ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

Semestr zimowy 2006/2007

Egzamin na ocenę celującą, rozwiązania zadań

Zadanie 1*

Niech

n

n 1

W ( x) = a x + a

x −

∪

−

+ ... + a x + a , gdzie a , a ,..., a N

}

0

{

, n ∈N. Pytając naj-

0

1

n ∈

n

n 1

1

0

pierw o wartość W (1) Bartek pozna sumę a

wszystkich współczynników

0 + a + ...

1

+ an

wielomianu. Z niej wywnioskuje, że a , a ,..., a ∈{ , 0 ,

1 ,

2 ..., W (1)} . Jeżeli W 1

( ) = 0 , to

0

1

n

a + a = ... = a

, więc drugiego pytania już nie musi zadawać. Jeżeli nie, to wyznacza

n = 0

0

1

liczb

−

ę naturalną k spełniającą warunek

k

k

10 1 ≤ W 1

( ) < 10 . Pyta wówczas o wartość

(10 k

W

) .

Liczby a , a ,..., a są bowiem współczynnikami rozwinięcia liczby (10 k

W

) w systemie

0

1

n

liczbowym o podstawie

k

10 . Zapisując tę liczbę w systemie dziesiętnym szukane współ-

czynniki znajdą się w kolejnych k -cyfrowych blokach cyfr licząc od prawej strony.

Na przykład dla W ( x ) = 5 3

x + 7 x + 13 mamy W (1) = 25 ,

1

2

10 ≤ 25 < 10 , k = 2 , więc

(10 k

W

) = 5 ⋅106 + 7 ⋅102 + 13 = 5 000 713 = 05 | 00 | 07 |13 =

2 3

2 2

2 1

2 0

5 ⋅ 1

( 0 ) + 0 ⋅ 1

( 0 ) + 7 ⋅ 1

( 0 ) + 13 ⋅ 1

( 0 ) .

Zadanie 2*

Niech środek równoległoboku znajduje się w punkcie z = 0 oraz niech z , z , z , z będą 0

1

2

3

4

wierzchołkami tego równoległoboku. Wtedy oczywiście z = − z , z = − z . Przez 3

1

4

2

K1, K2, K3, K4 oznaczamy kwadraty zawierające kolejne pary wierzchołków z i z , 1

2

z i z , z i z , z i z . Niech s , s , s , s będą środkami kolejnych kwadratów, zaś 2

3

3

4

4

1

1

2

3

4

z ', z ' wierzchołkami tych kwadratów leżącymi po przekątnej do z , z . Z symetrii figury 1

2

1

2

wynika, że s = − s , s = − s . Punkty s , s , s , s tworzą zatem równoległobok o środku 3

1

4

2

1

2

3

4

z = 0 . Wystarczy więc uzasadnić, że s = i s i otrzymamy kwadrat. Interpretując dodawa-0

2

1

nie liczb zespolonych jako dodawanie ich wektorów wodzących otrzymujemy wzory 1

1

s = z + ( z '− z ) , s = z + ( z '− z ) .

1

1

2

1

1

2

2

2

2

2

Wierzchołki z ', z ' można otrzymać przez obrót wierzchołków z , z o kąt π wokół

1

2

1

2

z , z . Stąd z '= i ( z − z ) + z , z '= i ( z − z ) + z . Ostatecznie więc 2

3

1

1

2

2

2

2

3

3

1 + i

1 − i

i −1

i + 1

s =

z +

z , s =

z +

z = i s .

1

1

2

2

2

2

1

2

1

2

2

Zadanie 3*

Wszystkie rozważanie macierze muszą być macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia n ≥ 1 , przy czym I jest macierzą jednostkową, zaś O macierzą zerową. Niech 2

2006

B = I + A + A + ... + A

.

Wówczas B ( I − A = I − A 2007

)

= I − O = I . Stąd i z twierdzenia Cauchy’ego o wyznacz-niku iloczynu macierzy wynika, że det[ B ( I − A) ] = det B ⋅ det ( I − A) = det I = 1, zatem det B ≠ 0 .

Zadanie 4*

Wektor wodzący położenia danego punktu w chwili t ma postać

r ( t ) = (

2

a t + a t + a ,

2

b t + b t + b ,

2

c t + c t + c ),

2

1

0

2

1

0

2

1

0

przy czym a , b , c , gdzie i = ,

0 ,

1 2 , są ustalone, t ∈ R. Przyjmując u = ( a , b , c ) , i

i

i

2

2

2

v = ( a , b , c ) , w = ( a , b , c ) otrzymujemy postać r ( t = t 2

)

u + tv + w . Jeżeli u× v ≠ 0 , to 1

1

1

0

0

0

r ( t ) jest wektorem wodzącym punktu płaszczyzny π : r = su + tv + w , gdzie s, t ∈ R. Jeżeli u × v = 0 i v ≠ 0 , to wektory u , v są współliniowe oraz u = α v dla pewnego α ∈ R i wówczas r ( t ) = ( t 2

α + t ) v + w jest wektorem wodzącym punktu prostej l : r = sv + w , gdzie t ∈ R, zawartej w płaszczyźnie π . Jeżeli na koniec u× v = 0 i v = 0 , to r ( t ) = w jest wektorem wodzącym punktu płaszczyzny π .

Teresa Jurlewicz, 14.02.2007