Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
1
Wrocław, listopad 2004
K
URS
P
ODSTAW
B
IOFIZYKI
VER
.
2.1
dla studentów Wychowania Fizycznego
i Fizjoterapii
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
2
S P I S T R E
Ś C I :
1. M
ECHANIKA CIAŁ STAŁYCH
...........................................................................................4
1.1.
W
IELKO
ŚCI FIZYCZNE I ICH JEDNOSTKI
.............................................................................. 4
1.2.
K
INEMATYKA RUCHU POST
ĘPOWEGO I RUCHU PO OKRĘGU
................................................ 5
1.2.1.
Ruch post
ępowy (liniowy)...............................................................................6
1.2.2.
Rzut uko
śny. ...................................................................................................8
1.2.3.
Ruch obrotowy................................................................................................9
2. D
YNAMIKA RUCHU PROSTOLINIOWEGO
....................................................................... 11
2.1.
Ś
RODEK MASY
................................................................................................................. 11
2.2.
P
ĘD PUNKTU MATERIALNEGO
. ......................................................................................... 12
2.3.
Z
ASADY DYNAMIKI
N
EWTONA
........................................................................................ 12
2.4.
Z
ASADA ZACHOWANIA P
ĘDU
. .......................................................................................... 12
2.5.
P
RACA I ENERGIA
............................................................................................................ 13
2.5.1.
Praca mechaniczna ........................................................................................13
2.5.2.
Energia potencjalna .......................................................................................14
2.5.3.
Energia kinetyczna ........................................................................................14
2.5.4.
Moc .............................................................................................................. 14
2.5.5.
Zasada zachowania energii............................................................................15
2.6.
D
YNAMIKA
B
RYŁY
S
ZTYWNEJ
......................................................................................... 15
2.6.1.
Moment siły ..................................................................................................16
2.6.2.
Moment p
ędu................................................................................................16
2.6.3.
Zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego .........................................16
2.6.4.
Zachowanie momentu p
ędu...........................................................................17
2.6.5.
Moment bezwładno
ści...................................................................................17
2.6.6.
Ruch obrotowo-post
ępowy............................................................................18
3. M
ECHANIKA
P
ŁYNÓW
..................................................................................................20
3.1.
C
I
ŚNIENIE I GĘSTOŚĆ
....................................................................................................... 20
3.1.1.
Ci
śnienie hydrostatyczne...............................................................................21
3.1.2.
Ci
śnienie atmosferyczne................................................................................21
3.1.3.
Prawo Pascala ...............................................................................................21
3.1.4.
Prawo Archimedesa ...................................................................................... 22
3.1.5.
Ogólny opis przepływu płynów .....................................................................22
3.1.6.
Równanie Bernoulliego .................................................................................24
3.1.7.
Dynamiczna siła no
śna..................................................................................24
3.1.8.
Siła oporów aerodynamicznych .....................................................................25
4. F
ALA
A
KUSTYCZNA
(D
ŹWIĘKOWA
) .............................................................................26
4.1.
N
AT
ĘśENIE I
P
OZIOM
N
AT
ĘśENIA
D
ŹWIĘKU
; ................................................................... 27
4.2.
Z
AŁAMANIE I
O
DBICIE
F
ALI
D
ŹWIĘKOWEJ
....................................................................... 28
4.3.
Z
JAWISKO
D
OPPLERA
...................................................................................................... 30
5. T
ERMODYNAMIKA
....................................................................................................... 30
5.1.
G
AZ DOSKONAŁY
............................................................................................................ 30
5.2.
T
EMPERATURA
,
RÓWNANIE STANU GAZU DOSKONAŁEGO
................................................ 31
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
3
5.2.1.
Zerowa zasada termodynamiki ......................................................................31
5.2.2.
Kinetyczna interpretacja temperatury ............................................................ 31
5.2.3.
Równanie stanu gazu doskonałego ................................................................ 31
5.2.4.
Pomiar temperatury, skale temperatur ...........................................................32
5.3.
E
KWIPARTYCJA ENERGII
.................................................................................................. 32
5.4.
P
IERWSZA ZASADA TERMODYNAMIKI
.............................................................................. 33
5.5.
C
IEPŁO WŁA
ŚCIWE
........................................................................................................... 34
5.6.
B
ILANS CIEPLNY
.............................................................................................................. 34
5.7.
Z
ASADA BILANSU CIEPLNEGO
: ......................................................................................... 35
5.8.
P
ROCESY ODWRACALNE I NIEODWRACALNE
,
CYKL
C
ARNOTA
......................................... 35
5.9.
E
NTROPIA I DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI
................................................................. 35
5.10.
E
NTROPIA
........................................................................................................................ 36
5.10.1.
Entropia a nieuporz
ądkowanie.......................................................................37
5.11.
S
TANY RÓWNOWAGI
,
ZJAWISKA TRANSPORTU
................................................................. 37
5.11.1.
Stany równowagi fazowej .............................................................................37
5.11.2.
Zjawiska transportu.......................................................................................38
6. E
LEKTRYCZNO
ŚĆ
I
M
AGNETYZM
................................................................................39
6.1.
E
LEKTROSTATYKA
.......................................................................................................... 40
6.1.1.
Spoczywaj
ący ładunek elektryczny ...............................................................40
6.2.
E
LEKTRODYNAMIKA
........................................................................................................ 40
6.2.1.
Rodzaje pr
ądu ...............................................................................................41
6.2.2.
Charakterystyka pr
ądu elektrycznego ............................................................41
6.2.3.
Pr
ąd zmienny, impedancja (zawada) układu RLC:.........................................43
6.2.4.
Transport jonów w błonach i potencjały błonowe. .........................................43
6.2.5.
Wpływ pr
ądu stałego na organizm.................................................................44
6.2.6.
Elektroterapia w „pigułce” ............................................................................44
6.3.
R
EZONANS MAGNETYCZNY
.............................................................................................. 45
6.3.1.
Moment magnetyczny ...................................................................................45
6.4.
POLE ELEKTROMAGNETYCZNE
......................................................................................... 45
6.4.1.
Powstawanie
światła laserowego...................................................................47
7. P
ROMIENIOWANIE
C
IEPLNE
......................................................................................... 49
7.1.
P
RAWO PROMIENIOWANIA
K
IRCHHOFFA
.......................................................................... 50
7.2.
P
RAWO
P
ROMIENIOWANIA
P
LANCKA
............................................................................... 50
7.3.
P
RAWO PRZESUNI
ĘĆ
W
IENA
: ........................................................................................... 51
7.4.
P
RAWO PROMIENIOWANIA
S
TEFANA
–
B
OLTZMANNA
: ..................................................... 51
7.5.
T
ERMOGRAFIA
................................................................................................................. 52
8. PROMIENIOWANIE
NIEJONIZUJ
ĄCE
(
W PRZYGOTOWANIU
):............................ 52
9. PROMIENIOWANIE
JONIZUJ
ĄCE:
(
W PRZYGOTOWANIU
) ..................................52
10.
UZUPEŁNIENIA.................................................................................................... 53
10.1.
A
LFABET
G
RECKI
. ........................................................................................................... 53
10.2.
W
YBRANE STAŁE FIZYCZNE
............................................................................................. 53
10.3.
L
ITERATURA
.................................................................................................................... 53
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
4
Biofizyka jest nauk
ą „fizycznych aspektów biologii”, włączając w to zastosowanie praw
fizyki i techniki do opisu procesów zachodz
ących w żywych organizmach (w szczególności
człowieku). Działy fizyki w niniejszych materiałach (tj. mechanika ciał stałych, cieczy i
gazów, akustyka, termodynamika, elektryczno
ść i magnetyzm, promieniowanie ciał oraz
elementy fizyki współczesnej) zostały dobrane w taki sposób aby w mo
żliwie uproszczony
sposób wyja
śnić niektóre zjawiska fizyczne zachodzące w organizmie człowieka. Niniejsze
materiały maj
ą stanowić jedynie pomocnicze źródło wiedzy do poznawanych zagadnień,
dlatego uprzejmie zach
ęca się czytelnika do sięgnięcia również do innych pozycji
literaturowych w szerokim wachlarzu ofert dost
ępnych na rynku wydawniczym.
autor
1.
M
ECHANIKA CIAŁ STAŁYCH
Mechanika jest działem fizyki zajmuj
ącym się opisem ruchu ciał materialnych lub ich
cz
ęści wynikający z ich wzajemnych oddziaływań oraz badaniem stanu równowagi pomiędzy
nimi. Wyró
żnia się mechanikę klasyczną (opartą na teorii Isaaka Newtona) oraz mechanikę
relatywistyczn
ą (uwzględniającą efekty przewidywane przez teorię względności Alberta
Einsteina). Mechanik
ę dzieli się na kinematykę i kinetykę (dynamikę):
Kinematyka jest działem mechaniki zajmuj
ącym się geometrycznym (matematycznym)
opisem ruchu ciał bez analizowania sił, które ten ruch wywołały.
Kinetyka (te
ż dynamika) dział mechaniki badający ruch wywołany działaniem na układ
okre
ślonych sił.
1.1. W
IELKO
Ś
CI FIZYCZNE I ICH JEDNOSTKI
Prawa fizyki wyra
żają związki między różnymi wielkościami fizycznymi. Prawa te
formułowane s
ą w postaci równań matematycznych wyrażających ścisłe ilościowe relacje
mi
ędzy tymi wielkościami, a to wiąże się zawsze z pomiarami określającymi liczbowo
stosunek danej wielko
ści do przyjętej jednostki .
Wiele z wielko
ści fizycznych jest współzależnych. Na przykład prędkość jest długością
podzielon
ą przez czas, gęstość masą podzieloną przez objętość itd. Dlatego z pośród
wszystkich wielko
ści fizycznych wybieramy pewną ilość tak zwanych wielkości
podstawowych, za pomoc
ą których wyrażamy wszystkie pozostałe wielkości nazywane
wielko
ściami pochodnymi. Z tym podziałem związany jest również wybór jednostek.
Jednostki podstawowe wielko
ści podstawowych są wybierane (ustalane), a jednostki
pochodne definiuje si
ę za pomocą jednostek podstawowych.
Aktualnie obowi
ązującym w Polsce układem jednostek jest układ SI (Systeme
International d'Unites). Uklad SI ma siedem jednostek podstawowych i dwie uzupełniaj
ące
niezb
ędne w sformułowaniach praw fizyki. Wielkości podstawowe i ich jednostki są
zestawione w tabeli 1.1 poni
żej.
Definicje jednostek podstawowych s
ą związane albo ze wzorcami jednostek albo z
pomiarem. Przykładem jednostki zwi
ązanej ze wzorcem jest masa. Obecnie światowym
wzorcem kilograma (kg) jest walec platynowo – irydowy przechowywany w
Mi
ędzynarodowym Biurze Miar i Wag w Sevres (Francja). Natomiast przykładem jednostki
zwi
ązanej z pomiarem jest długość. Metr (m) definiujemy jako długość drogi przebytej w
pró
żni przez światło w czasie 1/299792458 s.
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
5
Oprócz jednostek w fizyce posługujemy si
ę pojęciem wymiaru jednostki danej wielkości
fizycznej. Wymiarem jednostki podstawowej jest po prostu ona sama. Natomiast dla
jednostek pochodnych wymiar jest kombinacj
ą jednostek podstawowych (w odpowiednich
pot
ęgach). Na przykład jednostka siły ma wymiar kg
.
m/s
2
wynikaj
ący ze wzoru F = ma.
Niektóre jednostki pochodne maj
ą swoje nazwy tak jak jednostka siły - niuton.
Tabela 1-1 Wielko
ści podstawowe, uzupełniające i ich jednostki w układzie SI.
Wielko
ść
Jednostka
Symbol
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Długo
ść
Masa
Czas
Ilo
ść materii (substancji)
Nat
ężenie prądu elektrycznego
Temperatura termodynamiczna
Światłość
metr
kilogram
sekunda
mol
amper
kelwin
kandela
m
kg
s
mol
A
K
cd
8.
9.
K
ąt płaski
K
ąt bryłowy
radian
steradian
rad
sr
Wreszcie, oprócz jednostek podstawowych i pochodnych posługujemy si
ę także
jednostkami wtórnymi , które s
ą ich wielokrotnościami. Wyraża się je bardzo prosto poprzez
dodanie odpowiedniego przedrostka okre
ślającego odpowiednią potęgę dziesięciu, która jest
mno
żnikiem dla jednostki (patrz tabela 1.2).
Tabela 1-2 Wybrane przedrostki jednostek wtórnych.
Przedrostek
Skrót
Mno
żnik
tera
giga
mega
kilo
hekto
decy
centy
mili
mikro
nano
piko
femto
T
G
M
k
h
d
c
m
µ
n
p
f
10
12
10
9
10
6
10
3
10
2
10
-1
10
-2
10
-3
10
-6
10
-9
10
-12
10
-15
1.2. K
INEMATYKA RUCHU POST
Ę
POWEGO I RUCHU PO OKR
Ę
GU
Do okre
ślenia położenia wybranego ciała lub układu ciał używamy układów odniesienia.
Zwró
ćmy uwagę na to, że ruch tego samego ciała widziany z różnych układów odniesienia
mo
że być różny. W szczególności można wybrać taki układ odniesienia, w którym ciało nie
porusza si
ę. Oznacza to, że ruch jest pojęciem względnym.
Ponadto, w naszych rozwa
żaniach będziemy posługiwać się pojęciem punktu
materialnego: Punkt materialny jest to punktowy model rzeczywistego ciała obdarzony
mas
ą, którego rozmiary można zaniedbać.
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
6
Rzeczywiste ciała maj
ą zawsze skończoną objętość, ale dopóki rozpatrujemy ich ruch
post
ępowy (ciała nie obracają się, ani nie wykonują drgań) to z dobrym przybliżeniem
mo
żemy je traktować jako punkty materialne. To przybliżenie może być z powodzeniem
stosowane do opisu ruchu obiektów o ró
żnej wielkości, zarówno "małych" cząsteczek, jak i
"du
żych" planet.
1.2.1. Ruch post
ę
powy (liniowy)
Jest to ruch wzdłu
ż linii prostej (1 stopień swobody=1DOF).
Je
żeli ciało porusza się ruchem jednostajnym (ze stałą prędkością) i jeżeli w pewnej chwili
t
0
znajdowało si
ę w położeniu x
0
to po czasie t znajdzie si
ę w położeniu x danym wzorem:
( )
(
)
0
0
t
t
v
x
t
x
−
⋅
+
=
(1)
Dwa przykłady zale
żności między położeniem x i czasem t pokazano na rysunku poniżej
dla dwóch ciał (np. pojazdów). Jak wynika z powy
ższego wzoru nachylenie wykresu x(t)
przedstawia pr
ędkość danego ciała. Różne nachylenia wykresów x(t) odpowiadają więc
ró
żnym prędkościom. Prędkość v (wektor) może być dodatnia albo ujemna; jej znak wskazuje
kierunek ruchu. Wektor v dodatni - ruch w kierunku rosn
ących x, ujemny to ruch w kierunku
malej
ących x.
Rysunek 1. Przykład ruchu post
ępowego. Jednowymiarowy ruch mierzony
wzgl
ędem startu drugiego (2) ciała. Pomimo, że w chwili początkowej (t=0s)
pierwsze ciało było dwa metry za drugim, zd
ążyło go wyprzedzić (miało
wi
ększą prędkość) i jako pierwsze dotarło do mety (ośmiometrowej).
Pr
ędkość definiujemy jako zmianę położenia ciała w jednostce czasu. W kinematyce
rozró
żnia się pomiędzy prędkością średnią a prędkością chwilową.
Gdy samochód przyspiesza lub hamuje to wskazania pr
ędkościomierza zmieniają się i nie
mo
żemy mówić o "jednej" stałej prędkości. Prędkość zmienia się i w każdej chwili jest inna.
Ograniczaj
ąc się do bardzo małych wartości różnic x–x
0
=
∆
x) czyli równie
ż bardzo małego
przedziału czasu
∆
t=t–t
0
(chwili). Pr
ędkość chwilową w punkcie x otrzymamy gdy nasze
przedziały czasowe
∆
t d
ążą do zera (małe odstępy czasu):
dt
ds
t
s
v
def
t
ch
lim
0
.
=
∆
∆
=
→
∆
( 2)
Jak widzimy pr
ędkość chwilowa jest z definicji pierwszą pochodną drogi po czasie.
Przy szacowaniu czasu dojazdu do wybranej miejscowo
ści często nie jesteśmy w stanie
przewidzie
ć wszystkich parametrów podróży wpływających na prędkość takich jak natężenie
ruchu, konieczno
ść ograniczenia prędkości w terenie zabudowanym itp. Posługujemy się
wtedy poj
ęciem prędkości średniej:
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
7
Pr
ędkość średnia – stosunek przyrostu drogi do przyrostu czasu (czasami stosunek
całkowitej drogi do całkowitego czasu):
p
k
p
k
t
t
s
s
t
s
v
−
−
=
∆
∆
=
śr.
(3)
gdzie indeksami k i p oznaczono stany ko
ńcowe i początkowe ruchu.
Przyspieszenie. Przyspieszeniem nazywamy tempo zmiany pr
ędkości. Rozróżnia się
pomi
ędzy przyspieszeniem chwilowym i średnim.
Przyspieszenie chwilowe jest pierwsz
ą pochodną prędkości po czasie (drugą pochodną
drogi po czasie):
2
2
0
.
lim
dt
s
d
dt
dv
t
v
a
def
t
ch
=
=
∆
∆
=
→
∆
( 4)
Pr
ędkość średnia dotyczy skończonych przedziałów i wyraża się wzorem:
p
k
p
k
t
t
v
v
t
v
a
−
−
=
∆
∆
=
śr.
(5)
Ruch jednostajny, to ruch ze stał
ą prędkością. v = const. i zerowym przyspieszeniem: a=0.
Warto
ść drogi w danym momencie t można obliczyć ze wzoru (1-1), otrzymując:
( )
t
v
s
t
s
⋅
+
=
0
, gdzie s
0
jest pocz
ątkową wartością przebytej drogi.
Ruch jednostajnie zmienny. Ruch ten, ze wzgl
ędu na niezerową wartość współczynnika
przyspieszenia, dzielimy na ruch jednostajnie przyspieszony (a>0) i ruch jednostajnie
opó
źniony (a<0). Stąd, jeżeli a≠0, wartość prędkości w dowolnej chwili czasu t obliczyć
mo
żemy ze wzoru (1-2):
( )
t
a
v
t
v
⋅
+
=
0
, natomiast drog
ę obliczymy całkując równanie (1-1):
( )
2
0
0
2
1
t
a
t
v
s
t
s
⋅
+
⋅
+
=
, gdzie s
0
i v
0
s
ą początkowymi wartościami drogi i prędkości. W
poni
ższej tabeli znajduje się podsumowanie i zestawienie wzorów na przyspieszenie,
pr
ędkość i drogę dla różnych typów ruchów:
Tabela 1-3 Rodzaje ruchów – podsumowanie
rodzaj ruchu
przyspieszenie
pr
ędkość
droga
ruch jednostajny
a=0
a
t
v(t)=v=const.
v
v>0
t
v<0
( )
t
v
s
t
s
⋅
+
=
0
s
v>0
s
0
s
0
=0
v<0
t
ruch jednostajnie
zmienny
a=const. i
a>0 –> przyspieszony
a<0 –> opó
źniony
a
a>0
t
a<0
( )
t
a
v
t
v
⋅
+
=
0
v
a>0
v
0
v
0
=0
a<0
t
( )
2
0
0
2
1
t
a
t
v
s
t
s
⋅
+
⋅
+
=
s
s
0
a>0
s
0
=0
a<0
t
ruch
niejednostajnie
zmienny
a
≠const. i
a>0 – przyspiesz.
a<0 – opó
źniony.
( )
∫
⋅
=
dt
t
a
t
v
)
(
( )
∫
∫∫
⋅
=
⋅
=
dt
t
a
dt
t
v
t
s
)
(
)
(
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
8
1.2.2. Rzut uko
ś
ny.
Piłka kopni
ęta przez piłkarza lub rzucona przez koszykarza, oszczep lub dysk rzucony
przez atlet
ę czy wreszcie pocisk wystrzelony z działa poruszają się poruszają się po torze
krzywoliniowym. Naszym celem jest znalezienie pr
ędkości i położenia rzuconego ciała w
dowolnej chwili, opisanie toru ruchu i wyznaczenie zasi
ęgu rzutu.
Je
żeli pominiemy opory powietrza to ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem
grawitacyjnym g (g
≈10m/s
2
). Mo
żemy więc zastosować równania dla ruchu jednostajnie
zmiennego. Poniewa
ż przyspieszenie jest skierowane "w dół" wygodnie jest wybrać układ
współrz
ędnych tak, że x będzie współrzędną poziomą, a y pionową. Ponadto, przyjmijmy, że
pocz
ątek układu współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało oraz, że
pr
ędkość w chwili początkowej t = 0 jest równa v
0
i tworzy k
ąt
α
z dodatnim kierunkiem osi x
(rysunek poni
żej).
Zauwa
żmy, że rzut (np. pokazany z prawej strony rzut piłką tenisową) rozłożyć możemy
na dwa ruchy: ruch jednostajny wzgl
ędem osi podłużnej (x) oraz ruch jednostajnie zmienny
wzgl
ędem osi pionowej (y). Dla składowych poziomej i pionowej prędkości zapisać możemy:
gt
v
gt
v
t
v
v
v
t
v
x
y
x
x
−
=
−
=
=
=
α
α
sin
)
(
cos
)
(
0
0
0
0
( 6)
a znaj
ąc prędkości obliczyć możemy przemieszczenia odpowiednio poziome i pionowe:
2
0
2
0
0
2
1
sin
2
1
)
(
cos
)
(
gt
t
v
gt
t
v
t
y
t
v
t
x
x
−
⋅
=
−
=
⋅
=
α
α
(7)
Sprawd
źmy teraz po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej
y(x). Równanie y(x) mo
żemy obliczyć eliminując czas t z tych równań. Z zależności x(t)
obliczamy t, a nast
ępnie wstawiamy do równania y(t), które przyjmuje postać
2
2
2
0
cos
2
tg
)
(
x
v
g
x
x
y
⋅
−
⋅
=
α
α
( 8)
Jest to parabola z ramionami skierowanymi w dół (rysunek poni
żej).
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
9
Z powy
ższych równań łatwo pokazać, że:
a)
maksymalna wysoko
ść, na jaką wzniesie się ciało wynosi:
g
v
g
v
h
y
2
sin
2
2
2
0
2
max
θ
=
=
(9)
b)
całkowity czas ruchu:
g
v
g
v
t
y
θ
sin
2
2
0
⋅
=
⋅
=
(10)
c)
zasi
ęg rzutu (maksymalny dystans):
g
v
g
v
v
t
v
z
x
)
2
sin(
sin
2
cos
2
0
0
0
θ
θ
θ
=
⋅
=
=
(11)
Powy
ższe wzory przydatne są do określenia zasięgu, oraz maksymalnej wysokości rzutów
w lekkoatletyce.
1.2.3. Ruch obrotowy.
Rozwa
żać będziemy ciało poruszające się ze stałą prędkością (liniową) po okręgu o
promieniu R. Pr
ędkość kątowa (obrotowa) zdefiniowana jest jako zmiana kąta do zmiany
czasu.
Pr
ędkość kątowa średnia wyraża się wzorem:
t
∆
∆
=
α
ω
śr
(12)
natomiast pr
ędkość kątowa chwilowa wzorem:
dt
d
α
ω
=
ch
(13)
i jak widzimy jest to pierwsza pochodna k
ąta po czasie.
Na zasadzie analogii pomi
ędzy ruchem obrotowym i liniowym zauważymy, że
przyspieszenie chwilowe k
ątowe jest pierwszą pochodną prędkości kątowej po czasie:
dt
d
ch
ω
ε =
(14)
Zwi
ązek prędkości liniowej i kątowej można wyprowadzić, w prosty sposób, przy
wsparciu nast
ępującym rysunkiem:
v P’
v
R
P
α
αα
α
R
Wyobra
źmy sobie, że punkt materialny (reprezentujący np. młot z sytuacji z prawej strony)
przemie
ścił się z punktu P do punktu P’.
R
2
s
R
2
s
αααα
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
10
Załó
żmy również, że przemieszczenie s było nieskończenie małe (rysunek).
Prowadz
ąc dwusieczną kąta
α
obliczmy sinus
α
/2 powstałego w ten sposób trójk
ąta
prostok
ątnego:
R
s
R
s
2
2
2
sin
=
=
α
.
Skorzystajmy z tego,
że kąt
α
jest niesko
ńczenie małym kątem (dla małych kątów sinz≈z),
dostaniemy:
R
s
2
2
2
sin
=
≈
α
α
, a st
ąd: s=
α
.
R.
Przekształcaj
ąc dalej możemy otrzymać związek pomiędzy prędkością liniową a kątową:
R
v
⋅
=
ω
(15)
oraz pomi
ędzy przyspieszeniem liniowym a kątowym:
R
a
⋅
=
ε
(16)
Przy analizie ruchu po okr
ęgu dobrze jest wspomnieć o następujących parametrach:
Okres – czas pełnego obiegu (k
ąt
α
zmienia si
ę wtedy o 2
π
).
Cz
ęstotliwość – odwrotność okresu:
T
f
1
=
(17)
Tabela 4 Niektóre analogie pomi
ędzy ruchem postępowym a obrotowym
Ruch post
ę
powy
Ruch obrotowy
1. r. zmienny
a
≠0
* a>0 r.przysp.
* a<0 r opó
źn.
a = a(t)
∫
⋅
=
dt
t
a
t
v
)
(
)
(
∫
⋅
=
dt
t
v
t
s
)
(
)
(
ε
=
ε
(t)
∫
⋅
=
dt
t
t
)
(
)
(
ε
ω
∫
⋅
=
dt
t
t
)
(
)
(
ω
α
2. r. jednostajnie
zmienny
a=const.
a(t) = a
0
at
v
t
v
+
=
0
)
(
2
)
(
2
0
0
t
a
t
v
s
t
s
⋅
+
+
=
ε(
t
)
=
ε
0
t
t
ε
ω
ω
+
=
0
)
(
2
)
(
2
0
0
t
t
t
⋅
+
+
=
ε
ω
α
α
3. r. jednostajny
a = 0
a(t) = 0
0
)
(
v
t
v
=
t
v
s
t
s
0
0
)
(
+
=
ε(
t
)
=
0
0
)
(
ω
ω
=
t
t
t
0
0
)
(
ω
α
α
+
=
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
11
2.
D
YNAMIKA RUCHU PROSTOLINIOWEGO
Dynamika
zajmuje si
ę opisem ruchu ciał pod działaniem sił. Do tego celu służą różne
rodzaje równa
ń ruchu w zależności od modelu zastosowanego. Wyróżnia się dynamikę
punktu materialnego, bryły sztywnej, aerodynamik
ę i hydrodynamikę.
2.1.
Ś
RODEK MASY
Dotychczas przedmioty traktowali
śmy jak punkty materialne, tzn. obdarzone masą cząstki
bezwymiarowe (o zerowej obj
ętości) co wystarczało w przypadku ruchu postępowego ciał bo
ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała. Jednak rzeczywiste ciała s
ą układami
ogromnej liczby atomów, a ich ruch mo
że być bardzo skomplikowany. Ciało może wirować
lub drga
ć, w trakcie ruchu cząstki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie. Przykład
takiego ruchu jest przedstawiony na rysunku-animacji poni
żej.
Przykład: Rozwa
ż
amy układ dwóch ró
ż
nych mas m
1
i m
2
pokazanych na rysunku:
0
X1
X2
X
Rys. .
Środek masy układu dwóch mas m
1
i m
2
o współrz
ędnych
odpowiednio: x
1
, x
2
.
Poło
ż
enie
ś
rodka masy tego układu (x-owa współrz
ę
dna osiowa) definiujemy jako
:
.
Poło
żenie środka masy układu punktów materialnych wyznaczamy jak zatem średnią
wa
żoną, przy czym masa tych punktów jest czynnikiem ważącym przy tworzeniu średniej.
Przez analogi
ę dla układu n cząstek (punktów materialnych) współrzędna x środka masy
jest dana zale
żnością:
gdzie suma mas poszczególnych punktów układu jest całkowit
ą masą układu:
ΣΣΣΣ
m
i
= M.
Post
ępując w ten sam sposób możemy wyznaczyć pozostałe współrzędne y, z. W wyniku
otrzymujemy trzy równania skalarne, które mo
żemy zastąpić jednym równaniem:
gdzie r jest uogólnion
ą współrzędną: r = {x, y, z}
Zauwa
żmy, że środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych
punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia, a nie zale
ży od wyboru układu odniesienia.
Dla ciał o regularnym kształcie
środek masy pokrywa się ze środkiem geometrycznym.
Ruch
środka masy: Środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki sposób,
jakby cała masa układu była skupiona w
środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań
działały.
wypadkowa
m
śr
F
F
Ma
=
=
∑
.
.
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
12
Z twierdzenia o ruchu
środka masy wynika, że nawet ciała materialne będące układami
zło
żonymi z dużej liczby punktów materialnych możemy w pewnych sytuacjach traktować
jako pojedynczy punkt materialny. Tym punktem jest
środek masy.
To twierdzenie obowi
ązuje dla każdego układu punktów materialnych. W szczególności
układ mo
że być ciałem o budowie ciągłej (np. ciało stałe). Wtedy przy obliczeniach środka
masy sumowanie
Σ
zast
ępujemy całkowaniem
∫
. Układ mo
że też być zbiorem cząstek, w
którym wyst
ępują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego. Pojęcie środka masy jest bardzo
u
żyteczne np. do obliczania energii kinetycznej cząsteczek, wypadkowej siły, pędu, itp.
2.2. P
Ę
D PUNKTU MATERIALNEGO
.
Jest to iloczyn masy tego punktu oraz jego pr
ędkości. Podobnie jak prędkość pęd jest
jednostk
ą wektorową (posiada wartość, kierunek i zwrot).
v
m
p
r
r
⋅
=
(18)
2.3. Z
ASADY DYNAMIKI
N
EWTONA
1
Trzy podstawowe prawa fizyczne mechaniki, których tre
ść jest następująca:
1.
Je
żeli na punkt materialny (p.m.) nie działa siła (lub działające siły równoważą się), to
ciało to spoczywa lub porusza si
ę ruchem jednostajnym prostoliniowym.
2.
Je
żeli na punkt materialny działa niezerowa siła, to ciało porusza się ruchem
przyspieszonym (lub opó
źnionym). Przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do
siły zgodnie ze wzorem:
a
m
F
⋅
=
,
(19)
gdzie stała proporcjonalno
ści m jest masą przyspieszanego p.m.
3.
Je
żeli jeden punkt materialny działa na drugi p.m. siłą F
1
, to ten drugi działa na
pierwszy z t
ą samą siłą ale o przeciwnym zwrocie: F
2
= –F
1
.
Znana jest jeszcze inna posta
ć drugiej zasady dynamiki. Przekształćmy równanie F=ma.
Otrzymamy:
dt
dp
dt
mv
d
dt
dv
m
a
m
F
=
=
⋅
=
⋅
=
)
(
, przy zało
żeniu o stabilności masy w czasie.
Czyli:
dt
dp
F
=
(20)
2.4. Z
ASADA ZACHOWANIA P
Ę
DU
.
Je
żeli na układ ciał nie działają siły zewnętrzne (F=0) (lub się one równoważą), to w myśl
drugiej zasady dynamiki:
0
=
dt
dp
, a to implikuje,
że dp=0 czyli pęd układu pozostaje stały.
const.
p
to
,
0
jezeli
=
=
F
(21)
Analogicznie posługuj
ąc się zasadą zachowania pędu można wytłumaczyć na przykład
zjawisko odrzutu wyst
ępujące przy strzelaniu z broni palnej. Zjawisko odrzutu ma jednak
wa
żne praktyczne znaczenie. Zostało wykorzystane w silnikach odrzutowych i rakietowych,
w których wyrzucane spaliny nadaj
ą samolotowi (rakiecie) przeciwnie skierowany pęd.
Zjawisko to jednak ró
żni się od opisanych powyżej, bo w przeciwieństwie do układów gdzie
masa elementów składowych pozostawała stała masa wyrzucanych spalin i masa rakiety
zmieniaj
ą się.
1
Sir Isaac Newton (1643-1727)
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
13
Wiemy ju
ż, że jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru to
spełniona jest zasada zachowania p
ędu. W takim układzie mogą jednak działać siły
wewn
ętrzne, na przykład siły występujące przy zderzeniach między cząsteczkami gazu. I
wła
śnie dlatego możemy skorzystać z zasady zachowania pędu do opisu zderzeń.
2.5. P
RACA I ENERGIA
Znajomo
ść zagadnień związanych z szeroko rozumianym pojęciem energii jest
konieczna
dla
wszelkich
rozwa
żań zarówno technologicznych, ekonomicznych,
ekologicznych jak i społecznych.
śeby się o tym przekonać wystarczy sprawdzić jak istotną
pozycj
ą w budżecie domowym stanowią wydatki związane z zapotrzebowaniem na energię
(zakupy
żywności, opłaty za prąd, gaz, ogrzewanie czy paliwo do samochodu). Z energią
zwi
ązana jest najważniejsza chyba zasada całej fizyki - zasada zachowania energii. Nakłada
ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzystanie. Do zasady tej b
ędziemy się
odwoływali wielokrotnie w kolejnych rozdziałach dotycz
ących różnych zagadnień fizyki. W
mechanice zasada zachowania energii pozwala oblicza
ć w bardzo prosty sposób ruch ciał,
stanowi alternatyw
ę do stosowania zasad dynamiki Newtona.
2.5.1. Praca mechaniczna
W najprostszym przypadku, punkt materialny przemieszcza si
ę pod wpływem stałej siły
F. Traktuj
ąc przesunięcie s jako wektor o długości równej drodze jaką przebywa ten punkt i
kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu, mo
żemy zdefiniować pracę W.
Praca mechaniczna W wykonana przez stał
ą siłę F jest iloczynem skalarnym tej siły
F i wektora przesuni
ęcia s
α
cos
Fs
s
F
W
=
=
r
o
r
,
gdzie
α
jest k
ątem między kierunkami siły i przesunięcia. Zwróćmy uwagę, że kąt
α
mo
że
by
ć różny od zera bo stała siła nie musi mieć kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu punktu
materialnego. Dzieje si
ę tak gdy działają jeszcze inne siły (np. ciężar, tarcie). Ale nawet gdy
działała tylko jedna siła to i tak ciało nie musi porusza
ć się w kierunku jej działania np. siła
grawitacji w rzucie uko
śnym. Rozpatrzmy teraz następujący przykład.
Przykład:
Ciało o masie m ( na przykład sanki) jest ci
ągnięte po poziomej powierzchni
stał
ą siłą F (rysunek poniżej), a sznurek, za który ciągniemy tworzy kąt
α
z poziomem. Praca
jak
ą wykonał człowiek ciągnący to ciało na drodze s jest zgodnie z równaniem (7.1) równa
Fscos
α
. Zauwa
żmy, że pracę wykonuje tylko składowa F
s
= Fcos
α
styczna do przesuni
ęcia
s. Natomiast składowa pionowa Fsin
α
działa w gór
ę zmniejszając nacisk ciała na
powierzchni
ę.
Ciało o masie m ci
ągnięte po poziomej powierzchni stałą siłą F tworzącą kąt
α
z poziomem.
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
14
Praca mo
że przyjmować zarówno wartości dodatnie gdy
α
< 90°, jak i ujemne gdy
α
> 90°. W omawianym przykładzie, poza sił
ą ciągnącą ciało, działa jeszcze siła tarcia
kinetycznego T (rysunek 7.1) przeciwstawiaj
ąca się ruchowi (
α
= 180°). Praca wykonana
przez sił
ę tarcia jest ujemna W = T
⋅⋅⋅⋅
s
= Ts cos180° = -Ts. W szczególno
ści praca może być
równa zeru, gdy kierunek siły jest prostopadły do kierunku przesuni
ęcia (
α
= 90°, cos90° =
0).
Przykładem mo
że być praca dla siły dośrodkowej. Przyspieszenie dośrodkowe jest
prostopadłe do toru wi
ęc siła dośrodkowa nie wykonuje pracy. Rozpatrzmy jeszcze raz
powy
ższy przykład ale w sytuacji gdy człowiek ciągnący ciało porusza się ze stałą
pr
ędkością. Z pierwszej zasady dynamiki wynika, że wtedy F
wyp
= 0. W kierunku poziomym
F
wyp
= Fcosa − T = 0, zatem "dodatnia" praca wykonana przez człowieka jest równa co do
warto
ści bezwzględnej "ujemnej" pracy wykonanej przez siłę tarcia.
2.5.2. Energia potencjalna
Przy podnoszeniu w gór
ę (ze stałą prędkością) ciała o masie m na wysokość h zauważmy,
że w trakcie podnoszenia ciała człowiek działa siłą F równą ciężarowi ale przeciwnie
skierowan
ą, więc "dodatnia" praca W = mgh wykonana na drodze h przez siłę F (człowieka)
jest równa co do warto
ści "ujemnej" pracy wykonanej przez siłę ciężkości.
Prac
ę tą nazywamy energią potencjalną Ep.
E
p
=mgh.
(22)
Poprzez zwi
ązek energii potencjalnej z wysokością, możemy stwierdzić, że energia
potencjalna, to energia ciała na jakiej
ś wysokości.
2.5.3. Energia kinetyczna
Rozpatrzmy jeszcze raz ruch ciała pod wpływem stałej, niezrównowa
żonej siły F i
obliczmy prac
ę jaką wykonuje ona na drodze s. Stałość siły oznacza, że ruch odbywa się ze
stałym przyspieszeniem a. Zakładamy ponadto,
że kierunek siły F i przyspieszenia a pokrywa
si
ę z kierunkiem przesunięcia s. Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego możemy napisać:
t
s
at
v
v
at
t
v
s
2
v
-
v
i
t
v
-
v
a
2
0
0
0
2
0
=
=
+
=
+
=
(23)
Wykonana praca jest zatem równa:
2
2
2
v
-
v
t
v
-
v
2
0
2
0
0
mv
mv
t
m
s
ma
Fs
W
−
=
=
⋅
=
=
(24)
i jest równa przyrostowi tzw. energii kinetycznej: W =
∆
E
k
.
Energi
ą kinetyczną E
k
nazywamy połow
ę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości ciała
o masie m. Energia kinetyczna jest energi
ą ciała w ruchu.
2
2
mv
E
k
=
(25)
Z twierdzenia o pracy i energii wynika,
że jednostki pracy i energii są takie same.
Jednostki: Jednostk
ą pracy i energii jest w układzie SI dżul (J); 1J = 1N·m. W fizyce
atomowej powszechnie u
żywa się jednostki elektronowolt (eV); 1eV = 1.6·10
-19
J.
2.5.4. Moc
Z punktu widzenia zastosowa
ń praktycznych często istotnym jest nie to ile energii można
uzyska
ć ze źródła ale to jak szybko można ją uzyskać (zamienić w użyteczną postać).
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
15
Na przykład, wa
żnym parametrem samochodu, istotnym przy wyprzedzaniu, jest to jak
szybko samochód przyspiesza tzn. jak szybko silnik wykonuje prac
ę związaną z
rozp
ędzaniem samochodu. Inny przykład to, gdy chcemy zlecić komuś pracę do wykonania.
Bierzemy wtedy pod uwag
ę nie tylko koszty ale i czas wykonania zlecenia (pracy).
Moc definiujemy jako ilo
ść wykonanej pracy (lub przekazanej energii) do czasu w jakim
została ona wykonana (moc mechaniczna
średnia).
t
W
P
sr
∆
∆
=
.
(26)
Moc chwilowa okre
śla natomiast szybkość wykonywania pracy, bo jest pochodną pracy
po czasie:
dt
dW
P
chw
=
.
(27)
Moc jest parametrem, który mierzy tak
że tempo przemiany (przekazywania) energii.
Praca obliczona dla stałej siły F przyjmuje dodatkow
ą postać: P = W / t = F
.
s / t = F
.
v
P = F
.
v.
(28)
Jednostk
ą mocy w układzie SI jest wat (W); 1 W = 1 J/ s. Dla celów praktycznych
powszechnie stosowan
ą jednostką mocy jest kilowat (kW), a jednostką energii elektrycznej
(iloczyn mocy i czasu) jest kilowatogodzina (kWh).
2.5.5. Zasada zachowania energii
Zasada zachowania energii mechanicznej mówi,
że dla ciała podlegającego działaniu siły
zachowawczej, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała.
E
m
= E
k
+ E
p
= constans
(29)
Podali
śmy zasadę zachowania energii mechanicznej dla pojedynczego ciała, ale ta zasada
jest bardziej ogólna i obowi
ązuje dla wszystkich odosobnionych układów ciał. Układy
odosobnione to takie, na które nie działaj
ą siły zewnętrzne (spoza układu). W takich układach
suma energii kinetycznych i potencjalnych wszystkich ciał pozostaje stała bez wzgl
ędu na
oddziaływania w nich zachodz
ące.
Siła tarcia zmienia energi
ę mechaniczną układu (zmniejsza ją bo tarcie jest siłą
rozpraszaj
ącą). Pozostaje wyjaśnić co stało się ze "straconą" energią mechaniczną. Okazuje
si
ę, że zostaje ona przekształcona na energię wewnętrzną U, która objawia się wzrostem
temperatury ciała i otoczenia. Zmiana energii wewn
ętrznej
∆
U jest równa rozproszonej
energii mechanicznej.
Energia całkowita, tj. suma energii kinetycznej, energii potencjalnej i energii wewn
ętrznej
w układzie odosobnionym nie zmienia si
ę. Mamy więc zasadę zachowania energii całkowitej.
Inaczej mówi
ąc energia może być przekształcana z jednej formy w inną, ale nie może być
wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielko
ścią stałą.
E
c
= E
k
+ E
p
+
∆
U = constans.
(30)
2.6. D
YNAMIKA
B
RYŁY
S
ZTYWNEJ
Bryła sztywna jest to wyidealizowany obiekt fizyczny, w którym odległo
ści pomiędzy jego
punktami nie ulegaj
ą zmianie.
Jak wynika z naszego codziennego do
świadczenia w ruchu obrotowym ważna jest nie
tylko warto
ść siły, ale to gdzie i pod jakim kątem jest ona przyłożona. Na przykład, drzwi
najłatwiej jest otworzy
ć przykładając siłę na ich zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym
do płaszczyzny drzwi. Siła przyło
żona wzdłuż płaszczyzny drzwi jak i siła przyłożona w
miejscu zawiasów nie pozwalaj
ą na ich obrót.
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
16
2.6.1. Moment siły
Dla ruchu obrotowego wielko
ścią, która odgrywa rolę analogiczną do siły w ruchu
post
ępowym jest moment siły
(tzw. moment obrotowy, skr
ęcający)
Μ
Μ
Μ
Μ
. Je
żeli siła F jest
przyło
żona w pewnym punkcie to moment siły
Μ
Μ
Μ
Μ
wzgl
ędem tego punktu jest definiowany
jako:
F
r
M
r
r
r
×
=
(31)
gdzie wektor r reprezentuje poło
żenie punktu względem wybranego inercjalnego układu
odniesienia. Moment siły jest wielko
ścią wektorową, której:
a) warto
ść wynosi:
M = r
.
F
.
sin(
α
) = R
.
F.
(
32)
Wielko
ść R = r
.
sin(
α
) nazywamy ramieniem siły. (Z równania wynika,
że tylko
składowa siły prostopadła do ramienia F
⊥
= Fsin
θ
wpływa na moment siły.)
b) kierunek jest prostopadły do wektora wodz
ącego r i wektora siły F (tzn. do płaszczyzny
wyznaczonej przez r i F), a
c) zwrot okre
śla reguła „śruby prawoskrętnej” (lub reguła „trzech palców”).
2.6.2. Moment p
ę
du
Zdefiniujmy teraz wielko
ść, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do pędu.
Wielko
ść L nazywamy momentem pędu i definiujemy jako:
p
r
L
r
r
r
×
=
(33)
gdzie p jest p
ędem punktu materialnego, a r reprezentuje jego położenie względem
wybranego inercjalnego układu odniesienia. Sama warto
ść wektora L, z definicji iloczynu
wektorowego wynosi:
L = r
.
p
.
sin(
α
).
34
Istnieje bezpo
średnia zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. śeby ją
wyprowadzi
ć zróżniczkujmy obie strony równania:
(35)
Poniewa
ż wektory v oraz p są zawsze równoległe to ich iloczyn wektorowy jest równy
zeru. Otrzymujemy wi
ęc zależność, która będzie inną postacią drugiej zasady dynamiki w
ruchu obrotowym:
dt
L
d
M
r
r
=
(36)
2.6.3.
Zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego
a) Drugie prawo dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:
Wypadkowy moment siły działaj
ący na punkt materialny jest równy prędkości zmian
momentu p
ędu. (równanie wyżej)
Jest to sformułowanie drugiej zasad
ę dynamiki dla ruchu obrotowego. Równanie na M jest
analogiczne do odpowiedniego równania na F dla ruchu post
ępowego.
Analogicznie mo
żemy sformułować pierwszą zasadę dynamiki ruchu obrotowego:
b) Pierwsze prawo dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
17
Ciało sztywne, na które nie działa moment siły pozostaje w spoczynku lub porusza si
ę
ruchem obrotowym jednostajnym.
c) Trzecie prawo dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego:
Je
żeli dwa ciała oddziałują wzajemnie, to moment siły z jakim działa ciało drugie na ciało
pierwsze jest równy i przeciwnie skierowany do momentu siły, z jakim ciało pierwsze działa
na drugie.
2.6.4. Zachowanie momentu p
ę
du
Dla układu n cz
ąstek możemy zsumować momenty sił działające na poszczególne punkty
materialne, otrzymuj
ąc:
dt
L
d
M
wypadkowy
wypadkowy
r
r
=
(37)
Je
żeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub wypadkowy moment sił
zewn
ętrznych jest równy zeru) to całkowity moment pędu układu pozostaje stały:
gdy M
wypadkowy
=0, to: L=constans.
(38)
2.6.5. Moment bezwładno
ś
ci
Wi
ększość ciał w przyrodzie to nie punkty materialne ale rozciągłe ciała sztywne.
Przeanalizujmy teraz ruch takiej bryły sztywnej obracaj
ącej się ze stałą prędkością kątową
ω
wokół stałej osi obrotu w układzie
środka masy. Zauważmy, że chociaż wszystkie punkty
maj
ą te samą prędkość kątową
ω
to punkty znajduj
ące się w różnych odległościach od osi
obrotu maj
ą różną prędkość liniową v. Prędkość i -tego punktu o masie
∆
m
i
wynosi v
i
= r
i
ω
gdzie r
i
jest odległo
ścią od osi obrotu.
Obliczamy teraz warto
ść momentu pędu L tego ciała:
(39)
Wielko
ść w nawiasie nazywamy momentem bezwładności I, który definiujemy jako:
(40)
dla punktowego (tzw. dyskretnego) rozkładu masy, oraz
dla rozkładu ci
ą
głego:
(41)
Zwró
ćmy uwagę, że moment bezwładności (I) zależy od masy oraz odległości do osi
obrotu i okre
śla sposób rozmieszczenia masy względem osi obrotu dla obracającego się ciała.
Mo
żemy teraz wyrazić moment pędu poprzez moment bezwładności:
(42)
a poniewa
ż zgodnie z równaniem
M = dL/dt
= d(I
.
ω
)/dt = I
.
ε
M = I
.
εεεε
.
,
(43)
gdzie M jest momentem siły,
εεεε
– przyspieszeniem k
ątowym.
Obliczmy teraz energi
ę
kinetyczn
ą
obracaj
ą
cego si
ę
ciała:
(44)
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
18
czyli:
(45)
Zestawmy teraz odpowiednie wielko
ści obliczone dla ruchu obrotowego z ich
odpowiednikami dla ruchu post
ępowego (tabela poniżej).
Tabela 5. Zestawienie wielko
ści opisujących ruch postępowy i ruch obrotowy
Ruch post
ępowy
Ruch obrotowy
druga zasada dynamiki
F = m
.
a
M = I
.
εεεε
p
ęd / moment pędu
p = m
.
v
L = I
.
ω
ω
ω
ω
inna posta
ć drugiej zasady
dynamiki
dt
p
d
F
r
r
=
dt
L
d
M
r
r
=
energia kinetyczna
2
2
mv
E
k
=
2
2
ω
I
E
k
=
Z tego porównania wida
ć, że moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do
masy m w ruchu post
ępowym. Zwróćmy uwagę, że w przeciwieństwie do masy moment
bezwładno
ści zależy od osi, wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektórych
ciał sztywnych s
ą podane w tabeli poniżej:
Ciało
moment bezwładno
ś
ci I
Obr
ę
cz, pier
ś
cie
ń
o promieniu R, wzgl
ę
dem osi obr
ę
czy
MR
2
Kr
ąż
ek, walec wzgl
ę
dem osi walca
½ MR
2
Pr
ę
t o długo
ś
ci L, wzgl
ę
dem osi symetrii prostopadłej do pr
ę
ta
1/12 ML
2
Pełna kula o promieniu R, wzgl
ę
dem
ś
rednicy
2/5 MR
2
Czasza kulista o promieniu R, wzgl
ę
dem
ś
rednicy
2/3 MR
2
Cz
ęsto do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdzeniem
Steinera. Podaje ono zale
żność pomiędzy momentem bezwładności I ciała względem danej
osi, a momentem bezwładno
ści I
0
tego ciała wzgl
ędem osi przechodzącej przez jego środek
masy (tzw. osi centralnej) i równoległej do pierwszej. Zwi
ązek ten wyraża się zależnością:
2
0
Md
I
I
+
=
(46)
gdzie d jest odległo
ścią między osiami, a M jest masą obracającego się ciała.
2.6.6.
Ruch obrotowo-post
ę
powy
W przeciwie
ństwie do ruchu obrotowego względem nieruchomej osi obrotu w przypadku
toczenia wyst
ępuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy. Dlatego spróbujemy opisać
toczenie jako zło
żenie ruchu postępowego i obrotowego. W tym celu prześledźmy ruch walca
o promieniu R pokazany na rysunku:
Rysunek 2. Toczenie (c) jako zło
żenie ruchu postępowego (a) i obrotowego (b).
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
19
W ruchu post
ępowym, rysunek (a), wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi
pr
ędkościami, natomiast w ruchu obrotowym wokół środka masy S, rysunek (b), przeciwległe
punkty poruszaj
ą się z przeciwnymi prędkościami, a środek jest nieruchomy. Na rysunku (c)
pokazano wynik zło
żenia (sumowania) odpowiednich wektorów z rysunków (a) i (b).
Zwró
ćmy uwagę, że podstawa walca (punkt A styczności z podłożem) w każdej chwili
spoczywa (pr
ędkość chwilowa v
A
= 0). Natomiast pr
ędkość liniowa punktów S i B jest
proporcjonalna do ich odległo
ści od punktu A (punkt B w odległości 2R ma prędkość
dwukrotnie wi
ększą niż punkt S w odległości R). Jeszcze pełniej widać to na rysunku 11.6
gdzie narysowane s
ą prędkości chwilowe kilku punktów na obwodzie toczącego się walca.
Rysunek 3. Toczenie si
ę walca jako obrót wokół punktu A.
Wida
ć, że prędkość każdego z tych punktów jest prostopadła do linii łączącej ten punkt z
podstaw
ą A i proporcjonalna do odległości tego punktu od A. Takie zachowanie jest
charakterystyczne dla ciała wykonuj
ącego ruch obrotowy względem nieruchomej osi.
Oznacza to,
że opisywany walec obraca się wokół punktu A, a co za tym idzie, że możemy
toczenie opisywa
ć również wyłącznie jako ruch obrotowy ale względem osi przechodzącej
przez punkt A styczno
ści z powierzchnią, po której toczy się ciało.
W celu zilustrowania równowa
żności obu opisów obliczymy teraz energię kinetyczną
walca o masie m tocz
ącego się z prędkością v. Najpierw potraktujemy toczenie jako złożenie
ruchu post
ępowego i obrotowego względem środka masy. Energię kinetyczną obliczamy jako
sum
ę energii ruchu postępowego i obrotowego:
(47)
Ruch ciała b
ędący złożeniem ruchu postępowego środka masy i obrotowego względem osi
przechodz
ącej przez środek masy jest równoważny ruchowi obrotowemu wokół osi
przechodz
ącej przez punkt styczności ciała z powierzchnią, po której się ono toczy.
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
20
3.
M
ECHANIKA
P
ŁYNÓW
Powszechnie przyj
ęty jest podział materii na ciała stałe i płyny. Pod pojęciem substancji,
która mo
że płynąć rozumiemy zarówno ciecze jak i gazy. Płyny, w odróżnieniu od ciał
sztywnych, maj
ących określony rozmiar i kształt, łatwo zmieniają swój kształt, a w przypadku
gazów przyjmuj
ą objętość równą objętości naczynia. Mówimy, że płyny nie mają sprężystości
kształtu, a maj
ą sprężystość objętości. Dlatego rozwiązanie zagadnień z mechaniki płynów
wymaga posługiwania si
ę nowymi pojęciami takimi jak ciśnienie i gęstość.
3.1. C
I
Ś
NIENIE I G
Ę
STO
ŚĆ
Ró
żnica w działaniu siły powierzchniowej na płyn i na ciało stałe jest związana z tym, że
w cieczy siły wyst
ępują tylko przy zmianie objętości, a nie jak w ciałach stałych przy ich
deformacji (zmianie kształtu). W zwi
ązku z tym w cieczy siła powierzchniowa, zwana siłą
parcia, musi by
ć zawsze prostopadła do powierzchni płynu podczas gdy w ciele stałym może
mie
ć dowolny kierunek. Spoczywający płyn nie może równoważyć sił stycznych (warstwy
płynu
ślizgałyby się po sobie) i dlatego może zmieniać kształt i płynąć. W związku z tym
b
ędziemy opisywać siłę działającą na płyn za pomocą ciśnienia p zdefiniowanego
nast
ępująco:
Ci
śnienie definiujemy jako: stosunek siły parcia (F) działającej na jednostkę powierzchni
do wielko
ści tej powierzchni (S).
S
F
p
parcia
=
(48)
Ci
śnienie jest wywierane zarówno na ścianki naczynia jak i na dowolne przekroje płynów
zawsze prostopadle do tych
ścianek i przekrojów.
Ci
śnienie jest wielkością skalarną. Jednostką ciśnienia jest pascal (Pa); 1 Pa = 1 N/m
2
.
Inne stosowane jednostki to bar (1 bar = 10
5
Pa), atmosfera (1 atm = 101325 Pa), milimetr
słupka rt
ęci (760 mm Hg = 1atm).
Do opisu płynów stosujemy równie
ż pojęcie gęstości
ρ
wyra
żonej jako:
V
m
objetosc
masa
=
=
ρ
(49)
G
ęstość płynów zależy od wielu czynników takich jak temperatura, czy ciśnienie. W
tablicy przedstawiony jest zakres g
ęstości spotykanych w przyrodzie:
Tabela 6. >Od najmniejszych do najwi
ększych gęstości<.
Materiał
ρρρρ
[kg/m
3
]
przestrze
ń
mi
ę
dzygwiezdna
10
−
18
- 10
−
21
najlepsza pró
ż
nia laboratoryjna
10
−
17
powietrze (1 atm 0°C)
1.3
powietrze (50 atm 0°C)
6.5
drewno
600-900
Lód (0°C)
917
Woda destylowana
998
Woda morska
1025
Ziemia: skorupa
2800
Ziemia: rdze
ń
9500
Ziemia: warto
ść
ś
rednia
5520
białe karły
10
8
- 10
15
j
ą
dro uranu
10
17
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
21
3.1.1. Ci
ś
nienie hydrostatyczne
Równanie p = F/S opisywało ci
śnienie wywierane przez płyn na powierzchnię, która go
ogranicza. Mo
żemy także mówić o ciśnieniu wewnętrznym płynu (tzw. ciśnienie
hydrostatyczne). W tym celu rozpatrzmy element płynu w kształcie cienkiego dysku
znajduj
ącego się na głębokości h pod powierzchnią płynu pokazany na rysunku. Grubość
dysku wynosi dh, a powierzchnia podstawy wynosi S.
Rysunek 4. Siły działaj
ące na element cieczy znajdujący się na głębokości h.
Masa takiego elementu wynosi
ρ
Sdh a jego ci
ężar
ρ
gSdh. Pami
ętajmy, że siły działające na
element s
ą w każdym punkcie prostopadłe do powierzchni. Siły poziome wywołane jedynie
przez ci
śnienie płynu równoważą się. Siły pionowe są wywoływane nie tylko przez ciśnienie
płynu ale te
ż przez jego ciężar. Ponieważ płyn jest nieruchomy więc wypadkowa siła
działaj
ąca na element płynu jest równa zeru.
Ci
śnienie hydrostatyczne zmienia się z głębokością płynu. Powodem jest ciężar warstwy
płynu le
żącej pomiędzy punktami, dla których mierzymy różnicę ciśnień. Wielkość
ρ
g
nazywamy ci
ężarem właściwym płynu. Dla cieczy zazwyczaj
ρ
jest stałe (ciecze s
ą
praktycznie nie
ściśliwe) więc możemy obliczyć całkowite ciśnienie cieczy na głębokości h,
otrzymuj
ąc (wzór na całkowite ciśnienie hydrostatyczne na głębokości h):
h
g
ρ
p
p
wody
0
cal.hydro.
⋅
⋅
+
=
(50)
gdzie p
0
jest ci
śnieniem na powierzchni cieczy (h=0). Zazwyczaj jest to ciśnienie
atmosferyczne (przyjmuje si
ę ciśnienie standardowe: p
0
=1013hPa) . Równanie powy
ższe nie
tylko pokazuje,
że ciśnienie rośnie wraz z głębokością ale też, że jest jednakowe dla punktów
o tej samej gł
ębokości, a nie zależy od kształtu naczynia (paradoks hydrostatyczny).
Zało
żenie o stałej gęstości
ρ
nie jest jednak prawdziwe dla gazów gdy mamy do czynienia
ze znaczn
ą różnicą wysokości (np. gdy wznosimy się w atmosferze). Ciśnienie zmienia się
wtedy znacznie i zmienia si
ę też
ρ
.
3.1.2. Ci
ś
nienie atmosferyczne.
Do obliczenia całkowitego ci
śnienia atmosferycznego na wysokości h (ponad poziomem
morza) stosowa
ć możemy następujący wzór:
h
g
p
h
C
p
p
powietrza
atmo
cal
⋅
⋅
−
≅
⋅
−
⋅
=
ρ
0
0
.
.
)
exp(
(51)
gdzie: po jest ci
śnieniem standardowym, natomiast C=0,116km
-1
jest stał
ą. Eksponenta
exp(x), (lub e
x
) jest funkcj
ą wykładniczą. Ze wzoru tego widzimy, że ciśnienie atmosferyczne
maleje wykładniczo wraz z wysoko
ścią i z dobrym przybliżeniem (dla małych wysokości) da
si
ę zastąpić funkcją liniową.
3.1.3. Prawo Pascala
Ci
śnienie zewnętrzne wywierane na zamknięty płyn jest przekazywane niezmienione na
ka
żdą część płynu oraz na ścianki naczynia. (rozchodzi się jednakowo we wszystkich
kierunkach przestrzeni)
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
22
Prawo to jest konsekwencj
ą praw mechaniki płynów podobnie jak prawo Archimedesa.
3.1.4. Prawo Archimedesa
Kiedy ciało jest zanurzone w cało
ści lub częściowo w spoczywającym płynie to płyn ten
wywiera ci
śnienie na każdą, będącą z nim w kontakcie, część powierzchni ciała.
Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i nazywa si
ę siłą wyporu (lub siłą
Archimedesa). Gdy przyjmiemy przykładowo,
że w cieczy zostało zanurzone ciało w
kształcie walca o powierzchni podstawy równej S (tak jak na rysunku) to wypadkowa siła
działaj
ąca na to ciało jest związana z różnicą ciśnień na głębokościach h
1
i h
2
odpowiednio
nad i pod walcem.
Rysunek 5. Walec o powierzchni podstawy S zanurzony w płynie.
Siła działaj
ąca na walec jest równa ciężarowi cieczy wypartej przez ten walec. Zauważmy,
że ta siła nie zależy od kształtu ciała, a tylko od jego objętości.
Podsumowuj
ąc, prawo Archimedesa można streścić zdaniem:
„Ciało w cało
ści lub częściowo zanurzone w płynie jest wypierane ku górze siłą (wyporu)
równ
ą ciężarowi wypartego przez to ciało płynu.” Siła wyporu natomiast zależy od gęstości
płynu, oraz obj
ętości części zanurzonej ciała:
g
V
g
m
F
zan
plynu
plynu
wyporu
⋅
⋅
=
⋅
=
.
ρ
(52)
gdzie m
p
jest mas
ą płynu,
ρ
p
. jego g
ęstością, natomiast V
z
jest obj
ętością części zanurzonej
ciała.
Na ka
żde zanurzone w płynie ciało działają siła wyporu i siła ciężkości. Dla ciała o masie
m i obj
ętości V całkowicie zanurzonego w płynie wypadkowa tych dwóch sił wynosi
)
(
ciala
plynu
ciala
plynu
ciezkosci
wyporu
wypadkowa
Vg
Vg
Vg
F
F
F
ρ
ρ
ρ
ρ
−
=
−
=
−
=
(53)
gdzie
ρ
plynu
jest g
ęstością płynu, a
ρ
ciala
średnią gęstością ciała. Widzimy, że zwrot siły
wypadkowej zale
ży od różnicy gęstości płynu i ciała.
Na przykład ciało zanurzone w cieczy o g
ęstości
ρρρρ
<
ρρρρ
1
tonie, a dla g
ęstości
ρρρρ
>
ρρρρ
1
pływa
cz
ęściowo zanurzone.
3.1.5. Ogólny opis przepływu płynów
Przejdziemy teraz do opisu ruchu płynu czyli zajmiemy si
ę dynamiką płynów. Znane są
dwa podej
ścia do opisu ruchu płynu. Możemy albo zająć się opisem ruchu poszczególnych
cz
ąsteczek płynu albo opisywać gęstość płynu i jego prędkość w każdym punkcie przestrzeni
w funkcji czasu.
Na wst
ępie poznamy ogólne pojęcia charakteryzujące przepływ.
•
Przepływ mo
że być ustalony
(laminarny) lub nieustalony. Ruch płynu jest ustalony, gdy
pr
ędkość płynu v w dowolnie wybranym punkcie jest stała w czasie tzn. każda cząsteczka
przechodz
ąca przez dany punkt zachowuje się tak samo. Warunki takie osiąga się przy
niskich pr
ędkościach przepływu.
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
23
•
Przepływ mo
że być wirowy
lub bezwirowy. Przepływ jest bezwirowy, gdy w
żadnym
punkcie cz
ąsteczka nie ma wypadkowej prędkości kątowej.
•
Przepływ mo
że być ściśliwy lub nieściśliwy. Przepływ jest nieściśliwy gdy gęstość płynu
jest stała. Zazwyczaj przepływ cieczy jest nie
ściśliwy. Również przepływ gazu może być
w pewnych warunkach nie
ściśliwy. Przykładem może tu być ruch powietrza względem
skrzydeł samolotu podczas lotu z pr
ędkością mniejszą od prędkości dźwięku.
•
Przepływ mo
że być lepki
lub nielepki. Lepko
ść w ruchu płynów jest odpowiednikiem
tarcia w ruchu ciał stałych. Charakteryzuje opór płynów przeciw płyni
ęciu pod działaniem
sił zewn
ętrznych. Lepkość jest istotną cechą wielu produktów na przykład smarów
Zało
żenie: W naszych rozważaniach ograniczymy się do przepływów ustalonych,
bezwirowych, nie
ściśliwych i nielepkich !!!
W przepływie ustalonym v jest stała w czasie w danym punkcie. Oznacza to,
że każda
cz
ąstka przechodząca przez dowolny punkt ma taką samą prędkość np. v
1
. Tak samo jest w
kolejnym punkcie gdzie ka
żda cząstka ma prędkość v
2
. Dotyczy to wszystkich punktów.
Oznacza to,
że wystarczy prześledzić tor jednej cząstki, a będziemy znali tor każdej cząstki
przechodz
ącej przez dany punkt. Tor tej cząstki nazywamy linią prądu
(rysunek). Linia pr
ądu
jest równoległa do pr
ędkości płynu. śadne linie prądu nie mogą się przecinać bo istniałaby
niejednoznaczno
ść w wyborze drogi przez cząstkę (przepływ nie byłby ustalony).
Je
żeli wybierzemy pewną skończoną liczbę linii prądu to taką wiązkę nazywamy strugą
pr
ądu. Brzegi składają się z linii prądu a ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości
wi
ęc płyn nie przepływa przez brzegi strugi. Płyn wchodzący jednym końcem strugi musi
opu
ścić ją drugim tak jak w rurce. Na rysunku poniżej prędkość cząstek w punkcie P
1
wynosi
v
1
, a pole przekroju strugi S
1
. W punkcie P
2
mamy odpowiednio pr
ędkość v
2
i pole przekroju
S
2
.
W czasie
∆
t cz
ąstka płynu przebywa odległość równą v
∆
t. Masa płynu przechodz
ącego
przez S
1
w czasie
∆
t wynosi:
, gdzie S
1
v
1
∆
t stanowi obj
ętość elementu płynu.
Analogicznie masa płynu przepływaj
ącego przez powierzchnię S
2
w czasie
∆
t jest równa:
Poniewa
ż płyn jest nieściśliwy więc jego gęstość jest taka sama w punkcie P
1
i P
2
. Ponadto
mi
ędzy tymi punktami płyn nie może opuścić strugi więc strumienie mas przepływające przez
obie powierzchnie musz
ą być sobie równe. Zatem
lub
(54)
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
24
Otrzymany zwi
ązek nosi nazwę równania ciągłości (lub prawa przepływu strugi).
Wynika z niego mi
ędzy innymi, że
Pr
ędkość płynu nieściśliwego przy ustalonym przepływie jest odwrotnie proporcjonalna do
pola przekroju strugi.
Linie pr
ądu muszą się zagęszczać w węższej części a rozrzedzać w szerszej. To znaczy,
rzadko rozmieszczone linie oznaczaj
ą obszary niskiej prędkości, linie rozmieszczone gęsto
obszary wysokiej pr
ędkości płynu.
3.1.6.
Równanie Bernoulliego
Rozwa
żmy, pokazany na rysunku, nielepki, ustalony, nieściśliwy przepływ płynu w
strudze. Płyn na rysunku przemieszcza si
ę w stronę prawą. W czasie
∆
t powierzchnia S
1
przemieszcza si
ę o odcinek v
1
∆
t. Analogicznie powierzchnia S
2
przemieszcza si
ę o odcinek
v
2
∆
t. Na powierzchni
ę S
1
działa siła F
1
= p
1
S
1
, a na powierzchni
ę S
2
siła F
2
= p
2
S
2
.
Rysunek 6. Struga płynu (gazu lub cieczy) przepływa w taki sposób,
że
zmienia si
ę wysokość przepływu, oraz prędkość przepływu (bo zmienia się
średnica strugi). Musi mieć to oczywiście wpływ na zmianę ciśnienia, jakie
zmierzymy (tzw. ci
śnienie punktowe), ale w przewidywalny sposób (por.
prawo Bernoulliego).
Dla tej strugi mo
żna pokazać, że:
(55)
lub
(56)
Równanie to nosi nazw
ę równania Bernoulliego dla przepływu ustalonego, nielepkiego i
nie
ściśliwego. Jest to podstawowe równanie mechaniki płynów. Wyraża fakt, że z
przepływem płynu zwi
ązane jest (oprócz ciśnienia statycznego i hydrostatycznego) ciśnienie
dynamiczne. Wynika z niego,
że: suma trzech ciśnień: statycznego (też punktowego),
hydrostatycznego (zwi
ązanego z wysokością przepływu) i dynamicznego (związanego z
pr
ędkością przepływu) nie zmienia się. Przepływ cieczy w strudze może być wywołany
ró
żnicą ciśnień na końcach strugi lub różnicą poziomów tych końców.
3.1.7.
Dynamiczna siła no
ś
na
W odró
żnieniu od statycznej siły nośnej, którą jest siła wyporu działającą zgodnie z
prawem Archimedesa na przykład na balon czy statek, dynamiczna siła no
śna
wywołana jest
ruchem ciał w płynie na przykład na skrzydła samolotu czy
śmigła helikoptera.
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
25
Rysunek 7. Przykład opływu powietrza ponad wybrane przeszkody.
Na rysunku poni
żej pokazane są schematycznie linie prądu i ruch cząstek powietrza wokół
skrzydła samolotu. Samolot wybieramy jako układ odniesienia i analizujemy ruch powietrza
wzgl
ędem skrzydła.
Rysunek 8. Powietrze przepływaj
ąc przez skrzydło (o wypukłym ku górze
profilu i ustawionym pod k
ątem natarcia) jest kierowane nad jego górną
powierzchni
ę, dlatego pokonując dłuższą drogę musi pokonać ją szybciej
(v
1
>v
2
). Wraz ze wzrostem pr
ędkości zwiększa się ciśnienie dynamiczne i
obni
ża ciśnienie punktowe (statyczne). W rezultacie powstaje siła nośna
chc
ąca wyrównać ciśnienia i unosząca skrzydło do góry.
Analizuj
ąc linie prądu zauważymy, że ze względu na ustawienie skrzydła (tak zwany kąt
natarcia) oraz jego asymetryczny profil (górna powierzchnia bardziej wypukła) linie pr
ądu
nad skrzydłem s
ą rozmieszczone gęściej niż pod skrzydłem co oznacza, że prędkość v
1
powietrza ponad skrzydłem jest wi
ększa niż prędkość v
2
pod skrzydłem. Widzimy, ponadto
że
cz
ąstki powietrza przelatujące nad skrzydłem pokonują, w tym samym czasie, dłuższą drogę
ni
ż cząstki przelatujące pod skrzydłem co również oznacza, że mają większą prędkość.
Prowadzi to do wniosku, zgodnie z prawem Bernoulliego,
że ciśnienie nad skrzydłem jest
mniejsze od ci
śnienia pod skrzydłem i że otrzymujemy wypadkową siłę nośną F skierowaną
ku górze. Wniosek ten wynika równie
ż wprost z trzeciej zasady dynamiki Newtona. Wektor
pr
ędkości v
a
powietrza zbli
żającego się do skrzydła jest poziomy podczas gdy powietrze za
skrzydłem jest skierowane na ukos w dół (pr
ędkość v
b
ma składow
ą pionową). Oznacza to, że
skrzydło pchn
ęło powietrze w dół więc w reakcji powietrze pchnęło skrzydło do góry.
W naszych rozwa
żaniach pominęliśmy siłę oporu powietrza tak zwaną siłę oporu
czołowego. W warunkach rzeczywistych siła no
śna jest wypadkową przedstawionej powyżej
siły parcia wynikaj
ącej z asymetrycznej budowy skrzydła i siły oporu czołowego. Przy
konstrukcji skrzydeł jak i
śmigieł staramy się zminimalizować opór czołowy.
Ta sama siła oporu czołowego wpływa znacz
ąco na zużycie paliwa w samochodach. Dlatego
tak wielk
ą wagę konstruktorzy przywiązują do optymalizacji kształt nadwozia samochodów.
3.1.8. Siła oporów aerodynamicznych
Na ka
żde ciało poruszające się w płynie działa siła oporu czołowego skierowana
przeciwnie do wektora pr
ędkości v.
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
26
2
2
1
v
CS
F
op
⋅
⋅
=
ρ
(57)
gdzie
ρ
jest g
ęstością płynu, C jest współczynnikiem kształtu, a S – powierzchnią efektywną
(czołow
ą)
Powierzchnia czołowa S i współczynnik kształtu C mo
żna dość łatwo wyznaczyć dla brył
o prostych kształtach (np. dla kuli o promieniu R mamy S=
π
R
2
i C
≈0,5). Jednak w przypadku
ciała człowieka wygodniej jest wyznaczy
ć doświadczalnie cały iloczyn C
.
S dla ró
żnych
pozycji. Poni
ższy rysunek przedstawia wyniki takich pomiarów przeprowadzonych w tunelu
aerodynamicznym na osobie o długo
ści ciała 1,8 m i masie 71,8 kg.
Przykład 1: siła oporu powietrza, któr
ą musi pokonać sprinter.
V = 10 m/s
CS= 0,84m
2
F= 0,5*!,3*10
2
*0,84 = 54,6 [N]
Przykład 2: siła oporu wody, któr
ą musi pokonać pływak.
V = 2 m/s
CS=O,11 m
2
F=0,5*1000*2
2
*0,11 = 220 [N]
4.
F
ALA
A
KUSTYCZNA
(D
ŹWIĘKOWA
)
D
źwiękiem nazywamy falę mechaniczną przenoszoną przez drgania cząsteczek ośrodka
poprzez naprzemienne ich zag
ęszczanie i rozrzedzanie (fala ciśnień). Dźwięki rozchodzą się
zarówno w o
środkach gazowych, płynnych i stałych. Nie rozchodzą się natomiast w próżni!
Parametry bezpo
średnio charakteryzujące falę to jej prędkość propagacji (v), jej
cz
ęstotliwość (f), długość fali (
λ
) i amplituda (a) oraz nat
ężenie (I). Dodatkowo fale dzieli się
na okresowe lub nieokresowe.
Je
śli fala jest okresowa to jej powierzchnia falowa (o tej samej fazie) porusza się jedna za
drug
ą w stałych odległościach wzajemnych. Odległość taką nazywa się długością fali,
λλλλ
,
(zob. rysunek poni
żej) a okres, T, jest czasem przebycia jednej takiej długości fali:
v
T
λ
=
(58)
Cz
ęstotliwością, f, natomiast określa się liczbę pełnych cykli fali do czasu wykonania tych
cykli albo odwrotno
ść okresu (jeden cykl przez czas trwania tego cyklu):
T
t
n
f
1
=
=
(59)
Ł
ącząc dwa powyższe wzory możemy otrzymać wzór wiążący częstotliwość i długość fali
postaci:
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
27
λ
v
T
f
=
=
1
(60)
Amplituda fali zdefiniowana została jako maksymalne wychylenie od warto
ści średniej.
Dla fali sinusoidalnej (rysunek) jest to połowa wychylenia pomi
ędzy jej kolejnymi
ekstremami (maksimum - minimum).
λ
v
a
a
x
a
Rysunek 9. Propagacja okresowej fali sinusoidalnej z pr
ędkością v w
kierunku x.
λλλλ
jest długo
ścią fali, a – jej amplitudą
Ze wzgl
ędu na to, że dla ucha ludzkiego słyszalne są tylko dźwięki z przedziału od ok.
20Hz do ok. 20kHz (20
000Hz) fale d
źwiękowe dzielimy na trzy główne kategorie:
infrad
źwięki (poniżej 20 Hz) dźwięki słyszalne i ultradźwięki (powyżej 20kHz).
Ultrad
źwięki powyżej 100MHz (10
8
Hz) nazywa si
ę czasami hiperdźwiękami.
Infrad
źwięki są generowane przez źródła o dużych rozmiarach (towarzyszą trzęsieniom
ziemi, wyładowaniom atmosferycznym, itp.). Infrad
źwięki są słabo tłumione w skorupie
ziemskiej i w wodzie i mog
ą się rozchodzić na znaczne odległości. Przy odpowiednim
poziomie ci
śnienia akustycznego mogą oddziaływać powodując zaniepokojenie i nudności.
Ultrad
źwięki wytwarza i umie odbierać wiele zwierząt (psy, koty, delfiny, nietoperze),
wyst
ępują jako składowe drgań wytwarzanych przez naturalne źródła (wichury, wodospady,
wyładowania atmosferyczne). Sztucznie, ultrad
źwięki generowane są najczęściej poprzez
elektryczne pobudzanie do drga
ń kryształu kwarcu (odwrotny efekt piezoelektryczny). Ze
wzgl
ędu na silną zależność właściwości rozchodzenia się ultradźwięków w danym ośrodku od
jego budowy, słu
żą one do badania struktury różnych ciał, m.in. organizmów żywych (tzw.
ultrasonografia). Zogniskowanych wi
ązek ultradźwięków używa się do odrywania ciał stałych
z bardziej elastycznego podło
ża (usuwanie kamienia nazębnego, rozbijanie kamieni
nerkowych, oczyszczanie powierzchni metali przed lutowaniem itd.). Energia drga
ń
ultrad
źwięków może być też wykorzystana do rozpylania aerozoli i emulsji, a nawet do
spawania!
4.1. N
AT
Ęś
ENIE I
P
OZIOM
N
AT
Ęś
ENIA
D
Ź
WI
Ę
KU
;
Poza widmem cz
ęstotliwości dźwięki charakteryzuje się podając jego natężenie (lub
poziom nat
ężenia). Natężenie dźwięku (inaczej natężenie akustyczne) zdefiniowane jest jako
średnia moc dźwięku (P) (energia w jednostce czasu) przypadająca na jednostkę powierzchni
ustawionej prostopadle do kierunku ruchu fali, S
┴
:
⊥
⊥
=
⋅
=
S
P
S
t
E
I
(61)
Jednostk
ą podstawową natężenia dźwięku jest W/m
2
(wat na metr
2
).
Ze wzgl
ędu na ‘logarytmiczną’ charakterystykę ucha ludzkiego w akustyce stosuje się
wielko
ść podobną do natężenia dźwięku, tzw. poziom natężenia dźwięku,
Λ
Λ
Λ
Λ (
lambda
)
.
Zdefiniowany jest on jako stosunek danego d
źwięku I do tzw. dźwięku odniesienia I
0
=10
-12
W/m
2
przyj
ętego za dźwięk porównawczy. Związek pomiędzy natężeniem i jego poziomem
jest nast
ępujący:
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
28
⋅
=
Λ
0
log
10
I
I
(62)
i podawany jest w decybelach (1dB=10 beli).
Rysunek 10. „Logarytmiczna” charakterystyka ucha ludzkiego. Człowiek
słyszy d
źwięki z przedziału od ok. 20 Hz (0,02 kHz) do 20 kHz o
odpowiednim poziomie nat
ężenia.
Gło
śność dźwięku charakteryzuje subiektywne odczuwanie natężenia dźwięku przez
człowieka (stanowi podstaw
ę dla zróżnicowań dynamiki, czyli siły brzmienia w utworze
muzycznym). Gło
śność zależy od natężenia i częstotliwości dźwięku. Przy stałym natężeniu
jako najgło
śniejsze odbierane są dźwięki o częstotliwości 3-4 kHz, zaś jako najmniej głośne
d
źwięki o częstotliwości poniżej 100 Hz oraz powyżej 10000 Hz (por. rysunek powyżej).
4.2. Z
AŁAMANIE I
O
DBICIE
F
ALI
D
Ź
WI
Ę
KOWEJ
Pr
ędkość rozchodzenia się fali akustycznej w danym ośrodku zależy od własności tego
o
środka. Prędkości dźwięków w różnych ośrodkach zestawione zostały w tabeli poniżej:
Tabela 7. Zestawienie pr
ędkości fali dźwiękowej w różnych ośrodkach.
O
środek
Pr
ę
dko
ść
[m/s]
powietrze (w 0
o
C)
331
powietrze (w 20
o
C)
343
woda (5
o
C)
1400
woda (15
o
C)
1450
lód
3230
tkanka tłuszczowa
1480
tkanka mi
ęś
niowa
1570
tkanka kostna
3360
szkło
5100-5640
stal
5800
Podczas zmiany o
środka zmieniają się warunki propagacji fali, zmienia się także prędkość
tej fali. Sytuacji tej towarzyszy efekt odbicia i załamania fali.
Wyobra
źmy sobie, że na granicę dwóch ośrodków pada fala akustyczna z prędkością v
1
(rysunek).
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
29
v
1
v
1
α α
α α
α α
α α
o
środek 1
o
środek 2
ββββ
v
2
Pewna cz
ęść tej fali ulegnie odbiciu od granicy ośrodków (przy czym kąt odbicia jest
równy k
ątowi padania), natomiast część wiązki padającej ulegnie załamaniu (ugięciu) i
wniknie do o
środka drugiego.
Dla fali załamanej spełnione jest prawo załamania (prawo Snelliusa
2
)
2
1
1
/
2
sin
sin
v
v
n
=
=
β
α
,
(63)
które mówi,
że: stosunek sinusa kąta padania (
α
) do sinusa k
ąta załamania (
β
) równy jest
stosunkowi pr
ędkości fali w tych ośrodkach.
Stosunek sinusów tych k
ątów (lub analogicznie stosunek prędkości w ośrodkach)
wyznacza tzw. współczynnik załamania o
środka drugiego względem pierwszego (ozn. n
2/1
)
Zauwa
żmy, że możliwe są dwie sytuacje:
a)
je
śli fala dźwiękowa pada z ośrodka szybkiego do wolnego (tzn. v1>v2, np. ze szkła do
powietrza), to z prawa załamania otrzymujemy,
że (sin
α
/sin
β)
>1, czyli
α
>
β
. Jest to
sytuacja przedstawiona na rysunku powy
żej;
b)
je
śli fala dźwiękowa pada z ośrodka wolnego do szybkiego (tzn. v1<v2, np. z
powietrza do szkła), to z prawa załamania otrzymujemy,
że (sin
α
/sin
β)
<1, czyli
α
<
β
.
Jest to sytuacja, która wymaga osobnego przeanalizowania;
Sytuacja b): Załó
żmy, że fala dźwiękowa przechodzi z ośrodka wolnego do szybkiego (tzn.
v1<v2). Przeanalizujemy teraz co b
ędzie się działo z promieniem załamanym, podczas
zwi
ększania kąta padania (rysunek).
αααα
gr
o
środek 1
o
środek 2
ββββ
Na pocz
ątku (linia ciągła) wiemy, że kąt załamania
β
>
α
. Dalsze zwi
ększanie kąta padania
(linia kreskowana) spowoduje,
że kąt załamania zwiększy się jeszcze bardziej. Zauważmy, że
dalsze zwi
ększanie kąta padania doprowadzi do sytuacji takiej, że kąt załamany będzie równy
90
o
, czyli fala d
źwiękowa nie wniknie już do ośrodka drugiego.
2
Snell (Snellius) Willebrord van Roijen (1591–1626) holenderski astronom i matematyk
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
30
K
ąt padania, dla którego kąt załamania jest prosty nosi nazwę kąta granicznego (
α
gr
.) i
został zaznaczony na rysunku. Propagacj
ę fali pod kątem większym od kąta granicznego
nazywa si
ę całkowitym wewnętrznym odbiciem (c.w.o.).
Warunkiem zaistnienia c.w.o. jest zatem, aby fala przechodziła z o
środka wolnego (o
mniejszej g
ęstości) do szybkiego (o większej gęstości) tzn.: v1<v2 lub v1/v2<1. Zauważmy,
że dla padania pod kątem granicznym
α
=
α
gr.
z prawa załamania otrzymamy:
.
.
1
/
2
sin
90
sin
sin
sin
sin
gr
gr
n
α
α
β
α
=
=
=
o
(64)
4.3. Z
JAWISKO
D
OPPLERA
Z efektem Dopplera
3
mamy do czynienia, gdy
źródło fali dźwiękowej lub jego odbiornik
poruszaj
ą się względem siebie. Obserwuje się wtedy rozbieżność pomiędzy częstotliwością
wysłanego d
źwięku a jego wartością zarejestrowaną.
W ogólnym przypadku, gdy nadajnik (
źródło) zbliża się z prędkością v
n
do odbiornika
zbli
żającego się z prędkością v
o
, je
śli przez f
n
oznaczymy cz
ęstotliwość fali nadanej, to
cz
ęstotliwość fali odebranej (f
o
) mo
żna obliczyć ze wzoru:
n
o
n
o
v
v
v
v
f
f
−
+
⋅
=
,
(65)
gdzie v jest pr
ędkością dźwięku w ośrodku (najczęściej w powietrzu).
Uwaga 1: Wzór ten dotyczy sytuacji, gdy
źródło i odbiornik poruszają się w tym samym
kierunku (po tej samej prostej).
Uwaga 2: Gdyby nadajnik lub odbiornik oddalały si
ę od siebie należy zmienić znak
warto
ści jego prędkości w powyższym wzorze.
5.
T
ERMODYNAMIKA
Termodynamika zajmuje si
ę właściwościami cieplnymi i przemianami energetycznymi
układów makroskopowych, zaniedbuj
ąc (w odróżnieniu od mechaniki statystycznej)
mikroskopow
ą budowę ciał tworzących układ. Gdybyśmy chcieli ściśle określić stan fizyczny
układu zawieraj
ącego ogromną liczbę cząsteczek, na przykład porcji gazu, to musielibyśmy
zna
ć stan każdej cząsteczki oddzielnie to znaczy musielibyśmy podać położenie każdej
cz
ąsteczki, jej prędkość oraz siły nań działające. Takie obliczenia ze względu na dużą liczbę
cz
ąsteczek są niemożliwe. Okazuje się jednak, że posługując się metodami statystycznymi
(rachunkiem prawdopodobie
ństwa) możemy znaleźć związki między wielkościami
mikroskopowymi
(dotycz
ącymi
poszczególnych
cz
ąsteczek),
a
wielko
ściami
makroskopowymi opisuj
ącymi cały układ.
Chc
ąc opisać gaz jako całość możemy więc badać jedynie wielkości makroskopowe takie
jak ci
śnienie, temperatura czy objętość bez wdawania się w zachowanie poszczególnych
cz
ąsteczek.
5.1. G
AZ DOSKONAŁY
Rozpocznijmy nasze rozwa
żania od definicji wyidealizowanego gazu doskonałego.
Zrobimy to podaj
ąc następujące założenia dotyczące cząsteczek gazów:
3
Doppler, Christian Johann (1803–1853) austriacki fizyk
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
31
Cz
ąsteczki gazu doskonałego traktujemy jako: punkty materialne (objętość cząsteczek
gazu jest o wiele mniejsza ni
ż objętość zajmowana przez gaz i dlatego z dobrym
przybli
żeniem przyjmujemy, że ich objętość jest równa zeru); W gazie doskonałym zderzenia
z innymi cz
ąsteczkami oraz ze ściankami naczynia są sprężyste i dlatego całkowita energia
cz
ąsteczek jest równa ich energii kinetycznej; energia potencjalna jest stale równa zeru (nie
ma przyci
ągania ani odpychania pomiędzy cząsteczkami).
5.2. T
EMPERATURA
,
RÓWNANIE STANU GAZU DOSKONAŁEGO
5.2.1.
Zerowa zasada termodynamiki
Potocznie temperatur
ę rozumiemy jako miarę ciepłoty układu. Za pomocą dotyku,
mo
żemy np. stwierdzić, które z dwóch ciał jest cieplejsze. Mówimy o nim, że ma wyższą
temperatur
ę. Możemy również stwierdzić, że gdy dwa ciała o różnych temperaturach
zetkniemy ze sob
ą (i odizolujemy od innych) to po dostatecznie długim czasie ich
temperatury wyrównaj
ą się. Mówimy wtedy, że te ciała są w równowadze termicznej ze
sob
ą. Formułujemy teraz postulat nazywany zerowa zasadą termodynamiki:
„Je
żeli ciała 1 i 3 są w równowadze termicznej, a także ciała 2 i 3 są w równowadze
termicznej to ciała 1 i 2 s
ą w tej samej równowadze termicznej”
Jako kryterium równowagi cieplnej mi
ędzy ciałami wprowadzamy pojęcie temperatury.
Umawiamy si
ę, że układom fizycznym, które mogą być jednocześnie ze sobą w stanie
równowagi cieplnej, przypisujemy t
ę samą temperaturę.
5.2.2.
Kinetyczna interpretacja temperatury
Teraz gdy zapoznali
śmy się z pojęciem temperatury poznamy jej definicję na gruncie teorii
kinetycznej, czyli przy podej
ściu mikroskopowym.
Temperatur
ę
bezwzgl
ę
dn
ą
definiujmy jako wielko
ść
wprost proporcjonaln
ą
do
ś
redniej energii
kinet
y
cznej cz
ą
steczek.
(66)
Czynnik (2/3k) jest współczynnikiem proporcjonalno
ści. Wartość stałej k, zwanej stałą
Boltzmana, wynosi k = 1.38·10
−
23
J/K. Z tej definicji wynika,
że średnie energie kinetyczne
ruchu post
ępowego (na cząsteczkę) dla dwu kontaktujących się gazów są równe.
5.2.3.
Równanie stanu gazu doskonałego
Równanie stanu gazu doskonałego (Clapeyrona
4
) jest postaci :
(67)
Poniewa
ż przy opisie własności gazów wygodnie jest posługiwać się liczbą moli n to
równanie stanu gazu cz
ęsto przedstawia się w postaci poniższej:
(68)
gdzie stała R = 8.314·J/mol K jest uniwersaln
ą stałą gazową związaną ze stałą Boltzmana i
liczb
ą Avogadra N
Av
relacj
ą R = kN
Av
. Stała Avogadra N
Av
= 6.023·10
23
1/mol, okre
śla liczbę
cz
ąsteczek w jednym molu.
Przypomnijmy,
że 1 mol jest ilością materii układu zawierającego liczbę cząsteczek równą
liczbie atomów zawartych w 0.012 kg w
ęgla
12
C (równ
ą N
Av
).
4
Benoit Pierre Clapeyron [czyt. Klaper
ą
] (1799–1864);
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
32
Równanie stanu gazu doskonałego zostało sformułowane w XIX w. przez Clapeyrona
na podstawie trzech praw empirycznych odkrytych wcze
śniej przez innych badaczy:
•
prawa Boyle'a-Mariotte'a, które stwierdza,
ż
e w stałej temperaturze iloczyn ci
ś
nienia i obj
ę
to
ś
ci
danej masy gazu jest stały pV = const. (przemiana izotermiczna);
•
prawa Charlesa, które mówi,
ż
e przy stałej obj
ę
to
ś
ci gazu stosunek ci
ś
nienia i temperatury
danej masy gazu jest stały p/T = const.(przemiana izochoryczna);
•
prawa Gay-Lussaca, które stwierdza,
ż
e dla stałego ci
ś
nienia stosunek obj
ę
to
ś
ci do
temperatury danej masy gazu jest stały V/T = const (przemiana izobaryczna);
Clapeyron podsumował te wyniki podaj
ąc ogólną zależność:
(69)
zgodn
ą z równaniem stanu dla gazu doskonałego mówiące, że: iloczyn ciśnienia i objętości i
podzielny przez temperatur
ę nie zmienia się podczas przemiany termodynamicznej gazu
doskonałego. Równanie to opisuje równie
ż z dobrym przybliżeniem rozrzedzone gazy
rzeczywiste (w tym powietrze).
5.2.4.
Pomiar temperatury, skale temperatur
śeby wyznaczyć temperaturę na podstawie definicji musielibyśmy wyznaczyć energię
kinetyczn
ą cząsteczek gazu co jest bardzo trudne. Ale możemy się posłużyć równaniem stanu
gazu doskonałego. Łatwo bowiem jest zmierzy
ć iloczyn pV na przykład dla gazu pod stałym
ci
śnieniem lub przy stałej objętości. Termometr gazowy służył przez wiele lat jako wzorzec
temperatury. Za jego pomoc
ą określono doświadczalnie punkty odniesienia, takie jak na
przykład punkt wrzenia wody, dla praktycznych pomiarów temperatur. W praktyce w
powszechnym u
życiu jest skala Celsjusza. W tej skali temperatura równowagi wody i lodu
wynosi 0° C, a temperatura równowagi wody i pary wodnej wynosi 100° C. Natomiast w
fizyce stosujemy bezwzgl
ędną termodynamiczną skalę temperatur
nazywan
ą skalą Kelvina
5
.
Jednostk
ą temperatury bezwzględnej jest kelwin (K). Ponieważ w obu skalach Kelvina i
Celsjusza ró
żnica pomiędzy temperaturą zamarzania i wrzenia wody wynosi 100 stopni więc
wielko
ść stopnia jest taka sama w obu skalach.
Mi
ędzy temperaturą w skali Celsjusza t
C
a temperatur
ą w skali bezwzględnej T zachodzi
zwi
ązek:
(70)
5.3. E
KWIPARTYCJA ENERGII
Wiemy ju
ż, że w równowadze termodynamicznej średnie energie kinetyczne ruchu
post
ępowego wszystkich cząsteczek są równe. Powstaje pytanie czy cząsteczka może
gromadzi
ć energię w innej postaci niż energia ruchu postępowego?
Odpowied
ź jest twierdząca: jeżeli tylko cząsteczka nie ma kształtu kulki (cząsteczka
jednoatomowa), a ma pewn
ą strukturę wewnętrzną to może wirować i drgać. Przykładowo,
dwuatomowa cz
ąsteczka w kształcie hantli (rysunek) będzie się obracać po zderzeniu z inną
cz
ąsteczką.
5
Thomson William, lord Kelvin (1824–1907)
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
33
Dwuatomowa cz
ą
stka w kształcie hantli o dwóch rotacyjnych stopniach swobody.
Na podstawie mechaniki statystycznej mo
żna pokazać, że gdy liczba punktów
materialnych jest bardzo du
ża i obowiązuje mechanika Newtonowska to:
Dost
ę
pna energia rozkłada si
ę
w równych porcjach na wszystkie niezale
ż
ne sposoby, w jakie
cz
ą
steczka mo
ż
e j
ą
absorbowa
ć
.
Twierdzenie to nosi nazw
ę zasady ekwipartycji energii.
Ka
żdy z tych sposobów absorpcji energii nazywa się stopniem swobody
i jest równy
liczbie niezale
żnych współrzędnych potrzebnych do określenie położenia ciała w przestrzeni.
Mo
żemy więc zasadę ekwipartycji energii wyrazić innymi słowami:
Ś
rednia energia kinetyczna na ka
ż
dy stopie
ń
swobody jest taka sama dla wszystkich cz
ą
steczek.
(71)
Odpowiada to trzem stopniom swobody poniewa
ż potrzebujemy trzech współrzędnych (x,
y, z) do okre
ślenia położenia środka masy cząsteczki. Stąd średnia energia przypadająca na
jeden stopie
ń swobody wynosi ½kT na cząsteczkę.
Dla cz
ąsteczek obracających się potrzeba dodatkowych współrzędnych do opisania ich
obrotu wi
ęc mamy dodatkowe stopnie swobody. O ile dla N cząsteczek nie obracających się
całkowita energia wewn
ętrzna U jest energią kinetyczną ruchu postępowego
(72)
to dla cz
ąstek wieloatomowych, które mogą obracać się swobodnie we wszystkich trzech
kierunkach (wokół osi x, y, z)
(73)
Natomiast dla cz
ąstki dwuatomowej (hantli pokazanej na rysunku)
(74)
W tym przypadku mamy tylko dwa rotacyjne stopnie swobody bo moment bezwładno
ści
wzgl
ędem osi hantli (oś x) jest znikomo mały.
Zwró
ćmy uwagę, że mówimy tu o energii "ukrytej" (wewnętrznej) cząstek, a nie o energii
makroskopowej (zwi
ązanej z przemieszczaniem masy). O energii wewnętrznej mówiliśmy
przy zasadzie zachowania energii (energia indywidualnych cz
ąstek nie zawarta w energii
kinetycznej czy potencjalnej ciała jako cało
ści). Energię wewnętrzną oznacza się zazwyczaj
przez U i takie oznaczenie b
ędziemy dalej stosować.
5.4. P
IERWSZA ZASADA TERMODYNAMIKI
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
34
W mechanice rozwa
żaliśmy zmiany energii mechanicznej układu będące wynikiem pracy
wykonanej przez siły zewn
ętrzne. W przemianach termodynamicznych możliwy jest inny (nie
mechaniczny) sposób przekazywania energii. Gdy dwa układy o ró
żnych temperaturach
zetkniemy ze sob
ą to ciepło Q przepływa z ciała cieplejszego do chłodniejszego.
Zgodnie z zasad
ą zachowania energii:
„Energia wewn
ętrzna układu
∆∆∆∆
U (suma energii kinetycznej i potencjalnej atomów i
cz
ąsteczek) może być zmieniana tylko poprzez wykonywanie pracy W przez układ (lub nad
układem) lub poprzez pobranie (lub oddanie) ciepła Q”
Q
W
U
+
=
∆
(75)
Jest to sformułowanie pierwszej zasady termodynamiki. W tym zapisie mamy rozdzielon
ą
energi
ę ciała na część makroskopową (energię mechaniczną) i mikroskopową (energia
wewn
ętrzną). Widzimy, że zmiana energii wewnętrznej związana jest z ciepłem pobieranym
(Q>0) lub oddawanym (Q<0) przez układ oraz z prac
ą wykonaną przez układ (W<0) lub nad
układem (W>0).
Pami
ętamy, że w mechanice praca sił zachowawczych wykonana nad punktem
materialnym poruszaj
ącym się między dwoma punktami zależała tylko od tych punktów, a nie
od ł
ączącej je drogi. W termodynamice stwierdzamy, że :
Zmiana energii wewn
ętrznej układu, przy przejściu pomiędzy dwoma stanami, zależy
wył
ącznie od tego jaki jest stan początkowy i końcowy przejścia.
Oznacza to,
że chociaż Q i W z osobna zależą od drogi przejścia to U ma określoną
warto
ść niezależną od sposobu przejścia układu do stanu końcowego. Taką wielkość fizyczną
(funkcj
ę tego typu), która charakteryzuje stan układu, i której wartości nie zależą od sposobu
w jaki układ został do danego stanu doprowadzony nazywamy funkcj
ą stanu.
5.5. C
IEPŁO WŁA
Ś
CIWE
Ciepło wła
ściwe substancji definiujemy jako:
T
m
Q
c
w
∆
⋅
∆
=
(76)
czyli ilo
ść ciepła, którą trzeba dostarczyć do jednostki masy, żeby spowodować jednostkową
zmian
ę jej temperatury.
Gdy mas
ę wyrażamy w kilogramach to mówimy o cieple właściwym wagowym, a gdy
wyra
żamy ją w molach to mamy do czynienia z molowym ciepłem właściwym.
5.6. B
ILANS CIEPLNY
Energie ciepln
ą (Ciepło) przepływającą w momencie zmiany temperatury określa związek:
(
)
T
c
m
T
T
c
m
Q
w
p
k
w
∆
⋅
⋅
=
−
⋅
⋅
=
(77)
gdzie: m – masa, c
w
– ciepło wła
ściwe,
∆∆∆∆
T – ró
żnica temperatur (końcowa - początkowa).
Ciepło przemiany fazowej – Q
pf
:
Q
pf
=
±
m
.
L
(78)
gdzie: m – masa, L – ciepło przemiany fazowej na kg masy ciała i okre
śla ilość ciepła
(pobranego lub oddanego) potrzebnego na przeprowadzenie okre
ślonej przemiany fazowej.
Uwaga: Umowa: ciepło pobrane „+”, ciepło oddane „–”
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
35
5.7. Z
ASADA BILANSU CIEPLNEGO
:
Dla układu zamkni
ętego (bezstratnego, izolowanego adiabatycznie) całkowita suma ilości
ciepła przekazanego przez ciała jest równa zero:
0
...
2
1
=
+
+
+
n
Q
Q
Q
(79)
a dla układu otwartego:
E
Q
Q
Q
n
∆
=
+
+
+
...
2
1
(80)
gdzie:
∆∆∆∆
E jest sum
ą strat (
∆
E<0) lub zysków (
∆
E>0) energetycznych z otoczenia.
5.8. P
ROCESY ODWRACALNE I NIEODWRACALNE
,
CYKL
C
ARNOTA
Rozpatrzmy dwa przypadki izotermicznego spr
ężania gazu. W pierwszym, tłok
przesuwamy bardzo szybko i czekamy a
ż ustali się równowaga z otoczeniem. W czasie
takiego procesu ci
śnienie i temperatura gazu nie są dobrze określone bo nie są jednakowe w
całej obj
ętości.
W drugim tłok przesuwamy bardzo powoli tak,
że ciśnienie i temperatura gazu są w każdej
chwili dobrze okre
ślone. Ponieważ zmiana jest niewielka to gaz szybko osiąga nowy stan
równowagi. Mo
żemy złożyć cały proces z ciągu takich małych przesunięć tłoka i wtedy
podczas całego procesu gaz jest bardzo blisko równowagi. Je
żeli będziemy zmniejszać nasze
zmiany to w granicy dojdziemy do procesu idealnego, w którym wszystkie stany po
średnie
(pomi
ędzy początkowym i końcowym) są stanami równowagi.
Pierwszy proces nazywamy procesem nieodwracalnym, a proces drugi procesem
odwracalnym.
Proces nazywamy odwracalnym gdy za pomoc
ą
bardzo małej zmiany otoczenia mo
ż
na wywoła
ć
proces odwrotny do niego tzn. przebiegaj
ą
cy po tej samej drodze w przeciwnym kierunku bez zmian w
otoczeniu.
Przykładem cyklu odwracalnego jest cykl Carnota. Jest to bardzo wa
żny cykl odwracalny
poniewa
ż wyznacza granicę naszych możliwości zamiany ciepła na pracę.
Pewna ilo
ść ciepła Q została zamieniona na pracę W. Możemy powtarzać ten cykl
uzyskuj
ąc potrzebną ilość pracy. Takie urządzenie nazywamy silnikiem cieplnym.
Sprawno
ść
η
silnika cieplnego definiujemy jako:
(81)
Cz
ęść pobranego ciepła Q
1
jest w silniku zamieniana na prac
ę W, a część oddawana jako
ciepło Q
2
. Sprawno
ść termodynamiczną określa się także jako: stosunek pracy wykonanej
(W) przez dany układ do całkowitej energii cieplnej (Q) zu
żytej przezeń do jej wykonania i
podaje w procentach:
%
100
Q
W
pobrane
cieplo
wykonana
praca
η
⋅
=
=
(82)
5.9. E
NTROPIA I DRUGA ZASADA TERMODYNAMIKI
Zwró
ćmy jeszcze raz uwagę na to, że w trakcie pracy (cyklu) silnika cieplnego część
pobieranego ciepła była oddawana do zbiornika o ni
ższej temperaturze i w konsekwencji ta
ilo
ść ciepła nie była zamieniana na pracę. Powstaje pytanie, czy można skonstruować
urz
ądzenie, które pobierałoby ciepło i w całości zamieniałoby je na pracę? Moglibyśmy
wtedy wykorzysta
ć ogromne (z naszego punktu widzenia nieskończone) ilości ciepła
zgromadzone w oceanach, które byłyby stale uzupełniane poprzez promieniowanie słoneczne.
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
36
Negatywna, niestety, odpowied
ź na to pytanie jest zawarta w drugiej zasadzie
termodynamiki
. Poni
żej podane zostały równoważne sformułowania tej zasady
Niemo
żliwa jest przemiana, której jedynym wynikiem byłaby zamiana na pracę ciepła
pobranego ze
źródła mającego wszędzie jednakową temperaturę.
Oznacza to,
że nie możemy zbudować doskonałego silnika cieplnego, bo nie możemy
wytwarza
ć pracy pobierając jedynie ciepło z jednego zbiornika bez oddawania pewnej ilości
ciepła do zbiornika zimniejszego.
śadna cyklicznie pracująca maszyna nie może bez zmian w otoczeniu przenosić w sposób
ci
ągły ciepła z jednego ciała do drugiego o wyższej temperaturze.
Wiemy, z do
świadczenia, że ciepło przepływa od ciała cieplejszego do ciała zimniejszego.
śeby zmienić ten kierunek musi zostać wykonana praca przez czynnik zewnętrzny. Nie można
wi
ęc zbudować doskonałej maszyny chłodzącej, która bez dodatkowych efektów
(wydatkowania pracy z zewn
ątrz) przenosiłaby w sposób ciągły ciepło z ciała zimniejszego
do cieplejszego.
śadna cykliczna maszyna cieplna pracująca pomiędzy temperaturami T
1
i T
2
nie mo
że
mie
ć sprawności większej niż (T
1
−
T
2
)/T
1
.
Oznacza to,
że żadna maszyna cieplna nie może mieć sprawności większej od sprawności
silnika Carnota.
5.10. E
NTROPIA
Zerowa zasada termodynamiki wi
ąże się z pojęciem temperatury. Pierwsza zasada
termodynamiki wi
ąże się z pojęciem energii wewnętrznej. Natomiast drugą zasadę
termodynamiki wi
ążemy z pojęciem entropii.
Druga zasada termodynamiki mówi,
że:
W układzie zamkni
ętym entropia S nie może maleć.
dS
≥
0.
(83)
Entropia S jest termodynamiczna funkcj
ą stanu, zależy tylko od początkowego i
ko
ńcowego stanu układu, a nie od drogi przejścia pomiędzy tymi stanami. Entropia jest
funkcj
ą określoną dla stanu równowagi, taką że dla procesu odwracalnego:
T
dQ
dS
=
(84)
gdzie dQ jest ciepłem dostarczanym do układu w procesie odwracalnym.
Z tego punktu widzenia szczególnie interesuj
ące są procesy adiabatyczne nie związane z
przepływem ciepła pomi
ędzy układem i otoczeniem. W procesie adiabatycznym dQ = 0, więc
dla procesu odwracalnego dS = 0. Oznacza to,
że:
Entropia układu izolowanego adiabatycznie, w którym zachodz
ą procesy odwracalne, jest
stała. Jednocze
śnie można pokazać, że dla procesu adiabatycznego nieodwracalnego,
entropia układu ro
śnie.
Mo
żna uogólnić zasadę wzrostu entropii na układy nieizolowane adiabatycznie to znaczy
takie, które wymieniaj
ą ciepło z otoczeniem. Traktujemy wtedy nasz układ i otoczenie razem
jako jeden "wi
ększy" układ ponownie izolowany adiabatycznie. Wtedy
(85)
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
37
gdzie dS
o
jest zmian
ą entropii otoczenia. Zmienia się więc entropia naszego układu i
otoczenia. Je
żeli proces jest odwracalny to podczas przenoszenia ciepła dQ z otoczenia do
naszego układu entropia otoczenia maleje o dQ/T, a entropia układu ro
śnie o tę samą wartość
dQ/T, wi
ęc całkowita zmiana entropii jest równa zeru.
Zatem posługuj
ąc się entropią (zgodnie z drugą zasadą termodynamiki) możemy
stwierdzi
ć czy dany proces może zachodzić w przyrodzie.
5.10.1.
Entropia a nieuporz
ą
dkowanie
Entropi
ę układu można opisać na gruncie mechaniki statystycznej. W takim podejściu
entropia jest miar
ą nieuporządkowania
układu cz
ąstek. Zgodnie z drugą zasadą
termodynamiki dla procesów zachodz
ących w przyrodzie entropia układu (wraz z
otoczeniem) ro
śnie to znaczy, że rośnie również nieuporządkowanie (układu wraz z
otoczeniem). Oznacza to,
że im większy jest stan nieporządku (położeń i prędkości cząstek) w
układzie tym wi
ększe jest prawdopodobieństwo, że układ będzie w tym stanie.
Z definicji entropia układu jest równa:
(86)
gdzie, k jest stał
ą Boltzmana, a w –prawdopodobieństwem, że układ znajdzie się w danym
stanie (w odniesieniu do wszystkich pozostałych stanów).
Podsumowuj
ąc, w ujęciu termodynamicznym stan równowagi odpowiada stanowi o
najwi
ększej entropii, a w ujęciu statystycznym jest stanem najbardziej prawdopodobnym.
5.11. S
TANY RÓWNOWAGI
,
ZJAWISKA TRANSPORTU
5.11.1.
Stany równowagi fazowej
W dotychczasowych naszych rozwa
żaniach posługiwaliśmy się pojęciem stanu
równowagi układu, czyli stanu, w którym
żaden z parametrów potrzebnych do
makroskopowego opisu układu nie zale
ży od czasu. Zajmowaliśmy się procesami, które
zaczynały si
ę jednym stanem równowagi, a kończyły innym stanem równowagi.
Dla układu jednorodnego (przykładowo gazu) w stanie równowagi do jego opisu wystarcza
znajomo
ść dwu podstawowych parametrów stanu na przykład ciśnienia i objętości. Opis
komplikuje si
ę gdy mamy układ niejednorodny na przykład ciecz w równowadze z parą. Dla
danej temperatury stan równowagi tego układu jest mo
żliwy przy różnych objętościach
układu (od obj
ętości zależy ilość fazy ciekłej i gazowej). Natomiast temperatura i ciśnienie
przestaj
ą być niezależne. W każdej temperaturze równowaga jest możliwa tylko przy
okre
ślonym ciśnieniu (pary nasyconej). Przy wyższym istnieje tylko ciecz, przy niższym para.
Podobnie ciecz i ciało stałe mog
ą istnieć w równowadze tylko w temperaturze topnienia,
która jest funkcj
ą ciśnienia. Wreszcie ciało stałe współistnieje w równowadze z parą
nasycon
ą, której ciśnienie jest funkcją temperatury. Krzywe równowagi pokazane na rysunku:
Krzywe równowagi fazowej dla układu niejednorodnego. Obszar I - ciało
stałe, obszar II - ciecz, obszar III - gaz
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
38
Liter
ą a oznaczona jest krzywa równowagi ciało stałe - ciecz (związek temperatury
topnienia z ci
śnieniem). Krzywa a' przedstawia tę zależność dla kilku nietypowych substancji,
które przy topnieniu zmniejszaj
ą objętość na przykład dla lodu. Krzywa b + b' pokazuje
zale
żność ciśnienia pary nasyconej od temperatury. Odcinek b' to krzywa równowagi ciało
stałe - para, a odcinek b to krzywa równowagi ciecz - para. Krzywa równowagi ciecz - para
ko
ńczy się w punkcie krytycznym K. Dla temperatury wyższej od temperatury punktu
krytycznego K zanika ró
żnica pomiędzy fazą ciekłą i gazową. Dlatego warunkiem skroplenia
gazu jest ochłodzenie go poni
żej jego temperatury krytycznej.
Punkt P, w którym ł
ączą się krzywe nazywamy punktem potrójnym. W tym punkcie
mog
ą znajdować się w równowadze wszystkie trzy stany skupienia. Dla wody odpowiada to
ci
śnieniu p = 610.6 Pa i T = 273.16 K (0.01 °C).
5.11.2.
Zjawiska transportu
Znajomo
ść dochodzenie układów do stanów równowagi jest równie ważna jak znajomość
ich własno
ści w stanach równowagi, a każdy układ pozostawiony samemu sobie przez
dostatecznie długi czas dochodzi do stanu równowagi.
Teraz zapoznamy si
ę z bardzo uproszczonym opisem zjawisk, które zachodzą gdy układy
d
ążą do stanów równowagi. W zjawiskach tych mamy zawsze do czynienia z przenoszeniem
(transportem) materii, energii, p
ędu lub ładunku elektrycznego. Wszystkie te zjawiska
transportu opisujemy w pierwszym przybli
żeniu za pomocą takiego samego równania
ró
żniczkowego, które przedstawia propagację (rozprzestrzenianie się) pewnej wielkości
fizycznej j maj
ącą na celu osiągnięcie równowagi
(87)
W tym równaniu j jest g
ęstością strumienia wielkości fizycznej
ϕ
, a K jest stał
ą
charakteryzuj
ącą daną sytuację fizyczną. Stałą K wiążemy z właściwościami
mikroskopowymi rozpatrywanego układu statystycznego. S
ą to tak zwane współczynniki
transportu.
Omówimy teraz krótko wybrane zjawiska transportu:
1) Dyfuzja w gazie, czyli przenoszenie cz
ąstek (masy) w kierunku obszarów o mniejszej
koncentracji n (d
ążenie do wyrównania koncentracji). Równanie (16.31) nosi teraz nazwę
równania dyfuzji i ma posta
ć
(88)
gdzie j
D
jest g
ęstością strumienia cząstek, dn/dx jest różnicą stężeń występującą na odległości
dx, a D współczynnikiem dyfuzji. Równanie to znane jest pod nazw
ą prawa Ficka. Ponieważ
dyfuzja jest przenoszeniem cz
ąstek (z miejsc o większym stężeniu do miejsc o mniejszym
st
ężeniu) więc mamy do czynienia z transportem masy.
2) Przewodnictwo cieplne czyli transport energii cieplnej (ciepła) – zjawisko polegaj
ące
na samorzutnym wyrównywaniu si
ę temperatury w całym układzie bez żadnych
makroskopowych ruchów materii. Transport energii cieplnej zachodzi najszybciej w
metalach, a najwolniej w gazach. Miar
ą szybkości przewodnictwa cieplnego jest
współczynnik przewodnictwa cieplnego
κ
, wyst
ępujący w równaniu transportu ciepła:
(89)
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
39
gdzie j
Q
jest g
ęstością strumienia ciepła, dT/dx jest różnicą temperatur w warstwie ciała o
grubo
ści dx, a
κ
jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego. Równanie to znane jest pod
nazw
ą prawa Fouriera.
3) Przewodnictwo elektryczne czyli przenoszenie ładunku elektrycznego w wyniku ruchu
elektronów lub dziur elektronowych (d
ążenie do wyrównania potencjałów elektrycznych).
Równanie, zwane prawem Ohma, ma posta
ć
(90)
gdzie dV/dx jest ró
żnicą potencjałów (napięciem) pomiędzy punktami przewodnika odległymi
o dx,
σ
przewodno
ścią elektryczną,
ρ
oporno
ścią właściwą, a E natężeniem pola
elektrycznego.
4) Transport p
ędu czyli zjawisko lepkości jest procesem wyrównywania prędkości
poruszaj
ących się warstw płynu w cieczach rzeczywistych. Jako dobry przykład zjawiska
lepko
ści można wyobrazić sobie doświadczenie przedstawione na poniższym rysunku.
v > 0
x
v = 0
Na rysunku przedstawiona jest ciecz pomi
ędzy dwoma równoległymi płytkami odległymi
o x. Niech płytka górna porusza si
ę ze stałą prędkością równolegle do powierzchni cieczy,
natomiast dolna b
ędzie nieruchoma. Wskutek działania sił międzycząsteczkowych górna
warstwa cieczy zacznie si
ę poruszać wraz z płytką z tą samą prędkością. Pomiędzy tą
warstw
ą, a warstwą leżącą poniżej utworzy się różnica prędkości (/ pędu). Jeżeli w wyniku tej
ró
żnicy prędkości wytworzą się między warstwami naprężenia styczne (ścinające), nastąpi
przesuni
ęcie warstwy drugiej. Ciecz taką nazywamy lepką, a przepływ takich warst płynu,
przepływem laminarnym.
Dla tzw. cieczy newtonowskiej napr
ężenie styczne (
ττττ
, stosunek
∆
F/
∆
S siły wzajemnego
oddziaływania stycznego dwóch płaskich warstw płynu do pola powierzchni ka
żdego z nich )
jest proporcjonalne do zmiany p
ędu i wyraża się wzorem:
x
v
dx
dv
η
η
τ
=
−
=
(91)
gdzie
η
jest współczynnikiem tarcia wewn
ętrznego (lepkości)
Uwaga: wszystkie współczynniki transportu zale
żą od temperatury!
6.
E
LEKTRYCZNO
ŚĆ
I
M
AGNETYZM
Elektromagnetyzm, to dział fizyki badaj
ący współzależności zjawisk magnetycznych i
elektrycznych
(powstawanie
pola
magnetycznego
wywołane
przepływem
pr
ądu
elektrycznego, indukcja elektromagnetyczna, zachowanie si
ę przewodników w polu
magnetycznym itp.).
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
40
+
+
—
—
F
1
F
2
Pocz
ątek elektromagnetyzmowi dały prace H.Ch. Oersteda (odkrycie powstawania pola
magnetycznego wokół przewodnika, przez który płynie pr
ąd elektryczny, 1820), J.B. Biota i
F. Savarta. Dalsze etapy jego rozwoju wyznaczaj
ą m.in. badania A.M. Ampere'a, M.
Faradaya i J.C. Maxwella.
6.1. E
LEKTROSTATYKA
Elektrostatyka, to cz
ęść elektrodynamiki klasycznej dotycząca zagadnień związanych z
statycznymi polami elektrycznymi i spoczywaj
ącymi ładunkami elektrycznymi.
6.1.1. Spoczywaj
ą
cy ładunek elektryczny
Na spoczywaj
ący ładunek działają siły elektrostatyczne
pochodz
ące od innych ładunków. Dwa ładunki różnoimienne
(patrz rysunek) przyci
ągają się elektrostatyczną siłą
Coulomba równ
ą co do wartości:
2
2
1
0
2
1
4
1
r
q
q
F
F
r
ε
πε
=
=
( 92)
Pole elektryczne
, jakie powstaje pomi
ędzy tymi ładunkami równe jest natężeniu pola
działaj
ącego na ładunek próbny pochodzące od ładunku q:
2
0
0
4
1
r
q
q
F
E
r
ε
πε
=
=
(93)
Pole jednorodne powstaj
ące pomiędzy okładkami naładowanego kondensatora
6
jest
ró
żnicą potencjałów (napięciem) pomiędzy jego okładkami podzieloną przez odległość tych
okładek:
d
U
d
E
=
−
=
2
1
ϕ
ϕ
(94)
Pojemno
ść takiego kondensatora (kondensatora płaskiego) wyraża się wzorem:
d
S
U
Q
C
r
ε
ε
0
=
=
,
(95)
gdzie Q jest całkowitym ładunkiem zgromadzonym na płytkach kondensatora, e
r
przenikalno
ścią elektryczną warstwy izolującej kondensator, S powierzchnią okładek
kondensatora.
6.2. E
LEKTRODYNAMIKA
Elektrodynamika zajmuje si
ę uporządkowanym ruchem (przepływem) ładunków, czyli
pr
ądem elektrycznym. Ciała, w których istnieją ładunki swobodne (tzw. nośniki prądu
elektrycznego) mog
ące się swobodnie poruszać pod wpływem przyłożonego, zewnętrznego
pola, nazywa si
ę przewodnikami, natomiast ciała, które nie posiadają swobodnych nośników
nazywa si
ę izolatorami.
6
kondensator elektryczny – układ dwóch lub wi
ę
cej przewodników (okładki) odizolowanych od
siebie pró
ż
ni
ą
lub dielektrykiem (warstwa izoluj
ą
ca) posiadaj
ą
cy własno
ść
gromadzenia ładunków
elektrycznych pod wpływem przyło
ż
onego napi
ę
cia elektrycznego U. Przykładaj
ą
c napi
ę
cie do
okładek kondensatora powodujemy ładowanie kondensatora polegaj
ą
ce na przemieszczeniu z jednej
okładki ładunków jednego znaku na drug
ą
i stworzeniu ró
ż
nicy potencjałów.
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
41
Istnieje grupa ciał zmieniaj
ąca właściwości przewodzenia pod wpływem warunków
zewn
ętrznych (np. temperatury) są to tzw. półprzewodniki. Do przewodników zalicza się
przede wszystkim metale (np. srebro, mied
ź, aluminium) ale i ciecze (elektrolity
7
), do
izolatorów zalicza si
ę gazy, oraz ciała stałe (tj. woda destylowana, oleje, smary, guma, szkło,
papier, drewno). Do najcz
ęściej wykorzystywanych półprzewodników można zaliczyć krzem,
german, arsen.
6.2.1.
Rodzaje pr
ą
du
Pr
ąd elektryczny, pod względem natężenia, dzieli się na prąd stały i prąd zmienny. Prąd
stały płynie w stałym kierunku i ma stałe nat
ężenie. Prąd zmienny ma zależne od czasu,
zmienne nat
ężenie i oscyluje ono wokół wartości średniej. Czas powtórzenia oscylacji
nazywa si
ę okresem, natomiast liczbę okresów w jednej sekundzie nazywa się
cz
ęstotliwością.
Pr
ąd zmienny ma naturę falową. Drgające cząsteczki wpływają na ruch następnych
poruszaj
ą się w sposób uporządkowany w tej samej fazie drgań. Długość fali związana jest z
okresem drga
ń zależnością:
λ
=cT=1/f , podobnie jak przy falach mechanicznych. Znaczy to,
że im większa częstotliwość drgań prądu tym krótsza jest długość fali. Od czasu trwania
okresu i wysoko
ści amplitudy fali (/natężenia) zależy działanie drażniące prądu.[]
Wyst
ępujący w sieci elektrycznej prąd zmienny o częstotliwości 50Hz musi być zmieniony
(zmodulowany) zanim zostanie zastosowany w elektroterapii. Po przepuszczeniu takiego
pr
ądu przez prostownik (filtr) zostaje z niego tylko jedna połówka (dodatnia lub ujemna) –
prostowanie jednokierunkowe. Podczas prostowania całkowitego nast
ępuje ‘odbicie’
ujemnych warto
ści prądu tak, że prąd wyjściowy ma dwukrotnie większą częstotliwość (czyli
w naszym przyp. 100Hz). Cz
ęstotliwość fal można modulować zmieniając ilość połówek fali
przechodz
ących przez prostownik.
Pr
ądy wykorzystywane w elektrolecznictwie można podzielić na prądy:
1.
małej cz
ęstotliwości (od 0Hz do 1kHz) + prąd galwaniczny (wyk. w galwanizacji,
elektrolizie, jonoforezie, k
ąpielach elektryczno-wodnych )
2.
średniej częstotliwości (od 1kHz do 100kHz) – prądy zmienne, interferencyjne,
modulowane
średniej częstotliwości;
3.
wysokiej cz
ęstotliwości (od 500kHz do 5000MHz) – fale krótkie (o długości
λ
=11m),
fale decymetrowe (
λ
=0,7m), mikrofalowe (
λ
=0,125m);
( Kontynuacja, patrz rozdział: Elektrolecznictwo)
6.2.2. Charakterystyka pr
ą
du elektrycznego
Pr
ąd elektryczny można scharakteryzować za pomocą podania następujących parametrów:
Nat
ężenie prądu, I, jest miarą ilości elektryczności (ładunku) przepływającej przez
przekrój jakiego
ś przewodnika w ciągu sekundy. W układzie jednostek SI wyraża się w
amperach [A]:
t
q
I
∆
∆
=
(96)
7
elektrolitami nazywamy przewodniki elektryczne zawieraj
ą
ce ruchome jony. S
ą
nimi najcz
ęś
ciej
roztwory wodne soli, kwasów i zasad oraz roztopione kryształy jonowe (np. soli kuchennej). Pod
wpływem pola elektrycznego dysocjuj
ą
na jony (np. kwas siarkowy na kationy wodorkowe i aniony
reszt kwasowych);
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
42
G
ęstość prądu elektrycznego, j oznacza stosunek natężenia prądu (I) do wielkości
powierzchni, przez który ten pr
ąd przepływa (S):
S
I
j
=
(97)
W medycynie zabiegowej warto
ść gęstości prądu elektrycznego podaje się w miliamperach
na centymetr
2
[mA/cm
2
].
G
ęstość prądu jest związana z wartością pola elektrycznego (E) poprzez wzór:
E
j
⋅
=
σ
(98)
gdzie
σ
– przewodnictwo wła
ściwe (przewodność) wyrażone w (
Ω
m)
-1
.
Opór elektryczny, R, na jaki natrafia przepływaj
ący prąd zależy od kształtu (długości l i
przekroju S) i wła
ściwości elektrycznych (oporności właściwej
ρρρρ
) przewodnika:
S
l
R
⋅
=
ρ
,
(99)
gdzie oporno
ść właściwa jest odwrotnością przewodności właściwej:
ρρρρ
=1/
σσσσ
i wyra
żona
jest w tzw. omometrach (
Ω
.
m).
Przewodnictwo elektryczne – to odwrotno
ść oporu elektrycznego:
]
1
[
1
S
R
=
Ω
=
κ
(100)
i wyra
żone jest w simensach (ozn. S)
Jak ju
ż wspomniano opór (/oporność) właściwy charakteryzuje właściwości elektryczne
materiału przewodnika i tak:
-
dla
ρ
< 10
-6
Ω
m materiałem jest przewodnik;
-
dla 10
-6
Ω
m>
ρ
<10
8
Ω
m materiałem jest półprzewodnik;
-
dla
ρ >
10
8
Ω
m materiałem jest izolator;
Pomi
ędzy natężeniem przepływającego prądu przez przewodnik (I) a spadkiem napięcia na
tym przewodniku (U) zachodzi liniowa zale
żność, zwana prawem Ohma :
I
R
U
⋅
=
[V =
Ω
.
A]
(101)
gdzie stała proporcjonalno
ści R nazywana jest oporem elektrycznym (in. rezystancją).
Prawo Ohma mówi,
że, w stałej temperaturze, natężenie prądu (I) jest wprost
proporcjonalne do spadku napi
ęcia na przewodniku (U), a stałą proporcjonalności jest
opór elektryczny R;
Prawo Ohma dotyczy pr
ądu stałego i prądu zmiennego niskoczęstotliwościowego. Nie jest
spełnione natomiast dla pr
ądu zmiennego (wysokoczęstotliwościowego).
Skóra ludzka (naskórek) posiada pewien (stosunkowo du
ży) opór elektryczny oraz opór
pojemno
ściowy. Można ją traktować jako izolator. Opór całkowity skóry zmniejsza się wraz
ze wzrostem cz
ęstotliwości impulsów elektrycznych.
W układach elektrycznych oporniki (odbiorniki elektryczne) mo
żna łączyć w obwodach
szeregowo (koniec poprzedniej cz
ęści jest początkiem nowej części) lub równolegle
(osobno ł
ączy się wejścia odbiorników i ich wyjścia). Zależności pomiędzy natężeniami,
spadkami napi
ęć i opornościami przedstawione zostały w tabeli poniżej:
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
43
Tabela 8. Ró
żnice pomiędzy połączeniem szeregowym (nierozgałęzionym) a
równoległym (rozgał
ęzionym). W połączeniu szeregowym prąd płynący
przez ka
żdy rezystor ma taką samą wartość, natomiast suma spadków napięć
na ka
żdym rezystorze równa jest całkowitem spadkowi napięcia w obwodzie.
Dla poł
ączenia równoległego napięcia na poszczególnych rezystorach są
sobie równe i równe spadkowi napi
ęcia w całym układzie, natomiast prąd
rozgł
ęzia się na sumaryczne składowe.
POŁ
ĄCZENIE
NAT
ĘśENIE
NAPI
ĘCIE
OPÓR ZAST
ĘPCZY
szeregowe
R
1
R
2
R
N
I=I
1
=I
2
=...=I
N
U=U
1
+U
2
+...+U
N
R=R
1
+R
2
+...+R
N
równoległe
R
1
R
2
R
N
I=I
1
+I
2
+...+I
N
U=U
1
=U
2
=...=U
N
N
R
R
R
R
1
...
1
1
1
2
1
+
+
+
=
Praca pr
ądu elektrycznego jest to iloczyn spadku napięcia na odbiorniku i przenoszonego
ładunku:
t
I
U
Q
U
W
⋅
⋅
=
⋅
=
(102)
i wyra
ża się najczęściej w dżulach lub w elektronowoltach
8
[1eV = 1,6
.
10
-19
J].
Moc pr
ądu elektrycznego, to stosunek średniej pracy prądu elektrycznego
∆
W
wykonywanej w odcinku czasu
∆
t:
I
U
t
W
P
⋅
=
∆
∆
=
(103)
6.2.3. Pr
ą
d zmienny, impedancja (zawada) układu RLC:
Impedancja (zawada) układu zawieraj
ącego opornik (rezystor), solenoid (zwojnica, cewka)
i kondensator, to inaczej opór zast
ępczy takiego układu i wyraża się wzorem:
2
2
1
−
+
=
ω
ω
C
L
R
Z
(104)
gdzie: R-opór omowy, L-indukcyjno
ść solenoidu, C-Pojemność kondensatora, natomiast
ω
-
cz
ęstotliwość kołowa (częstość) i ma związek z częstotliwością poprzez wzór: .
ω
= 2
π
.
f .
6.2.4. Transport jonów w błonach i potencjały błonowe.
Pole elektryczne, E, przenosz
ące jony przez błonę komórkową wyraża się podobnym wzorem
jak pole elektryczne wewn
ątrz kondensatora:
d
U
E
m
=
,
(105)
gdzie: U
m
– spoczynkowy potencjał membranowy (błonowy) – okre
śla różnicę potencjałów
elektrycznych pomi
ędzy wnętrzem i zewnętrzem komórki;
8
jeden elektronowolt (1eV) jest to praca potrzebna na przeniesienie elementarnego ładunku
elektrycznego przez ró
ż
nic
ę
potencjałów równ
ą
1V.
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
44
nat
ężenie prądu, I
I=const.
czas, t
d – grubo
ść błony komórkowej;
Warto
ści potencjałów spoczynkowych dla niektórych komórek przedstawione zostały w
poni
ższej tabeli:
Rodzaj komórki
Potencjał spoczynkowy
Akson kałamarnicy
- 70 mV
Komórka mi
ęśniowa
- 90 mV
Erytrocyt
- 10 mV
Neuron kota
- 80 mV
6.2.5. Wpływ pr
ą
du stałego na organizm
Ciało człowieka pod wzgl
ędem elektrycznym składa się z układu szeregowo lub
równolegle poł
ączonych komórek, tkanek, elektrolitów o różnym przewodnictwie
elektrycznym. Tkanki i płyny ustrojowe wykazuj
ą różnice w przewodnictwie elektrycznym,
które zale
żą przede wszystkim od uwodnienia i nasycenia (stężenia) elektrolitów. Największe
przewodnictwo elektryczne wykazuje płyn mózgowo-rdzeniowy, pó
źniej w kolejności
malej
ącej: osocze krwi, krew, mięśnie, wątroba, mózg, tkanka łączna, tkanka kostna. W
zabiegach elektroleczniczych nale
ży pamiętać o słabym przewodnictwie skóry (duża
oporno
ść). Prąd przepływa zawsze drogą o najmniejszym oporze elektrycznym. [].
Przepływowi przez tkanki towarzyszy szereg zjawisk elektrochemicznych (elektroliza),
elektrokinetycznych (elektroforeza i elektroosmoza) i elektrotermicznych (prawo Joule’a-
Lenza) scharakteryzowanych pokrótce poni
żej:
Elektroliza – rozpad elektrolitu na jony pod wpływem przepływu pr
ądu elektrycznego,
poł
ączony z odkładaniem się substancji na elektrodach;
Elektroforeza - ruch ładunków elektrolitu (zawiesiny lub cieczy) pod wpływem
przyło
żonego zewnętrznego pola elektrycznego (cząstki obdarzone ładunkiem ujemnym
poruszaj
ą się w kierunku elektrody dodatniej (katody), dodatnim – w stronę anody);
Elektroosmoza – ruch jonów przez przegrod
ę (lub kapilarę) pod wpływem przyłożonego
zewn
ętrznego pola elektrycznego;
Prawo Joule’a - Lenza – prawo okre
ślające ilość ciepła wydzielającą się w przewodniku
(tkance) o oporze R przy przepływie pr
ądu o natężeniu I w ciągu czasu t:
Rt
I
Q
2
=
(106)
6.2.6.
Elektroterapia w „pigułce”
Pr
ąd elektryczny wykorzystywany w fizjoterapii można podzielić na:
Pr
ąd stały.
Galwanizacja, to u
życie w zabiegu prądu stałego;
Jontoforeza (inaczej: jontogalwanizacja), to zabieg polegaj
ący na
wprowadzeniu do ciała pacjenta, przy pomocy pr
ądu galwanicznego,
leczniczo działaj
ących jonów. Zabieg ten może być wykonywany z
zastosowaniem wanny (komory) napełnionej wod
ą lub roztworem
leków (k
ąpiele wielokomorowe);
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
45
I
B)
t
I
A)
t
I
C)
t
I
E)
t
I
D)
t
I
F)
t
Pr
ądy
impulsowe
małej
cz
ęstotliwości (prądy o różnym
kształcie impulsu, to mi
ędzy
innymi pr
ądy: A–prostokątne,
B–trójk
ątne, C–trapezowe, D–
faradyczne,
E–neofaradyczne,
F–diadynamiczne);
Pr
ądy średniej częstotliwości (głównie prądy o modulowanej amplitudzie);
Pr
ądy o dużej częstotliwości (stosowane np. w diatermii - ze względu na częstotliwość
impulsów rozró
żniamy: diatermię długofalową, krótkofalową i mikrofalową).
6.3. R
EZONANS MAGNETYCZNY
Zjawisko rezonansu magnetycznego wyst
ępuje podczas absorpcji (pochłaniania) fali
elektromagnetycznej przez substancj
ę umieszczoną w tym polu. Za rezonansowe pochłanianie
energii odpowiedzialne s
ą cząstki posiadające tzw. moment magnetyczny.
6.3.1. Moment magnetyczny
Moment magnetyczny, jest to wektorowa wielko
ść fizyczna charakteryzująca stan
magnetyczny (namagnesowanie) cz
ąstek elementarnych. Jeżeli w jednorodnym polu
magnetycznym, o indukcji magnetycznej B, znajdzie si
ę elektron, jądro atomowe, atom, lub
dowolne ciało makroskopowe (czyli cz
ąstki obdarzone momentem magnetycznym p
m
), to
b
ędzie nań działał pewien skręcający, obrotowy moment siły.
Wokół przewodnika, w którym płynie pr
ąd powstaje
wirowe pole magnetyczne, którego linie sił le
żą w
płaszczy
źnie prostopadłej do przewodnika (rysunek), przy
czym kołowy przewodnik z pr
ądem (dolny zwój na rysunku)
zachowuje si
ę jak dipol magnetyczny (magnes sztabkowy) i
posiada dwa bieguny magnetyczne. Moment magnetyczny
kołowego przewodnika z pr
ądem określa wzór: p
m
=I
.
S, gdzie
I jest nat
ężeniem prądu płynącego w przewodniku, S
powierzchni
ą zawartą w obwodzie prądu.
Moment magnetyczny jest wielko
ścią wektorową, którego kierunek i zwrot określa „reguła
śruby prawoskrętnej”. Jednostką momentu magnetycznego jest A
.
m
2
[amper
.
metr
2
].
Naładowane cz
ąstki elementarne wprawione w ruch oraz prądy elektryczne są źródłem
pola magnetycznego. Jego główne
źródła to:
przewodniki z pr
ądem (elektromagnesy);
orbitalny ruch elektronów w atomach;
obracaj
ące się cząstki elementarne (protony, neutrony);
6.4.
POLE ELEKTROMAGNETYCZNE
Pole elektromagnetyczne jest polem, za po
średnictwem którego następuje wzajemne
oddziaływanie obiektów fizycznych o wła
ściwościach elektrycznych i magnetycznych (np.
spoczywaj
ących lub będących w ruchu naładowanych cząstek elektrycznych, dipoli
magnetycznych).
I p
m
B
B
p
m
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
46
W ka
żdym punkcie pola e.m. określone są wektory natężenia pola elektrycznego E i pola
magnetycznego H, indukcji pola elektrycznego D i pola magnetycznego B. Wektory te
okre
ślają wartość wypadkowej siły elektromagnetycznej, jaka działa na ładunek (próbny)
umieszczony w tym polu (tzw. siła Lorentza
9
):
B
v
q
E
q
F
r
r
r
v
×
⋅
+
⋅
=
(107)
gdzie: q- punktowy ładunek próbny, v- jego pr
ędkość. Pierwszy człon równania określa
wkład pola elektrycznego, drugi pola magnetycznego. Siła Lorentza powoduje zakrzywienie
toru ruchu ładunku. W polu elektrycznym znika drugi człon (B=0), a w polu magnetycznym –
pierwszy. Siła Lorentza ma wtedy charakter siły do
środkowej, torem ruchu cząstki jest wtedy
okr
ąg o promieniu r:
B
q
mv
r
⋅
=
(108)
Pole elektromagnetyczne rozprzestrzenia si
ę od źródła ze skończoną prędkością, której
warto
ść w danym ośrodku wynosi:
r
r
c
v
ε
µ
=
,
(109)
gdzie c jest pr
ędkością światła w próżni, a ośrodek scharakteryzowany jest za pomocą dwóch
stałych parametrów: wzgl
ędnej przenikalności magnetycznej
εεεε
r
i wzgl
ędnej przenikalności
magnetycznej
µµµµ
r
.
Rysunek 11. Widmo promieniowania elektromagnetycznego.
9
Lorentz, Hendrik Antoon (1853–1928) fizyk holenderski
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
47
Wysyłane przez sło
ńce promieniowanie elektromagnetyczne rozciąga się od
promieniowania
γ
(gamma) przez promieniowanie rentgenowskie, nadfioletowe, widzialne i
podczerwone, a
ż do fal radiowych (patrz rysunek). Składa się ono w ok. 40% z
promieniowania widzialnego, w ok. 60% promieniowania podczerwonego i ok. 2-3%
promieniowania nadfioletowego. Do ziemi dociera zaledwie 30% promieniowania
słonecznego. Reszta absorbowana jest przez atmosfer
ę ziemską.
Ka
żdy element światła słonecznego wywiera biologicznie istotny wpływ na organizm
człowieka
Światło widzialne polepsza samopoczucie i jest źródłem radości. Światło
czerwone (650nm) wywiera pobudzaj
ący wpływ na psychikę człowieka, łagodzi podrażnienia
skóry powstaj
ące np. podczas przedawkowania promieni UV. Światło niebieskie (400nm)
działa uspokajaj
ąco i zmniejsza ból. Stosuje się je do naświetleń miejscowych przy krwawych
wysi
ękach w stawach, po urazach, w nerwobólach, świądzie, zapaleniu żył, zaburzeniach
kr
ążenia, cukrzycy, odmrożeniach.
6.4.1. Powstawanie
ś
wiatła laserowego
Według teorii budowy atomu Bohra
10
: w centrum atomowym znajduje si
ę dodatnie
naładowane j
ądro atomowe wokół którego „krążą” ujemnie naładowane elektrony w takiej
liczbie, aby wypadkowy ładunek atomu był równy zero. Liczne poziomy energetyczne w
atomach i cz
ąsteczkach pozwalają elektronom na przejścia między-orbitalne.
Promie
ń n-tej orbity Bohra dany jest przez wyrażenie:
2
1
2
2
0
2
n
r
n
me
h
r
n
⋅
=
⋅
=
π
ε
,
(110)
natomiast energia n-tego poziomu zale
żnością:
2
1
2
2
0
2
4
1
1
8
n
E
n
h
me
E
n
⋅
−
=
⋅
−
=
ε
,
(111)
gdzie: h=6,62
.
10
-34
J
.
s jest stał
ą Plancka, m i e=1.6·10
-19
C s
ą odpowiednio masą i ładunkiem
elektronu, r
1
=0,0503 nm i E
1
=–13.6 eV odpowiednio promieniem i energi
ą na pierwszej
orbicie elektronowej,
ε
0
= 8.854·10
-12
C
2
/(Nm
2
) przenikalno
ścią elektryczną próżni, natomiast
n
numeruje kolejne poziomy (orbity) elektronowe i nazywane jest główn
ą liczbą kwantową.
Elektron przeskakuj
ąc z jednego poziomu na drugi wypromieniowuje lub pochłania kwant
energii (tzw. foton, por. rysunek poni
żej). Kwant energii to najmniejsza porcja energii jaką
niesie ze sob
ą foton i równa jest różnicy energii pomiędzy poziomami atomu:
n
n
E
E
f
h
E
−
=
⋅
=
∆
+
1
(112)
gdzie. f jest cz
ęstotliwością fali świetlnej (kwantu promieniowania).
10
Niels Bohr (1885–1962) fizyk du
ń
ski
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
48
STAN WZBUDZONY
3
2
1
STAN PODSTAWOWY
ENERGIA
po
m
po
w
an
ie
o
pt
yc
zn
e
św
ia
tł
o
la
se
ro
w
e
Rys. . Schemat trójpoziomowy stanów energetycznych jonów Cr
3+
w
rubinie. W skutek o
świetlenia rubinu światłem zielonym jony zostają
wzbudzone do pasma 3 (pompowanie optyczne), z którego przechodz
ą
bezpromieni
ście na poziom 2. Gdy gęstość energii promieniowania
pompuj
ącego jest dostatecznie duża poziom 2 może przekroczyć liczbę
atomów obsadzaj
ących poziom 1 (tzw. inwersja obsadzeń). Fotony
emitowane podczas przej
ścia ze stanu 2 do stanu o niższej energii 1
wymuszaj
ą podobne przejścia w innych atomach (emisja wymuszona) i
dochodzi do mno
żenia fotonów (tzw. akcja lawinowa)
Promieniowanie takie, znalazło zastosowanie w tzw. laserach
11
.
Wymie
ńmy podstawowe cechy światła laserowego:
1)
monochromatyczno
ść (jednobarwność) mówi o tym, że światło laserowe ma prawie
jednakow
ą długość fali (lub częstotliwość widmową), czyli lasery pracujące w zakresie
światła widzialnego mają jednobarwną wiązkę świetlną;
2)
koherencja (inaczej: spójno
ść) oznacza ciągłość falowych wiązek świetlnych oraz
zgodno
ść ich fazy;
3)
kolimacja (równoległo
ść) oznacza, że promieniowanie takie ma małą rozbieżność
k
ątową (kąt rozbieżności mniejszy nawet od 10
-5
rad);
4)
du
ża intensywność (gęstość mocy promieniowania = moc promieniowania na
jednostk
ę powierzchni) ze względu na krótki czas trwania impulsu może dochodzić
nawet do kilku MW/cm
2
(megawatów/centymetr
2
);
Bardzo mała rozbie
żność wiązki laserowej, duża gęstość promieniowania, oraz jej
spójno
ść i monochromatyczność sprawiły, że lasery znalazły wiele zastosowań we
współczesnych dziedzinach medycyny (przede wszystkim onkologii, chirurgii i dermatologii).
11
LASER – z j
ę
z. ang. Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation (wzmocnienie
ś
wiatła
przez wymuszon
ą
emisj
ę
promieniowania)
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
49
Rys . Typy niektórych laserów u
żywanych w medycynie. Za [Jaroszyk, 1993]
7.
P
ROMIENIOWANIE
C
IEPLNE
Promieniowanie cieplne (in. termiczne), to promieniowanie elektromagnetyczne ciał
zwi
ązane ze wzbudzaniem atomów, jonów lub cząsteczek do drgań związanych z ich ruchem
cieplnym. Nat
ężenie i barwa światła wchodzącego w skład promieniowania cieplnego zależą
od własno
ści fizycznych ciała oraz jego temperatury. Wszystkie ciała o temperaturze wyższej
ni
ż 0K
12
s
ą źródłem promieniowania (zwykle jest to promieniowanie tła) cieplnego. Ogólnie
promieniowanie cieplne staje si
ę widoczne (leży w zakresie fal widzialnych), kiedy jego
temperatura przekroczy ok. 500
o
C. W tej temperaturze ciała maj
ą barwę ciemno czerwoną, a
w miar
ę podgrzewania ich barwa zmienia się z jasno czerwonej, poprzez żółte, zielone, biało-
niebieskie do niebieskiej.
Wielko
ścią charakteryzującą promieniowanie jest tzw. zdolność emisyjna. Zdolność
emisyjna (strumie
ń energii wysyłanej) jest wielkością charakteryzującą promieniowanie
cieplne emitowane przez dane ciało i równa jest mocy
∆∆∆∆
P tego promieniowania wysyłanego z
jednostki powierzchni
∆∆∆∆
S tego ciała, czyli:
S
t
E
S
P
T
f
E
def
∆
⋅
=
∆
∆
=
.
)
,
(
(113)
Podobnie definiuje si
ę zdolność ciała do pochłaniania (absorpcji) fali elektromagnetycznej.
Zdolno
ść absorpcyjna jest to stosunek mocy promieniowania pochłoniętego (
∆
P) przez
jednostkow
ą powierzchnie tego ciała (
∆
S)
S
t
E
S
P
T
f
A
def
∆
⋅
=
∆
∆
=
.
)
,
(
.
(114)
Zdolno
ść emisyjna ciała rzeczywistego E(f,T), oraz zdolność absorpcyjna A(f,T) zależą od
cz
ęstotliwości fali promieniowania f i temperatury T, składu chemicznego i stanu skupienia
danego ciała.
12
przypomnienie: 0K (zero bezwzgl
ę
dne) = –273
o
C
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
50
Ciało, dla którego zdolno
ść absorpcyjna niezależnie od częstotliwości promieniowania jest
równe 1 (A=1, tzn. pochłania ka
żdą ilość promieniowania cieplnego) nazywamy ciałem
doskonale czarnym. Ciało nie absorbuj
ące promieniowania niezależnie od jego
cz
ęstotliwości, dla którego zdolność absorpcyjna jest równa 0 (A=0) nazywamy ciałem
białym. S
ą to skrajne, wyidealizowane przypadki, ponieważ wszystkie rzeczywiste ciała mają
zdolno
ść absorpcyjną w przedziale: 0<A<1. Ciała rzeczywiste pod względem ich
charakterystyki promieniowania nazywamy ciałami kolorowymi.
Przykładem ciała doskonale czarnego mo
że być wnętrze światłoszczelnej
wn
ęki pokazanej na rysunku obok. Promieniowanie, które absorbuje ciało
doskonale czarne ulega rozproszeniu na wewn
ętrznych ściankach wnęki
tak,
że na zewnątrz nie wydostaje się już nic.
Ciało rzeczywiste b
ędące w równowadze termodynamicznej z otoczeniem emituje taką
sam
ą ilość promieniowania, co absorbuje z otoczenia. Promieniowanie takie nazywa się
promieniowaniem zrównowa
żonym.
Zwi
ązek pomiędzy zdolnością emisyjną a zdolnością absorpcyjną ciała określa prawo
promieniowania Kirchhoffa.
7.1. P
RAWO PROMIENIOWANIA
K
IRCHHOFFA
Prawo promieniowania Kirchhoffa stwierdza,
że: stosunek zdolności emisyjnej (E) do
zdolno
ści absorpcyjnej (A) jest dla wszystkich ciał jednakowy.
( )
T
f
E
T
f
A
T
f
,
)
,
(
)
,
(
=
ε
(115)
Funkcja
ε
=
ε
(f,T) jest niezale
żną od ciała uniwersalną funkcją temperatury i częstotliwości
promieniowania i nazywamy funkcj
ą Kirchoffa lub zdolnością emisyjną ciała doskonale
czarnego
.
Zdolno
ść ciała do emisji promieniowania oraz do jego absorpcji są do siebie wprost
proporcjonalne: Ze stwierdzenia tego wynika,
że ciało tym intensywniej promieniuje, im
intensywniej pochłania padaj
ące nań promieniowanie. Dlatego wskutek promieniowania
termicznego gor
ąca, czarna kawa szybciej stygnie niż gorąca, przeźroczysta woda (Im
ciemniejsze ciało, tym szybciej nagrzewa si
ę i stygnie).
7.2. P
RAWO
P
ROMIENIOWANIA
P
LANCKA
Prawo promieniowania Plancka
okre
śla zależność zdolności emisyjnej ciała doskonale
czarnego od cz
ęstotliwości f i jego temperatury T:
1
1
)
,
(
/
−
⋅
=
⋅
⋅
T
k
f
h
e
C
T
f
E
,
(116)
gdzie: stała C=2
π
hf
3
/c
2
, h jest stał
ą Plancka, c prędkością światła w próżni, natomiast k stałą
Boltzmanna. Zdolno
ść emisyjna opisana powyższą funkcją ma kształt jak na rysunku poniżej.
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
51
E(
λ
,T)
T
4
T
3
T
2
T
1
λ
λ
max
4
λ
max1
Rys. . Zdolno
ść emisyjna ciała doskonale czarnego, E(f,T) zależy od
cz
ęstotliwości fali elektromagnetycznej (lub długości fali,
λ
) oraz od
temperatury tego ciała. W miar
ę zwiększania temperatury można zauważyć
charakterystyczne przesuni
ęcie maksimum promieniowania w kierunku
krótszych długo
ści fal (większych częstotliwości). Linią przerywaną
zaznaczono zale
żność maksymalnej długości fali,
λ
max
, od temperatury
(
→prawo Wiena).
Wzór ( ) podany przez Plancka bardzo dobrze opisuje wyniki do
świadczalne i nie da się
go wyprowadzi
ć korzystając z praw fizyki klasycznej. Wzór opiera się na założeniu, że atomy
i cz
ąsteczki mogą wysyłać i pochłaniać promieniowanie tylko „porcjami” energetycznymi,
zwanymi kwantami energii. Prawo to stanowi fundament mechaniki kwantowej.
Z prawa promieniowania Plancka wynika prawo przesuni
ęć Wiena.
7.3. P
RAWO PRZESUNI
ĘĆ
W
IENA
:
Prawo przesuni
ęć Wiena orzeka, że maksymalna długość fali, odpowiadająca
maksymalnej emisji promieniowania ciała doskonale czarnego, jest odwrotnie proporcjonalna
do temperatury bezwzgl
ędnej ciała T:
T
b
MAX
=
λ
,
(117)
gdzie b=0,29
.
10
-2
mK jest stał
ą Wiena.
Wzór ten orzeka,
że ze wzrostem temperatury bezwzględnej ciała doskonale czarnego
maksymalna długo
ść fali (odpowiadająca maksymalnej emisji) przesuwa się w kierunku
krótszych długo
ści fal (większych częstotliwości), co przejawia się zmianą barwy
promieniuj
ącego ciała. Znając barwę świecącego ciała można, przy pomocy prawa Wiena,
okre
ślić jego temperaturę i na odwrót.
7.4. P
RAWO PROMIENIOWANIA
S
TEFANA
–
B
OLTZMANNA
:
Prawo Stefana - Boltzmanna z kolei stwierdza,
że całkowity strumień energii
promieniowania cieplnego (zdolno
ść emisyjna) ciała doskonale czarnego jest proporcjonalny
do czwartej pot
ęgi temperatury:
4
)
(
T
T
E
⋅
=
σ
,
(118)
gdzie
σσσσ
=5,67
.
10
-8
[J/sm
2
K
4
] jest stał
ą Stefana-Boltzmanna.
Prawo Stefana-Boltzmanna mo
żna zastosować również dla ciał szarych oraz ciał
rzeczywistych. Dla ciał szarych i rzeczywistych stała proporcjonalno
ści pomiędzy emitancją a
T
4
wynosi:
σσσσ
....
A, gdzie A jest zdolno
ścią absorpcyjną tego ciała:
4
)
(
T
A
T
E
⋅
=
σ
(119)
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
52
7.5. T
ERMOGRAFIA
Temperatura skóry człowieka jest wa
żnym czynnikiem diagnostycznym pomagającym
ustali
ć stan pacjenta. Temperatura skóry jest bowiem wynikiem dynamicznej równowagi
cieplnej pomi
ędzy ciepłem dostarczanym na przemiany metaboliczne przez naczynia
krwiono
śne, przewodnictwo cieplne tkanek a ciepłem wypromieniowywanym do otoczenia
przez promieniowanie, przewodnictwo cieplne i konwekcj
ę. Ogniska chorobowe powodują
zmian
ę temperatury tkanek, ponieważ wpływają one na wyżej wymienione czynniki.
[Jaroszyk]
Najprostszym przyrz
ądem diagnostycznym jest termometr, użyty po raz pierwszy ok. 1865
roku. Do urz
ądzeń bardziej zaawansowanych należy zaliczyć aparat termograficzny.
Aparat termograficzny reaguje na promieniowanie cieplne wysyłane przez ciało człowieka.
Najistotniejszym elementem termografu jest detektor promieniowania podczerwonego, który
przetwarza padaj
ące promieniowanie na proporcjonalny do jego mocy sygnał elektryczny,
który pó
źniej jest wzmacniany i analizowany przez system przetworników.
8.
PROMIENIOWANIE
NIEJONIZUJ
ĄCE
(
W PRZYGOTOWANIU
):
9.
PROMIENIOWANIE
JONIZUJ
ĄCE:
(
W PRZYGOTOWANIU
)
Podstawy Biofizyki (kurs elektroniczny 2.1)
Sławomir Winiarski
53
10.
UZUPEŁNIENIA
10.1. A
LFABET
G
RECKI
.
α
,
Α
alfa
ι, Ι
jota
ρ, Ρ
rho
β
,
Β
beta
κ, Κ
kappa
σ, Σ
sigma
γ
,
Γ
gamma
λ, Λ
lambda
τ, Τ
tau
δ
,
∆
delta
µ, Μ
mi
υ, Υ
ypsilon
ε, Ε
epsilon
ν, Ν
ni
φ,ϕ; Φ
fi
ζ, Ζ
dzeta
ξ, Ξ
ksi
χ, Χ
hi
η, Η
eta
ο, Ο
omikron
ψ, Ψ
psi
θ, Θ
theta
π, Π
pi
ω, Ω
omega
10.2. W
YBRANE STAŁE FIZYCZNE
Wielko
ść
Symbol Warto
ść
Pr
ędkość światła w próżni
c
2.9979·10
8
m·s
-1
Przyspieszenie ziemskie
g
9,81 m
.
s
-2
Przenikalno
ść magnetyczna próżni
µ
0
4
π
·10
-7
H·m
-1
Przenikalno
ść elektryczna próżni
ε
0
8.8542·10
-12
F·m
-1
Stała Plancka
h
6.6262·10
-34
J·s
Elektryczny ładunek elementarny
e
1.60219·10
-19
C
Masa spoczynkowa elektronu
m
e
9.1095·10
-31
kg
Masa spoczynkowa protonu
m
p
1.6726485·10
-27
kg
Masa spoczynkowa neutronu
m
n
1.6749·10
-27
kg
Stała Rydberga
R
1.0974·10
7
m
-1
Liczba Avogadro
N
A
6.0220·10
23
mol
-1
Jednostka masy atomowej
u
1.6606·10
-27
kg
Stała Boltzmanna
k
1.3807·10
-23
J·K
-1
Stała Stefana-Boltzmanna
σ
5.67031·10
-8
W·m
-2
·K
-4
Stała gazowa
R
0
8.3144 J·mol
-1
·K
-1
Stała grawitacyjna
G
6.6720·10
-11
N·m
2
·kg
-2
10.3. L
ITERATURA
Literatura zalecana:
1.
Bober T., Zalewski J. (2003) Biomechanika układu ruchu człowieka, AWF Wrocław
2.
Mi
ękisz S., Hendrich A. (red.) (1998) Wybrane zagadnienia z biofizyki
3.
Resnick R., Halliday D. (1994) Fizyka. PWN, Warszawa
Literatura uzupełniaj
ąca:
4.
Pilawski A. (red.) (1983) Podstawy biofizyki. PZWL, Warszawa
5.
Kane J.W. i Sternheim M.M. (1988) Fizyka dla przyrodników. PWN, Warszawa
6.
Glaser R. (1975) Wst
ęp do biofizyki. PZWL, Warszawa
7.
Przestalski S. (1993) Fizyka z elementami biofizyki i agrofizyki. AWR, Wrocław
8.
Ernst K. (1992) Fizyka sportu. PWN, Warszawa
9.
Jaroszyk F. (1993) Biofizyka medyczna. Skrypt AM w Poznaniu.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
kontrola, Zespół Teorii Treningu Sportowego AWF Wrocław Arkusz kontrola procesu treningowego
chod fizjologiczny, Fizjoterapia - AWF Wrocław, biomechanika
Test6, testy awf i inne MGR, AWF Wrocław- testy
awf test 2009, testy awf i inne MGR, AWF Wrocław- testy
ZESTAW 15 lal, kinezjologia awf wrocław, kinezjologia awf wrocław
Test2, testy awf i inne MGR, AWF Wrocław- testy
AWF WROCŁAW, testy awf i inne MGR
ZESTAW 16, kinezjologia awf wrocław
Test3, testy awf i inne MGR, AWF Wrocław- testy
bank pytan reumatologia, testy awf i inne MGR, AWF Wrocław- testy
Test4, testy awf i inne MGR, AWF Wrocław- testy
Test5, testy awf i inne MGR, AWF Wrocław- testy
bank pytan pulmunologia, testy awf i inne MGR, AWF Wrocław- testy
bank pytan kinezyterapia, testy awf i inne MGR, AWF Wrocław- testy
bank pytan neurologia, testy awf i inne MGR, AWF Wrocław- testy
Test8, testy awf i inne MGR, AWF Wrocław- testy
więcej podobnych podstron