Rozdział 2

PODSTAWOWE ELEMENTY AUTOMATYKI

Każdy bardziej skomplikowany układ dynamiczny składa się z prostych elementów, które odpowiednio połączone, w odpowiednich konfiguracjach dają złożone struktury.

Znajomość tych podstawowych elementów pozwala na badanie dynamiki bardziej złożonych układów automatyki.

Oto kilka podstawowych elementów dynamicznych:

Element proporcjonalny (bezinercyjny)

a) i funkcja przejścia:

K(s)=k,

gdzie k - współczynnik wzmocnienia,

b) równanie dynamiki:

y(t)=kx(t),

c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys. 2.1,

Rys.2.1. Odpowiedź skokowa elementu proporcjonalnego

e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo - fazowa - rys. 2.2.

Rys.2.2. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu proporcjonalnego

Element inercyjny I rzędu

a) funkcja przejścia:

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia, T - stała czasowa,

b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys. 2.3,

Rys.2.3. Odpowiedź skokowa elementu inercyjnego I rzędu

e.) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo - fazowa - rys. 2.4.

Rys.2.4. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu inercyjnego I rzędu

Element II rzędu - inercyjny

a) funkcja przejścia:

zdzie: k - współczynnik wzmocnienia,

- stałe czasowe,

b: równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys. 2.5,

Rys.2.5. Odpowiedź skokowa elementu inercyjnego II rzędu

e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo-fazowa - rys. 2.6.

Rys.2.6. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu inercyjnego II rzędu

Element II rzędu - oscylacyjny

a) funkcja przejścia:

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia,

- odwrotność częstotliwości drgań nie tłumionych,
- współczynnik tłumienia.

W mianowniku funkcji przejścia występuje wielomian dru­giego rzędu, którego pierwiastki zależą od znaku wyróżnika:

b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

Wielkość
nazywana jest częstotliwością

irgań własnych (częstotliwość drgań swobodnych układu tłumionego). Jest to częstotliwość drgań odpowiedzi układu na wymuszenie o charakterze skoku jednostkowego.

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej:

- gdy
wtedy
równanie w mianowniku funkcji przejścia będzie miało pierwiastki zespolone sprzężone,
a odpowiedź skokowa w funkcji czasu będzie miała wykres jak na rys. 2.7.

Rys.2.7. Odpowiedź skokowa elementu II rzędu -oscylacyjnego

- gdy
wtedy

; równanie w mia­nowniku funkcji przejścia będzie miało pierwiastki rzeczy­wiste (dla
jeden podwójny pierwiastek), a odpowiedź skokowa będzie miała postać drgań krytycznych - wartość h(t) dochodzi bez oscylacji do wartości ustalonej.

- gdy
wówczas w układzie wystąpią drgania nie tłumione,

- gdy
w układzie występują oscylacje o charakterze narastającym.

e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo-fazowa - rys. 2.8.

Rys.2.8. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu II rzędu - oscylacyjnego

Charakterystyka amplitudowo-fazowa wykazuje maksimum dla częstotliwości zwanej częstotliwością rezonansową:

Wtedy:

Jest to wyrażenie, będące funkcją tłumienia o tendencji dążenia do
dla
zdążającego do 0.

Element różniczkujący - element różniczkujący idealny

a) funkcja przejścia:

K(s)=ks, gdzie k - współczynnik wzmocnienia,

b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

gdzie 8(t) jest impulsem Diraca,

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys. 2.9,

Rys.2.9. Odpowiedź skokowa elementu różniczkującego idealnego

e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo-fazowa - rys. 2.10.

Rys.2.10. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu różniczkującego idealnego

- element różniczkujący rzeczywisty

Element różniczkujący idealny w praktyce nie istnieją dlatego rozważa się elementy różniczkujące rzeczywiste.

a) funkcja przejścia:

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia, T - stała czasowa,

b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej rys. 2.11,

Rys.2.11. Odpowiedź skokowa elementu różniczkującego rzeczywistego

e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo-fazowa - rys. 2.12.

Rys.2.12. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu różniczkującego rzeczywistego

Element całkujący - element całkujący idealny

a) funkcja przejścia:

gzie k - współczynnik wzmocnienia,

b) równanie dynamiki:

lub:

c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys. 2.13,

Rys.2.13. Odpowiedź skokowa elementu całkującego idealnego

e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo-fazowa - rys. 2.14.

Rys.2.14. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu całkującego idealnego

- element całkujący rzeczywisty

a) funkcja przejścia:

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia, T - stała czasowa,

b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys. 2.15.

Rys.2.15. Odpowiedź skokowa elementu całkującego rzeczywistego

e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo - fazowa - rys. 2.16.

Rys.2.16. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu całkującego rzeczywistego

Element opóźniający

- element opóźniający idealny

a) funkcja przejścia:

gdzie: k - współczynnik proporcjonalności,
- czas opóźnienia (czas martwy),

b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys.2.17,

Rys.2.17. Odpowiedź skokowa elementu opóźniającego idealnego

e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo - fazowa - rys.2.18.

Rys.2.18. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu opóźniającego idealnego

(n=0,l,2,...),

- element opóźniający rzeczywisty

Powstaje on w wyniku szeregowego połączenia elementu opóźniającego idealnego z elementem inercyjneym I rzędu.

Jest to układ stosowany do aproksymacji układów inercyj­nych wyższych rzędów.

a) funkcja przejścia:

gdzie: k - współczynnik proporcjonalności, T - stała czasowa,

- czas opóźnienia (czas martwy) ,

b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

d) czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys.2.19.

Rys.2.19. Odpowiedź skokowa elementu opóźniającego rzeczywistego

e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo - fazowa - rys.2.20.

Rys.2.20. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu opóźniającego rzeczywistego

Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest spiralą kończącą się w początku układu. Dla
spirala ta przecina ujemną oś części rzeczywistej dla częstotliwości

Zlement przesuwający fazę

= funkcja przejścia:

idzie: T - stała czasowa, z równanie dynamiki

:

z odpowiedź skokowa:

i czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys.2.21,

Rys.2.21. Odpowiedź skokowa elementu przesuwającego fazę

e) transmitancja widmowa:

f) charakterystyka amplitudowo-fazowa - rys.2.22.

Rys.2.22. Charakterystyka amplitudowo-fazowa elementu przesuwającego fazę

Element o właściwościach korekcyjnych

a) funkcje przejścia:

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia,
- stałe czasowe,

b) równanie dynamiki:

c) odpowiedź skokowa:

Dla funkcji opisanej równaniem

po dokonaniu przekształceń otrzymuje się funkcję postaci a podstawiając

za
otrzymuje się:

W zależności od wartości
parametr a jest:

z czasowy wykres odpowiedzi skokowej - rys.2.23,

Rys.2.23. Odpowiedzi skokowe elementów o właściwościach korekcyjnych

e) charakterystyka amplitudowo-fazowa - rys.2.24.

Rys.2.24. Charakterystyki amplitudowo-fazowe elementów o właściwościach korekcyjnych

12

---