Rozdział 1

MATEMATYCZNY OPIS UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

Automatyka zajmuje się badaniem zachowania w czasie (czyli badaniem dynamiki) układów o różnym charakterze i różnej budowie, układów elektrycznych, mechanicznych, itp. Ogólnie, automatyka bada układy dynamiczne. Układem dynamicznym jest układ fizyczny z wyróżnionymi sygnałami wejściowymi oraz wyjściowymi, którego zachowanie się w czasie może być opisane relacjami matematycznymi, zwanymi modelem matematycznym.

Model matematyczny układu dynamicznego uzyskuje się zwy­kle na podstawie znajomości praw fizycznych lub chemicznych rządzących danym układem. Taki model matematyczny składa się w ogólności z równania różniczkowego, opisującego zależności dynamiczne i z równania (lub wykresu) zależności, określa­jącej zachowanie się układu w stanie ustalonym (czyli tak zwanej charakterystyki statycznej). Równanie różniczkowe obejmuje stan ustalony i nieustalony oraz przechodzi w równanie statyczne, jeżeli założyć brak "dynamiki" układu (stałe sygnały wejściowe i wyjściowe - zanik pochodnych).

Rys.1.1. Charakterystyka statyczna dynamicznego układu liniowego

Dla układów liniowych charakterystyka statyczna jest linią prostą (rys. 1.1.), opisaną liniowym równaniem:

y=kx,

gdzie k jest stałym współczynnikiem, który określa nachy­lenie charakterystyki statycznej
i dlatego nazywa się go współczynnikiem wzmocnienia. Dla układów o prostoliniowych charakterystykach statycznych do modelu matematycznego wystarczy równanie różniczkowe liniowe. W innym przypadku, jeżeli charakterystyka statyczna jest krzywoliniowa (rys. 1.2.), dochodzi się wówczas do równań różniczkowych nieliniowych. Za najbardziej typowe nieli­niowości można uznać np.
y=ln(x), y=sin(x). Inna grupa elementarnych nieliniowości to przypadki, w których występuje kilka zakresów liniowości na charakterystyce sta­tycznej, np. nieliniowości typu: nasycenie, strefa nieczu-łości, dioda idealna lub wartość bezwzględna. Przykłady tego typu nieliniowości przedstawiono na rysunku 1.3.

Rys.1.2. Charakterystyka statyczna dynamicznego układu nieliniowego

Rys.1.3. Charakterystyki statyczne dynamicznych układów nieliniowych: diody idealnej oraz wartości bezwzględnej

Ponieważ rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych jest o wiele prostsze, można w wielu przypadkach badania układów automatycznej regulacji - gdy wahania wartości sygnałów wokół statycznego punktu pracy są niewielkie -dokonać linearyzacji charakterystyki statycznej. Lineary-zacja jest to uproszczenie modelu nieliniowego w taki sposób, że charakterystykę nieliniową przybliża się lokal­nie, to znaczy w pewnym obszarze, odpowiednio dobraną zależnością liniową. Odbywa się to poprzez zastąpienie krzywej odcinkiem linii prostej, stycznej do rzeczywistej charakterystyki w określonym punkcie. Pozwala to przyjąć, że w otoczeniu tego punktu charakterystyka jest prostoliniowa, a tym samym umożliwia określenie współczynników równania różniczkowego, stałe w tym otoczeniu. Wtedy równanie charak­terystyki statycznej ma postać:

Dla układów dynamicznych o jednym wejściu i jednym wyjściu ich modelem matematycznym jest liniowe równanie różniczkowe o stałych współczynnikach w postaci:

gdzie: y(t) - wielkość wyjściowa, x(t) - wielkość wejściowa,

- współczynniki stałe, t - czas,

przy czym dla układów rzeczywistych, fizycznie reali­zowalnych zachodzi warunek nłm.

Własności dynamiczne układów określa się na podstawie tak zwanej odpowiedzi układu (czyli na podstawie przebiegu sygnału wyjściowego (y(t)) na określony sygnał wejściowy x(t) (na określone wymuszenie). Aby więc określić przebieg y(t), należy rozwiązać równanie różniczkowe. W przypadku równań różniczkowych wyższego rzędu jest to dosyć kłopotliwe do przeprowadzenia metodami klasycznymi. W automatyce stosowany jest więc powszechnie rachunek operatorowy, znacznie upraszczający tok obliczeń. Metoda operatorowa pozwala na przekształcenie równań różniczkowych w równania algebraiczne.

Przekształcenie operatorowe Laplace'a danej funkcji czasu f(t) przyporządkowuje jej w sposób wzajemnie jednoznaczny funkcję F(s) zmiennej zespolonej (gdzie zmienna
Funkcja F(s) zwana jest transformatą operatorową funkcji f(t) i jest określona ze wzoru:

Ponieważ posługiwanie się definicyjnymi zależnościami transformacji Laplace'a jak i transformacji odwrotnej:

jest trudne i czasochłonne, w praktyce korzysta się z gotowych tablic funkcji czasowych i ich transformat operatorowych. Tablica 1 stanowi zestawienie ważniejszych transformat operatorowych najczęściej spotykanych funkcji czasowych.

Oprócz transformacji Laplace'a niektórzy autorzy stosują transformację Laplace'a - Carsona, określoną wzorem:

Poza formalnymi różnicami we wzorach oba przekształcenia są równoważne.

Podstawę przekształcenia operatorowego stanowi transfor­macja Laplace'a, przyporządkowująca w sposób wzajemnie jed­noznaczny funkcji czasowej f(t) funkcję F(s) zmiennej zes­polonej s:

Założeniem transformacji Laplace'a jest:

• f(t)=O dla t<0,

• f(t) ma w każdym skończonym przedziale wartość skończoną,

• f(t) ma pochodną w każdym skończonym przedziale,

• istnieje taka liczba rzeczywista c, dla której spełniona
  jest nierówność:

(zapewnienie bezwzględnej zbieżności całki

płaszczyźnie zmiennej zespolonej).

Funkcje występujące w technice spełniają wymienione warunki, mogą więc być poddawane transformacji.

Na rysunkach 1.4 - 1.7 przedstawione zostały przebiegi czasowe standardowych wymuszeń stosowanych w automatyce. Transformaty operatorowe tych wymuszeń przedstawiają się następująco:

- dla skoku jednostkowego (funkcja Heaviside'a)
:

• dla funkcji impulsowej
  (impuls Diraca)
  :

• dla funkcji liniowo narastającej (skok prędkości) t:

- dla funkcji parabolicznej (skok przyspieszenia)
:

Rys.1.4. Funkcja skoku jednostkowego

Rys.1.5. Funkcja impulsowa

Rys.1.6. Funkcja liniowo narastająca

Rys. 1.7. Funkcja paraboliczna

Liniowy, stacjonarny i jednowymiarowy układ dynamiczny z wyróżnionymi sygnałami wejściowym x(t) i wyjściowym y(t) opisany jest równaniem różniczkowym:

lub w skrócie:

Dokonując transformacji Laplace'a obu stron tego równania przy zerowych warunkach początkowych można otrzymać algebraiczne równanie operatorowe:

lub stosunek transformaty wielkości wyjściowej Y(s) do transformaty wielkości wejściowej X(s):

Funkcję określoną przez stosunek transformat nazywa się transmitancją operatorową K(s) układu dynamicznego lub operatorową funkcją przejścia, a więc:

5

---