ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

Egzamin na ocenę celującą, styczeń 2007

Na pierwszej stronie pracy należy napisać: swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział,
kierunek, rok studiów, nazwiska wykładowcy oraz osoby prowadzącej ćwiczenia, datę, ocenę
zaproponowaną na zaliczenie na podstawie kolokwiów oraz sporządzić poniższą tabelkę.
Ponadto należy ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

C

1

2

3

4

Suma Ocena

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na
n-tej kartce pracy

. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 3 godziny, za rozwiązanie każdego

zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. Ocenę celującą otrzyma student, który uzyska co
najmniej 10 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania,
tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory,
uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym
opisem. Powodzenia!

    Teresa Jurlewicz (zad. 2, 3), Zbigniew Skoczylas (zad. 1, 4)

ZADANIA

1*. Adam napisał i ukrył wielomian  

 pewnego stopnia o nieujemnych 

W ( x )

współczynnikach całkowitych. Bartek chce odgadnąć ten wielomian. Adam
może mu podać wartość wielomianu dla dowolnego argumentu wymiernego

.  Pokazać, że Bartek może odgadnąć wielomian zadając tylko dwa odpo-

x

wiednie pytania.

2*. Na wszystkich bokach równoległoboku zbudowano zewnętrzne kwadraty. 

Korzystając z liczb zespolonych pokazać, że środki tych kwadratów także
tworzą kwadrat.

3*. Macierz     spełnia warunek  

.  Pokazać, że wówczas

A

A

2007

=

O

.

det ( I + A + A

2

+

... + A

2006

) ≠

0

4*. Punkt porusza się w przestrzeni  

  w ten sposób, że współrzędne jego 

R

3

położenia w chwili     są wielomianami zmiennej     stopnia nie większego

t

t

niż   .  Pokazać, że tor punktu jest zawarty w pewnej płaszczyźnie.

2