STACJONARNOŚĆ SZEREGU

Założenia KMNK

1)Model ma postać liniową lub jest sprowadzony do postaci liniowej

2) zmienne X

są NIELOSOWE i tym samym nie są skorelowane ze składnikiem losowym

( E(X

ε)=0

3)Macierz obserwacji zmiennych objaśniających jest nielosowa, ma pełny rząd

kolumnowy, a liczba obserwacji (= liczba wierszy) jest nie mniejsza niż liczba

szacowanych parametrów (= liczbie kolumn). Pomiędzy żadną z podgrup zbioru x-

ów nie występuje dokładna zależność liniowa.

4) wielkość próby jest większa od liczby szacowanych parametrów ( n > k+1 )

5) Składnik losowy ma stałą wartość oczekiwaną równą zeru.

6) Składnik losowy ma stałą, skończoną wariancję (czyli jednorodną)

7) Składnik losowy nie wykazuje autokorelacji (czyli kowariancje są równe zero, cov=0)

Rodzaje rozkładów

Rozkład normalny

T- Studenta zbliżony do

normalnego

Dane finansowe- grube ogony

Częsta skośność

Rozkład wysmuklony (leptokurtoza)

Test t-Studenta

• TEST na istotność parametrów
• H0: α=0, czyli zmienna objaśniająca x

nieistotnie wpływa na zmienną objaśnianą Y

• H1: α=0, czyli zmienna objaśniająca x istotnie

wpływa na zmienną objaśnianą Y

WNIOSKOWANIE:
|statystyka| > wartość krytyczna  H1
|statystyka| < wartość krytyczna  H0

Wnioskowanie na podstawie

prawdopodobieństwa (p-value)

• Jeżeli:
• p > α (poziom istotności)  H0
• p < α (poziom istotności)  H1

• Zazwyczaj poziom istotności wynosi ok. 0,05

lub 0,01

STACJONARNOŚĆ SZEREGU

Intuicyjnie zmienna stacjonarna to zmienna, której własności nie zmieniają się

wraz z upływ czasu

-stałość średniej (wartości oczekiwanej)

-stałość wariancji

-stałość kowariancji

Dane finansowe charakteryzują się niestacjonarnością i aby doprowadzić do ich

stacjonarności należy policzyć ich przyrosty.
Modele budujemy zazwyczaj w oparciu o zmienne stacjonarne, ponieważ

zbudowane na zmiennych niestacjonarnych dają kiepskie prognozy.
Modele ARMA  tylko na danych stacjonarnych
Modele ARCH,GARCH  warunkowa stacjonarność

TESTY NA STACJONARNOŚĆ

Test Dickeya-Fullera
H0:  dane niestacjonarne (występowanie pierwiastka jednostkowego)
H1:  dane stacjonarne

WNIOSKOWANIE:
ADF > wartość krytyczna   H0
ADF < wartość krytyczna  H1

Rozkład statystyki jest niestandardowy, asymetryczny i przesunięty w lewo – należy

sięgnąć do odpowiednich tablic wartości krytycznych

W testach w Gretlu jeżeli wartość statystyki występuje przy dużym

prawdopodobieństwie, to mówimy, że występuje NIESTACJONARNOŚĆ.

Ponieważ wartość statystyki ADF w Gretlu zakłada właśnie niestacjonarność

Test Kwiatkowskiego-Phillipsa-Schmidta-Shina (w skrócie KPSS), ma odwrotny

układ hipotez

H0: szereg jest stacjonarny
H1: szereg jest niestacjonarny

UWAGA!!! Jedyny test, w którym
wnioskowanie jest odwrotne

KOINTEGRACJA

• Zmienna jest zintegrowana, jeśli jest NIESTACJONARNA, ale można ją

sprowadzić do zmiennej stacjonarnej poprzez wyznaczanie jej przyrostów.

BARDZO WAŻNE!

• Stopień (lub rząd) integracji to liczba przyrostów potrzebnych do

uzyskania stacjonarności.

• Zmienna jest zintegrowana rzędu 1, jeśli jest niestacjonarna ale jej

pierwsze przyrosty są stacjonarne.

• Jeśli chcemy zbudować sensowny jednorównaniowy model

ekonometryczny, a zmienne objaśniana i objaśniające są niestacjonarne,

zintegrowane, to można poszukać tzw. relacji kointegrującej między nimi.

• Zintegrowanie szeregu notowań indeksu w stopniu wyższym niż 1

POWINNO SYGNALIZOWAĆ występowania bąbla spekulacyjnego na tym

rynku. Liczenie drugich przyrostów w celu uzyskania stacjonarności

wykorzystuje się kiedy ceny nieoczekiwanie się zmieniają (np. w trakcie

hiperinflacji, kryzysu, spekulacji).

Metoda Engle’a-Grangera badania

kointegracji

• H0: reszty et są niestacjonarne, oznacza, że

wektor [1, -beta](Beta to parametr stojący przy x)

otrzymany na podstawie ocen parametrów

regresji, nie jest wektorem kointegrującym dla

zmiennych modelu

• H1 : reszty et są stacjonarne, oznacza, że zmienne

modelu są skointegrowane, a wektor [1, -beta]

jest dla nich wektorem kointegrującym .

WNIOSKOWANIE na podstawie statystki ADF:
statystyka > wartość krytyczna  H0
statystyka< wartość krytyczna  H1

EWMA- średnia ważona wygładzona

wykładniczo

• Wygładza wynik
• Nadaje większą wartość wynikom najbliższym

w czasie

• Nie powoduje zniekształceń spowodowanym

efektem ghost feature (widmo ostatnich
zdarzeń)

• Wykorzystujemy ją do oszacowania

parametrów modelu CAPM (wersja
warunkowa)

MODEL ARMA

• Model ARMA to połączenie modelu autoregresyjnego (AR) ze

średnią kroczącą (MA)

• Szacujemy go tylko dla danych stacjonarnych
• Kryteria AIC (Akaike) i BIC (Schwarza) służą do porównywania

wariantów modeli ARMA (wybieramy najlepszy na podstawie

minimalizacji kryteriów)

• Wiele analiz empirycznych wskazuje, że stosowanie modeli AR

lub MA wymaga wprowadzenia za wielu parametrów w związku z

tym proponuje się kombinacje modeli w postaci ARMA.

• Wybór liczby opóźnień w modelu ARMA(p,q) jest dokonywany na

podstawie testu ACF (odnosi się do części MA), PACF (odnosi się

do AR)

• Przy modelu AR (autoregresyjny) nie można stosować testu DW

(Durbina Watsona na autokorelację)

MODEL (G)ARCH

• zmienność wariancji w czasie oraz jej nieskończoność

rozwiązuje się w praktyce za pomocą modelu (G)ARCH

o rozkładzie t-Studenta

• Model ARCH - model autoregresji z

heteroskedastycznością warunkową ( z warunkową

wariancją niestałą w czasie)

model ekonometryczny służący do analizy szeregów

czasowych. Stosuje się go głównie w analizie

finansowej zmienności cen instrumentów finansowych

• Warunkowa wariancja zależy od wartości stóp zwrotu

podniesionych do kwadratu sprzed p-1 dni, np.

ARCH(5)- napływ nowej informacji sprzed 4 okresów

Testowanie efektu ARCH- test Engle`a

H0: β

= β

= 0  brak efektu ARCH

H1: β

≠0 lub β

≠0  występuje efekt ARCH

WNIOSKOWANIE:
Statystyka > wartości krytycznej  H1
Statystyka < wartości krytycznej  H0

Test McLeoda-Li

• przeprowadzony w celu weryfikacji efektu grupowania

zmienności (efekt ARCH)

• rozkład chi-kwadrat
• H0: wariancja = const. -> brak autokorelacji (brak ARCH)
• H1: wariancja ≠ const. -> przynajmniej jeden współczynnik

autokorelacji rzędu od 1 do p jest statystycznie istotny

(występuje efekt ARCH)

• Statystyka taka sama jak w Ljung – Box
WNIOSKOWANIE:
p > alfa H0
p < alfa  H1
ALE! Możemy też wnioskować na podstawie statystyki

Test Diebolda-Mariano

• Służy do porównywania, który model generuje

lepsze prognozy w modelach typu GARCH

ZMIENNOŚĆ IMPLIKOWANA

• Zmienność zależna od cen opcji

Inne rozkłady

Modele GARCH o różnym rozkładzie składnika

losowego:

• T – Studenta
• Skośny T-Studenta
• Uogólniony rozkład błędu (GED)- rozkład ten

lepiej opisuje „grube ogony”

• Skośny uogólniony rozkład błędu

STOPY ZWROTU

• Zwykła stopa zwrotu

• Logarytmiczna stopa zwrotu
r

= ln(1 + Rt)

Stopy zwrotu są ADDYTYWNE, więc aby obliczyć stopę zwrotu

z paru dni, należy dodać do siebie logarytmiczne stopy

zwrotu.

Jeśli mamy podane odchylenie standardowe stopy zwrotu lub

stopę zwrotu to możemy obliczyć jaka będzie jej wielkość w

danym okresie. W tym celu mnożymy naszą wartość przez

pierwiastek z czasu.

Efekt dźwigni

Zmienność reaguje mocniej na szoki ujemne (efekt

dźwigni).

Kwantyfikacji oddziaływania szoków na

zmienność dokonuje się na podstawie tzw.

krzywej przepływu informacji (NIC, NIF)

CAR

Skumulowana dodatkowa stopa zwrotu (CAR) jest liczona

jako suma dziennych lub miesięcznych nadzwyczajnych stóp

zwrotu w badanym okresie. Skumulowana dodatkowa

stopa zwrotu dla akcji w oknie zdarzenia T obliczana jest

zgodnie z formułą :

CAR = suma AR

WNIOSKOWANIE na podstawie CAR/odchylenie:
H0  brak wpływu zdarzenia na stopy zwrotu
H1  wpływ zdarzenia na stopy zwrotu
statystyka > wartość krytyczna  H1
statystyka < wartość krytyczna  H0

Rodzaje efektywności rynku

1. SŁABA FORMA HIPOTEZY EFEKTYWNOŚCI RYNKU- dane

historyczne zdyskontowane w aktualnych cenach.

•

Jeżeli spełniona jest słaba forma, to statystyka VR(2) powinna być bliska

1. PÓŁ-SILNA FORMA- dane publikowane zdyskontowane w

aktualnych cenach

2. SILNA FORMA- publiczne i prywatne dane zdyskontowane

w aktualnych cenach.

• Insider trading- wykorzystywanie informacji prywatnej przez „insiderów” –

nielegalne, wymóg informowania giełdy

• Wykorzystanie rekomendacji przed ich publikacja (np. Value Line -

doradca inwestycyjny) Problemy: „selection bias”, „survivorship bias”

Test na efektywność rynku

Test statystyczny sprawdzający czy autokorelacja

stóp zwrotu rzędu pierwszego jest różna od zera -

statystyka √Tp(1)

H0  rynek efektywny
H1  rynek nieefektywny

WNIOSKOWANIE:
Statystyka > wartość krytyczna  H1
Statystyka < wartość krytyczna  H0

TESTY MODELI BŁĄDZENIA LOSOWEGO-

wykorzystywane przy słabej formie efektywności

rynku

- sekwencje i zmiany trendu
- testy serii, prostsza wersja to test Walda-Wolfowitza
- filter rulet (algorytmy handlu) filtr k% - kupuj, gdy cena

wzrośnie k% i sprzedaj kiedy spadnie k%, uwzględnij koszty

transakcyjne, porównaj całkowity zwrot z tej strategii ze

zwrotem ze strategii „kupuj i trzymaj”

- współczynnik korelacji
- testy dla wielu WSP. Korelacji na raz
- ilorazy wariancji ( jeżeli w teście wyjdzie, że VR(q)=1 to

znaczy, że wszystkie korelacje są równe 0)

- testy ilorazu i różnicy wariancji
- testy dla długookresowych stóp zwrotu

TESTOWANIE PÓŁ-SILNEJ FORMY EMH

• Publiczne ogłoszenia informacji o spółkach, rynku itp.
• Metoda testowania: ANALIZA ZDARZEŃ – nieparametryczny

test znaków

(liczba dodatnich Rt/liczba obserwacji - 0,5)*pierwiastek z liczby

obserwacji/0,5

Statystyka < Wartość krytyczna  H0
Statystyka > Wartość krytyczna  H1

H0 – nieistotny wpływ zdarzenia na stopy
H1 – istotny wpływ zdarzenia na zwroty

TESTOWANIE SILNEJ FORMY EMH

• „Insider trading”- wykorzystywanie informacji

prywatnej przez „insiderów” – nielegalne, wymóg
informowania giełdy

• Wykorzystanie rekomendacji przed ich

publikacja (np. Value Line - doradca inwestycyjny)
Problemy: „selection bias”, „survivorship bias”

Wyniki:
• analitycy posiadają małe zdolności

prognostyczne, prognozy przydatne tylko w
krótkim horyzoncie

CAPM

CAPM (autorzy: Sharpe, Lintner, Mossin)
Założenia CAPM
• Brak kosztów transakcyjnych
• Aktywa finansowe nieskończenie podzielne
• Brak podatku dochodowego
• Pojedynczy inwestor nie jest w stanie zmienić ceny instrumentu finansowego (konkurencja doskonała)
• Inwestorzy podejmują decyzje wyłącznie na podstawie wartości oczekiwanych zwrotów i odchyleń

standardowych swoich portfeli

•

Krótka sprzedaż nieograniczona

• Nieograniczona możliwość pożyczania po stopie procentowej bez ryzyka
• Inwestorzy są homogeniczni w swoich oczekiwaniach dotyczących:
– stóp zwrotu, odchyleń standardowych, korelacji miedzy instrumentami w danym okresie
– okresu oceny inwestycji (horyzont inwestycyjny)
• Wszystkie aktywa są na sprzedaż

(Oczekiwany zwrot)=(cena czasu)+(cena ryzyka)x(wielkość ryzyka)

W zaproponowanym przez Blacka, Jensena i Scholesa MODELU REGRESJI (1972)

szacowana jest miara ‘beta’ ryzyka systematycznego z portfela przy pomocy metody

najmniejszych kwadratów i przy użyciu danych w postaci szeregów czasowych ( jeśli

model byłby prawdziwy to E(y2t) = 0, E(y3t) = 0 R(y1t) > 0)

Jeśli z modelu wynika, że stopa zwrotu z portfela nie jest skorelowana ze stopą zwrotu

z rynku, to UŻYWAMY MODELU ZERO BETA CAPM

Współczynnik beta

• Miara zależności zwrotu z portfela od zwrotu z portfela rynkowego.
• Indeks ryzyka systematycznego/niedywersyfikowalnego.
• Inwestor oczekuje dodatkowego zwrotu za ryzyko

niedywersyfikowalne a nie za to, które da sie usunąć poprzez

dywersyfikacje portfela

• Zmienny w czasie
ZERO-BETA CAPM:
• nie ma aktywu wolnego od ryzyka
• mam więc portfel, którego stopa zwrotu jest nieskorelowana ze

stopą zwrotu z portfela rynkowego i tym samym ma beta równa 0

• funkcjonuje przy założeniu, że krótka sprzedaż jest dozwolona
• Jak wynika z badań Famy i MacBeth`a, model ZERO-BETA jest

lepszy do opisu rynku niż zwykły CAPM

Jak policzyć współczynnik beta?

• Model CAPM
Kowariancja między rynkową stopą zwrotu, a

portfelem : wariancja rynkowej stopy zwrotu

• Metoda EWMA
Analogicznie do CAPM  cov/var
Cov(t+1)= lambda * cov

+ (1-lambda)*Rm*Ri

Var(t+1)= lambda * var

+ (1-lambda)*Rm^2

VaR- wartość zagrożona

• maksymalna wartość straty jaką można ponieść w

danym okresie przy zadanym poziomie istotności
w normalnych warunkach rynkowych. Innymi
słowy to starta w wartości rynkowej o takiej
wielkości, że prawdopodobieństwo poniesienia w
zadanym okresie starty większej od niej jest
równe zadanemu poziomowi istotności (p=alfa)

• Oczekiwany niedobór – to oczekiwana wartość

starty pod warunkiem, że strata ta jest większa i
bardziej dotkliwa niż VaR.

Testowanie wsteczne modeli VaR:

•

Test liczby przekroczeń- TEST KUPCA

H0: dobre dopasowanie do danych (zgodność liczby przekroczeń z założoną)
H1: słabe dopasowanie do danych

WNIOSKOWANIE:
P > alfa  H0
P < alfa  H1

•

Test liczby i niezależności przekroczeń- TEST CHRISOFFERSENA

H0 – przekroczenia są niezależne w czasie (model dopasowany do danych)
H1 – przekroczenia są zależne w czasie (model niedopasowany do danych)

Statystyka > wartość krytyczna  H1
Statystyka < wartość krytyczna H0