MODELOWANIE MATEMATYCZNE

W PRZYRODZIE I TECHNICE

Modelowanie populacji jednego gatunku zwierząt

Zadanie 1.

W zamkniętym zbiorniku wodnym hodowane są ryby. Zakładając, że wskaźnik reprodukcji jest
stały i wynosi a, zaś wskaźnik zgonu jest proporcjonalny do liczby ryb i wynosi b

.

x(t) (x(t) – liczba

ryb w chwili t) równanie logistyczne opisujące wzrost populacji ryb ma postać

2

d x

a x

b x

d t

   

(1)

Wyznaczyć:

1. Postać analityczną rozwiązania za pomocą komendy dsolve.
2. Liczbę ryb po upływie 1 roku, przyjmując następujące dane: a = 5, b = 0.001 oraz

a) x

0

= 100

b) x

0

= 6000

3. Liczbę ryb po upływie długiego czasu przy użyciu komendy limit.
4. Wykres pola kierunkowego dla równania (1) za pomocą komendy dfieldplot z pakietu

DEtools.

5. Wykres rozwiązania x(t) na tle pola kierunkowego za pomocą komendy phaseportrait

z pakietu DEtools dla x

0

= 100.

Zadanie 2.

Równanie różniczkowe opisujące populację ryb w zamkniętym zbiorniku z uwzględnieniem
odławiania ma postać

2

d x

a x

b x

c

d t

   



(2)

gdzie c oznacza liczbę ryb odławianych w skali roku.
Wyznaczyć:

1. Postać analityczną rozwiązania za pomocą komendy dsolve.
2. Liczbę ryb po upływie 1 roku, przyjmując dane: a = 5, b = 0.001, c = 1000 oraz

a) x

0

= 500

b) x

0

= 6000

3. Wykres pola kierunkowego dla równania (2) za pomocą komendy dfieldplot.
4. Wykres rozwiązania x(t) na tle pola kierunkowego za pomocą komendy phaseportrait

dla x

0

= 500.

5. Punkty stacjonarne równania (2) z warunku

0

d x

d t



dla a = 5, b = 0.001, c = 1000.

6. Rozwój populacji ryb dla następujących danych: a = 5, b = 0.001, c = 6250, x

0

= 2500.

7. Wykres rozwiązania x(t) na tle pola kierunkowego dla ww. danych za pomocą komendy

phaseportrait.

8. Punkty stacjonarne równania (2) z warunku

0

d x

d t



dla a = 5, b = 0.001, c = 6250.

Ogólny sposób wywołania komend: dfieldplot i phaseportrait:

dfieldplot(równanie, poszukiwana_funkcja, zakres_t, zakres_x, opcje);

phaseportrait(równanie, poszukiwana_funkcja, zakres_t, [war_początkowy], zakres_x, opcje);