prędkości początkowej v

= 30 tak, że zatrzymał się po przebyciu drogi

s= 300 m. Oblicz czas hamowania i drogę, jaką przebył w ciągu pierwszej i drugiej połowy czasu
ruchu.

(M-F) 1.47. Ciało poruszające się ruchem jednostajnie przyspieszonym przebyło w czwartej sekundzie
ruchu drogę s = 28 m. Oblicz przyspieszenie tego ciała.

(M-F) 1.48. Samochód poruszał się ruchem jednostajnie przyspieszonym przez t= 10 s. W ciągu piątej i

szóstej sekundy tego ruchu przebył drogę s= 25 m. Jaką prędkość osiągnie po czasie t?

(M-F) 1.49. Ciało poruszające się ruchem jednostajnie opóźnionym zatrzymało się w ciągu t= 5 s od

rozpoczęcia hamowania. W trzeciej sekundzie tego ruchu przebyło drogę s= 25 m. Oblicz całą drogę
hamowania tego ciała. Jaka była jego prędkość początkowa?

1.50. Kamień rzucono pionowo do góry, nadając mu prędkość początkową v

= 30 m/s .Po upływie

t= 2 s miał on jeszcze prędkość v = 10 m/s. Oblicz wartość średniego przyspieszenia w tym ruchu. Jaki
zwrot ma przyspieszenie?

1.51. Kamień rzucono pionowo do góry z prędkością v

= 30 m/s. Spadł on z powrotem na ziemię po

upływie t= 6s, mając taką samą prędkość jak na początku, ale przeciwnie skierowaną. Oblicz wartość
średniego przyspieszenia w tym ruchu.

(M-F) 1.52. Samochód ruszył ruchem jednostajnie przyspieszonym, z przyspieszeniem a= 3 m/s

. W

ostatniej sekundzie tego ruchu przebył drogę s = 16,5 m. Oblicz, jaka była cała droga, na której
samochód przyspieszał i jak długo trwał ten ruch.

(M-F) 1.53. Gdy kierowca samochodu zobaczył w odległości s = 30 m przed samochodem
przeszkodę rozpoczął gwałtowne hamowanie z opóźnieniem o wartości a = 5 m/s

. Jednak po czasie

t = 2 s samochód uderzył w przeszkodę. W jakiej odległości przed przeszkodą kierowca powinien
rozpocząć hamowanie, aby bezpiecznie się zatrzymać?

Równania ruchu prostoliniowego jednostajnie zmiennego

1.54. R. Na pewnym odcinku dokonywano remontu torów. Pociąg poruszał się ze zmniejszoną
prędkością v

= 10 m/s. Po przejechaniu tego odcinka rozpoczął ruch jednostajnie przyspieszony z

przyspieszeniem a = 0,1 m/s

. Ułóż równanie ruchu przedstawiające odległość lokomotywy pociągu od

obserwatora, który stał przy torach w odległości x

= 100 m od lokomotywy w chwili, gdy zaczęła ona

przyspieszać.

1.55. Pociąg poruszał się z prędkością v

= 30 m/s. Po zauważeniu czerwonego sygnału maszynista

uruchomił hamulce i pociąg zaczął hamować z opóźnieniem a = 0,3 m/s

. Kiedy i gdzie zatrzyma się

pociąg? Ułóż równania ruchu, narysuj wykresy v(t) i x(t). Zaznacz miejsce zatrzymania się pociągu na
obu wykresach.

1.56. R. Z jaką prędkością spadnie na powierzchnię ziemi kamień spuszczony swobodnie z wieży o
wysokości h= 45 m, jeżeli przyjmiemy a = g = 10 m/s

. Napisz równania ruchu i narysuj wykresy

y(t) i v(t)

1.57.

Na podstawie wykresu przedstawionego na rys. 1.13 narysuj wykres v(t) i x(t), jeżeli x

= 0 i

= 0.

1.58.

Na podstawie wykresu przedstawionego na rys. 1.14 narysuj wykres a(t) i x(t), jeżeli x

= 0.

1.59.

Kamień rzucono pionowo do góry z taką prędkością, że spadł na powierzchnię ziemi po t =

8 s. Oblicz tę prędkość. Ułóż równanie ruchu dla a = g. Narysuj wykres y{t) i v(t). Zaznacz na obu
wykresach chwilowe zatrzymanie się kamienia.

1.60.

Na podstawie wyników poprzedniego zadania oblicz, gdzie znajdował się kamień po dwóch,

pięciu i sześciu sekundach lotu. Jaką w tych punktach będzie miał prędkość?

(M-F) 1.61. W. Z wierzchołka wieży o wysokości h = 40 m rzucono pionowo do góry piłkę, nadając jej

prędkość v

= 10 m/s. Ułóż równania ruchu. Oblicz, gdzie będzie znajdować się piłka po czasie t = 3s i

jaką wtedy będzie miała prędkość.

1.62. Ruch ciała opisano równaniem

x(t) = 10t + 2t

(jednostki układu SI).

Jaka była prędkość początkowa i przyspieszenie tego ciała?

1.63. W. Ruch ciała opisano równaniem

x(t) = 20 + 5t + t

(jednostki układu SI).

Jaka była prędkość ciała po pięciu sekundach ruchu?

1.64. Ruch ciała opisano równaniem

x(t) = 10 + 2t - 0,5t

(jednostki układu SI).

Napisz równanie v(t). Kiedy i gdzie ciało się zatrzyma?
(M-F) 1.65. Dwa ciała poruszały się ruchem opisanym równaniami:

(t) = 2 + t + 2t

i x

(t) = 4 + t

Jakim ruchem porusza się drugie ciało względem pierwszego? Kiedy i gdzie ciała się spotkają?

1.66. R. Autobus poruszał się ruchem jednostajnym z prędkością v

= 20 m/s. W chwili gdy

przejeżdżał koło stojącego samochodu, samochód ruszył ruchem jednostajnie przyspieszonym z
przyspieszeniem a= 2 m/s

. Kiedy i gdzie samochód dogoni autobus? Jaka będzie wtedy prędkość

samochodu?

1.67. Autobus poruszał się ze stałą prędkością v

= 20 m/s. Gdy znalazł się w odległości x

= 200 m

naprzeciw stojącego samochodu osobowego, ten ruszył na spotkanie ruchem jednostajnie przyspieszo-
nym. Pojazdy minęły się po upływie t = 5 s. Oblicz przyspieszenie samochodu i określ położenie miejsca
spotkania. Narysuj wykresy prędkości i położenia w funkcji czasu.

(M-F) 1.68. Obserwujemy ruch ciał poruszających się na równi z przyspieszeniem o stałej i
jednakowej dla wszystkich ciał wartości równej a= 2 m/s

. Z punktu leżącego x

= 8 m od podstawy

równi pchnięto do góry pierwsze ciało z prędkością v

= 6 m/s. Z punktu odległego od podstawy

równi o x

= 12 m pchnięto drugie ciało w dół z prędkością v

= 2 m/s. Oblicz, gdzie i kiedy ciała się

spotkają.

1.69. Pasażer stał na peronie w odległości x

= 20 m od ostatniego wagonu pociągu. Pociąg ruszył ruchem

jednostajnie przyspieszonym. Po upływie Δt = 4 s pasażer zaczął gonić pociąg, poruszając się ruchem
jednostajnym z prędkością v = 4 m/s. Dogonił ostatni wagon po upływie t = 10 s (od chwili ruszenia
pociągu). Ułóż równania ruchu ciał i oblicz przyspieszenie pociągu. Przedstaw ruch obu ciał na jednym
wykresie x(t).

Ruch krzywoliniowy po okręgu

1.70.

Koło zamachowe poruszające się ruchem jednostajnym obrotowym wykonało w ciągu t = 0,5

minuty n= 30 obrotów. Oblicz okres, częstotliwość i prędkość kątową tego koła. Jaka jest prędkość
liniowa punktów na obwodzie koła, jeżeli jego średnica wynosi d = 1 m ?

1.71.

Karuzela porusza się ruchem jednostajnym obrotowym. Okres ruchu wynosi T = 4 s.

Oblicz, jaką prędkość kątową, liniową i przyspieszenie dośrodkowe ma człowiek, który siedzi na
karuzeli. Promień toru, po którym porusza się człowiek, wynosi r = 4 m.

1.72.

Jaka powinna być prędkość kątowa karuzeli z poprzedniego zadania, aby przyspieszenie

dośrodkowe człowieka było równe połowie przyspieszenia ziemskiego g = 9,8 m/s

1.73.

Ciało poruszało się po okręgu o promieniu r = 1,5 m z prędkością chwilową v = 3 m/s . W tym

samym czasie przyspieszenie styczne wynosiło a

= 8 m/s

. Oblicz przyspieszenie całkowite i kąt między

kierunkiem tego przyspieszenia a promieniem okręgu.

(M-F) 1.74. Podczas ruchu przyspieszonego karuzeli człowiek siedzący na niej doznaje przyspieszenia
zarówno dośrodkowego, jak i stycznego. W pewnej chwili, gdy karuzela miała prędkość kątową
ω = 0,5

1/S, przyspieszenie całkowite człowieka było skierowane pod kątem α = 45° do promienia. Jaka

była wartość przyspieszenia stycznego? Promień okręgu, po którym porusza się człowiek wynosi
r = 2m.

1.75.

W jakiej odległości od środka karuzeli powinien siedzieć człowiek, aby przyspieszenie

dośrodkowe jakiemu on podlega było równe przyspieszeniu ziemskiemu? Częstotliwość ruchu
karuzeli ν = 1 Hz. Jaka będzie wtedy prędkość liniowa człowieka?

1.76.

W. Autobus poruszający się ruchem jednostajnym po torze kołowym o promieniu R = 20 m

z prędkością v = 6 m/s po przebyciu 1/4 okręgu miał prędkość o takiej samej wartości, ale o kierunku
prostopadłym do kierunku pierwotnego. Oblicz różnicę prędkości, przyspieszenie średnie i porównaj je z
przyspieszeniem dośrodkowym.

(M-F) 1.77. Ciało poruszało się ruchem przyspieszonym po torze krzywoliniowym. W pewnym punkcie,
w którym promień krzywizny toru wynosił R = 8 m, ciało miało prędkość v = 4 m/s i przyspieszenie
styczne a

= 2 m/s

. Jakie jest przyspieszenie całkowite tego ciała? Jaki kąt z promieniem krzywizny toru

będzie tworzył wektor tego przyspieszenia?

(M-F) 1.78. Wartość przyspieszenia stycznego w ruchu pewnego ciała po torze krzywoliniowym wynosi

= 2 m/s

. Wiemy, że przyspieszenie całkowite jest skierowane pod kątem α = 30° do przyspieszenia

stycznego. Jaką ma prędkość liniową to ciało w tej chwili, jeżeli promień krzywizny toru wynosi r = 3
m.

1.79.

Wskazówki zegara znajdującego się na wieży ratusza wykonują ruch obrotowy. Oblicz

przyspieszenie dośrodkowe punktu znajdującego się na końcu wskazówki godzinowej i minutowej
zegara, jeśli promień pierwszej wynosi R = 2 m, a drugiej r = 1,4 m.

1.80.

Zakładając, że ruch Księżyca wokół Ziemi odbywa się ze stałą prędkością kątową (T = 28

dni), oblicz tę prędkość. Jakie jest przyspieszenie dośrodkowe Księżyca, przypomnijmy tu, że jego
średnia odległość od Ziemi wynosi 380 000 km?

1.81.

Skrzydło wiatraka ma długość l = 8 m i porusza się ruchem obrotowym względem osi

przechodzącej przez jego środek z częstotliwością ν = 0,25 Hz. Ile obrotów na minutę musi
wykonać tarcza szlifierki o średnicy d = 0,4 m, aby przyspieszenie dośrodkowe punktów leżących na jej
obwodzie było równe przyspieszeniu punktów leżących na końcu skrzydła wiatraka?

1.82.

Jowisz jest piątą planetą Układu Słonecznego. Oblicz przyspieszenie dośrodkowe na równiku

planety, jeśli wiadomo, że wykonuje ona jeden obrót wokół własnej osi w ciągu T = 9,9 h, a jego średnica
d = 143 000 km. Jaki musiałby być okres ruchu, aby to przyspieszenie było równe przyspieszeniu
ziemskiemu?

1.83.

Jaką część przyspieszenia g = 9,8 m/s

stanowi przyspieszenie dośrodkowe na równiku, jeżeli

przyjmiemy, że promień Ziemi wynosi R = 6380 km. Ile musiałaby trwać doba na Ziemi, aby
przyspieszenie dośrodkowe było równe g?

2. DYNAMIKA

Pierwsza i druga zasada dynamiki

2.1.

R. Statek o masie m = 100 t porusza się po jeziorze ruchem jednostajnym. Śruba napędowa

działa siłą F = 10 000 N. Opisz i narysuj wszystkie siły działające na statek.

2.2.

Traktor ciągnie dwie przyczepy ruchem jednostajnym. Siła działająca na hak łączący

traktor z pierwszą przyczepą wynosi F

= 2500 N, natomiast hak łączący pierwszą z drugą F

= 1100

N. Narysuj wszystkie siły poziome działające na każdą przyczepę. Oblicz siły oporu działające na
pierwszą i drugą przyczepę.

(M-F) 2.3. Na ciało działają dwie jednakowe siły o wartości F = 10 N każda, których kierunki

tworzą kąt α = 60°. Aby ciało było w spoczynku przyłożono trzecią siłę F' o wartości F' = 2F. Kierunek
siły F' jest zgodny z kierunkiem dwusiecznej kąta α. Czy ciało będzie w równowadze? Jaką dodatkową
siłę o kierunku zgodnym z F' należy przyłożyć, aby zapewnić równowagę ciała?

2.4.

Wózkowi o masie m

= 20 kg siła F= 10 N nadaje pewne przyspieszenie. Jaka siła nada to

samo przyspieszenie, jeśli na wózek położymy dodatkowo Δm = 10 kg ładunku?

2.5.

Samolot podczas lądowania hamuje na pasie lotniska z opóźnieniem a

= 5 m/s

pod wpływem

siły hamulców F

= 2500 kN. Jaką dodatkową siłą wsteczną muszą działać silniki, aby opóźnienie wyno-

siło a

= 7 m/s

2.6. Skrzynia o masie m = 100 kg pod wpływem siły F porusza się po torze poziomym z przyspieszeniem
a= 1 m/s

. Zakładając, że siła oporu wynosi F

= 800 N, oblicz wartość siły F.

2.7. Jeżeli przesuwamy wózek o masie m = 20 kg po płaskiej powierzchni ruchem jednostajnym, to
należy działać na niego siłą F = 10 N. Jaką siłą należy działać na ten wózek, aby spowodować
ruch przyspieszony z przyspieszeniem a = 2 m/s

? Narysuj siły działające na to ciało w ruchu

jednostajnym i ruchu przyspieszonym.

2.8. Próbując wyznaczyć masę pewnego ciała w kabinie satelity krążącego po orbicie (ciała znajdują się
tam w stanie nieważkości) pociągnięto je siłomierzem i spowodowano ruch jednostajnie przyspieszony.
Pod wpływem siły F = 16 N ciało to przebyło odcinek s = 4 m w czasie t = 2s. Jaka była masa ciała?

(M-F) 2.9. Każdy z obciążników wiszących na końcach linki ma ciężar Q = 4N. Bloczek ma ciężar Q

= 2 N. Jaki ciężar należy powiesić w punkcie A, aby układ przedstawiony na rys. 2.6 był w równowadze?

2.10. Samochód o masie m = 800 kg ruszył z miejsca i osiągnął w ciągu t = 20 s prędkość v = 20 m/s.
Oblicz działającą na niego siłę.

2.11. R. Wózek o masie m = 2 kg poruszał się po torze płaskim bez tarcia z prędkością v

= 4 m/s. Po

przyłożeniu siły hamującej zatrzymał się, przebywając odcinek s = 8 m. Jaka była wartość siły
hamującej?

2.12. Ciało o masie m = 25 kg poruszało się ruchem, którego równanie ma postać:

x(t) = 20 + 10t + 2t

(jednostki układu SI).

Jaka siła działa w czasie jego ruchu?

2.13. Pierwsze ciało o masie m

= 2 kg poruszało się ruchem opisanym równaniem

v(t) = 3 – 4t,

a drugie o masie m

= 3 kg

x(t) = 3 – 4t

Jednostki w obu równaniach należą do układu SI. Oblicz stosunek siły działającej na pierwsze ciało do
siły działającej na drugie ciało.

2.14.

Ciało o masie m = 10 kg ruszyło z miejsca ruchem jednostajnie przyspieszonym i w ciągu

siódmej sekundy ruchu przebyło drogę s = 39 m. Oblicz siłę działającą na to ciało.

2.15.

Do ciała o masie m = 2 kg poruszającego się z prędkością v

= 20 m/s przyłożono hamującą

siłę F = 6 N. Ile czasu musi działać ta siła, aby prędkość zmalała do 1/4 wartości początkowej?

2.16. R. Niewielkie ciało o masie m = 1 kg zostało zawieszone na sznurku i przyczepione do sufitu

autobusu. Z jakim opóźnieniem poruszał się autobus, skoro sznurek odchylił się od pionu o kąt α = 15°?
Jaka była siła napięcia sznurka?

2.17.

Narysuj siły działające na kulkę zawieszoną na sznurku w przyspieszającym autobusie.

Jaka jest wartość przyspieszenia autobusu, jeśli przyjmiemy, że podczas hamowania sznurek był
naciągnięty
siłą F

= 23,2 N, a podczas ruchu jednostajnego siłą F = 20 N?

2.18.

Człowiek o masie m = 80 kg naciska na podłogę windy siłą F = 700 N. Jakim ruchem

porusza się winda? Oblicz jej przyspieszenie.

2.19.

Człowiek naciska na podłogę windy siłą F

= 500 N, jeśli winda jest w spoczynku, natomiast

siłą F

550 N, jeśli winda rusza. Jakie jest przyspieszenie windy?

2.20.

Winda porusza się do góry. Na siłomierzu w windzie zawieszono kulkę. Największe jego

wskazanie to F

= 24 N, a najmniejsze to F

= 12 N. Podczas hamowania winda ma dwukrotnie większą

wartość przyspieszenia niż podczas ruszania. Oblicz masę kulki i jej przyspieszenia.

2.21. W układzie jak na rys. 2.7 masa m

= 2 kg, masa m

= 3 kg. Masę bloczka i opory ruchu pomijamy.

Oblicz przyspieszenie układu i siłę napięcia sznurka.

2.22.

Ile jednakowych odważników o masie m należy zawiesić po prawej stronie, aby

przyspieszenie układu (rys. 2.8) wynosiło a = 1/3 g? Masę bloczka i opory ruchu pomijamy.

2.23.

W układzie jak na rys. 2.9 masa m

= 2 kg, m

= 4 kg, m

= 1 kg. Masy bloczków i tarcie

pomijamy. Oblicz przyspieszenie układu i siły napięcia sznurka.

2.24. W układzie jak na rys. 2.10 masa m

= 3 kg, m

= 2 kg, m

= 4 kg. Masy bloczka i opory ruchu

pomijamy. Oblicz przyspieszenie układu i siły napięcia sznurka.

2.25. Oblicz siłę F (rys. 2.11), jeśli:
a) układ jest w spoczynku,
b) nitka porusza się po bloczku bez oporów.

Masy ciężarków m

= 1 kg, m

= 2 kg. Bloczek możemy uznać za nieważki.

(M-F) 2.26. W. Oblicz przyspieszenie mas przedstawionych na rys. 2.12. Zakładamy, że bloczki są
nieważkie i nitka ślizga się po nich bez oporów.

2.27. Lokomotywa o masie M = 100 t ciągnie pięć wagonów każdy o masie m = 40 t. Pociąg rusza ze

stacji i na odcinku s = 2000 m osiąga prędkość v = 20 m/s. Przyjmując, że opory ruchu są pomijalnie

małe, oblicz siłę napędową lokomotywy i siłę działającą na hak łączący trzeci wagon z czwartym.

2.28. Dwa ciała o masach m

= 2 kg i m

= 4 kg połączono nitką, która wytrzymuje naprężenie F = 10

N. Ciała ułożono na poziomej, doskonale gładkiej płaszczyźnie. Jaką poziomą siłą przyłożoną do jed-
nego z nich należy działać, aby nitka uległa zerwaniu?

Pęd. Zasada zachowania pędu.

2.29. Kulka o masie m

= 2 kg porusza się z prędkością v

= 2 m/s. Z jaką prędkością musiałby poruszać

się owad o masie m

= 1 g oraz statek o masie m

= 100000 t, aby ich pędy miały takie same wartości jak

pęd kulki?

2.30. Autobus o masie m = 10 000 kg poruszał się z taką prędkością, że jego pęd wynosił
p

=120 000 kg · m/s. Jaką dodatkową siłą należy podziałać na autobus, aby w ciągu t = 32 s

osiągnął prędkość v = 20 m/s?

2.31. Ciało poruszało się z prędkością v

= 10 m/s, a jego pęd wynosił p = 100 kg · m/s. Następnie ciało

poddano działaniu stałej siły F = 10 N w ciągu czasu t = 10 s. Jaka będzie jego prędkość końcowa, gdy
kierunki siły i pędu będą jednakowe, a zwroty: a) zgodne, b) przeciwne?

2.32. Wózek o masie m

= 10 kg zderza się z nieruchomo stojącym drugim wózkiem o masie m

= 20

kg. Po zderzeniu oba wózki połączyły się i poruszały razem z prędkością v = 1 m/s wzdłuż tej prostej,
po której poruszał się pierwszy wózek. Oblicz prędkość pierwszego wózka przed zderzeniem.

2.33. Wioślarz o masie m

= 50 kg skacze z brzegu z prędkością v

= 6 m/s do stojącej swobodnie łódki

o masie m

= 150 kg i zostaje w niej (rys. 2.13). Z jaką prędkością odpłyną razem od brzegu?

2.34. Za pierwszym wózkiem o masie m

= 20 kg poruszającym się z prędkością v

= 2 m/s poruszał się

drugi wózek o masie m

= 40 kg z prędkością v

= 3,5 m/s. Po zderzeniu wózki połączyły się. Jaka jest

prędkość wózków po połączeniu?

2.35. Pierwszy wózek o masie m

= 20 kg poruszał się z prędkością v

= 2 m/s. Naprzeciwko z

prędkością v

= 3 m/s poruszał się drugi wózek. Po zderzeniu oba wózki połączyły się i poruszały razem z

prędkością v

= 1 m/s w stronę, w którą poprzednio poruszał się wózek drugi. Jaka była masa

drugiego wózka?

2.36. Wózek o masie m

= 1,5 kg poruszał się z prędkością v

= 3 m/s. W wózek rzucono kulką z

plasteliny, która miała prędkość o zwrocie przeciwnym do prędkości wózka. Kulka przylepiła się do
wózka. Po zderzeniu prędkość wózka zmieniła zwrot i miała wartość równą 1/3 wartości początkowej.
Jaką prędkość miała kulka z plasteliny przed zderzeniem, jeżeli jej masa wynosi m

= 0,5 kg?

2.37. R. Chłopiec o masie m

= 50 kg stał na nieruchomym wózku o masie m

= 30 kg i trzymał w ręku

worek z ładunkiem o masie całkowitej m

= 20 kg. Naprzeciwko znajdował się w spoczynku wózek o

masie m

= 40 kg. Chłopiec rzucił worek z prędkością v

= 5 m/s na drugi wózek. Z jaką prędkością

wózki będą się oddalać od siebie?

2.38. Do pomostu zbliża się z prędkością v = 0,5 m/s łódka o masie m = 300 kg. Z pomostu skacze na
nią człowiek o masie M = 75 kg z taką prędkością, że po skoku łódka zmienia zwrot ruchu i oddala się
od pomostu z prędkością v

= 0,25 m/s. Z jaką prędkością liczoną względem pomostu skoczył

człowiek?

2.39. Na wózku o masie m

= 200 kg stał człowiek o masie m

= 50 kg. Układ poruszał się z

prędkością v

= 1 m/s. Z jaką prędkością względem wózka musi wyskoczyć człowiek, żeby prędkość wóz-

ka zmalała do połowy wartości początkowej?

2.40. Wózek o masie m

= 200 kg poruszał się z prędkością v

= 3 m/s. Na wózek wskoczył

człowiek o masie m

= 50 kg z taką prędkością, że wózek zmniejszył swą prędkość o Δv = 1 m/s. Jaki

był zwrot i wartość prędkości człowieka przed wskoczeniem na wózek?

(M-F) 2.41. Na wózek poruszający się z prędkością v

= 1 m/s spadła kula z plasteliny o masie m

= 2 kg

z prędkością v

= 10 m/s skierowaną pod kątem α = 30° do poziomu. Jaka była masa wózka, jeżeli

założymy, że po zderzeniu układ porusza się z prędkością dwukrotnie mniejszą niż poprzednio i w

przeciwną stronę?

(M-F) 2.42. R. Wózek o masie m

= 100 kg stojący na poziomym torze został uderzony kulą o masie m

= 10 kg wykonaną z plasteliny. Kula po zderzeniu przylepiła się do wózka. Prędkość kuli przed
zderzeniem wynosiła v

= 11 m/s i była skierowana pod kątem 30° do poziomu. Jak daleko potoczy się

wózek, jeżeli przyjmiemy, że siła oporu hamująca ruch po zderzeniu ma średnią wartość F = 10 N?

2.43. Na poruszający się z prędkością v

= 1 m/s wózek o masie m

= 100 kg wskoczył człowiek o

masie m

= 50 kg z taką prędkością, że po skoku, pod wpływem siły hamującej F = 30 N wózek przebył

drogę s = 10 m i się zatrzymał. Oblicz prędkość, z jaką człowiek wskoczył na wózek

Ruch po okręgu. Siła dośrodkowa.

2.44. Autobus porusza się po łuku o promieniu r = 200 m z prędkością v = 20 m/s. Jaka siła

dośrodkowa działa na człowieka o masie m = 75 kg?

2.45.

Pod jakim kątem powinna być pochylona jezdnia na zakręcie o promieniu krzywizny r = 400

m, aby siła nacisku autobusu poruszającego się z prędkością v = 20 m/s była prostopadła do podłoża?

2.46.

Motocyklista porusza się z prędkością v = 20 m/s na zakręcie o promieniu R = 100 m. Oblicz

kąt w stosunku do pionu, pod jakim pochyla się motocyklista oraz siłę nacisku na jezdnię, przy założeniu,
że masa motocyklisty wraz z pojazdem wynosi m = 200 kg.

2.47. Samochód o masie m = 1000 kg porusza się z prędkością v = 20 m/s po wypukłym moście o

promieniu krzywizny R = 200 m. Jaka jest siła nacisku samochodu na jezdnię w najwyższym punkcie
mostu?

2.48. Na płaskiej płycie wirującej z częstotliwością ν = 2 Hz umieszczono kulkę o masie m = 0,1 kg.

Kulkę przymocowano do osi przechodzącej przez środek płyty nitką długości r = 0,2 m. Narysuj i oblicz
wszystkie działające na kulkę siły.

2.49. R. Do nitki długości l = 1 m przymocowano kulkę o masie m = 0,4 kg. Kulka zakreśla okrąg w
płaszczyźnie pionowej, poruszając się ruchem jednostajnym obrotowym o okresie T= 1

. Oblicz

napięcie nici w położeniu:

a) najniższym kulki,
b) najwyższym kulki (rys. 2.14).

2.50. W. Do nitki długości l = 1 m przymocowano kulkę. Kulka ta porusza się ze stałą prędkością w
płaszczyźnie pionowej (rys. 2.14). Oblicz najmniejszą prędkość ruchu kulki, przy której w najwyższym
położeniu nitka będzie cały czas wyprostowana.

(M-F) 2.51. Do nitki długości l = 1 m przymocowano kulkę. Kulka ta porusza się ze stałą prędkością w
płaszczyźnie pionowej, tak że w najwyższym położeniu nitka jest wyprostowana, ale nie napięta.
Oblicz siłę napięcia nici w najniższym położeniu kulki oraz w chwili, gdy nitka tworzy z pionem kąt α =
30°. Masa kulki m = 0,2 kg.

(M-F) 2.52. Jaka jest siła dośrodkowa, działająca na satelitę stacjonarnego, obiegającego Ziemię w
ciągu T= 24 h? Masa satelity m = 2000 kg, a odległość od środka Ziemi wynosi około 43 000 km.

(M-F) 2.53. Jaka siła dośrodkowa działa na planetę Wenus w jej ruchu wokół Słońca? Masa Wenus
wynosi M= 4,8 • 10

kg, średnia odległość od Słońca d= 108 mln km, a okres ruchu T= 224,7 dni

(ziemskich).

Tarcie. Równia pochyła.

2.54. Siłomierz w pierwszym przypadku wskazywał F

= 12 N, a w drugim podczas ruchu

jednostajnego F

= 4 N (rys. 2.15). Jaki był współczynnik tarcia ciała o podłoże?

2.55.

Po torze poziomym ciągnięto ciało o masie m = 2 kg ruchem jednostajnym. Jaką siłę

wskazywałby siłomierz, gdyby ruch odbywał się: a) z tarciem (μ = 0,2), b) bez tarcia?

2.56.

Na poziomym torze nadano ciału prędkość v

= 4 m/s. Ciało zatrzymało się po przebyciu

drogi s= 8 m. Jaki jest współczynnik tarcia ciała o podłoże?
2.57. Motorowy wagon kolejowy poruszał się z prędkością v

= 12 m/s. Przy gwałtownym hamowaniu i

całkowitym zablokowaniu kół było wiadomo, że po przebyciu drogi s = 50 m wagon miał jeszcze

prędkość v = 10 m/s . Jaki jest współczynnik tarcia wagonu o szyny?

2.58. W. Kula karabinowa uderza w deskę o grubości s = 2 cm, z prędkością v

= 400 m/s, przebija

ją i wylatuje z prędkością v

= 200 m/s. Masa kuli wynosi m = 10 g. Oblicz siłę oporu jaką stawia

deska kuli. (Kula porusza się w płaszczyźnie poziomej.)

2.59.

Wzdłuż równi o kącie nachylenia α = 30° ciągnięto ciało o masie m = 2 kg ruchem

jednostajnym do góry. Jaką siłę wskazałby siłomierz, gdyby ruch odbywał się: a) z tarciem (μ = 0,2), b)
bez tarcia?

2.60.

Wzdłuż równi o kącie nachylenia α = 10° ciągnięto ciało o masie m = 2 kg ruchem

jednostajnym w dół. Jaką siłę wskazuje siłomierz, jeżeli założymy, że współczynnik tarcia wynosi μ =
0,2?

2.61.

Na górze równi o wysokości h = 1 m i kącie nachylenia α = 30° ustawiono ciało. Ciało

zsunęło się bez tarcia. Oblicz czas ruchu i prędkość końcową.

2.62. U podnóża równi nadano ciału prędkość v

= 10 m/s skierowaną ku górze. Przyjmij, że tarcie jest

pomijalnie małe, a równia jest nachylona pod kątem α = 30° i oblicz, na jaką wysokość dotrze ciało. Ile
czasu trwał ruch ciała do góry?

2.63.

Z wierzchołka równi o kącie nachylenia α = 45° i wysokości h = 2 m puszczono ciało. Ruch

odbywa się z tarciem, którego współczynnik wynosi μ = 0,2. Oblicz czas ruchu i prędkość końcową.

2.64.

Z wierzchołka równi o kącie nachylenia α = 45° puszczono ciało, nie nadając mu prędkości

początkowej. Ruch odbywał się z tarciem o współczynniku μ = 0,15. Ciało dotarło do podstawy
równi z prędkością v

= 2 m/s. Jaka była wysokość równi?

2.65.

Ciało zsuwając się bez prędkości początkowej z wierzchołka równi pochyłej o kącie nachylenia

α i wysokości h (z pomijalnie małym tarciem), osiągnęło u podnóża równi prędkość v. Jaką prędkość
początkową skierowaną w dół równi należy nadać temu ciału przy wierzchołku równi, aby jego prędkość
końcowa wyniosła 3v?

2.66.

R. Z wierzchołka równi o kącie nachylenia α = 30° i wysokości h = 1 m puszczono ciało.

Podstawę równi osiągnęło ono po upływie t = 3 s. Ruch odbywał się z tarciem. Oblicz współczynnik
tarcia.

2.67.

W. Równia o kącie nachylenia α = 30° ma długość l = 2 m. Na dole i na górze równi

umieszczono dwa ciała. Jednocześnie pchnięto ciała i każdemu z nich nadano prędkość v

= 4 m/s, ale

zwroty tych prędkości były przeciwne. Ruch odbywał się bez tarcia. Ciała się spotkały. Gdzie nastąpi ich
spotkanie?

(M-F) 2.68. Rozwiąż zad. 2.67 zakładając, że ruch ciał odbywa się z tarciem o współczynniku

jednakowym dla obu ciał i wynoszącym μ = 0,2.

(M-F) 2.69. Góra, z której zjeżdżano na sankach, przypomina równię o wysokości h = 6 m i
kącie nachylenia α = 20°. Saneczkarz po wystartowaniu z wierzchołka dociera do podstawy góry i
dalej porusza się po torze płaskim. Znajdź jego drogę na torze poziomym, jeżeli współczynnik
tarcia sanek o podłoże na całej trasie wynosi μ = 0,04.

2.70. Obciążnik o masie m

= 1 kg porusza ciało o masie m

= 2 kg. Współczynnik tarcia

między masą m

a podłożem wynosi μ = 0,1. Oblicz, z jaką prędkością obciążnik uderzy o podłogę,

jeżeli początkowo wisi na wysokości h = 1 m (rys. 2.16).

2.71. R. Jaka powinna być siła napędowa samochodu o masie m = 1000 kg, aby po ruszeniu z
miejsca na drodze s = 200 m osiągnął prędkość v = 10 m/s. Współczynnik tarcia μ = 0,2.

(M-F) 2.72. Dwa ciała o jednakowych masach m = 1 kg, połączone ze sobą, umieszczono na

równi o kącie nachylenia α = 30° (rys. 2.17). Jakie będzie przyspieszenie tych ciał i siła
napięcia nici, jeżeli przyjmiemy, że pierwsze ciało porusza się bez tarcia, a drugie z tarciem o
współczynniku μ = 0,2?

2.73. Dwie masy m

= 4 kg i m

= 2 kg połączone nitką umieszczono na równi o kącie nachylenia α =

30°, tak jak pokazano na rys. 2.18. Oblicz przyspieszenie i siłę napięcia nici. Masę bloczka i
opory ruchu pomijamy.

2.74. Dwie masy m

= 2 kg i m

= 3 kg umieszczono na dwóch równiach o kącie α= 30° i β= 45° (rys.

2.19). Oblicz przyspieszenie mas i siłę napięcia nici. Masę bloczka i opory ruchu pomijamy.

(M-F) 2.75. Na poziomym torze stał wózek o masie m

= 100 kg. Na wózek wrzucono ciężar o

masie m

= 50 kg z prędkością o kierunku poziomym równą v

= 6 m/s. Wózek przetoczył się nieco i

zatrzymał pod wpływem siły tarcia o współczynniku μ = 0,02. Oblicz przebytą drogę.

(M-F) 2.76. W. Dwie masy m

= 3 kg i m

= 2 kg połączono nitką w sposób pokazany na rys.

2.20. Pierwsze ciało przebędzie drogę h = 0,2 m. Jaką drogę przebędzie drugie ciało, jeżeli μ =
0,4?

(M-F) 2.77. U podnóża równi o kącie nachylenia α = 30° nadano ciału prędkość v

= 9,8 m/s

skierowaną do góry równi. Współczynnik tarcia ciała o równię μ = 0,2. Po jakim czasie ciało wróci do
podstawy równi?

(M-F) 2.78. U podnóża równi o wysokości h = 1 m i kącie nachylenia α = 30° nadano ciału

prędkość v

= 6 m/s skierowaną do góry równi. Jaką prędkość będzie miało ciało przy wierzchołku

równi, jeżeli współczynnik tarcia ciała o powierzchnię równi wynosi μ = 0,12?

(M-F) 2.79. W środku dostatecznie długiej równi o niewielkim kącie nachylenia wynoszącym α =

10° umieszczono dwa ciała i puszczono jednocześnie: jedno do góry z prędkością v

= 2 m/s, a

drugie w dół równi z prędkością v

= 3 m/s. Współczynniki tarcia o równię obu ciał są

jednakowe i wynoszą μ = 0,3. W jakiej odległości od siebie ciała te się zatrzymają?

(M-F) 2.80. Na rysunku 2.21 pokazano układ ciał połączonych nitką i umieszczonych na równi.
Ciało o masie m

= 4 kg uderzy w podłogę po przebyciu wysokości h = 0,5 m. Drugie ciało o masie

= 1 kg po zatrzymaniu się pierwszego jeszcze przez jakiś czas będzie poruszać się w górę po równi.

Ile czasu trwać będzie całkowity ruch ciała o masie m

, jeżeli α = 30°, a μ = 0,7?

3. PRACA I ENERGIA

Energia kinetyczna i potencjalna

3.1.

Ciało o masie m = 2 kg ma energię kinetyczną E = 9 J. Oblicz prędkość tego ciała. Ile razy

wzrośnie prędkość ciała, jeżeli energia wzrośnie dwukrotnie?

3.2.

Ciało o masie m = 3 kg ma energię kinetyczną E = 6 J. O ile wzrośnie prędkość ciała, jeżeli

jego energia kinetyczna wzrośnie o ΔE= 18 J?

3.3. Wózek o masie m = 100 kg poruszał się z prędkością v = 2 m/s. Człowiek pchnął wózek i
zwiększył jego prędkość trzykrotnie. Ile razy i o ile wzrośnie energia kinetyczna wózka?

3.4. Ile razy energia kinetyczna piłki o masie m = 2 kg, rzuconej z prędkością v = 10 m/s, jest
mniejsza od energii ciała o masie m

= 1 kg, wystrzelonego z prędkością v

= 20 m/s ?

3.5. Ciało o masie m = 1 kg poruszało się z prędkością v = 2 m/s. Czy zmieni się energia kinetyczna tego
ciała, jeżeli masa zmaleje n razy i jednocześnie prędkość wzrośnie tyle samo razy?

3.6.

R. Ciało o masie m = 2 kg ma energię kinetyczną E = 16 J. Oblicz pęd tego ciała.

3.7.

Jaka będzie masa ciała, które w ruchu ma energię kinetyczną E= 180 J i pęd p= 30 kg ·

m/s?

3.8. Pewne ciało w ruchu ma energię kinetyczną E = 4 J i pęd p= 4 kg · m/s. O ile wzrośnie pęd tego
ciała, jeśli spowodujemy wzrost energii kinetycznej o ΔE = 12 J?

3.9. Elektron o masie m= 9·10

-31

kg ma w swoim ruchu pęd p= 9 · 10

-28

kg · m/s. Oblicz jego energię

kinetyczną.

3.10. Samochód o masie m = 1000 kg ma w swoim ruchu pęd p= 12000 kg · m/s. Oblicz prędkość i
energię kinetyczną samochodu.

3.11. W. Dwa wózeczki, pierwszy o masie m

= 1 kg, drugi m

= 2 kg połączono sprężyną, tak jak

pokazano na rys. 3.6. W pewnej chwili nitkę przepalono. Oba wózeczki uzyskały energię kinetyczną.
Oblicz stosunek energii wózeczka pierwszego do drugiego.

3.12.

Ciało o masie m = 10 kg podniesiono na wysokość h = 20 m. Czy zmieni się energia potencjalna

tego ciała, jeżeli masa zmaleje n razy i wysokość, na jaką je podniesiono, wzrośnie tyle samo razy?

3.13.

Ciału o masie m nadano prędkość v = 20 m/s. Na jaką wysokość należy podnieść to ciało, aby

uzyskana energia potencjalna była równa kinetycznej?

3.14. Sprężyna o stałej k = 20 N/m została wydłużona o x = 0,1 m. Oblicz siłę potrzebną do tego
wydłużenia i zgromadzoną wtedy energię potencjalną sprężystości.

3.15. Sprężyna o stałej k = 10 N/m została wydłużona siłą F = 5 N. Jaka energia potencjalna
sprężystości została zgromadzona w sprężynie?

3.16.

Sprężyna o stałej k = 40 N/m została wydłużona o x

= 0,2 m. Ile razy i o ile wzrośnie energia

potencjalna sprężystości, jeśli użylibyśmy sprężyny o stałej k dwukrotnie mniejszej, natomiast
spowodowalibyśmy jej dwukrotnie większe wydłużenie?

3.17.

Sprężyna o stałej k została wydłużona o x

= 0,1 m. O ile trzeba dodatkowo wydłużyć

sprężynę, aby energia potencjalna końcowa była dwukrotnie większa od energii zgromadzonej po
pierwotnym rozciągnięciu?

3.18.

Sprężyna wydłużyła się o x = 0,2 m, gdy zawieszono na niej odważnik m = 2 kg. Jaka energia

potencjalna sprężystości jest zgromadzona w tej sprężynie podczas tego obciążenia?

Zasada zachowania energii.

3.19.

Z jaką prędkością wpadnie do wody skoczek, który skoczył z wieży o wysokości h = 10 m?

3.20.

Spadająca swobodnie z pewnej wysokości kulka miała na wysokości h = 10 m nad ziemią

prędkość v= 10 m/s. Z jakiej wysokości spuszczono kulkę?

3.21. Na wysokości h

= 20 m nadano kulce taką prędkość, że po osiągnięciu wysokości h

= 10 m

kulka miała prędkość v

= 22 m/s. Jaką prędkość nadano kulce na wysokości h

3.22. R. Kula karabinowa wylatuje z lufy z prędkością v = 300 m/s. Jak wysoko wzniesie się kula po
strzale pionowo do góry?

3.23. W rzucie pionowym w dół z wysokości h = 10 m nadano stalowej kulce prędkość początkową

= 5 m/s. Jaka będzie prędkość końcowa kulki?

3.24. Kulkę stalową puszczono swobodnie z wysokości h = 10 m, nie nadając prędkości początkowej.
Kulka spadła z pewną prędkością. Z jakiej wysokości należy puścić kulkę, aby prędkość w chwili uderze-
nia o ziemię była czterokrotnie większa?

3.25. Kulkę stalową rzucono pionowo w dół z wysokości h = 20 m, z taką prędkością, że

spadła na ziemię tak, jakby była puszczona swobodnie z wysokości H = 40 m. Jaką prędkość nadano
kulce podczas rzutu pionowego w dół?

3.26.

Piłkę rzucono pionowo do góry i nadano jej taką prędkość, że dotarła na wysokość h = 5

m. Na jaką wysokość dotrze piłka, jeśli nadamy jej prędkość dwukrotnie większą?

3.27.

Na końcu sznurka długości l = 1 m umieszczono niewielki ciężarek. Sznurek

umocowano jednym końcem i odchylono o kąt 90° (rys. 3.7). Jaka będzie prędkość ciężarka, jeśli
sznurek utworzy z poziomem kąt α = 60°?

3.28. Na końcu sznurka długości l = 2 m umieszczono niewielką kulkę o masie m = 0,2 kg. Sznurek
odchylono o kąt α = 45°. Oblicz pęd kulki w najniższym położeniu (rys. 3.8).

3.29.

Na końcu sznurka długości l umieszczono kulkę o masie m = 2 kg. Drugi koniec sznurka

umocowano i całość odchylono do poziomu (rys. 3.9). Jakie będzie napięcie sznurka w chwili, gdy
kulka znajdzie się w najniższym położeniu?

3.30.

W sali o wysokości h = 5 m z wysokości h

= 1 m nad podłogą rzucono pionowo do góry

piłkę z prędkością v

= 10 m/s. Z jaką prędkością piłka uderzy w sufit?

3.31. Zakładając, że piłka z poprzedniego zadania odbije się od sufitu sprężyście (prędkość po
odbiciu jest taka sama jak przed odbiciem) oblicz, z jaką prędkością uderzy ona w podłogę?

(M-F) 3.32. Ciało o masie m = 2 kg przywiązane do sznurka długości l = 1 m porusza się w płaszczyźnie

pionowej tak, że w najwyższym punkcie jego prędkość wynosi v

= 4 m/s (rys. 3.10). Jaka będzie

prędkość ciała w chwili, gdy sznurek zajmuje położenie poziome? Jaka będzie prędkość ciała w jego
najniższym położeniu?

(M-F) 3.33. Ciało o masie m = 1 kg przywiązane do sznurka długości l = 1 m porusza się w płaszczyźnie

pionowej, tak że w najwyższym położeniu ma ono taką prędkość, że sznurek jest wyprostowany, ale nie
napięty. Oblicz prędkość ciała w położeniu najwyższym, poziomym i najniższym oraz napięcie nici w
położeniu najniższym.

(M-F) 3.34. Z jakiej wysokości należałoby puścić ciało o masie m = 0,05 kg z „pętli śmierci" o
promieniu r= 0,1 m, (rys. 3.11), aby poruszając się bez tarcia, mogło przejechać całą pętlę bez oderwania
się? Jaka będzie siła nacisku ciała na pętlę w najniższym punkcie, jeżeli założymy, że w najwyższym
punkcie pętli siła nacisku wynosi zero?

3.35. Do końca sznurka długości l = 1 m zwisającego pionowo doczepiono kulkę. Następnie
nadano kulce prędkość poziomą v = 2 m/s. Sznurek z kulką odchyli się. Jaki będzie kąt odchylenia
sznurka w chwili zatrzymania kulki w najwyższym położeniu?
3.36. Ciało zsuwa się z najwyższego punktu równi długości s = 2 m i kącie α = 30° z prędkością
początkową v

= 4 m/s. Jaka będzie prędkość ciała na dole równi, jeżeli wpływ siły tarcia pominiemy?

3.37. Równia o kącie nachylenia a ma wysokość h = 1 m. Na dole równi nadano ciału taką prędkość
skierowaną do góry, że ciało dojechało do połowy równi. Czy ciało dojedzie do końca równi, jeśli
nadamy mu prędkość dwukrotnie większą? Jaką prędkość będzie miało wtedy ciało na wierzchołku
równi? Zakładamy, że ruch odbywa się bez tarcia.

(M-F) 3.38. Na końcu sprężyny o stałej k = 100 N/m i ściśniętej o x = 0,2 m umieszczono ciało o
masie m = 1 kg. Sprężynę zwolniono. Jaką prędkość uzyska to ciało pod wpływem sprężyny, w wyniku
całkowitego jej rozprężenia?

Związek między energią a pracą.

3.39. Oblicz pracę piłkarza, który kopnięciem zwiększa prędkość piłki o masie m = 2 kg od v

= 2 m/s

do v

= 6 m/s.

3.40. W. Autobus o masie m = 10000 kg rozpędza się z miejsca do pewnej prędkości na drodze s = 400
m. Oblicz pracę siły powodującej przyspieszenie, jeżeli wiadomo, że wartość tego przyspieszenia wynosi
a = 0,2 m/s

. Opory ruchu pomijamy.

3.41. R. Oblicz pracę potrzebną do rozpędzenia samochodu o masie m = 1200 kg od prędkości v

= 10

m/s do pewnej prędkości końcowej. Czas rozpędzania wynosi l = 10 s, a siła napędowa F= 1000 N.

Opory ruchu pomijamy.

3.42.

Samochód o masie m = 1200 kg pod wpływem siły F zwiększył prędkość od v

= 10 m/s do

pewnej wartości v. Przyspieszanie odbywało się na drodze s = 100 m w czasie t = 8 s. Oblicz pracę siły

3.43.

Jaka była praca dźwigu, który ciało o masie m = 100 kg przeniósł z dachu położonego

na wysokości h

= 12 m na pomost o wysokości h

= 2 m?

3.44.

Kabina windy, której masa wraz z pasażerami wynosiła m = 1200 kg została podniesiona

z wysokości h

= 12 m na szczyt budynku ze stałą prędkością v = 2 m/s . Ruch do góry trwał t = 15

s. Oblicz wysokość końcową i pracę wykonaną przez silnik windy.

3.45.

W. Ciało o masie m = 3 kg wciągnięto ruchem jednostajnym na szczyt równi długości s = 2 m

i kącie nachylenia α = 45°. Współczynnik tarcia μ = 0,2. Oblicz wykonaną przy tym pracę.

3.46.

Korzystając z wyników poprzedniego zadania, oblicz moc urządzenia wykonującego pracę,

jeżeli wiadomo, że ruch odbywał się ze stałą prędkością v = 1 m/s.

3.47. Jaka była praca sił tarcia, które działając na ciało o masie m = 100 kg poruszające się poziomo z

prędkością v

= 12 m/s zmniejszyły jego prędkość do v

= 2 m/s ?

3.48.

Ciało o masie m = 2 kg, któremu nadano prędkość skierowaną poziomo, zatrzymało się po

przebyciu drogi s = 4 m. Oblicz pracę siły tarcia, jeżeli μ = 0,2.

3.49.

Z wierzchołka równi o wysokości h = 2 m i kącie nachylenia α = 30° zjechał klocek o masie m

= 2 kg. Oblicz pracę siły tarcia, jeśli μ = 0,2.

3.50.

R. Z wysokości h = 10 m rzucono ciało pionowo w dół i na dano mu prędkość v

= 5 m/s.

Ciało uderzyło w powierzchnię ziemi z prędkością v

= 10 m/s. Masa ciała m = 2 kg. Oblicz średnią siłę

oporu powietrza.

(M-F) 3.51. Oblicz całkowitą siłę napędową działającą na samochód, jeżeli wiadomo, że na drodze s =

200 m nachylonej do poziomu pod kątem α = 4° jego prędkość wzrosła od v

= 5 m/s do v

= 15 m/s.

Masa samochodu m = 1000 kg, a współczynnik oporów ruchu μ=0,1

3.52.

U dołu równi o wysokości h = 1 m i kącie nachylenia α= 30° nadano ciału taką

prędkość, że w najwyższym punkcie równi wynosiła ona jeszcze 1/3 prędkości początkowej. Oblicz tę
prędkość, jeżeli wiadomo, że współczynnik tarcia wynosi μ = 0,12.

3.53.

Pocisk o masie m = 0,1 kg wbił się w deskę na głębokość s = 0,1 m. Oblicz siłę oporu i

pracę siły oporu hamującej ruch, jeżeli prędkość początkowa wynosiła v

= 300 m/s. Czy praca zależy

od długości drogi w desce?

3.54. Poruszający się poziomo pocisk o masie m = 0,2 kg uderzył w deskę z prędkością v

= 400 m/s, a

po jej przebiciu poruszał się dalej m z prędkością v

= 200 m/s. Oblicz, jaką pracę wykonały siły

oporu w desce. Jaka była średnia siła oporu, gdy grubość deski wynosiła Δr = 2 cm?

3.55.

Oblicz, ilu kilowatom odpowiada moc P= 100 KM? Przypominamy, że urządzenie ma moc 1

KM, jeżeli podniesie ruchem jednostajnym ciało o masie m = 75 kg na wysokość 1 m w ciągu 1 s.

3.56.

Autobus o masie m = 10000 kg porusza się ze stałą prędkością v = 20 m/s. Opory ruchu

obliczamy ze wzoru F= k·m·g, gdzie k = 0,1. Jaką moc rozwija silnik tego autobusu?

(M-F) 3.57. R. Autobus z poprzedniego zadania zwiększył prędkość od v

= 20 m/s do v

= 30 m/s na

drodze s = 500 m. Oblicz średnią moc silnika podczas przyspieszania.

3.58. Piłka o masie m = 2 kg uderzyła w podłoże z pionową prędkością wynoszącą v = 14 m/s. Po
odbiciu wzniosła się na wysokość h = 7 m. Ile energii mechanicznej straciła piłka podczas zderzenia?

3.59. Sprężyna o stałej k =100 N/m została rozciągnięta od x

= 0,1 m do x

= 0,15 m. Oblicz

energię potencjalną początkową i końcową sprężyny oraz pracę wykonaną podczas jej rozciągania.

3.60.

Sprężyna, którą przy użyciu siły F= 100 N, początkowo wydłużono o x

= 1 m, została

dodatkowo wydłużona o Δx = 2 m. Oblicz pracę potrzebną do tego dodatkowego wydłużenia i
energię końcową sprężyny.

3.61.

R. Narysuj wykres F=f(x) dla sprężyny z poprzedniego zadania i wykonaj obliczenia

dowodzące, że praca wykonana przez siły zewnętrzne potrzebne do wydłużenia o Δx = 2 m będzie
równa polu trapezu utworzonego pod wykresem.

3.62.

Oblicz, jaką stałą ma sprężyna, która wydłużona od stanu swobodnego o x = 2 cm,

gromadzi energię potencjalną E

pot

= 16 J.

(M-F) 3.63. Sprężynę wydłużono od x

= 0,1 m do x

= 0,2 m, wykonując przy tym W = 6 J pracy. Oblicz

stałą sprężyny oraz średnią siłę wykonującą pracę związaną z rozciąganiem sprężyny.

Zadania różne

3.64. R. Wózek o masie m = 2 kg poruszający się z prędkością v = 4 m/s zderzył się ze stojącym
wózkiem o takiej samej masie. Wózki po zderzeniu poruszały się razem. O ile zmaleje energia
kinetyczna układu?

3.65. Wózek o masie m

= 4 kg poruszający się z prędkością v

= 6 m/s zderzył się ze stojącym

wózkiem o masie m

= 2 kg. Po zderzeniu wózki poruszały się razem. Oblicz, jaki pęd i energia kinetyczna

będzie przekazana drugiemu wózkowi.

3.66. W. Ze stojącej łódki o masie m

= m = 50 kg wyskoczył człowiek o masie m

= m z prędkością

v = 2 m/s obliczoną względem wody. Jaką pracę wykonał człowiek podczas wyskoku?

(M-F) 3.67. Ze stojącej łódki o masie m

wyskoczył człowiek o masie m

= 60 kg z prędkością v

= 3

m/s obliczoną względem wody. Jaką pracę wykonałby człowiek, gdyby masa łódki wynosiła

a) m

= 30 kg, b) m

= 300 kg, c) m

= 3000 kg? Podaj wnioski.

(M-F) 3.68. Dwa wózeczki, pierwszy o masie m

= m, drugi m

= nm połączono sprężyną tak,

jak to pokazano na rys. 3.12. W pewnej chwili nitkę przepalono i wózki rozjechały się w obie strony.
Pod wpływem siły tarcia wózki zatrzymały się w pewnej odległości od siebie. Oblicz stosunek drogi
przebytej przez pierwszy wózek, do przebytej przez drugi, jeżeli współczynnik tarcia wynosi μ.

(M-F) 3.69. W. Na krzesełko o masie m

= 3 kg huśtawki zawieszonej na sznurze długości l = 2 m

skacze małpka o masie m

= 4 kg z prędkością poziomą v= 2 m/s. O jaki maksymalny kąt odchyli się

sznurek huśtawki?

(M-F) 3.70. Pocisk o masie m

= 0,1 kg lecąc poziomo z prędkością v

= 100 m/s, wbił się w

skrzynię o masie m

= 20 kg i utkwił w niej. Jak daleko posunie się skrzynia po poziomym torze,

jeżeli założymy, że jej współczynnik tarcia o podłoże wynosi μ = 0,1?

(M-F) 3.71. Na sznurku długości l = 1 m zawieszono jabłko o masie m

= 0,12 kg. Jabłko zostało przebite

śrutem o masie m

= 0,02 kg. Śrut wpadł z prędkością poziomą v

= 20 m/s i wypadł z prędkością v'

= 10 m/s. O jaki kąt odchyli się nitka z jabłkiem po strzale?

(M-F) 3.72. W. Na powierzchni równi o kącie nachylenia α = 20° znajdował się klocek o masie m = 10
kg. Klocek był w spoczynku dzięki tarciu, którego średnia wartość współczynnika wynosi μ = 0,35.
Klocek został trafiony kulą o masie m

= 0,1 kg poruszającą się z prędkością poziomą v

= 100

m/s. Kula utkwiła w klocku. Jak daleko przesunie się klocek po powierzchni równi?

(M-F) 3.73. Na dwóch nitkach, przyczepionych w jednym punkcie, zawieszono kulki z plasteliny,

pierwszą o masie m

= 0,2 kg a drugą m

= 0,4 kg. Jedną nitkę odchylono o kąt α = 45° i

puszczono (rys. 3.13). Kulki zlepiły się w najniższym punkcie i razem odchyliły się w drugą
stronę. Oblicz kąt największego wychylenia obu kulek.

(M-F) 3.74. Człowiek o masie m = 50 kg wskoczył z prędkością v = 2 m/s na stojący wózek o masie M
= 150 kg. Wózek był przymocowany do ściany sprężyną o stałej k = 800 N/m. Jakie będzie największe
wydłużenie sprężyny?

(M-F) 3.75. Klocek został ustawiony na wierzchołku równi o kącie nachylenia α = 30°. Gdyby
klocek zsunął się do dołu równi bez tarcia, uzyskałby prędkość v. Dla ruchu z tarciem prędkość na
dole byłaby dwukrotnie mniejsza. Jaki jest współczynnik tarcia klocka o równię?

4. RZUTY.

Spadanie swobodne

4.1.

Kulkę stalową puszczono swobodnie z wysokości h = 5,1 m. Jaką uzyska prędkość spadając na

ziemię i jaki będzie czas jej ruchu?

4.2.

Kulka stalowa puszczona swobodnie spadała przez czas t = 3,2 s. Z jakiej wysokości

puszczono kulkę i z jaką prędkością uderzy ona w podłoże?

4.3.

Dwie jednakowe kulki stalowe puszczono swobodnie: pierwszą z wysokości h, drugą H = nh.

Jaki będzie stosunek czasów ruchu i prędkości końcowych obu kulek?

4.4. R. Pierwszą kulkę puszczono swobodnie z wysokości h = 44m. Drugą z poziomu niższego i o
Δt = 1 s później. Kulki uderzyły o podłoże w tej samej chwili. Z jakiej wysokości puszczono drugą kulkę?

4.5.

Kulka spadała z pewnej wysokości w czasie t = 3 s. Jaką drogę przebyła w ostatniej

sekundzie ruchu?

4.6.

W. Kulka spadała z pewnej wysokości w czasie t = 8 s. Jaka jest średnia prędkość ruchu w

pierwszej i w ostatniej sekundzie ruchu?

4.7.

Kulka spadała swobodnie z pewnej wysokości i uderzyła o podłoże z prędkością v = 14 m/s.

Jaką prędkość miała kulka w połowie wysokości, z której spadała?

4.8. R. Kulka spadała swobodnie z pewnej wysokości i uderzyła w podłoże po upływie t = 2 s. Na jakiej
wysokości była kulka w połowie czasu ruchu?

(M-F) 4.9. Kulka spadając swobodnie z pewnej wysokości w dwóch ostatnich sekundach swego
ruchu, przebyła drogę s = 98 m. Z jakiej wysokości spadła kulka?

(M-F) 4.10.W. Kulka spadając swobodnie w przedostatniej sekundzie swego ruchu, przebyła drogę s =
19,6 m. Z jakiej wysokości spadała kulka i ile czasu trwał jej ruch?

Rzut pionowy do góry i w dół

4.11.

Kulkę stalową rzucono pionowo do góry, nadając jej prędkość v

= 12,5 m/s. Jak wysoko

doleci kulka i ile trwało jej wznoszenie się do góry?

4.12.

W. Kulka stalowa rzucona pionowo do góry spadła z powrotem na powierzchnię ziemi po

upływie czasu t = 6,4 s. Oblicz maksymalną wysokość, na jaką dotarła kulka i prędkość, z jaką spadnie
na powierzchnię ziemi.

4.13.

R. Rzucony pionowo do góry kamień w ciągu pierwszej sekundy ruchu przebył drogę

h = 15,1 m. Jaka była prędkość początkowa kamienia?

4.14.

Rzucony do góry kamień spadł na podłoże z prędkością końcową v

= 28 m/s . Jaka była

maksymalna wysokość tego rzutu?

(M-F) 4.15. Kulka rzucona pionowo do góry spadła po upływie czasu t = 4 s. Ile czasu znajdowała się
powyżej poziomu połowy maksymalnej wysokości tego rzutu?

(M-F) 4.16. Dwie stalowe kulki rzucono jednocześnie. Pierwszą puszczono swobodnie z wysokości h =
58,8 m, a drugą rzucono pionowo do góry, naprzeciw pierwszej z taką prędkością, że kulki spotkały się
w połowie wysokości. Oblicz prędkość początkową nadaną drugiej kulce.

(M-F) 4.17. Niewielką stalową kulkę rzucono pionowo do góry, nadając jej prędkość v

= 20 m/s. W

chwili, gdy kulka ta osiągnęła najwyższe położenie rzucono z tego samego miejsca podobną kulkę z
tą samą, skierowaną do góry prędkością. Na jakiej wysokości kulki się miną?

4.18. Z dachu domu o wysokości h = 15,3 m rzucono pionowo w dół stalową kulkę i nadano jej
prędkość v

= 10 m/s. Z jaką prędkością i po jakim czasie kulka uderzy w podłoże?

4.19. Kamień rzucono pionowo w dół i nadano mu prędkość v

= 10 m/s. Kamień spadł na podłoże

po dwóch sekundach. Z jakiej wysokości rzucono ciało?

4.20. Pierwszy kamień puszczono swobodnie z wysokości h = 19,6 m. Drugi kamień rzucono
pionowo w dół z tej samej wysokości z prędkością v

= 19,6 m/s. O ile sekund krócej trwał ruch

drugiego ciała?

4.21. R. Z wysokości h = 10 m puszczono swobodnie niewielki kamień. Z jaką prędkością początkową
należałoby rzucić ten kamień w dół, aby przebył tę samą drogę w dwukrotnie krótszym czasie?

(M-F) 4.22. Z wierzchołka wieży o wysokości h = 20,4 m rzucono kamień pionowo do góry i nadano mu
prędkość v

= 15 m/s. Kamień upadł przy podstawie wieży. Oblicz prędkość kamienia w chwili ude-

rzenia o podłoże i czas jego ruchu.

(M-F) 4.23. Z wierzchołka wieży rzucono jednocześnie dwa jednakowe kamienie. Pierwszy rzucono
pionowo do góry z prędkością v

= 10 m/s, drugi z taką samą prędkością pionowo w dół. W jakim

odstępie czasu spadną te kamienie na powierzchnię ziemi?

Rzut poziomy i ukośny

4.24. Z wierzchołka wieży o wysokości h = 19,6 m rzucono poziomo kamień z prędkością v

= 10 m/s.

Oblicz zasięg rzutu i prędkość, z jaką kamień uderzy w powierzchnię ziemi.

4.25.

Z wierzchołka wieży o wysokości h = 10 m rzucono poziomo kamień. Upadł on w

odległości z = h od podstawy wieży. Jaką prędkość nadano kamieniowi?

4.26.

Z balkonu położonego na wysokości h = 4 m wyrzucono poziomo piłkę z prędkością v

= 10.

Z jakiej wysokości należałoby rzucić piłkę z tą samą prędkością, aby spadła o Δz = 27 m dalej?

4.27. Kamień rzucono z wysokości h= 19,6 m i nadano mu prędkość poziomą v

= 10 m/s. Oblicz

prędkość kamienia w chwili uderzenia o powierzchnię ziemi. Jaki kąt z pionem tworzy wektor

prędkości końcowej?

4.28.

W. Z dachu domu o wysokości h = 19,6 m rzucono poziomo piłkę z taką prędkością, że w

chwili uderzenia o powierzchnię ziemi prędkość pozioma była równa prędkości pionowej. Jaki był
zasięg tego rzutu?

4.29.

R. Z bardzo wysokiej wieży rzucono poziomo ciało z prędkością v

= 30 m/s . Po upływie

jakiego czasu wektor prędkości całkowitej tworzy z pionem kąt α = 60°?

4.30. Samolot leciał na wysokości h = 800 m z prędkością v = 200 m/s. Pilot zrzucił bombę, która
trafiła w cel. Pod jakim kątem do poziomu widoczny był cel w chwili zrzucenia bomby?

4.31.

Kamień rzucono pod kątem α = 45° do poziomu z taką prędkością, że spadł na ziemię w

odległości z = 6,5 m. Z jaką prędkością wyrzucono kamień? Jaki był czas jego ruchu?

4.32.

Stalowa kulka została wyrzucona pod takim kątem, że zasięg rzutu jest dwukrotnie większy

od maksymalnej wysokości. Oblicz ten kąt.

4.33. Stalowa kulka rzucona ukośnie miała w najwyższym punkcie toru prędkość v

= 20 m/s.

Całkowity czas ruchu wynosił t = 6,4 s. Oblicz zasięg ruchu i wysokość maksymalną.

(M-F) 4.34. R. Z wierzchołka wieży o wysokości h = 4 m rzucono piłkę z prędkością v

= 10 m/s pod

kątem α = 30° do poziomu. Jak daleko od podstawy wieży spadnie piłka?

(M-F) 4.35. W. Z dachu domu o wysokości h = 16 m rzucono kamień z prędkością v

= 10 m/s pod

kątem α = 45° do poziomu w dół. Jak daleko od podstawy domu spadnie kamień na powierzchnię ziemi?

(M-F) 4.36. W. Dwa ciała rzucono ukośnie. Pierwsze z prędkością v

= 6 m/s pod kątem α = 30°. Drugie

z dwukrotnie większą prędkością, ale tak skierowaną, że składowa pozioma obu prędkości jest jednakowa
(v

01x

= v

02x

). Jaka jest odległość między ciałami w chwili, gdy pierwsze ciało osiągnęło swoją wysokość

maksymalną?

Ruch w nieinercjalnych układach odniesienia

4.37. Kulka o masie m = 2 kg wisi na nitce przymocowanej do sufitu samolotu poruszającego się na
pasie startowym z przyspieszeniem a = 7 m/s

. Jaka jest wypadkowa sił grawitacji i bezwładności? Z

jakim przyspieszeniem, względem kabiny samolotu, spadałaby kulka, gdyby nitka nie wytrzymała
napięcia?

4.38. Na podłodze hamującego tramwaju była ustawiona skrzynka. Jaki musi być współczynnik tarcia
statycznego, aby skrzynka znajdowała się w spoczynku. Zakładamy, że opóźnienie tramwaju
wynosi a = 2 m/s

4.39. R. Na podłodze hamującego tramwaju ustawiono klocek. Tramwaj hamuje z opóźnieniem a =
1,5 m/s

. Z jakim przyspieszeniem względem tramwaju porusza się klocek. Zakładamy, że współczynnik

tarcia powierzchni klocka o podłogę tramwaju wynosi μ = 0,05. Jakie jest opóźnienie klocka względem
powierzchni ziemi?

(M-F) 4.40. Na klocku o masie m

= 2 kg postawiono klocek o masie m

= 1 kg. Współczynnik tarcia

między powierzchniami obu klocków wynosi μ

= 0,1, a między dolnym klockiem a podłożem μ

0,15. Jaką poziomą siłą należy działać na dolny klocek, aby nastąpił na nim poślizg klocka górnego?

(M-F) 4.41. R. W windzie poruszającej się do góry z przyspieszeniem a = 2 m/s

znajdowała się

równia o kącie nachylenia α = 45°. Oblicz przyspieszenie względem windy ciała umieszczonego na
równi, jeżeli współczynnik tarcia ciała o powierzchnię równi wynosi μ = 0,15

(M-F) 4.42. W. W autobusie, który porusza się z przyspieszeniem a = 2 m/s

umieszczono równię o

kącie nachylenia α = 30°. Położenie równi pokazano na rys. 4.4. Z jakim przyspieszeniem względem
autobusu zsuwa się ciało po równi, jeżeli współczynnik tarcia ciała o powierzchnię równi wynosi μ = 0,1?

(M-F) 4.43. W. Autobus poruszał się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem a = 1 m/s

drodze wznoszącej się pod kątem α = 5°. Wewnątrz autobusu powieszono na nitce ciało o
masie m = 1 kg. Pod jakim kątem względem pionu odchyli się nitka? Jaka jest siła napięcia nici?

(M-F) 4.44. Na początku wagonu długości l = 4 m znajduje się klocek. Wagon porusza się z
przyspieszeniem a

= 2 m/s

. Klocek porusza się po podłodze wagonu z tarciem, którego

współczynnik wynosi μ = 0,1. Z jaką prędkością uderzy klocek o tylną ścianę wagonu?

(M-F) 4.45. Na podłodze autobusu (rys. 4.4) na równi umieszczono ciało. Równia jest
nieruchoma względem podłogi autobusu. Jakie powinno być przyspieszenie autobusu, aby ciało
zaczęło podjeżdżać do góry równi. Wykonaj obliczenia dla α =10° i μ =0,15.

(M-F) 4.46. W. Bloczek z dwoma ciężarkami został przymocowany za pomocą siłomierza do sufitu
poruszającej się do góry z przyspieszeniem a = ¼ g windy (rys. 4.5). Masy ciężarków wynoszą m

= m = 1 kg, m

= 2m = 2 kg. Masę bloczka pomijamy. Oblicz siły F

i F

w przypadku, gdy ruch

bloczka jest:

a) zahamowany,

b) swobodny.

(M-F) 4.47. Dwa ciała pokazane na rys. 4.6 znajdowały się w poruszającej się do góry z

przyspieszeniem a = ½ g windzie. Jakie będzie przyspieszenie tych ciał względem windy?

(M-F) 4.48. Autobus poruszał się z prędkością v = 20 m/s po zakręcie o promieniu krzywizny R = 100
m. Na podłodze znajdowało się ciało o masie m = 2 kg. Współczynnik tarcia ciała o podłogę wynosi μ
= 0,1. Jaką siłą należy działać na to ciało, aby nie przesuwało się po podłodze autobusu?

5. MATERIA

Gęstość ciał

5.1.

Porównywano gęstości materiału z jakiego są zbudowane dwa ciała. Pierwsze ciało miało

dwukrotnie większą od drugiego objętość, a drugie ciało trzykrotnie większą masę. Jaki jest stosunek
gęstości ciała pierwszego do drugiego?

5.2.

Jaką gęstość ma klocek z nie znanego materiału, jeżeli wiemy, że klocek zbudowany z

aluminium ma k

= 1,2 większą objętość przy k

= 3,5 razy mniejszej masie?

5.3.

Kwadratowy arkusz blachy stalowej o boku a miał grubość b = 1 mm. Jaka byłaby grubość

arkusza blachy aluminiowej o tych samych co stalowy wymiarach powierzchni, jeżeli wiemy, że ma
on taką samą masę jak blacha stalowa?

5.4.

Dwie kule, jedna z ołowiu, a druga z aluminium mają takie same masy. Jaki jest stosunek

średnicy pierwszej kuli do drugiej?

5.5.

Do naczynia wlano V wody i taką samą objętość spirytusu. Oblicz gęstość powstałej

mieszaniny.

5.6.

R. Do naczynia wlano V

= 3 dm

wody i V

= 2 dm

spirytusu. Oblicz gęstość powstałej

mieszaniny.

5.7.

Do naczynia wlano m = 1 kg wody i taką samą masę spirytusu. Oblicz gęstość powstałej

mieszaniny.

5.8.

Do naczynia wlano m

= 2 kg wody i m

= 3 kg spirytusu. Oblicz gęstość powstałej

mieszaniny.

5.9.

Dwa druty o jednakowej długości: aluminiowy i miedziany mają takie same średnice. Ile razy

masa drutu miedzianego jest większa od masy drutu aluminiowego?

5.10. W naczyniu znajdował się spirytus. Odlano z tego naczynia ¼ objętości spirytusu i uzupełniono wodą.
Oblicz gęstość otrzymanej mieszaniny.

Sprężystość. Prawo Hooke’a

5.11. Jaką rozciągającą siłą należy działać na drut stalowy, aby przy długości początkowej l

= 10 m

wydłużył się o Δl = 1 cm? Średnica drutu d = 1 mm.

5.12. Jakie naprężenie spowoduje wydłużenie względne stalowego drutu o 1%? Jakie naprężenie
spowodowałoby wydłużenie o 10% i o 100%?

5.13. Lina stalowa (E = 2 · 10

Pa) długości l

= 20 m podtrzymuje ciężar o masie m = 800 kg. Jaką

średnicę musi mieć ta lina, aby wydłużenie było nie większe niż Δl = 1 cm? (Ciężaru liny nie
uwzględniamy.)

5.14. Drut stalowy długości l

i o średnicy d = 0,5 cm rozciągamy działając pewną siłą. Jaką średnicę musi

mieć drut miedziany tej samej długości, aby pod wpływem tej samej siły wydłużył się o tę samą wartość?

5.15. Korzystając z wyników poprzedniego zadania, oblicz, ile razy otrzymany tam pręt miedziany ma
masę większą od pręta stalowego.

5.16. Pręt stalowy o przekroju o promieniu r i długości l

został poddany działaniu siły rozciągającej F. Ile

razy większe będzie wydłużenie pręta aluminiowego takiej samej długości, ale dwukrotnie większym
promieniu przekroju r

= 2r, jeżeli poddamy go działaniu takiej samej siły?

5.17. R. Drut stalowy rozciągany siłą o wartości F

= 10 kN ma długość l

= 10 m, a po obciążeniu go inną

siłą o wartości F

= 15 kN długość l

= 10,2 m. Jaka jest długość drutu, jeśli nie działamy na niego żadną

siłą?

5.18. Ciężki przedmiot jest zawieszony na dwóch stalowych drutach. Druty nie są jednakowo obciążone:
drut pierwszy jest poddawany sile o 30% większej niż drut drugi. Drut pierwszy ma średnicę d

1,2 mm (rys. 5.4). Jaka powinna być średnica drugiego drutu, aby wydłużenia były takie same?

5.19.

Belkę metalową zawieszono na dwóch drutach jednakowej długości (przed obciążeniem), ale

wykonanych z różnych materiałów: ze stali i aluminium. Pole przekroju drutu stalowego wynosi S

= 2 mm

. Jaka powinna być średnica drutu aluminiowego, aby po obciążeniu belka zajęła pozycję

poziomą? (Wydłużenia obu drutów powinny być jednakowe).

5.20.

W. Podczas doświadczalnego pomiaru modułu Younga uzyskano dla drutu długości l

= 12

m i polu powierzchni przekroju S = 1 mm

następującą zależność między siłą rozciągającą F a

wydłużeniem Δl:

510

1200

2100

3200

3900

F(N)

0,03

0,06

0,12

0,19

0,22

Δl(m)

Wyznacz na podstawie wyników doświadczenia moduł Younga badanego materiału.

Właściwości hydrostatyczne cieczy

5.21. Na jakiej głębokości pod powierzchnią wody panuje ciśnienie hydrostatyczne równe ciśnieniu
atmosferycznemu p

= 101 325 Pa?

5.22.

Naczynie w kształcie sześcianu o krawędzi a = 20 cm wypełniono naftą o masie m = 4,8 kg.

Oblicz parcie na dno i panujące na dnie ciśnienie hydrostatyczne.

5.23.

R. Naczynie w kształcie sześcianu o krawędzi a = 1 m wypełniono wodą o masie m = 600

kg. Następnie wrzucono do naczynia bryłę lodu o masie m

= 100 kg. Oblicz parcie i ciśnienie na

dno naczynia przed i po wrzuceniu lodu.

5.24.

R. Naczynie w kształcie czworościanu o krawędzi a = 10 cm całkowicie wypełniono wodą.

Oblicz ciśnienie na dno naczynia i parcie na dno.

5.25.

Na rysunku 5.5 pokazano dwa naczynia, z których pierwsze wypełniono wodą, a drugie

naftą. Wysokość słupa wody wynosi h

= 20 cm. Jaka musi być wysokość słupa nafty, aby

ciśnienia hydrostatyczne na dno obu naczyń były jednakowe?

5.26. Parcie na dno naczynia (rys. 5.6) o powierzchni S

= 20 cm

jest spowodowane ciśnieniem

hydrostatycznym i parciem tłoka o powierzchni S

= 4 cm

. Tłok obciążono odważnikiem, którego

ciężar wraz z parciem wywieranym przez ciśnienie atmosferyczne wywiera siłę nacisku F = 60
N. Wysokość słupa wody w naczyniu wynosi h = 2m. Jakie jest całkowite parcie wywierane na
dno naczynia?

5.27.

Do dwóch naczyń, użytych w zad. 5.25 (rys. 5.5), wlano jednakową masę m = 1 kg wody.

Oblicz ciśnienie i parcie na dno naczynia w obu przypadkach. Pole powierzchni naczynia z wodą
2S = 20 cm

, a z naftą S=10 cm

5.28.

W. Sześcian o krawędzi a = 1 m pływał swobodnie całkowicie zanurzony w wodzie, tak że

jego górna powierzchnia stykała się z powierzchnią wody. Oblicz siłę parcia spowodowaną ciśnieniem
hydrostatycznym, działającą na podstawę tego sześcianu. Jaki jest ciężar sześcianu?

5.29.

Jakiej siły należy użyć, aby utrzymać przy powierzchni dna sześcian o krawędzi a = 0,2 m,

wykonany z drewna o gęstości p

= 650 kg/m

, aby po zanurzeniu w nafcie nie wypłynął na

powierzchnię?

5.30. Jakiej siły należy użyć, aby utrzymać przy powierzchni dna sześcian o krawędzi a = 0,4 m,
wykonany z drewna o gęstości p

= 600 kg/m

, aby po zanurzeniu w wodzie wystawał tylko

= 0,05 m krawędzi?

5.31. Sześcian o krawędzi a = 1 m, wykonany z drewna o gęstości p

= 600 kg/m

, zanurzono raz w

wodzie, a drugi raz w nafcie. Oblicz, o ile głębiej zanurzy się on w nafcie.

5.32. Sześcian o krawędzi a = 0,2 m, wykonany z drewna o gęstości p

= 600 kg/m

zanurzono w wodzie.

Górną ścianę sześcianu obciążono stalowym ciężarkiem, tak że ściana ta znajduje się na wysokości
powierzchni wody. Jaka była masa ciężarka?

(M-F) 5.33. R. Sześcian o krawędzi a = 0,2 m, wykonany z drewna o gęstości p

= 600 kg/m

zanurzono w wodzie. Pod sześcianem, do dolnej ściany, przymocowano stalowy ciężarek o takiej masie,
w ten sposób, że górna ściana sześcianu znajduje się na wysokości powierzchni wody. Jaka była masa
ciężarka?

5.34. Aluminiową kulę o promieniu R = 0,1 m wydrążono wewnątrz, tworząc współśrodkową
pustą kulę. Po wrzuceniu do wody kula pływa zanurzona całkowicie. Oblicz promień wydrążenia.

(M-F) 5.35. R. Dwa odważniki: aluminiowy i stalowy o masie m = 0,2 kg każdy przyczepiono
do belki wagi (rys. 5.7). Po zanurzeniu w wodzie równowaga została zakłócona. Jaki ciężarek i po
której stronie należy przyczepić, aby przywrócić równowagę?

(M-F) 5.36. Dwa odważniki: aluminiowy o masie m

= 0,1 kg i stalowy o nie znanej masie

zostały przyczepione do belki wagi. Po zanurzeniu w wodzie waga była w równowadze. Jaka była
masa stalowego odważnika?

5.37.

Pewne ciało, które w powietrzu ma ciężar Q = 20 N, po zanurzeniu w wodzie doznaje

siły wyporu F

= 1,77 N. Oblicz gęstość tego ciała.

5.38.

Pewne ciało zawieszono na siłomierzu. Dokonano odczytu w powietrzu i po zanurzeniu

ciała w nafcie. W nafcie wskazania były o 398 N mniejsze. Oblicz objętość tego ciała. Jak zmieniłyby
się wskazania siłomierza, gdyby zanurzono ciało zamiast w nafcie - w wodzie?

5.39.

Metalowy sześcian o krawędzi a = 4 cm zawieszono na siłomierzu. W powietrzu ważył

on Q = 1,7 N, a po zanurzeniu w nie znanej cieczy Q' = 1 N. Jaka jest gęstość metalu, z którego
zbudowano sześcian i gęstość nie znanej cieczy?

5.40. Pewne ciało miało ciężar w powietrzu Q = 20,5 N, w wodzie Q' = 13,75 N. Jaki ciężar miałoby to

ciało po zanurzeniu w cieczy o gęstości p = 800 kg/m

5.41. Do dużego naczynia z wodą nalano nafty, tak że utworzyła ona na powierzchni wody warstwę

grubości d = 0,1 m. Następnie do naczynia włożono sześcian o krawędzi a = 0,6 m wykonany z
materiału o gęstości p

= 900 kg/m

. Jak wysoko ponad powierzchnię nafty wynurza się ten sześcian?

5.42.

Do dużego naczynia z rtęcią nalano wody, tak że utworzyła ona na powierzchni rtęci

warstwę grubości d= 0,1 m, następnie do naczynia włożono stalowy sześcian o krawędzi a = 0,3 m.
Jaką siłą skierowaną do dołu należałoby działać na górną powierzchnię sześcianu, aby górna
powierzchnia wystawała z wody jedynie a

= 0,02 m?

5.43.

R. Do naczynia połączonego w kształcie litery U nalano rtęci i wody. Słupek wody ma

powierzchnię swobodną o Δh = 0,46 m wyżej niż rtęci. Oblicz całkowitą długość słupka wody.

5.44. Do naczynia połączonego w kształcie litery U nalano wody i nafty (rys. 5.8). Suma długości
obu słupów: wody i nafty wynosi h = h

= 0,9 m. Jaka jest wysokość słupów poszczególnych cieczy?

Przemiana izotermiczna gazów

5.45. R. Naczynie zamknięte tłokiem zawiera powietrze pod ciśnieniem p

= 10

Pa. Objętość

naczynia zmniejszono dwukrotnie. Podczas tego procesu ciśnienie wzrosło k = 1,5 raza. Obawiano się,
że podczas tego procesu, na skutek nieszczelności tłoka uciekło trochę gazu. Czy podejrzenia były
słuszne? Temperatura gazu nie uległa zmianie.

5.46. Podczas doświadczenia Torricellego wykonywanego w laboratorium położonym wysoko w górach
długość słupka rtęci wynosiła h = 0,66 m. Oblicz panujące tam ciśnienie atmosferyczne.

5.47. Powietrze znajduje się w zbiorniku o pojemności V

= 0,06m

pod ciśnieniem p

= 4 • 10

Pa. O jakiej objętości dodatkowy zbiornik należałoby do niego dołączyć, aby ciśnienie spadło do p

= 3 ·

Pa?

5.48. R. Na podstawie prawa Boyle'a i Mariotte'a wyprowadź wzór p/ρ = const.

5.49. Gęstość powietrza o ciśnieniu p

= 101 325 Pa i temperaturze 20°C wynosi p

= 1,20 kg/m

. Jaką

masę ma powietrze zawarte w oponie samochodowej o objętości V = 4 dm

, jeśli przy tej samej

temperaturze t = 20°C ciśnienie wynosi p

= 3 • 10

Pa?

5.50.

W zbiorniku o objętości V=0,1 m

znajdowało się pod ciśnieniem p

= 2 · 10

Pa, m = 3,6

kg dwutlenku węgla. Jaką gęstość będzie miał ten gaz, jeśli jego temperatura nie ulegnie zmianie, a
ciśnienie osiągnie wartość ciśnienia atmosferycznego?

5.51.

R. Cienką rurkę szklaną długości l= 1 m, z zasklepionym dolnym końcem, ustawiono

pionowo. W rurce znajdował się słupek powietrza długości l

= 0,5 m zamknięty od góry słupkiem rtęci.

Długość słupka rtęci h = 0,15 m. Oblicz długość słupka powietrza, gdy położenie rurki zmienimy i
ustawimy ją:

a)poziomo,
b)

pionowo, zamkniętym końcem do góry,

ukośnie, zamkniętym końcem do dołu tworząc z pionem kąt α = 30°.

5.52. Długą szklaną rurkę z zasklepionym jednym końcem położono poziomo. Rurka zawiera słup

powietrza długości l = 2 m, zamknięty słupem wody długości h = 1 m. Jaka będzie długość słupa
powietrza, gdy rurkę ustawimy pionowo:

a) otwartym końcem do góry,
b) otwartym końcem do dołu?

5.53.

Cienką szklaną rurkę długości l = 1 m szczelnie zatkano od góry, a następnie utrzymując

położenie pionowe zanurzono w naczyniu z rtęcią. Po zanurzeniu do połowy rurki, zauważono, że
poziom rtęci w rurce jest o l

= 0,25 m niższy aniżeli w naczyniu. Czy na podstawie tych wyników

możemy obliczyć ciśnienie atmosferyczne?

5.54.

Zbiornik powietrza w kształcie cylindra jest zamknięty tłokiem o powierzchni S = 0,02 m

Gdy tłok jest obciążony odważnikiem o masie m = 22 kg, znajduje się w odległości H = 1 m od dna.
Zbiornik jest połączony z manometrem rtęciowym (patrz rys. 5.2). Jaka jest różnica poziomów rtęci
w manometrze wskazująca nadciśnienie panujące w zbiorniku? O ile przesunie się tłok, jeżeli dołożymy
drugi taki sam odważnik, a temperatura nie ulegnie zmianie?

(M-F) 5.55. R. Cienką szklaną rurkę długości l = 1 m włożono pionowo do naczynia z rtęcią i
zanurzono ją do 2/3 l długości. Następnie rurkę szczelnie zatkano od góry i wysunięto o 1/3 l do góry.
Poziom rtęci w rurce był nieco wyższy niż w naczyniu. Oblicz tę różnicę poziomów.

Uwaga: Zadanie wymaga znajomości rozwiązania równania kwadratowego i, ze względu na uciążliwość
obliczeń, użycia kalkulatora!

(M-F) 5.56. Cienką szklaną rurkę długości l= 1m włożono pionowo do naczynia z wodą, zanurzając tak,

że wystawała tylko część długości l

= 0,1 m. Następnie rurkę szczelnie zatkano u góry i wysunięto z

wody. Część wody wypłynęła z rurki. Jaki słupek wody pozostał w rurce?

Uwaga jak w zadaniu poprzednim!

(M-F) 5.57. Cienką szklaną rurkę długości l = 0,8 m włożono do naczynia z rtęcią i zanurzono ją do l

0,3 m długości. Następnie rurkę szczelnie od góry zatkano i wysunięto z rtęci, a potem obrócono do
położenia poziomego. Oblicz długość słupka powietrza zamkniętego rtęcią.

6. TERMODYNAMIKA

Pierwsza zasada termodynamiki

6.1. Napisz odpowiednią postać pierwszej zasady termodynamiki dla następujących przypadków:

intensywnie piłujemy kawałek metalu, równocześnie lekko chłodzimy powietrzem,

w deszczowy dzień samochód zahamował po uruchomieniu hamulców. Woda z deszczowych

kałuż tak zmoczyła hamulce, że nie spostrzegamy wzrostu ich temperatury,

w upalny dzień samochód zahamował. Po zatrzymaniu się spostrzegamy mocne nagrzanie się
hamulców,

po naciśnięciu zaworu zbiornika z gazem pod ciśnieniem stwierdziliśmy, że wylatujący gaz ma

niższą temperaturę.

6.2.

O ile stopni ogrzeje się podczas zderzenia z powierzchnią ziemi kawałek stali zrzucony z

wysokości h = 100 m, jeżeli założymy, że połowa uzyskanej energii spowoduje wzrost energii
wewnętrznej stali, a reszta ulegnie rozproszeniu.

6.3.

Nad V = 0,5 m

wody wykonano W= 31425 kJ pracy. Ile trzeba dostarczyć dodatkowo ciepła,

aby temperatura tej wody wzrosła o Δt = 30°C?

6.4. Ciało zbudowane z substancji o cieple właściwym c = 1020 J/kg·K rozpędzono i uderzono nim
w twardą przeszkodę. W wyniku zderzenia połowa energii mechanicznej uległa rozproszeniu, a druga

połowa spowodowała podgrzanie ciała. Jaką prędkość miało ciało, jeżeli zaobserwowaliśmy wzrost
temperatury o Δt = 2 K?

6.5. Kawałek aluminium o masie m = 2 kg rozpędzony do prędkości v = 80 m/s zderzył się z przeszkodą. W

wyniku zderzenia 60% uzyskanej energii mechanicznej spowodowało podgrzanie aluminium. Ile ciepła

należałoby dostarczyć, aby bez zderzenia uzyskać taki sam wzrost temperatury?

6.6. R. Ile ciepła należałoby dostarczyć do kawałka potasu o masie m = 195 g, aby go ogrzać od
temperatury t

= 0°C do t

= 40°C? Masa molowa potasu μ = 39 g/mol.

6.7. W. Ciepło właściwe pewnego metalu wynosi c = 387 J/kg · K. Jaka jest masa molowa tego metalu?

Ciepło topnienia i parowania

6.8.

Kawałek lodu w temperaturze t

= - 40°C i o masie m = 1 kg zamieniono w parę o temperaturze

= 120°C. Ile zużyto do tego procesu energii?

6.9.

R. Porównaj ciepło potrzebne do ogrzania m = 1 kg wody od temperatury topnienia lodu t

0°C do temperatury wrzenia wody t

= 100°C z ciepłem potrzebnym do wyparowania tej wody w

temperaturze wrzenia.

6.10. Porównaj ciepło potrzebne do ogrzania m = 1 kg lodu od temperatury t

= - 100°C do

temperatury topnienia t

= 0°C z ciepłem potrzebnym do stopienia tego lodu.

6.11. R. Kawałek lodu o masie m = 10 kg i temperaturze t

= -100°C ogrzano i zamieniono go

w parę o temperaturze t

= 200°C. Narysuj wykres zależności temperatury od czasu dla tego procesu.

(Zakładamy, że ciepło jest dostarczane proporcjonalnie do czasu.) Oblicz kolejno dostarczone ciepła
i uporządkuj od największego do najmniejszego.

6.12. W. Do kalorymetru zawierającego pewną ilość lodu w temperaturze topnienia wlano m

= 2 kg

wody o temperaturze t

= 40°C tak, że cały lód uległ stopieniu. Temperatura kalorymetru podczas

całego doświadczenia była stała. Jaka była masa lodu w kalorymetrze?

6.13.

Do aluminiowego kalorymetru o masie m

= 0,1 kg zawierającego m

= 0,5 kg wody o

temperaturze t

= 50°C wlano m

= 1 kg alkoholu etylowego o temperaturze t

= 10°C. Jaka będzie

temperatura końcowa mieszaniny?

6.14.

Do aluminiowego kalorymetru o masie m

= 0,1 kg zawierającego m

= 1 kg wody o

temperaturze t

= 50°C wrzucono kostkę lodu o temperaturze t

= 0°C i masie m

= 0,2 kg. Jaka będzie

temperatura końcowa?

6.15.

Do aluminiowego kalorymetru o masie m

= 0,12 kg zawierającego m

= 1,5 kg wody o

temperaturze t

= 60°C wrzucono kostkę lodu o temperaturze t

= 0°C. Po całkowitym stopieniu lodu

okazało się, że temperatura końcowa wynosi t

= 0°C. Oblicz masę wrzuconego lodu.

6.16.

Uczniowie pewnej szkoły nie dysponując termometrem, chcieli wyznaczyć ciepło topnienia

lodu. W kalorymetrze umieścili wodę z lodem. Dokładnie w chwili, gdy lód się stopił (woda miała wtedy
0°C) wrzucono kostkę lodu o masie m

= 0,12 kg. W innym naczyniu, we wrzącej wodzie (100°C)

zanurzono niewielkie kulki aluminiowe. Następnie kulki wrzucano do wody z lodem dotąd, aż kostka
lodu stopiła się całkowicie. Niezbędna masa kulek wynosiła m

= 0,49 kg. Jakie otrzymali ciepło

topnienia lodu?

6.17.

R. Do aluminiowego kalorymetru o masie m

= 0,1 kg zawierającego m

= 0,6 kg wody o

temperaturze t

= 40°C wrzucono kostkę lodu o temperaturze t

= - 30°C. Podczas wymiany ciepła woda

w kalorymetrze oziębiła się i częściowo zamieniła się w lód. Oblicz masę wrzuconego lodu, gdy wiadomo,
że po zajściu wszystkich procesów w kalorymetrze został lód i m

= 0,4 kg wody.

(M-F) 6.18. R. Do kalorymetru zawierającego mieszaninę wody z lodem w stosunku m

: m

= 2:1

wrzucono kostkę lodu ochłodzonego do temperatury t

= - 20°C o masie m

= 1 kg. Przy końcu do-

świadczenia okazało się, że masa końcowa wody i lodu była jednakowa. Oblicz masę początkową wody i
lodu.

6.19. Do kalorymetru zawierającego mieszaninę m

= 1 kg wody i m

= 0,5 kg lodu, wrzucono kostkę

lodu o temperaturze t = - 20°C. Jaka może być największa masa kostki lodu, aby temperatura w kalo-
rymetrze nie uległa zmianie?

(M-F) 6.20. R. Do aluminiowego kalorymetru o masie m

= 0,1 kg zawierającego m

= 1 kg wody o

temperaturze t

= 20°C wpuszczono m

= 0,02 kg pary wodnej o temperaturze t

= 100°C. Ile wynosi

temperatura końcowa?

(M-F) 6.21. Do kalorymetru zawierającego mieszaninę m

= 0,2kg wody i m

= 0,5 kg lodu wpuszczono m

= 0,03 kg pary wodnej o temperaturze t

= 100°C. Jaka będzie po skropleniu się pary wodnej masa

końcowa wody, a jaka lodu?

(M-F) 6.22. Do kalorymetru zawierającego mieszaninę m

= 0,3 kg wody i m

= 0,6 kg lodu

wpuszczono parę wodną o temperaturze t

= 100°C. Oblicz masę skroplonej pary, jeżeli wiemy, że po

całym doświadczeniu masa wody się podwoiła.

(M-F) 6.23. R. Do kalorymetru zawierającego mieszaninę wody z lodem w stosunku m

: m

= 1:3

wpuszczono m

= 0,01 kg pary wodnej o temperaturze t

= 100°C. Po ukończeniu doświadczenia

okazało się, że stosunek wody do lodu zmienił się i wynosi 3:1. Oblicz masę początkową wody i lodu.

(M-F) 6.24. W. Z jakiej wysokości należałoby zrzucić bryłkę lodu o temperaturze t = 0°C, aby podczas
uderzenia o podłoże 1 % jej masy uległ stopieniu? Zakładamy, że tylko 33% energii mechanicznej bryłki
jest zużyte w procesie topnienia.

(M-F) 6.25. Do aluminiowego kalorymetru o masie m

= 0,1 kg zawierającego m

= 0,6 kg wody i m

0,4 kg lodu wpuszczono parę wodną o temperaturze t

= 100°C. Temperatura końcowa wyniosła t

50°C. Oblicz masę wpuszczonej pary.

(M-F) 6.26. Do kalorymetru zawierającego m

= 2 kg i m

= 1 kg lodu wpuszczono parę wodną o

temperaturze t

= 100°C. Jaka może być największa masa pary wodnej, aby temperatura końcowa

mieszaniny w kalorymetrze była równa temperaturze początkowej?

(M-F) 6.27. Do aluminiowego kalorymetru o masie m

= 0,1 kg, zawierającego m

= 0,5 kg wody o

temperaturze t

= 40°C wrzucono m

= 5 kg kulek aluminiowych ogrzanych do temperatury t

= 200°C.

Oblicz masę wody, która wyparuje podczas tego doświadczenia.

Przemiany gazowe: izobaryczna i izochoryczna. Równanie Clapeyrona.

6.28.

Pewna masa gazu jest zamknięta w stałej objętości w temperaturze t

= 0°C i ma ciśnienie p

= 10

Pa. Jakie ciśnienie będzie panować w temperaturze t

= 91°C?

6.29.

W. Pewna masa gazu zamknięta w naczyniu o stałej objętości w temperaturze t

= 182°C

miała ciśnienie p

= 5 · 10

Pa. Jakie będzie ciśnienie w tym naczyniu, gdy oziębimy wszystko do

= - 182°C?

6.30.

R. W pionowo ustawionej cienkiej szklanej rurce, zamkniętej z jednego końca znajdowała się

kropla rtęci (rys. 6.5). W temperaturze t

= 27°C długość słupka powietrza wynosiła l

= 0,9 m. Jaka

będzie długość słupka powietrza, jeśli rurkę oziębimy o Δt = 50°C?

6.31.

W pionowo ustawionej cienkiej szklanej rurce, zamkniętej z jednego końca znajdowała się

kropla rtęci. Po włożeniu rurki do wody z lodem słupek powietrza miał długość l

= 0,75 m. Jaką

długość będzie miał słupek powietrza po zanurzeniu rurki we wrzącej wodzie?
6.32.

W rurce podobnej do użytej w zadaniu poprzednim słupek powietrza w temperaturze t

= 30°C

miał długość l

. Jaka powinna być temperatura rurki, aby długość słupka powietrza wyniosła l

= 2/3

6.33. R. Uczniowie chcieli wyznaczyć najniższą temperaturę (temperaturę zera bezwzględnego). Użyli do
tego cienkiej szklanej rurki ustawionej pionowo, z zasklepionym dolnym końcem, wypełnionej
powietrzem i zamkniętej od góry kroplą rtęci. W temperaturze t

= 32°C długość słupka

powietrza wynosiła l

= 0,53 m, natomiast w t

= 68°C, długość osiągnęła wartość l

= 0,60 m. Jaką

najniższą temperaturę otrzymali na podstawie tych pomiarów?

6.34. Pionowo ustawiony cylinder był przykryty szczelnym i poruszającym się bez oporów tłokiem
obciążonym odważnikiem o masie m (rys. 6.6). Cylinder podgrzano do dwukrotnie wyższej
temperatury (w skali bezwzględnej) i równocześnie dołożono dodatkowo dwa takie same odważniki.
Załóż, że całe doświadczenie odbywa się bez działania ciśnienia atmosferycznego (w próżni) i oblicz
stosunek objętości końcowej do początkowej zamkniętego pod tłokiem gazu.

6.35. Pionowo ustawiony cylinder był przykryty szczelnym i poru-
szającym się bez oporów tłokiem. Tłok znajdował się na wysokości
h

= 0,3 m (rys. 6.7). Pole powierzchni tłoka jest równe S. Tłok ob-

ciążono odważnikiem o masie m = 20 kg. O ile podniesie się tłok, gdy
zwiększymy temperaturę gazu od T

= 273 K do T

= 409 K, a tłok

obciążymy dodatkowo odważnikiem o masie Δm = 5 kg? Zakładamy,
że doświadczenie zachodzi w próżni.

6.36. W. W warunkach normalnych gęstość helu wynosi ρ

= 0,178

kg/m

. Jaką gęstość ma hel w temperaturze t

=127°C i podciśnieniem

takim, jakie panuje w warunkach normalnych (p

= 101325Pa)?

6.37. Pewna masa powietrza zajmowała w warunkach normalnych
objętość V

= 1 m

. Jaką objętość zajmie to powietrze po zwiększeniu

temperatury o ΔT = 227 K i ciśnienia o Δp = 25 331 Pa?
6.38. Mol gazu w warunkach normalnych zajmuje objętość V

22,4 dm

. Jakie będzie ciśnienie, jeżeli naczynie zawierające dwa mole

gazu w warunkach normalnych zmniejszymy o ΔV=10 dm

podgrzejemy do temperatury T

= 300 K?

6.39.

R. Balon o objętości V = 300 m

został napełniony helem o

temperaturze t = 20°C i przy ciśnieniu p = 10

Pa. Wznosząc się na

pewną wysokość, zauważyliśmy wzrost objętości balonu o ΔV = 30
m

. Zakładamy, że temperatura wynosi t

= -50°C, a ciśnienie

wewnątrz i na zewnątrz balonu jest takie samo. Jakie panuje tam
ciśnienie?

6.40.

W. Oblicz liczbę moli i masę helu wypełniającego balon,

którego parametry podano w poprzednim zadaniu. Masa molowa helu
μ = 4 g/mol.

6.41. Oblicz gęstość tlenku węgla i dwutlenku węgla w warunkach
normalnych. Masy molowe wynoszą odpowiednio: μ

= 28 g/mol,

CO2

= 44 g/mol.

(M-F) 6.42. W warunkach normalnych dwutlenek węgla ma gęstość
p

= 1,97 kg/m

. Obliczyć gęstość i masę dwutlenku węgla w naczyniu o

pojemności V = 20 dm

w temperaturze T = 300 K i przy ciśnieniu p =

2 • 10

Pa.

6.43. Oblicz wartość stałej wyrażenia pV/T = const = ? dla m =

2 g helu. Masa molowa helu μ = 4 g/mol.

6.44.

R. Oblicz ciepło molowe helu i wodoru (przy stałej

objętości). Przyjmij, że do ogrzania dwóch moli każdego z
gazów (tj. m

= 8 g i m

= 4 g)

stałej objętości o ΔT = 100 K

potrzeba: dla helu Q

He(V)

= 2493 J ciepła, dla wodoru Q

H2(V)

= 4155 J.

6.45.

Oblicz ciepło właściwe i molowe wodoru i tlenu. Przyjmij, że

do ogrzania trzech moli każdego z gazów (tj. m

= 6 g i m

= 96 g) w

stałej objętości od t

= 27°C do t

= 77°C są potrzebne jednakowe

ilości ciepła, a mianowicie Q

= 3100 J.

6.46.

Oblicz ciepło właściwe i molowe przy stałej objętości i przy

stałym ciśnieniu tlenu. Przyjmij, że podgrzewając o ΔT =100 K
n = 2 mole, czyli m = 64 g, gazu przy stałej objętości zużywamy
Q

= 4150 J ciepła, a przy stałym ciśnieniu Q

= 5820 J.

6.47.

W. Oblicz przybliżoną wartość wskazującą, ile razy większe

jest ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu od ciepła właściwego przy
stałej objętości dla:
a) helu (C

H e ( V )

= 12,47 J/mol · K )

wodoru (C

H2( V )

= 20,38 J/mol · K )

tlenu (C

O2(V)

= 20,88 J/mol · K )

d) dwutlenku węgla (C

CO2(V)

= 27,83 J/mol · K ).

6.48. Oblicz przybliżoną wartość różnicy wskazującą, o ile ciepło

właściwe przy stałym ciśnieniu jest większe od ciepła właściwego przy
stałej objętości dla:

a) neonu (μNe = 20 g/mol),

b) wodoru (μH

= 2 g/mol),

c) a z ot u ( μ N

= 2 8 g/ mol)

d) ozonu (μO

= 48 g/mol)

6.49. Pionowo ustawiony cylinder był przykryty szczelnym i poru-
szającym się bez oporów tłokiem. Tłok znajdował się pierwotnie na
wysokości h

= 0,3 m. Pole powierzchni tłoka S = 0,2 m

. Tłok po

obciążeniu odważnikiem wywierał ciśnienie p = 1,2 · 10

Pa. Jaką pracę

wykona gaz, gdy podczas ogrzewania podniesie się tłok na wysokość
h

= 0,5 m? Ile ciepła należy dostarczyć podczas ogrzewania, jeżeli

przyrost energii wewnętrznej ΔE

= 12 kJ?

6.50.

R. Jaką pracę wykonał hel w przemianie izobarycznej, jeśli

przy ciśnieniu p= 1 0

Pa objętość wzrosła od V

= 0,1 dm

do V

= 0,4 dm

? Jaki był równocześnie przyrost energii wewnętrznej i

dostarczone ciepło?

6.51.

Jeden mol helu poddano przemianie izobarycznej powodując

wzrost jego temperatury od T

= 300 K do T

= 500 K przy stałym

ciśnieniu p. Jaki był wtedy przyrost energii wewnętrznej helu i jaką
wykonał pracę? Ciepło molowe przy stałej objętości dla helu wynosi
C

(V)

= 12,47 J/ mol · K.

6.52. Pewną ilość dwutlenku węgla poddano przemianie
izobarycznej. Podczas tego doświadczenia przyrost energii

wewnętrznej wyniósł ΔE

= 14 050 J. Oblicz wykonaną przez

dwutlenek węgla pracę i pobrane ciepło. Ciepło molowe przy stałym
ciśnieniu dwutlenku węgla C

CO2(V)

= 28,17 J/ mol · K.

6.53. Jeden mol gazu poddano przemianie 1-2 (rys. 6.8). W punkcie
początkowym 1 parametry gazu wynosiły p

= 10

Pa i T

= 300K.

Oblicz początkową i końcową objętość gazu. Narysuj wykres p =f(V)
i V = f(T) dla tej przemiany.

6.54. Pół mola gazu poddano przemianie 1-2-3 (rys. 6.9). W punkcie
początkowym parametry gazu wynosiły p

= 1000 Pa i T

= 300 K.

Oblicz parametry punktu końcowego. Narysuj wykres p =f(V) i
V = f(T) dla tej przemiany.

6.55. R. 8 g tlenu zostało poddane przemianie 1-2-3-4 (rys. 6.10).
Parametry końcowe wynosiły: p

= 10

Pa i V

= 0,012 m

. Oblicz

parametry punktu początkowego gazu. Narysuj wykresy
p=f(T) i V = f(T) dla tej przemiany.

6.56. Mol azotu poddano przemianie 1-2-3-4 (rys. 6.11). Parametry
punktu 3 wynoszą: V

= 0,02 m

i T

= 819 K. Oblicz parametry

początkowe gazu. Narysuj wykresy p = f(V) i p =f(T) dla tej
przemiany.

6.57. Pewną masę tlenu poddano przemianie 1-2, której przebieg
przedstawiono na rys. 6.12. Przyjmij, że p

= 10

Pa, T

= 300

K i V

= 0,1 m

i oblicz temperaturę końcową i przyrost energii

wewnętrznej gazu. Ciepło molowe tlenu przy stałej objętości
wynosi Co

2(v)

= 20,88 J/mol · K.

6.58.

W. Dwa mole tlenu poddano przemianie 1-2, której przebieg

przedstawiono na rys. 6.13. Parametry początkowe tlenu wynoszą:
p

= 10

Pa, V

= 0,1 m

. Oblicz temperaturę końcową tlenu i pracę

przez niego wykonaną.

6.59.

Pewną masę gazu poddano przemianie 1-2-3, której przebieg

przedstawiono na rys. 6.14. Parametry punktu 1 są następujące:
p

= 10

Pa, T

= 300 K, V

= 0,1 m

. Oblicz parametry punktu

3oraz całkowitą wartość pracy wykonanej przez gaz w tej przemianie.

6.60. Trzy mole tlenu poddano kolejno dwóm przemianom: 1-2-3 i 1-
4-3. Sposób obu przemian podano na rys. 6.15. Parametry punktu
początkowego są następujące: p

= 10

Pa, V

= 0,2 m

. Oblicz pa-

rametry wszystkich punktów i ciepło dostarczone podczas obu prze-
mian. Ciepło molowe tlenu przy stałej objętości wynosi Co

2(V)

20,88 J/mol · K.

(M-F) 6.61. R. Dwa mole gazu znajdujące się pod ciśnieniem p

= 4/3

Pa i zajmujące objętość V

= 0,1 m

poddano kolejno dwóm

przemianom: izotermicznej, w której objętość wzrosła o 1/3 V

izobarycznej, w której kolejny przyrost objętości był dwukrotnie
większy niż w przemianie izotermicznej. Oblicz objętość, ciśnienie i
temperaturę końcową gazu.

(M-F) 6.62. Mol gazu znajdujący się pod ciśnieniem p

= 10

Pa i

temperaturze T

= 273 K poddano kolejno dwóm przemianom: izo-

chorycznej, w której ciśnienie wzrosło o Δp = 0,5 p

i izotermicznej,

w której ciśnienie spadło o dwukrotnie większą wartość niż wzrosło
w przemianie izobarycznej. Oblicz parametry końcowe gazu.

(M-F) 6.63. R. Dwa mole gazu o cząsteczkach jednoatomowych
znajdowały się w warunkach normalnych (p

= 101325 Pa i T

= 273 K).

Gaz poddano przemianom: izobarycznej - zwiększając temperaturę o
ΔT = 546 K i izochorycznej. Ciepło dostarczone w przemianie
izochorycznej było takie samo, jak w izobarycznej. Oblicz parametry
końcowe gazu. Do obliczeń należy przyjąć teoretyczną wartość ciepła
molowego przy stałej objętości dla gazów o cząsteczkach
jednoatomowych Cv =3/2 R.

(M-F) 6.64. Mol gazu o cząsteczkach dwuatomowych znajdował się
w warunkach normalnych. Gaz poddano kolejno dwóm przemianom:
izochorycznej - zwiększając temperaturę o ΔT = 70 K i izobarycznej, w
której dostarczone ciepło było takie samo jak w izochorycznej. Oblicz
parametry końcowe gazu. Do obliczeń należy przyjąć teoretyczną
wartość ciepła molowego przy stałej objętości dla gazów o
cząsteczkach dwuatomowych Cv =5/2 R.

(M-F) 6.65. Mol gazu o cząsteczkach trójatomowych znajdował się
w naczyniu o objętości V

= 11,2 dm

i temperaturze T

= 546 K. Gaz

poddano kolejno dwóm przemianom: izobarycznej, w której tem-
peratura wzrosła o ΔT =273 K i izochorycznej, w której przyrost
energii wewnętrznej był równy pracy wykonanej w przemianie izoba-
rycznej. Oblicz parametry końcowe gazu.

Do obliczeń należy przyjąć teoretyczną wartość ciepła molowego

przy stałej objętości dla gazów o cząsteczkach trójatomowych Cv = 3R..

6.66. R. Jeden mol gazu został poddany przemianie 1-2 pokazanej na
wykresie V = f(T) (rys. 6.16). Parametry początkowe punktu 1 wy-
noszą: V

= 0,05 m

i T

= 300 K. Narysuj wykres p =f(V) dla tej

przemiany. Oblicz pracę wykonaną przez gaz.

6.67.

Dwa mole gazu zostały poddane przemianie 1-2-3 pokazanej na

wykresie p =f(T) (rys. 6.17). Parametry początkowe punktu 1 wynoszą:
p

= 10

Pa i T

= 300 K. Narysuj wykres p =f(V) dla tej przemiany.

Oblicz pracę wykonaną przez gaz.

(M-F). 6.68. Mol gazu o cząsteczkach dwuatomowych został poddany
przemianie 1-2-3 pokazanej na wykresie V = f(T) (rys. 6.18). Parametry
początkowe punktu 1 wynoszą V

= 11,2 dm

i T

= 273 K. Oblicz pracę

i ciepło całkowite tej przemiany.

(M-F) 6.69. W. Gaz o cząsteczkach dwuatomowych mający po-
czątkowo objętość V

= 0,01 m

, w temperaturze t

= - 1°C i pod

ciśnieniem p

= 2 · 10

Pa poddano przemianie 1-2 pokazanej na wy-

kresie p = f(V) (rys. 6.19). Oblicz pracę, przyrost energii wewnętrznej
i ciepło dostarczone podczas tej przemiany.

Druga zasada termodynamiki. Silniki

6.70.

Silnik cieplny wykonuje pracę W = 200 kJ i oddaje do

chłodnicy ciepło Q

= 300 kJ. Jaka jest sprawność tego silnika? Ile

pobiera ciepła z grzejnicy?

6.71.

Silnik cieplny pobiera z grzejnicy Q

= 16 kJ ciepła i z tego

¾ oddaje do chłodnicy. Oblicz pracę tego silnika i jego sprawność.

6.72.

R. Silnik cieplny wykonuje pracę potrzebną do rozpędzenia

samochodu o masie m = 1000 kg od prędkości v

= 0 do v

= 108 km/h

równocześnie oddając ciepło, które mogłoby stopić m

= 8 kg lodu.

Jaka jest sprawność cieplna tego silnika? Ciepło topnienia lodu
q

= 335 kJ/kg.

6.73.

Silnik Carnota ma chłodnicę o temperaturze T

= 400K, a

grzejnicę o temperaturze o ΔT = 200 K wyższej. Jaka jest sprawność
tego silnika.

6.74.

Silnik wykonał W = 150 kJ pracy. Sprawność jego wynosi

η = 30%. Oblicz wartość pobranego i oddanego przez silnik ciepła.

6.75.

Silnik wykonał pracę, podnosząc ciało o masie M = 1000 kg

na wysokość h = 150 m. Równocześnie oddał do chłodnicy tyle ciepła,
że spowodowało to wyparowanie w temperaturze t = 100°C masy
m = 3 kg wody. Oblicz sprawność tego silnika.

(M-F) 6.76. Cykl silnika został pokazany na rys. 6.20. Parametry
punktu 1 wynoszą: p

= 10

Pa, V

=0,2 m

. Oblicz pracę wykonaną

przez silnik o takim obiegu, ciepło pobrane i jego sprawność.
Czynnikiem roboczym jest wodór, czyli gaz o cząsteczkach
dwuatomowych.

Do obliczeń należy przyjąć teoretyczną wartość ciepła molowego
przy stałej objętości dla gazów o cząsteczkach jednoatomowych C

3/2 R, dla dwuatomowych C

= 5/2 R i trójatomowych C

= 3R.

(M-F) 6.77. R. Cykl silnika został pokazany na rys. 6.21. Parametry
punktu 1 wynoszą: p

= 1,2 · 10

Pa, V

= 0,1 m

. Przyjmujemy, że

gazem roboczym jest gaz o cząsteczkach dwuatomowych. Oblicz
pracę wykonaną przez silnik i jego sprawność. Jaką sprawność miałby,
wykorzystujący najwyższą i najniższą temperaturę obiegu, silnik
Carnota?

(M-F) 6.78. W. Cykl silnika został pokazany na rys. 6.22. Parametry
punktu 1 wynoszą V

= 0,02 m

i T

= 300 K. Przyjmujemy, że gazem

roboczym są dwa mole gazu o cząsteczkach dwuatomowych.

Przedstaw cykl tego silnika na wykresie p =f(V) i oblicz pracę
przez niego wykonaną.

6.79.

W. Idealny silnik Carnota pobiera ciepło z grzejnicy o

temperaturze t

= 200°C, a oddaje do chłodnicy o temperaturze t

= ½ t

. Oblicz sprawność tego silnika.

6.80.

R. Silnik Carnota pobiera ciepło z grzejnicy o

temperaturze t

= 300°C, a oddaje do chłodnicy o temperaturze o

Δt = 100°C niższej. Silnik pobiera Q

= 20 MJ ciepła. Jaką pracę

wykona ten silnik z pobranego ciepła?

6.81.

Silnik Carnota wykonuje pracę powodującą

podniesienie ciężaru o masie m = 1 t na wysokość h = 10 m.
Pobiera ciepło w temperaturze T

= 600 K, a oddaje w

temperaturze T

= 400 K. Oblicz ciepło, które należy dostarczyć

do silnika na podniesienie tego ciężaru.

6.82.

Silnik Carnota otrzymuje ciepło ze spalenia m

= 100 kg

paliwa o cieple spalania c

= 1,5 · 10

J/kg. Oddaje natomiast

ciepło w temperaturze topnienia lodu, topiąc m

= 120 kg lodu. Oblicz

temperaturę grzejnicy.

6.83. Silnik Carnota pobiera ciepło ze skraplającej się pary w
temperaturze t

= 100°C, a oddaje do wody z lodem. Ile pary

powinno ulec skropleniu, jeśli oddane ciepło spowoduje
stopienie m

= 2 kg lodu?

Chłodziarki (Tematy fakultatywne)

6.84.

Chłodziarka pobiera W = 1 kJ pracy, a oddaje |Q

| = 1,2 kJ

ciepła do otoczenia. Oblicz sprawność obiegu chłodziarki i ciepło
pobrane z wnętrza.

6.85.

Chłodziarka pobiera Q

= 1,2 kJ ciepła zużywając przy tym

W = 3,6 kJ pracy. Oblicz sprawność obiegu chłodziarki i jej
techniczną skuteczność chłodzenia.

6.86.

Idealna chłodziarka pobiera ciepło z wnętrza o temperaturze

= 250 K, a oddaje w temperaturze o ΔT = 100 K wyższej. Ile ciepła

odda chłodziarka przy pobraniu Q

= 1 kJ ciepła?

6.87.

Ochłodzenie m = 1 kg wody od t

= 100°C do t

= 0°C

wymaga odprowadzenia do otoczenia pewnej ilości ciepła.
Ochłodzenie tej wody w chłodziarce wymaga włożenia pracy.
Oblicz tę pracę dla idealnej chłodziarki, w której temperatura
wnętrza T

= 240 K, a zewnętrznej części T

= 360 K.

6.88.

R. W idealnej chłodziarce zamarzła masa m = 0,2 kg wody.

Ile ciepła będzie oddane do otoczenia, jeżeli temperatura pobierania
ciepła wynosi T

= 250 K, a oddawania T

= 350 K?

6.89. „Pompa cieplna" pracująca jak idealny obieg chłodziarki
pobiera ciepło z ziemi w temperaturze T

= 250 K, a oddaje w

temperaturze T

= 373 K. Ile ciepła, które wykorzystujemy na

ogrzewanie, wydzieli się po dostarczeniu W = 1 kJ pracy?

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
5 Chem2 Zbiór zadań Odpowiedzi i wskazówki
Zbiór zadań
Zbiór zadań chemicznych dla geologów 12
138261 Zbior zadan 19
138261 Zbior zadan 10

więcej podobnych podstron