M E C H A N I K A ( S T A T Y K A )

Mechanika jest wyodrębnionym działem fizyki zajmującym się zagadnieniami równowagi,

opisem ruchu i odkształceń ciał rzeczywistych (ciał stałych, ciekłych i gazowych).

Mechanikę ciał stałych możemy podzielić na:

- mechanikę ciał sztywnych - nieodkształcalnych

- mechanikę ciał odkształcalnych (wytrzymałość
materiałów).

Mechanika ciał nieodkształcalnych dzieli się na:

- statykę,
- kinematykę,
- dynamikę

Statyka jest nauką o równowadze ciał, a także sił działających na rozpatrywane ciała.

Kinematyka - nazywana również geometrią ruchu, zajmuje się opisem ruchu ciał, bez uwzględnienia

przyczyn, które ten ruch powodują.

Dynamika - zajmuje się opisem ruchu ciał z uwzględnieniem przyczyn, które ten ruch powodują.
Stosowanie metod matematycznych opisu ciał rzeczywistych – zmusiło do wprowadzenia uproszczeń, jak:
- punkt materialny (jest to punkt geometryczny, któremu jest przypisana pewna masa),
- ciało doskonale sztywne (jest to takie ciało, w którym odległość między dwoma dowolnymi punktami

jest stała i nie ulega zmianie pod wpływem działania dowolnie dużych sił).

Siły działające na ciało dzielimy na: zewnętrzne, wewnętrzne.

Siły zewnętrzne z kolei dzielimy na:

- czynne (to siły, które obciążają dane ciało lub układ i starają się wprawić to ciało lub układ w ruch),
- bierne (tzw

. Reakcje -są to te siły, które przeciwdziałają ruchowi).

Siłami zewnętrznymi czynnymi
i biernymi mogą być:
- siły skupione,
- momenty skupione,
- obciążenia ciągłe.

Siły wewnętrzne, które występują w

rozpatrywanym przekroju konstrukcji, są spowodowane działaniem sił zewnętrznych czynnych.

Statyka zajmuje się ustaleniem warunków, jakie w ogólnym przypadku powinny spełniać

siły czynne i bierne, działające na punkt materialny lub ciało materialne sztywne, aby punkt
lub ciało znajdowały się w spoczynku względem przyjętego układu odniesienia.
Sposoby rozwiązań:
- metodami analitycznymi – najdokładniejszymi,
- metodami wykreślnymi – szczególnie przydatnymi dla układów płaskich, ale niezbyt dokładnymi,
- metodami analityczno – wykreślnymi, łączącymi dodatnie cechy obu poprzednich metod,
- metodami numerycznymi.

Rozważania w dziale mechaniki – statyka są oparte na wielu aksjomatach, zwanych

zasadami

statyki. Są one następujące:

I.

Zasada równoległoboku – dwie dowolne siły F

1

i

F

2

przyłożone do jednego punktu O można

zastąpić jedną siłą

W, przyłożoną do tego samego punktu i będącą wektorem, którego miarą jest

przekątna równoległoboku zbudowanego na wektorach sił składowych.

II.

Zasada równowagi dwóch sił – dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się wtedy,

gdy działają wzdłuż jednej prostej, mają jednakowe miary, lecz są przeciwnie skierowane.

III.

Zasada równoważności – działanie dowolnego układu sił przyłożonych do ciała sztywnego nie

ulegnie zmianie, jeśli dodamy do niego inny układ sił ale równoważny zeru (układ sił równoważących
się).

IV.

Zasada zesztywnienia – równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona

przez zmianę go na ciało sztywne. Zasada ta może być stosowana w ograniczonym zakresie i pod

pewnymi warunkami.

V.

Zasada akcji i reakcji - jeżeli ciało A działa na ciało B siłą F, to ciało B oddziałuje na ciało A taką

samą co do kierunku i modułu siłą

– F zwróconą przeciwnie.

VI.

Zasada oswobodzenia z więzów - każde ciało nieswobodne możemy uważać za swobodne, jeżeli

zamiast więzów przyłożymy do niego reakcje wywołane przez te więzy.

RACHUNEK WEKTOROWY

Wiadomości ogólne

W mechanice rozróżniamy dwa rodzaje wielkości: skalary i wektory.

Skalar - jest to wielkość, do określenia

której potrzebna jest jedna liczba (np.
masa, temperatura, praca).

Wektor - jest to wielkość do określenia

której trzeba podać liczbę, kierunek i zwrot
(np. prędkość, przyspieszenie, siła).

Prosta, na której leży wektor, nazywa się linią działania wektora. Wektor określony jest
następującymi elementami: linią działania, długością, zwrotem.. Wektor oznaczamy :

AB

,

a

Oznaczenie modułu: |

AB

|, |

a

|

Podział wektorów

Rozróżniamy trzy rodzaje wektorów:

- wektory związane z punktem (nieswobodne),
- wektory związane z prostą (liniowe),
- wektory swobodne.

Wektorem związanym z punktem

(nieswobodnym) nazywamy wektor, do

określenia którego należy podać:
- wielkość,
- prostą na której leży („linię działania”),
- zwrot na tej linii,
- położenie początku wektora (punkt zaczepienia).

Dwa wektory nieswobodne są sobie
równoważne, jeśli:
- mają jednakowe wielkości (moduły),
- leżą na tej samej prostej,
- mają ten sam zwrot,
- mają wspólny początek.

Wektorem związanym z prostą (liniowym)

nazywamy wektor, do określenia którego
należy podać:
- wielkość,
- linię działania,

- zwrot.

Dwa wektory liniowe są sobie równoważne,
jeśli:
- mają jednakowe wielkości (moduły),
- leżą na tej samej prostej,
- mają zgodne zwroty.

Wektorem swobodnym nazywamy wektor, do

określenia którego należy podać:
- wielkość,
- kierunek, czyli prostą w przestrzeni, do której

jest równoległy,

- zwrot.

Dwa wektory swobodne możemy uważać za
równoważne, jeśli:
- mają tę samą wielkość (moduł),
- są do siebie równoległe (w szczególności mogą

leżeć na tej samej prostej),

- mają ten sam zwrot.

Wektor, który ma ten sam kierunek co wektor dany, lecz którego moduł równa się

jedności, nazywa się wektorem jednostkowym
(wersor osi) i oznaczamy go przez:

i, j, k (w

zależności od osi współrzędnych).

Działania na wektorach -

dodawanie i

odejmowanie wektorów
Dodawanie dwóch wektorów

a

i

b

odbywa się wg

zasady równoległoboku przy czym sumę wektorów (czyli
sumę

geometryczną)

przedstawia

przekątna

równoległoboku.

c

=

a

+

b

,

c

2

= a

2

+ b

2

+ 2ab cos (

a

,

b

),

gdzie kąt (

a

,

b

) jest kątem między wektorami.

Wektor łączący początek pierwszego wektora z końcem
ostatniego jest sumą geometryczną danych wektorów

e

=

a

+

b

+

c

+

d

- konstrukcja nazywa się

wielobokiem wektorów.

Dodawanie wektorów podlega prawom przemienności, łączności oraz rozdzielności:
- prawo przemienności

a

+

b

=

b

+

a

,

- prawo łączności

a

+ (

b

+

c

) = (

a

+

b

) +

c

,

- prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania

m(

a

+

b

) =

m

a

+

m

b

.

Różnicą dwóch wektorów

a

i

b

nazywamy

wektor

d

, który otrzymamy przez dodanie do

wektora

a

wektora przeciwnego do wektora

b

(lub -

b

). sumę dwóch wektorów przedstawia jedna

przekątna równoległoboku, a różnicę druga.
Rzut wektora na oś
Rzutem wektora

AB

na oś

L

nazywamy wektor

'

' B

A

ograniczony rzutami prostopadłymi początku

A i końca B wektora na tę oś.

Rzut wektora oznaczamy w następujący sposób:

rzut

L

AB

= AB

L

=

A` B` = AB cosα,

gdzie

α jest kątem między wektorami

AB

i

L

o

, czyli kąt α =

(

AB

,

L

o

).

Kąt α między wektorem

AB

a osią

x zawsze odmierzamy w

kierunku od osi

x do osi y.

Wprowadzając pojęcie wektorów jednostkowych możemy
napisać:

x

a =

i

a

x

,

y

a

=

j

a

y

.

Na podstawie rysunku możemy napisać :

AB

=

AC

+

CB

A ponieważ

AB

=

a

,

AC

=

x

a ,

CB

=

y

a

,

więc

a

=

x

a +

y

a

lub przy użyciu wektorów jednostkowych:

a

= i

a

x

+

j

a

y

Wielkość wektora

a

obliczamy w następujący sposób:

|

a

| =

a = a

x

2

+ a

y

2

Do określenia położenia wektora

a

służą następujące

wzory:

tg

α =

a

y

a

x

cos

α =

a

x

a =

a

x

a

x

2

+ a

y

2

sin

α =

a

y

a =

a

y

a

x

2

+ a

y

2

Znając kąt α znamy nie tylko prostą, do której wektor

a

jest równoległy, lecz również jego

zwrot. Inaczej: kąt α określa położenie wektora

a

.

Z powyższego określenia wynika, że rzut wektora na oś jest wektorem, natomiast miara
skalarem, przy czym skalar ten może być dodatni lub ujemny w zależności od tego, czy kąt α
jest mniejszy lub większy od 90°.

Z podanych związków wynika, że do określenia wektora siły wystarczy znać rzuty tej siły na
osie współrzędnych.

Załóżmy, że dane są trzy siły

F

1

,

F

2

,

F

3

,

których

sumę

s

określiliśmy za pomocą wieloboku sił

Na dowolnie przyjętej osi L
znajdujemy rzuty wektorów

F

1

,

F

2

,

F

3

, na oś

L. Z rysunku (1.7)

widzimy, że suma geometryczna

rzutów wszystkich sił na oś

L jest

równa rzutowi sumy

s tych sił na tę

oś, czyli:

s

L

=

F

1L

+

F

2L

+

F

3L

Jest to tzw. twierdzenie o rzutach:

suma rzutów dowolnych sił na oś jest równa rzutowi sumy

tych sił na tę samą oś. Twierdzenie to ma podstawowe znaczenie dla mechaniki.

Analityczne przedstawienie wektora

Wektor analitycznie przedstawiamy za

pomocą trzech rzutów na osie współrzędnych.

a

x

= a cos (

a

,

x)

a

y

= a cos (

a

,

y)

a

z

= a cos (

a

,

z) (1)

a

x

= a

x

i

a

y

= a

y

j

a

z

= a

z

k

a

=

a

x

+

a

y

+

a

z

= a

x

i

+ a

y

j

+ a

z

k

,

gdzie:
(

a

,

x) - jest to kąt zawarty pomiędzy wektorem

i osią x; (podobnie dla osi y i z).

Jeżeli są dane rzuty wektora, to wektor jest całkowicie określony.

a

2

= a

x

2

+ a

y

2

+ a

z

2

(2)

|

a

| =

a = a

x

2

+ a

y

2

+ a

z

2

Podnosząc do kwadratu równania (1) i dodając stronami oraz uwzględniając (2), otrzymamy:

cos

2

(

a

,

x) + cos

2

(

a

,

y) + cos

2

(

a

,

z) = 1

Z wyrażeń (1.1) mamy:

cos (

a

,

x) =

a

x

a

cos (

a

,

y) =

a

y

a

cos (

a

,

z) =

a

z

a

Wektory jednostkowe osi

x, y, z oznaczamy

przez

i, j, k, więc składowe wektora wzdłuż

osi współrzędnych to:

a

x

= a cos (

a

,

x)

i

a

y

= a cos (

a

,

y) j

(3)

a

z

= a cos (

a

,

z)

k

Wektor analitycznie zapisujemy w postaci:

a = a

x

i

+ a

y

j

+ a

z

k

(4)

Rzut sumy wektorów na dowolną oś równa się sumie rzutów
wektorów składowych na tę samą oś, czyli:

x

n

i

i

a

1

=

n

i

i

x

a

1

y

n

i

i

a

1

=

n

i

i

y

a

1

z

n

i

i

a

1

=

n

i

i

z

a

1

Iloczyn skalarny

W rachunku wektorowym mamy dwa rodzaje mnożenia

wektorów, w wyniku których otrzymujemy dwa różne iloczyny. Są to

iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy.

Iloczyn skalarny jest to skalar równy iloczynowi modułów wektorów składowych przez

cosinus kąta zawartego między nimi. Symbolicznie oznaczamy to w następujący sposób:

a

·

b

= a ·b cos (

a

,

b

)

cosα = OB

’

= miara rzutu wektora

b

na wektor

a

. a cosα = miara rzutu wektora

a

na wektor

b

.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy wartości bezwzględnej jednego wektora pomnożonego

przez miarę rzutu wektora drugiego. Iloczyn skalarny dwóch wektorów może być liczbą dodatnią, ujemną
lub zerem w zależności od wielkości kąta α zawartego między nimi.
dla cosα > 0

a

·

b

> 0

dla cosα < 0

a

·

b

< 0

dla cosα = 0

a

·

b

= 0

Z definicji iloczynu skalarnego wynika,
że:
- iloczyn

skalarny posiada prawo

przemienności

a

·

b

=

b

·

a

- iloczyn skalarny posiada prawo rozdzielności względem dodawania (lub odejmowania)

(

a

+

b

) ·

c

=

a

·

c

+

b

·

c

- prawo łączności,

m ·

a

·

n ·

b

=

m n

a

·

b

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy dwu niezerowych wektorów a i b

określa się następująco:

a

x

b

= (|

a

| · |

b

| sin φ)

n

°,

gdzie

n

° jest wersorem prostopadłym do płaszczyzny

wektorów

a

i

b

Zwrot wersora

n

°, czyli zwrot wektora

a

x

b

jest taki,

że trójka wektorów

a

,

b

,

n

° tworzy układ prawoskrętny.

Zwrot wersora

n

° można określić również stosując regułę

śruby prawoskrętnej o osi prostopadłej do płaszczyzny
wektorów

a

i

b

.

Wersor

n

° jest zwrócony w kierunku ruchu postępowego śruby prawoskrętnej, który zaistniałby przy jej

obróceniu o taki najmniejszy kąt φ , o jaki należy obrócić wektor

a

, aby pokryć go z wektorem

b

.

Z definicji iloczynu wektorowego wynika bezpośrednio, że długość iloczynu wektorowego jest
liczbowo równa polu równoległoboku zbudowanego na wektorach

a

i

b

Iloczyn wektorowy

a

x

b

można przedstawić analitycznie w następujący sposób:

c

=

a

x

b

= (a

x

i

+ a

y

j

+ a

z

k

)

x (b

x

i

+ b

y

j

+ b

z

k

).

Iloczyny wektorowe wektorów jednostkowych

i

,

j

,

k

wynoszą odpowiednio:

i

x

i

=

j

x

j

=

k

x

k

= 0

i

x

j

=

k

j

x

k

=

i

k

x

i

=

j

Mnożąc wyrażenia w nawiasach otrzymamy:

c

=

a

x

b

=

i

(a

y

b

z

– a

z

b

y

) +

j

(a

z

b

x

– a

x

b

z

) +

k

(a

x

b

y

– a

y

b

x

)

Iloczyn wektorowy jako wektorową suma trzech wektorów składowych c

x

, c

y

, c

z

, równoległych do osi

współrzędnych:

c

x

= (

a

x

b

)

x

=

i

(a

y

b

z

– a

z

b

y

)

c

y

= (

a

x

b

)

y

= j (a

z

b

x

- a

x

b

z

)

c

z

= (

a

x

b

)

z

=

k

(a

x

b

y

– a

y

b

x

)

Wzory te przedstawiają rzuty iloczynu wektorowego na osie współrzędnych. Algebraiczne wartości

tych rzutów (czyli miary rzutów na osie) przedstawiają wyrażenia zawarte w nawiasach obok wektorów
jednostkowych (wersorów)

i

,

j

,

k

.

c

x

= a

y

b

z

– a

z

b

y

c

y

= a

z

b

x

– a

x

b

z,

c

z

= a

x

b

y

– a

y

b

x.

Powyższe wyrażenia można zapisać w postaci wyznacznika:

a

x

z

y

x

z

y

x

b

b

b

a

a

a

k

j

i

b

W odróżnieniu od iloczynu skalarnego iloczyn wektorowy umożliwia mnożenie przez siebie większej

liczby wektorów niż dwa, np. :

a

x

b

x

c

Właściwości iloczynu wektorowego:

- iloczyn wektorowy dwu wektorów niezerowych jest wektorem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy

wektory te są równoległe,

- iloczyn wektorowy nie podlega prawu przemienności,

a

x

b

= - (

b

x

a

)

- iloczyn wektorowy podlega prawu łączności, (α

a

)

x (β

b

) = α β (

a

x

b

)

- iloczyn wektorowy podlega prawu rozdzielności względem dodawania i odejmowania,

a

x (

b

±

c

) = (

a

x

b

) ± (

a

x

c

)

Moment siły względem punktu

Momentem

M

° siły

F

względem punktu

O (bieguna) nazywamy iloczyn wektorowy wektora

promienia

r

łączącego biegun z początkiem siły

F

przez wektor tej siły.

M

° =

r

x

F

Innymi słowy, jest to wektor

M

° prostopadły

do płaszczyzny utworzonej przez wektor siły

F

oraz

wektor promień

r

,

przechodzący przez punkt

O.

Zwrot wektora momentu wynika z właściwości
iloczynu wektorowego.

Wyrażając wektory

r

,

F

, i

M

° w

ortokartezjańskim układzie współrzędnych

r

=

r

x

i

+

r

y

j

+ r

z

k

F

=

F

x

i

+

F

y

j

+

F

z

k

M

° =

M

x

i

+

M

y

j

+

M

z

k

otrzymujemy:

M

° =

z

y

x

z

y

x

F

F

F

r

r

r

k

j

i

Współrzędne wektora momentu są więc następujące: M

x

=

z

y

z

y

F

F

r

r

M

y

=

x

z

x

z

F

F

r

r

M

z

=

y

x

y

x

F

F

r

r

Właściwości wektora momentu siły względem punktu określają właściwości iloczynu wektorowego:

|

M

°| = h |

F

|,

gdzie:
- h – ramię siły względem punktu (najkrótsza odległość

pomiędzy siłą a punktem, względem którego liczymy
moment),

- kierunek wektora

M

° jest _|_ do płaszczyzny

przechodzącej przez wektory

r

i

F

,

- trójka wektorów

r

,

F

,

M

° tworzy układ prawoskrętny.

Z podanych określeń wynika, że:

- przesuwając siłę

F

wzdłuż jej linii działania nie

zmieniamy momentu tej siły względem obranego
punktu,

-

momenty sił leżących na jednej płaszczyźnie, względem bieguna

O na tej płaszczyźnie są do siebie

równoległe,

-

moment siły względem bieguna jest równy zeru, jeżeli linia działania siły przechodzi przez biegun.

Dwa wektory równoważne mają względem tego samego punktu równe momenty.
Dwa wektory równe, które mają względem pewnego punktu równe momenty, są
równoważne.
Suma momentów wektorów, których proste działania przecinają się w jednym punkcie,

równa się momentowi ich sumy uczepionej w punkcie zbieżności.

n

i

o

M

1

(

i

F

) =

o

M (

n

i

i

F

1

)

Wektor momentu

M

° siły

F

zmienia się w zależności od położenia bieguna.

Dana jest siła

F

działająca wzdłuż prostej L. Obieramy

dwa niezależne bieguny

O i O’, względem których obliczymy

momenty siły

F

.

Moment siły

F

względem punktu

O wynosi:

o

M

=

r

1

x

F

,

natomiast względem bieguna O’ wynosi:

'

o

M

=

r

2

x

F

Pomiędzy promieniami – wektorami

r

1

i

r

2

zachodzi

następująca zależność:

O

O

r

r

'

1

2

Tak więc możemy napisać:

F

x

O

O

F

x

r

F

x

O

O

r

M

o

'

'

1

1

'

czyli :

F

x

O

O

M

M

o

o

'

'

Wyrażenie

F

x

O

O'

możemy uważać za moment siły

F

zaczepionej w punkcie

O względem bieguna O’.

Ostatecznie możemy powiedzieć że:
Moment siły

F

względem dowolnego bieguna O’ równa się momentowi tej siły

F

względem

punktu O oraz momentowi siły

F

zaczepionej w punkcie O względem bieguna O’.

Para sił

Parą sił nazywamy układ dwu sił równoległych, równych
co do wielkości, przeciwnie skierowanych nie leżących na
jednej prostej.
Ponieważ wektor główny pary sił

s

=

0

, moment pary M nie

zależy od obioru bieguna, jego moduł wynosi:

M = F h

Kierunek wektora momentu pary sił jest prostopadły do
płaszczyzny wyznaczonej przez linie działania pary sił. Jego zwrot
przyjmujemy taki, by patrząc z końca wektora

M,

umiejscowionego między siłami pary, mieć początek każdej siły
po stronie prawej, czyli zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej (rys. 1.18). Warunkiem równoważności
dwóch par jest geometryczna równość ich momentów.

Wynikają stąd następujące właściwości pary sił:

- parę sił możemy dowolnie przemieścić w płaszczyźnie jej działania,
- parę sił możemy przenieść w dowolne położenie na płaszczyznę równoległą do płaszczyzny jej działania,
- para sił nie zmieni się, jeżeli proporcjonalnie powiększymy siły, a pomniejszymy jej ramię, lub

odwrotnie,

- układ par sił jest równoważny jednej parze wypadkowej, której moment jest sumą geometryczną

momentów par składowych,

- pary sił nie można zastąpić jedna siłą wypadkową, lecz tylko drugą parą o takim samym wektorze

momentu,

- dowolny układ par sił jest w równowadze wtedy, gdy suma geometryczna momentów tych par jest

równa zeru; jest to tzw. warunek równowagi par sił.

Przykład
Do prostopadłościanu o krawędziach 2a, 2b, c (rys. 1.22) przyłożono cztery siły

1

F ,

2

F ,

3

F

,

4

F , których

wielkości wyrażone w [N] są liczbowo równe długościom odpowiednich odcinków OK, KL, LM, oraz MN,
które są wyrażone w [m]. Punkty K, L, M, N są środkami odpowiednich krawędzi.
Zredukować podany układ sił, przyjmując za bieguny punkty O oraz O’.

Rozwiązanie:

Przyjmujemy układ współrzędnych

Oxyz i zaznaczamy w

nim zadane siły:

1

F

= b

j

+ c

k

,

2

F

= a

i

+ b

j

,

3

F = -c

k

,

4

F

= a

i

– b

j

Wektor główny układu:

s

=

1

F

+

2

F

+

3

F +

4

F

= 2a

i

+ b

j

Długość wektora głównego wynosi:

s = 4 a

2

+ b

2

Zgodnie ze wzorami (1.22) obliczamy współrzędne
ogólnego momentu

o

M

, które wynoszą:

M

x

= 2b (-c) –cb = - 3bc M

y

= ca – a(-c) = 2ac

M

z

= (-b)a – (ba + 2ba) = - 4ab

Równanie momentu ogólnego

o

M

ma więc postać:

o

M

= - 3bc

i

+ 2ac

j

– 4ab

k

Moduł momentu ogólnego wynosi:

Mº = 9(bc)

2

+ 4(ac)

2

+ 16(ab)

2

Dany układ sił redukuje się do siły równej wektorowi głównemu

s

uczepionemu w punkcie

O i pary

sił o momencie równym ogólnemu momentowi

o

M

. Przy zmianie środka redukcji wektor główny

s

układu

sił nie ulega zmianie, natomiast moment ogólny

o

M

.

Wyznaczamy najpierw wektory O

O

'

i O

O

'

x

s

, a mianowicie:

)

2

2

(

'

'

k

c

j

b

i

a

OO

O

O

k

ab

j

ac

i

bc

s

x

O

O

2

2

'

Ostatecznie moment ogólny

'

o

M

będzie wynosił:

'

o

M

= (- 3

bc

i

+ 2ac

j

- 4ab

k

) +

bc

i

– 2ac

j

+ 2ab

k

= = - 2bc

i

– 2ab

k

a jego wielkość wynosi: M = 4b

2

c

2

+ 4a

2

b

2

Redukując układ sił względem bieguna

O’, otrzymujemy zatem siłę równą wektorowi głównemu

s

uczepionemu w biegunie

O’ oraz parę sił o momencie

'

o

M

.

Więzy, reakcje

Przegub walcowy– to sworzeń przechodzący

przez otwór kołowy, wykonany w podpieranym
ciele. Składowe reakcji R mogą leżeć wyłącznie w
płaszczyźnie prostopadłej do osi sworznia.

Podpora taka w przestrzeni odbiera ciału dwa
stopnie swobody. Dwie składowe tej reakcji R

z

, R

y

są niewiadomymi.

Przegub kulisty (zwany również łożyskiem

stopowym) – to zakończenie pręta wykonane w
kształcie kuli i osadzone w czaszy podpory

kulistej. Trzy składowe reakcji R

x

, R

y

, R

z

stanowią

niewiadome przy rozpatrywaniu równowagi ciała.

Podpora przesuwna – jest połączeniem przegubu

walcowego z konstrukcją pozwalającą na przesunięcie po
płaszczyźnie podpory za pomocą rolek. Reakcja tej podpory

ma kierunek zgodny z kierunkiem normalnej do płaszczyzny
podparcia i odbiera jeden stopień swobody. Niewiadomą jest
tutaj wielkość reakcji R.

Cięgno – stanowi element nieważki,

doskonale wiotki, nie stawiający oporu
zginania, łączący ciało z podporą. Reakcja R

zawsze jest skierowana wzdłuż cięgna i może
być wyłącznie siłą rozciągającą. Podpora taka

odbiera jeden stopień swobody i jedyną niewiadomą
jest tutaj wielkość reakcji R.

Pręt dwuprzegubowy – ma cechy cięgna,

gdyż reakcja R musi przechodzić przez oba
przeguby pręta z tą tylko różnicą, że w
przeciwieństwie do cięgna pręt może być zarówno

rozciągany, jak i ściskany.
Podpora taka również odbiera jeden stopień
swobody i niewiadomą tutaj jest wielkość reakcji R

A

,

R

B

, R

C

.

Podpory, pełniące rolę więzów unieruchamiających ciało, powinny spełniać następujące
warunki: co najwyżej trzy więzy mogą leżeć na jednej płaszczyźnie, najwyżej trzy kierunki więzów mogą
się przecinać w jednym punkcie, co najwyżej trzy kierunki więzów mogą być wzajemnie równoległe, nie

może być dwóch wiązek więzów równoległych, nie może być jednej wiązki więzów zbieżnych, a drugiej
równoległych, wszystkie więzy nie mogą przecinać jednej prostej.

Niespełnienie któregokolwiek z podanych warunków jest równoznaczne z

niezapewnieniem równowagi ciała.

Równania równowagi

Jeżeli ciało sztywne jest w spoczynku, to mówimy, że jest w równowadze, zaś o siłach

działających na to ciało, że się równoważą.

Układ sił działających na ciało sztywne jest w równowadze wtedy i tylko wtedy, gdy

wektor główny i moment ogólny są wektorami zerowymi.
Wynikają stąd dwa wektorowe warunki równowagi układu sił:

s

=

0

,

o

M

=

0

.

W ortokartezjańskim układzie współrzędnych warunki przyjmują postać :

n

i

ix

F

1

= 0

n

i

iy

F

1

= 0

n

i

iz

F

1

= 0 (a)

)

(

1

iy

i

iz

n

i

i

F

z

F

y

= 0

)

(

1

iz

i

ix

n

i

i

F

x

F

z

= 0

)

(

1

ix

i

iy

n

i

i

F

y

F

x

= 0 (b)

Równania (a), czyli warunki rzutów sił oraz równania (b) – warunki rzutów momentów,
noszą nazwę

analitycznych warunków równowagi.

Tak więc dla dowolnego przestrzennego układu sił mamy sześć równań równowagi.
Jeżeli przestrzenny układ sił jest zbieżny, tzn. linie działania wszystkich sił przecinają się w jednym
punkcie, to obierając ten punkt za początek układu współrzędnych zauważamy, że odpadają wszystkie trzy
równania momentów - pozostają tylko równania rzutów sił:

n

i

ix

F

1

= 0

n

i

iy

F

1

= 0

n

i

iz

F

1

= 0

Ograniczając swobodę ciała powodujemy pojawienie się dodatkowych sił zewnętrznych, tzw. reakcji.

Po dołączeniu tych ostatnich do sił czynnych traktujemy taki układ jako swobodny. Możemy więc
powiedzieć, że dowolny układ materialny nieswobodny jest w równowadze wtedy, gdy działające nań siły

czynne i reakcje będą się wzajemnie równoważyły, czyli gdy siły czynne i reakcje (siły bierne) będą
spełniały równania równowagi. Z równań tych będziemy mogli obliczyć niewiadome reakcje.
Jeżeli liczba niewiadomych reakcji (niewiadomych podporowych) jest równa liczbie równań

równowagi,

rozpatrywany

układ

nazywamy

układem

statycznie

wyznaczalnym

(izostatycznym).

Jeśli liczba niewiadomych podporowych jest mniejsza od liczby równań równowagi, układ
nazywamy układem

chwiejnym (hipostatycznym).

Jeżeli liczba niewiadomych podporowych (reakcji) układu nieswobodnego jest większa od
liczby równań równowagi, układ taki nazywamy

układem statycznie niewyznaczalnym

(hiperstatycznym).

W statyce będziemy zajmowali się tylko

układami statycznie wyznaczalnymi.

Przykład

Prostokątna jednorodna płyta o wymiarach 2a · 2b i ciężarze Q przymocowana jest w punkcie A za

pomocą przegubu kulistego, a w punkcie B w zawiasie (rys. 2.8a). Płyta utrzymywana jest w położeniu
poziomym za pomocą cięgna CE, łączącego wierzchołek płyty C z punktem E leżącym na wysokości h nad
punktem A.

Znaleźć składowe reakcji w punktach A i B oraz siłę S napięcia cięgna.

Rozwiązanie:

Na płytę działają następujące siły: Q , X

A

, Y

A

, Z

A

, X

B

, Z

B

, S Aby napisać równania równowagi, musimy

wyznaczyć kąty, jakie oś cięgna CE tworzy z osiami x,y,z, przyjętego układu współrzędnych.

cosα =

2 b

4 a

2

+ 4 b

2

+ h

2

cosβ =

2 a

4 a

2

+ 4 b

2

+ h

2

cosγ =

h

4 a

2

+ 4 b

2

+ h

2

Warunki równowagi mają następującą postać:

X

A

+ X

B

– S cosα = 0

(1)

Y

A

– S cosβ = 0

(2)

Z

A

+ Z

B

+ S cosγ – Q = 0

(3)

- Qa + 2 Z

B

a + 2a S cosγ = 0

(4)

Qb – 2b S cosγ = 0

(5)

- 2 X

B

a = 0

(6)

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymujemy;

X

A

= Q

b
h

,

Y

A

= Q

a
h

,

Z

A

=

Q

2

.

X

B

= 0,

Z

B

= 0,

S =

Q

2

4 a

2

+ 4 b

2

+ h

2

h

.