Zadania z matematyki dla I roku IB i IŚ.

Lista 4. Pochodne funkcji.

1. Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji we

wskazanych punktach.

a. f(x)=

+ 7;

=1 c. f(x)=| + 5|; =-5

b. f(x)= ; =-2 d. f(x)=

;

∈ ℝ

2. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne podanych funkcji.

a. f(x)=5 −

+

k. f(x)=( + 3) (

)

b. f(x)=

(5

+ 4

+ 3 + 2) l. f(x)=

√

c. f(x)=4

6 m. ( ) =

d. f(x)= +

+

+ √ + √ n. f(x)=(

+

+ 3 )

e. f(x)=

o. f(x)=√

+ 5

f. f(x)=3 (

+ 3)

p. f(x)=

; g(x)=

g. f(x)=

q. f(x)=

h. f(x)=

i. f(x)=

j. f(x)= +

3. Znaleźć wzory ogólne na pochodną n-tego rzędu podanych funkcji.

a. ( ) =

√

b. ( ) =

c. ( ) =

4. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:

a. f(x)=2

− 15

+ 36 − 14 e. f(x)=

i. f(x)=

b. f(x)=

f. f(x)= +

c. ( ) =

( + 1) g. ( ) =

d. ( ) = 2 − 2| + 5| h. ( ) = 2

− ln (

+ 1)

5. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji z zadania 4.
6. Wyznaczyć przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia podanych

funkcji.

a. f(x)=2

− 15

+ 36 − 14 c. ( ) =

b. f(x)=

Create PDF

files without this message by purchasing novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)

7. Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich

wykresy.

a. f( ) =

− 3

+ 4 c. f(x)=

b. f(x)=

√

d. f(x)=

8. Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na

wskazanych przedziałach.

a. ( ) = 2

− 3

− 36 − 8; [-3,6]

b. ( ) =

− 2√ ; [0,5] c. ( ) =

√

; ∈ [1,

]

9. Z kartonu w kształcie półkola o promieniu r=4 należy wyciąć prostokąt o

maksymalnie największym polu. Podać wymiary tego prostokąta.

10. W kulę o promieniu R=2 wpisano walec o największej objętości. Znaleźć

wymiary tego walca.

11. Z prostokątnego kawałka blachy o szerokości a należy wygiąć rynnę o

przekroju prostokątnym w ten sposób, aby mogło nią spłynąć możliwie
najwięcej wody. Znaleźć wymiary przekroju rynny.

12. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we

wskazanych punktach.

a. f(x)=

− 2

− 3 + 1;

=-1 c. f(x)=

;

= 1

b. f(x)=

; =√2 d. f(x)=

; =e

13. Stosując regułę de L’Hospitala (sprawdzić odpowiednie założenia)

obliczyć granice.

a. lim

→

g. lim

→

( −

)

b. lim

→

h. lim

→

( − 1)ln ( − 1)

c. lim

→

i. lim

→

(

)

d. lim

→

j. lim

→

(

)

e. lim

→

k. lim

→

f. lim

→

(

)

(

)

l. lim

→

( − 5)

14. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych

wyrażeń.

a. √7,999 b.

√ ,

c.arcsin (0,51)

Create PDF

files without this message by purchasing novaPDF printer (

http://www.novapdf.com

)