Tablica 1 Zestawienie ważniejszych transformat operatorowych

Funkcja przejścia zależy tylko od własności układu dynamicznego, nie zależąc od sygnału wejściowego. Transmitancja operatorowa określa równie syntetycznie własności układu dynamicznego jak równanie różniczkowe. Z tego też powodu bardzo często wpisuje się funkcję przejścia K(s) wewnątrz schematów blokowych - rys. 1.8.

Rys.1.8. Blokowe oznaczenie z funkcją przejścia

Z zależności definicyjnej wynika, że

Y(s)=K(s)X(s),

co oznacza, że transformata operatorowa odpowiedzi układu dynamicznego jest równa iloczynowi funkcji przejścia i transformaty operatorowej sygnału wymuszającego. Znając transmitancję operatorową K(s) oraz sygnał wejściowy x(t) nożna wyznaczyć jednoznacznie (przy zerowych warunkach początkowych) odpowiedź układu y(t) na to wymuszenie, korzystając z dwukrotnego przekształcenia operatorowego:

Z przedstawionej zależności wynika, że przebieg czasowy k(t) funkcji przejścia można wyznaczyć jako odpowiedź układu na wymuszenie impulsowe (na impuls Diraca), którego transfor­macja Laplace'a jest równa jedności. Wtedy:

Y(s)=K(s)-l oraz
lub

co oznacza, że funkcja przejścia jest transformatą odpo­wiedzi impulsowej przy pobudzaniu układu sygnałem skoku jednostkowego, które to wymuszenie jest bardziej rzeczywiste, otrzymuje się:

a wtedy:

Jest to tak zwana odpowiedź skokowa, będąca charak­terystyką czasową układu (w odróżnieniu od funkcji k(t), będącej czasową postacią transmitancji operatorowej).

Z transmitancji operatorowej można wyznaczyć współczynnik wzmocnienia liniowego układu dynamicznego jako wartość graniczną odpowiedzi skokowej układu:

Powyższa granica nie zawsze istnieje, dlatego też czasami współczynnik wzmocnienia definiuje się inaczej (dotyczy to układów wielokrotnie różniczkujących lub całkujących).

Jeżeli znana jest czasowa postać funkcji przejścia k(t), to przebieg sygnału wyjściowego jako odpowiedź na dowolne wymuszenie x(t) można otrzymać z relacji całki splotowej:

Często przy określaniu transformat operatorowych innych funkcji niż podane w tablicy 1 pomocna jest znajomość właściwości przekształcenia Laplace'a. Własności te podano poniżej bez dowodów.

Twierdzenie o liniowości

Jeżeli funkcja f(t) jest kombinacją liniową dwóch funkcji mających transformaty Laplace'a
są współczynnikami stałymi), to po przekształceniu operatorowym odpowiada jej kombinacja liniowa transformat tych funkcji:

Twierdzenie o różniczkowaniu względem czasu

Jeżeli istnieje pochodna funkcji f(t) mającej transfor­matę F(s), to:

gdzie f(0) jest wartością początkową funkcji w punkcie t=0.

Przy wielokrotnym różniczkowaniu:

gdzie
jest wartością k-tej pochodnej funkcji w punkcie t—0, co na przykład dla n=3 daje następującą zależność:

Twierdzenie o całkowaniu względem czasu

Transformata całki funkcji wyraża się zależnością:

co można uogólnić:

Twierdzenie o przesunięciu w płaszczyźnie zmiennej zespolonej

Jeżeli funkcja f(t) ma transformatę F(s), to transformata funkcji pomnożonej przez wyrażenie tłumiące
wyraża się zależnością:

gdzie a jest dowolną liczbą zespoloną.

Twierdzenie o przesunięciu w płaszczyźnie zmiennej rzeczywistej (opóźnieniu)

Jeżeli funkcja f(t) posiada transformatę F(s), to transformata funkcji przesuniętej o czas T w kierunku dodatnich czasów (transformata funkcji opóźnionej o cz_as__T) wyraża się wzorem:

Twierdzenie o zmianie skali

Jeżeli transformatą funkcji f(t) jest F(s), to:

gdzie a jest liczbą rzeczywistą.

Twierdzenie Duhamela (twierdzenie o splocie funkcji)

Jeżeli funkcje
i
są odpowiednio transfor­matami funkcji
i
to transformatą odwrotną ich iloczynu jest całka splotowa tych funkcji:

Twierdzenie o wartościach granicznych

Twierdzenie to jest prawdziwe dla przypadku, kiedy granica
istnieje.

Wyprowadzenie transformat operatorowych przykładowych funkcji:

Transformata skoku jednostkowego

Funkcja ta przedstawiona jest na rys. 1.4. Określa ona pojawienie sygnału równego 1 w chwili t=0, stąd jej definicja jest następująca:

Zgodnie z definicją transformacji Laplace'a:

Innymi słowy:

Transformata skoku jednostkowego dowolnej wartości będzie wynosiła na podstawie twierdzenia o mnożeniu przez wartość stałą:

Transformata funkcji impulsowej

Impuls Diraca jest przedstawiony na rys. 1.5, a zdefinio­wany jest następująco:

przy czym

Charakterystyczne dla funkcji Diraca jest to, że:

Prawdziwe są również relacje:

Transformata funkcji impulsowej wynosi więc na podstawie twierdzeń o różniczkowaniu lub całkowaniu:

Transformata funkcji liniowo narastającej

Funkcja skoku prędkości przedstawiona jest na rys. 1.6. Skok prędkości jest całką z funkcji skoku jednostkowego:

lub odwrotnie, funkcja skoku jednostkowego jest pochodną funkcji liniowo narastającej.

Transformata operatorowa tej funkcji będzie zgodnie z definicją określona jako:

Stosując całkowanie przez części:

gdzie:

otrzymuje się:

a zatem:

Transformata funkcji liniowo narastającej wynosi więc:

Zastosowanie transformacji Laplace'a do rozwiązywania równań różniczkowych

Szerokie stosowanie rachunku operatorowego wynika z moż­liwości stosowania przekształcenia Laplace'a do rozwiązy­wania równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współczyn­nikach. I tak dla równania niejednorodnego:

z warunkami początkowymi:

można dokonać transformacji operatorowej obu stron równania:

gdzie W(s) reprezentuje wielomian warunków początkowych.

Rozwiązując to równanie algebraiczne względem Y(s) otrzymuje się:

Oryginał tej funkcji y(t) można odnaleźć (czasami dopiero po rozkładzie na ułamki proste) z transformat jako:

Przykładowo, w przypadku równania różniczkowego:

z warunkiem początkowym:

y(0)=l operatorowe równanie algebraiczne ma postać:

sY(s) - y(0) + Y(s) = 0, skąd:

a stąd (otrzymane na podstawie tablicy 1) rozwiązanie równania różniczkowego ma postać:

WSKAZÓWKI PRAKTYCZNE

Mając daną operatorową funkcję przejścia K(s) oraz wymuszenie X(s), znaleźć i narysować funkcję y(t) korzys­tając z przekształcenia Laplace'a

stąd Y(s) = K(s)X(s) dla przyjętych danych

po dokonaniu przekształceń otrzymuje się

a stąd na podstawie tablicy 1 otrzymuje się postać czasową odpowiedzi układu y(t)

co odpowiada wykresowi z rys. 1.9.

Rys.1.9. Wykres funkcji y(t) dla przeprowadzonych obliczeń

5

---