Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

Wyznaczanie momentu bezwładności

Ćw.2

Cel ćwiczenia

Sprawdzenie słuszności równania dynamiki ruchu obrotowego

ε = M/I oraz wyznaczenie momentu

bezwładności przyrządu do badania ruchu obrotowego.

Zakres obowiązującego materiału teoretycznego

Kinematyka i dynamika ruchu obrotowego. Moment bezwładności, moment siły, moment pędu, środek

masy, twierdzenie Steinera. Zasada zachowania momentu pędu.

Przyrządy użyte w ćwiczeniu

Suwmiarka, sekundomierz, przyrząd do badania ruchu obrotowego (PBRO).

Wprowadzenia i aparatura

W doświadczeniu posługujemy się przyrządem do badania ruchu obrotowego, zilustrowanym na rys.1

M

r

Q

r

N

r

ar

N

r

P

C

W

a=F/m

F=Q-N
Q=mg

r

1

Rys.1

Walec metalowy C jest osadzony na łożyskach kulkowych i może obracać się wokół osi OO'. Z

walcem połączone są cztery pręty stalowe P, na których osadzone są walce W. Walce W można

przemieszczać wzdłuż prętów i zmieniać w ten sposób moment bezwładności urządzenia. Chcąc

wprowadzić przyrząd w ruch obrotowy obciążamy nić masą m.

Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego ma postać:

I

M

=

ε

(1)

Gdzie:

M - moment wypadkowy działających sił

I - moment bezwładności urządzenia PBRO

ε- przyspieszenie kątowe

Sprawdzenie słuszności równania (1), co jest głównym celem ćwiczenia, dokonujemy w następujący

sposób. Dla warunków doświadczalnych wynikających z geometrii i dynamiki urządzenia PBRO

wyliczamy na drodze teoretycznej wartości:

1 - momentu wypadkowego działających sił M

2 - momentu bezwładności urządzenia PBRO - I

3 - przyspieszenia kątowego

ε urządzenia PBRO.

Wyliczone wartości I, M oraz

ε podstawiamy do równania (1) otrzymując wyrażenie, którego słuszność

potwierdzamy na drodze doświadczalnej.

Moment siły T

W omawianym przypadku, moment siły naciągu N jest momentem obrotowym M i wyraża się wzorem:

N

r

M

1

=

;

N

ma

mg

−

=

(2)

Gdzie:

r

1

- promień tej części walca C na której nawinięta jest nić.

N - siła naciągu nici.

m - masa ciężarka.

Moment bezwładności urządzenia PBRO

Moment bezwładności urządzenia PBRO jest sumą:

-

momentu bezwładności walca C - I

c

;

-

momentu bezwładności czterech prętów P - 4I

p

;

-

momentu bezwładności dwóch ruchomych walców W równego 2I

w

+ 2m

w

(d/2)

2

Masa walca W oznaczona jest symbolem m

w

, a d jest odległością przeciwległych walców. I

w

jest

momentem bezwładności walca ruchomego względem osi przechodzącej przez jego środek masy i

wynikającym z twierdzenia Steinera.

Całkowity moment bezwładności urządzenia PBRO wynosi wiec:

2

d

m

I

2

I

4

I

I

2

w

w

p

c

+

+

+

=

(3)

a wprowadzając oznaczenie

w

p

c

o

I

2

I

4

I

I

+

+

=

otrzymamy

2

d

m

I

I

2

w

o

+

=

(3)

I

o

- ma wartość stałą.

Przyspieszenie kątowe urządzenia PRBO

Przyspieszenie kątowe

ε urządzenia PBRO obliczamy na podstawie pomiaru czasu przebycia znanej

drogi przez ciężarek obciążający nić.

2

at

s

2

=

;

(prędkość początkowa wynosi 0)

1

r

a

ε

=

(4)

Gdzie: s, a - droga i przyspieszenie ciężarka obciążającego nić.

Stąd:

2

1

t

r

s

2

=

ε

(5)

Podstawiając wyrażenia (3), i (5) do równania (1) otrzymujemy po prostych przekształceniach:















+

+

=

m

r

I

1

g

s

2

d

mg

r

sm

t

2

1

o

2

2

1

w

2

(7)

W układzie współrzędnych prostokątnych, w którym na osi y odkładamy t

2

, a na osi x wartości d

2

,

równanie (7) jest równaniem prostej

B

Ax

y

+

=

(8)

Gdzie: stale A i B można wyrazić następująco:

mg

r

sm

A

2

1

w

=

(9)













+

=

m

r

I

1

g

s

2

B

2

1

o

(10)

Doświadczalnie potwierdzony prostoliniowy przebieg zależności t

2

= f(d

2

) jest dowodem słuszności

równania (1).

Część doświadczalna

W celu sprawdzenia słuszności równania dynamiki ruchu obrotowego dokonujemy pomiarów czasu t

opadania ciężarka m ze stałej wysokości s=1,5 m w zależności od odległości d przeciwległych walców

W. Zmieniając położenie ciężarków W zmieniamy moment bezwładności. Pomiary wykonujemy dla 4

wartości odległości d, w zakresie (8,5-20)·10

-2

m. Wyniki liczbowe zamieszczamy w tabeli. Dla każdej

wartości d, dokonujemy 6 pomiarów czasu opadania ciężarka t, biorąc do obliczeń wartość średnią.

Tabela 1

d [m]

t [sek.]

d

2

[m

2

] t

2

[sek

2

]

d

1

t

1,

…….. t

6

d

2

.

.

d

n

.

.

. .

Wykreślamy zależność t

2

(d

2

), która zgodnie z równaniem (7) powinna być zależnością prostoliniową,

opisywaną ogólnym równaniem prostej (8). Z wykresu t

2

(d

2

) dokonujemy oceny wartości stałych A i B.

Dokładne wartości współczynników A i B wyznaczamy korzystając ze statystycznej metody

opracowania wyników pomiarów (metoda najmniejszych kwadratów). Podstawy teoretyczne tej

metody wraz z konkretnym przykładem jej zastosowania zamieszczone są w instrukcji nr 17.

Wartości współczynników A i B wyznaczone z metody najmniejszych kwadratów porównujemy z

wartościami współczynników A i B wyznaczonymi na wykresie zależności t

2

(d

2

). W przypadku braku

zgodności sprawdzić obliczenia.

Opracowanie wyników

Sprawozdanie powinno zawierać:

1. Określenie celu ćwiczenia i podanie podstawowych zależności.

2. Sporządzić wykres zależności t

2

(d

2

) z wyników pomiarów zamieszczonych w Tabeli 1 (układ

SI).

2.1. Wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów w odniesieniu do zależności t

2

(d

2

)

wyznaczamy wartości stałych A i B z równania (10). Z wartości stałej B obliczamy

moment bezwładności I

0

dla urządzenia PBRO;

2.2. Podać wartości momentu bezwładności I

o

urządzenia PBRO z uwzględnieniem błędu

bezwzględnego ∆I

o

(I

o

±∆I

o

) oraz obliczyć błąd względny

%

100

I

I

o

o

×

∆

3. Wnioski

końcowe.