1

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

Konwekcja swobodna

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

Q

g

Gorąca
ścianka

zimny płyn

siła ciężkości

element
objętości
płynu

2

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

Q

g

Gorąca
ścianka

zimny płyn

siła ciężkości

element
objętości
płynu

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

Q

g

Gorąca
ścianka

zimny płyn

siła ciężkości

warstwa
przyścienna
unoszącego
się płynu

3

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

ruch płynu spowodowany jest przez siły wyporu. Liniowa zależność
gęstości od temperatury uwzględniona jest tylko w równaniu
na składową x pędu. Aby znaleźć istotne dla konwekcji naturalnej
liczby bezwymiarowe można zastosować analizę analogiczną do
tej stosowanej w przypadku konwekcji wymuszonej.

Jedyna różnica wynika z modyfikacji równania na składową x pędu
która przyjmuje postać

2

2

2

2

x

x

x

x

x

y

v

v

v

v

p

v

v

g

x

y

x

x

y

























 

























transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

0

p

g

x



 





0



0

(

)

p

g

g

x



















(

)

p

g

g T

T

x













 





1

p

T













  









gradient ciśnienia wynika z ciśnienia hydrostatycznego

gęstość w rdzeniu płynu

gradient ciśnienia i siła masowa
są rozpatrywane łącznie

0

1

1

T

T

T







 

 

















objętościowy
współczynnik
rozszerzalności cieplnej

aproksymacja różnicami
skończonymi

wynikowa zależność na
zależność od
temperatury członu
wymuszającego ruch

4

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

2

2

2

2

2

Gr

1

Re

Re

x

x

x

x

x

y

V

V

V

V

V

V

X

Y

X

Y





































po wprowadzeniu zmiennych bezwymiarowych otrzymuje się

2

3

2

(

)

Gr

g

L T T







 



Liczba Nusselta powinna być korelowana w funkcji

Re, Pr

,i

Gr

Nu

(Re Gr Pr)

f



 

liczba Grashofa, stosunek sił wyporu i lepkości

człon Gr/Re

2

wskazuje na istotność dwu mechanizmów: konwekcji

swobodnej i wymuszonej. Jeśli

2

Gr

16

Re



dominuje konwekcja swobodna. Dla

2

Gr

0.3

Re



wymuszona

Jeśli dominuje konwekcja swobodna, wpływ liczby Reynoldsa jest
nieistotny. Wtedy korelacja powinna mieć postać

Nu

(Gr Pr)

f





wynik taki można uzyskać także analizując ruch w obrębie warstwy
przyściennej (patrz dodatek)

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

n

C

Pr)

Gr

(

Nu



Wzory robocze (empiryczne) średnia liczba Nusselta (opuszczamy
indeks H)

1/4

0.54

500 do 2 10

7

1/3

0.135

2 10

7

do 10

13

1/8

1.18

10

-3

do 500

0

0.5

<10

-3

n

C

Gr Pr

ruch płynu

słabo rozwinięty laminarny

laminarny

turbulentny

nieruchomy

H

wymiar pionowy (wysokość płyty, walca pionowego, średnica kuli, walca

poziomego) dla powierzchni poziomych długość krótszego boku. Właściwości
dla średniej temperatury warstwy przyściennej

.

W zakresie turbulentnym, współczynnik wnikania nie zależy od wymiaru
charakterystycznego. Uproszczony wzór dla powietrza w tym reżymie

9

3

[1.6932 26.28(

273.15)]

;

Gr Pr

10

T

T



 









5

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

1 6

1 2

9 16 8 27

0 387(GrPr)

0 60

Nu

[1 (0 492 Pr)

]











  

 



6

12

10

PrGr

10







bardziej dokładna korelacja obejmująca większy zakres ruchu

Churchill & Chu pionowa, izotermiczna płyta

właściwości dla średniej temperatury warstwy przyściennej

.

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

konwekcja swobodna w przestrzeniach zamkniętych

Traktuje się jak przewodzenie przy zwiększonym, efektywnym współczynniku
przewodzenia

Q

c

T

h

T

)

(

c

h

ef

T

T

L

q









L

6

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

m

ef

k

D

Pr)

Gr

(











0.2

0.40

10

6

do 10

10

0.3

0.105

10

3

do 10

6

0

1

<1000

m

D

Gr Pr

wymiar charakterystyczny: odległość między ścianką gorącą i zimną.
Własności wyznaczane dla temperatury średniej między temperaturą
ścianki zimnej i ciepłej.

2

3

2

(

)

Gr

h

c

g

L T

T





 



transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

przy pionowych wysokich szczelinach obraz bardziej skomplikowany
tworzą się wiry. Obliczeniowy obraz pola prędkości i temperatury
między szybami okiennymi

7

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

Smukłe szczeliny pionowe wypełnione powietrzem (Jakob)

6

5

9

/

1

333

.

0

5

4

9

/

1

25

.

0

10

11

Gr

10

2

Gr

065

.

0

10

2

Gr

10

2

Gr

18

.

0



















 





























 











H

H

ef

k

ef

k

1 3

1

0 0605(Pr Gr)



 



1 3

3

0 293

2

1 36

0 104(Pr Gr)

1

1 [6310 (Pr Gr)]



















































Bardziej dokładna korelacja El Sherbiny at al.

1

2

3

max(

)

k

 

  

0 272

3

Pr Gr

0 242

(

)

H







 















transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

dodatek

8

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

zakładamy rozkład nadwyżki
temperatury

2

)

1

(

)

(











y

y

w

0

dy

)

(

d

;

)

0

(













w

spełnia warunki
brzegowe

















T

T

T

T

y

w

w

;

)

(











w

2

dy

)

0

(

d

strumień ciepła na ściance

współczynnik wnikania

























2

2

w

w

w

q

Rozkład temperatury

y

x

zakładając liniowy rozkład temperatury
otrzymuje się









nadwyżka temperatury ponad temperaturę w
nieruchomym rdzeniu płynu



x

wa

rst

w

a

prz

yś

cienna

T(y)



T

w

T

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

rozszerzalność cieplna

























0

0

0

)

1

(

0

)

(

d

d

0

2

2













g

y

w

x

























2

2

2

2

2

1

dy

d

y

y

A

w

x

wprowadzając gęstość zależną od temperatury

Rozkład prędkości

równanie pędu









w

g

A

0

wprowadzając rozkład temperatury

0

d

d

2

2

0





y

w

g

x







gdzie

siła masowa - wypór

0



gęstość w
nieruchomym
rdzeniu płynu

y

x



x

wa

rst

w

a

prz

yś

cienna

w

x

(y)

9

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

2

)

1

(

)

(











y

y

w

rozkład temperatury w warstwie przyściennej

























2

2

2

2

2

1

dy

d

y

y

A

w

x









w

g

A

0

gdzie

równanie różniczkowe na prędkość
z uproszczonego równania pędu
z uwzględnieniem rozszerzalności
cieplnej płynu

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

0

)

(

;

0

)

0

(







x

x

w

w

warunki brzegowe

dwukrotnie całkując rozkład prędkości

2

1

2

4

3

2

12

3

2

c

y

c

y

y

y

A

w

x





























stałe

c

1

c

2 `

wyznacza się warunków brzegowych

0

;

4

2

1







c

A

c

zależność prędkości od współrzędnej



























2

4

3

2

12

3

2

4

y

y

y

y

A

w

x

zawiera nieznaną grubość warstwy przyściennej

maksymalna prędkość dla

y=0.386



10

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

nieznaną grubość warstwy przyściennej wyznacza się
z bilansu masy i energii



















































40

d

12

3

2

4

1

d

)

(

1

2

0

0

2

4

3

2

0

w

x

x

g

y

y

y

y

y

A

y

y

w

w

średnia prędkość na dowolnej wysokości

średnia temperatura

3

/

1

1

d

)

(

1

2

0

w

o

w

y

y

y











































strumień masy

















40

3

2
0

0

S

g

S

w

m

w

x

S

szerokość ściany













d

40

3

d

2

2
0

S

g

m

w

przyrost masy ze wzrostem grubości warstwy

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

rozpisując różniczki

ilość ciepła na podgrzanie dodatkowej masy = przyrost entalpii tej masy

I

Q

d

d























d

40

d

2

2

2

0

S

g

c

S

x

w

w

p

w

Q

d

I

I

d



I

S

x

S

x

Q

S

g

c

S

g

c

m

c

I

w

w

w

w

p

w

p

p

d

2

d

d

d

40

d

40

3

d

d

2

2
0

2

2
0













































z bilansu energii – równanie różniczkowe związek grubości warstwy ze
współrzędną x













d

80

d

3

2

0

w

p

g

c

x

x

d

po scałkowaniu

3

4

2

0

320

c

g

c

x

w

p













0

0

)

0

(

3











c

x

z warunku brzegowego

4

2

0

23

.

4

w

p

g

c

x











11

transport ciepła i masy

konwekcja swobodna

©Ryszard A. Białecki

4

2

0

3

473

.

0

2



















x

g

c

w

p

współczynnik wnikania

lokalna liczba Nusselta

25

.

0

4

4

2

3

2

0

Pr)

Gr

(

473

.

0

473

.

0

Nu

x

p

w

x

c

x

g

x





















lokalna liczba Grashofa

liczba Prandtla

2

3

2

0

Gr









x

g

w

x

Średnia liczba Nusselta







p

c

Pr

25

.

0

0

Pr)

Gr

(

63

.

0

d

Nu

1

Nu

H

H

x

H

x

H







2

3

2

0

Gr

Nu















H

g

H

w

H

H