Zadania z matematyki dla I r. IB i IŚ.

Lista 5. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

1. Obliczyć podane całki nieoznaczone.

a. ∫(2

− 6

+ 7 − 12)

e. ∫ 2 3 5 dx

b. ∫(4 − )√

f. ∫

(

)

(

)

dx

c. ∫(√ +

√

) dx g. ∫

dx

d. ∫(2

+ 3

+ 2

−

)dx h. ∫

xdx

2. Stosując odpowiednie podstawienie obliczyć podane całki nieoznaczone.

a. ∫ sin(5 − 4)

f. ∫

(

)

k. ∫

dx

b. ∫(1 − 2 )

dx g. ∫

dx l. ∫

√

dx

c. ∫ √1 − 3

dx h. ∫

m. ∫

√

dx

d. ∫

√

dx i. ∫

(wsk.

x=t)

e. ∫

dx j. ∫

∗

3. Stosując wzór na całkowanie przez części obliczyć całki.

a. ∫

f. ∫

k. ∫(

+ 6)

b. ∫

g. ∫

l. ∫

c. ∫

h. ∫

m. ∫( + 1)

d. ∫ 2

i. ∫

e. ∫

j. ∫ (

)

4. Obliczyć całki wykorzystując znane metody.

a. ∫

(1 +

)

f. ∫

(

+ 1)

k. ∫

√

b. ∫

g. ∫

l. ∫

c. ∫(3 + 2 √ )

h. ∫

√

m. ∫|

− 1|

d. ∫

i. ∫

n. ∫

|

|

e. ∫

j. ∫ ln (

+ 1)

Create PDF

files without this message by purchasing novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

5. Obliczyć podane całki nieoznaczone.

a. ∫

g. ∫

(

)(

)

m. ∫

b. ∫

h. ∫

(

) (

)

n. ∫

c. ∫

(

)

i. ∫

o. ∫

(

)

d. ∫

(

)

j. ∫

p. ∫

(

)

e. ∫

(

)

k. ∫

q. ∫

(

)

f. ∫

l. ∫

6. Obliczyć podane całki oznaczone.

a. ∫ √

d. ∫ ( + 1)

g. ∫

b. ∫

e. ∫

h. ∫

(1 − )

c. ∫

f. ∫

i. ∫

7. Wartość średnia funkcji f na przedziale [a, b] wyraża się wzorem:

ś .

=

∫

( )

. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na

wskazanych przedziałach:

a. ( ) =

; [-2,0]

b. ( ) =

; [-1;1]

c. ( ) = 4

; [-7,7]

8. Obliczyć pola figur ograniczonych przez krzywe:

a. y=

− 4; y=2 f. y= ; y=x; x=2

b. y=-

; x+y+2=0 g. y=2-|2 − |; y=

| |

c. y=

; y=4x h. y=

; y=

; y=3x

d. y=x(x-1)(x+2)(x-3); y=0 i. y=

; y=

; y=√

e. y=sgn(x); x=-1;x=0; x=1;y=0

9. Zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych. Dla całek zbieżnych

obliczyć ich wartości.

a. ∫

e. ∫

i. ∫

√

√

b. ∫

f. ∫

j. ∫

√

Create PDF

files without this message by purchasing novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

c. ∫

g. ∫

k. ∫

d. ∫

h. ∫

10. Obliczyć długości podanych krzywych.

a. y=2√

; 0≤

≤11

b. y=

;

2 ≤

≤

3

c. y=

+

; 1≤

≤ 2

11. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu łuku:

a. y=

+ 1 1≤

≤ 2 wokół osi OX

b. y=2

+ 3 0≤

≤ 1 wokół osi OY

c. y=√ +1 1≤

≤ 4 wokół osi OY

d. y=cos2x 0≤

≤ wokół osi OX

e. y=lnx 1≤

≤ wokół osi OY

12. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu figury ograniczonej liniami:

a. xy=4; x=1; y=0; x=4 wokół osi OX

b. y=

; y=√ wokół osi OX

c. y=√ ; y=0; x=1; x=4 wokół osi OY
d. y=lnx; y=0; x=e wokół osi OY

13. Obliczyć pole powierzchni obrotowej powstałej z obrotu krzywej:

a. y=2√ ; 0≤

≤ 1 wokół osi OX

b. y=

; 0≤

≤ 2 wokół osi OX

c. y=

; 0≤

≤ √3 wokół osi OY

Create PDF

files without this message by purchasing novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)