opracował: Radek Kołkowski

Funkcja Blocha

W sieci krystalicznej w każdej komórce elementarnej prawdopodobieństwo przebywania elektronu jest takie
samo – co wynika z periodyczności sieci:

)

(

*

)

(

)

(

*

)

(

r

r

R

r

R

r

ψ

ψ

ψ

ψ

⋅

=

+

⋅

+

Jednak nie możemy na tej podstawie powiedzieć, że:

)

(

)

(

r

R

r

ψ

ψ

=

+

Jak porównać ze sobą

)

(r

ψ

i

)

(

R

r

+

ψ

?

Zadziałajmy na

)

(r

ψ

operatorem translacji

)

(

1

R

T

)

, tzn. przesuwamy się w sieci do innej komórki

elementarnej, zmieniając położenie o wektor

3

3

2

2

1

1

1

a

n

a

n

a

n

R

+

+

=

, gdzie

3

2

1

,

,

a

a

a

to stałe sieciowe,

a

C

n

n

n

∈

3

2

1

,

,

.

Jeśli dwie funkcje mają równe kwadraty, mogą się różnić co najwyżej o czynnik fazowy:

)

(

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

R

f

i

e

r

R

r

r

R

T

ψ

ψ

ψ

=

+

=

)

Wykonując ponownie translację o jakiś inny wektor

2

R

otrzymujemy:

)

(

)

(

)

(

2

)

(

2

1

2

2

1

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

R

f

i

R

f

i

R

f

i

R

f

i

e

e

r

e

R

r

e

r

R

T

r

R

T

R

T

ψ

ψ

ψ

ψ

=

+

=

=

)

)

)

Operacja ta jest równoważna przesunięciu o sumę wektorów

1

R

i

2

R

:

)

(

)

(

)

(

1

2

2

1

R

T

R

T

R

R

T

)

)

)

=

+

)

(

2

1

2

1

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

R

R

f

i

e

r

R

R

r

r

R

R

T

+

=

+

+

=

+

ψ

ψ

ψ

)

Wynika stąd, że

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

)

(

)

(

R

R

f

i

R

f

i

R

f

i

e

r

e

e

r

+

=

ψ

ψ

,

a więc

)

(

)

(

)

(

1

2

2

1

R

R

f

R

f

R

f

+

=

+

Jedyną funkcją spełniającą powyższy warunek jest funkcja liniowa:

R

k

R

f

⋅

=

)

(

Tym sposobem dochodzimy do funkcji Blocha, która ma następującą postać:

)

(

)

(

r

u

e

r

k

r

k

i

⋅

=

ψ

, gdzie funkcja

)

(r

u

k

jest periodyczna:

)

(

)

(

r

u

R

r

u

k

k

=

+

| |
funkcja funkcja
wolnozmienna szybkozmnienna

Funkcja Blocha spełnia narzucone warunki:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

R

f

i

R

k

i

k

R

k

i

r

k

i

k

R

r

k

i

e

r

e

r

r

u

e

e

R

r

u

e

R

r

⋅

=

⋅

=

⋅

=

+

⋅

=

+

+

ψ

ψ

ψ

Równanie kp

Obliczając energię elektronu w krysztale, stosujemy następujące przybliżenia:
1. przybliżenie adiabatyczne (zakładamy, że atomy nie drgają – rdzenie

atomowe są sztywno utwierdzone w swoich miejscach:

0

=

∆

i

R

)

2. przybliżenie jednolektronowe (zakładamy, że w krysztale o periodycznym
potencjale znajduje się tylko jeden elektron:

)

(

)

(

)

(

V

ˆ

2

kr

2

2

r

E

r

r

m

ψ

ψ

=













+

∇

−

h

Wygodnym wyjściem do obliczenia energii elektronu w krysztale stanowi funkcja Blocha:

)

(

)

(

r

u

e

r

k

r

k

i

⋅

=

ψ

)

(

)

(

)

(

)

(

V

ˆ

2

kr

2

2

r

u

e

k

E

r

u

e

r

m

k

r

k

i

k

r

k

i

=













+

∇

−

h

Ż

eby rozwiązać powyższe równanie, musimy obliczyć pochodne:

u

e

u

e

k

i

u

e

r

k

i

r

k

i

r

k

i

∇

+

=

∇

( ) (

)

=

∇

+

∇

+

∇

+

−

=

∇

+

∇

=

∇

u

e

u

e

k

i

u

e

k

i

u

e

k

u

e

u

e

k

i

u

e

r

k

i

r

k

i

r

k

i

r

k

i

r

k

i

r

k

i

r

k

i

2

2

2

(

)

u

u

k

i

u

k

e

r

k

i

2

2

2

∇

+

∇

+

−

−

=

Wstawiamy to, co uzyskaliśmy:

Eu

e

u

r

m

k

m

k

i

m

e

r

k

i

r

k

i

=













+

+

∇

−

∇

−

)

(

V

ˆ

2

2

kr

2

2

2

2

2

h

h

h

dzielimy obustronnie przez

r

k

i

e

oraz odejmujemy

u

m

k

2

2

2

h

:

u

m

k

E

u

m

k

i

r

m













−

=

















∇

−













+

∇

−

2

)

(

V

ˆ

2

2

2

2

kr

2

2

h

h

h

← równanie kp

|

||

||

0

ˆ

H

- ten wyraz jest taki sam, zaburzenie

zb

Hˆ

'

E - łatwa do policzenia różnica

jak w równaniu wyjściowym

Wyrażenie

∇

−

h

i

jest równoważne działaniu operatora pędu pˆ :

∇

−

=

h

i

pˆ

Trzeba też zauważyć, że funkcji

)

(r

u

k

o tym samym k może być wiele, dlatego trzeba je ponumerować.

Ostatecznie dostajemy równanie kp w postaci, od której wzięło swoją nazwę:

)

(

2

)

(

)

(

V

ˆ

ˆ

2

,

2

2

,

kr

2

2

r

u

m

k

E

r

u

r

p

k

m

m

k

n

k

n













−

=













+

+

∇

−

h

h

h

n

odróżnia niezdegenerowane stany energetyczne dla danego wektora falowego k

*Rachunek zaburzeń i masa efektywna

Wychodzimy od równania kp:

u

E

u

m

k

E

u

m

k

i

r

m

'

2

)

(

V

ˆ

2

2

2

2

kr

2

2

=













−

=













∇

−













+

∇

−

h

h

h

m

k

E

E

2

'

2

2

h

+

=

Zamiast rozwiązywać równanie dla całej sieci rozwiązujemy je wyłącznie dla czynnika Blochowskiego.

Stosujemy rachunek zaburzeń: rozpisujemy hamiltonian na sumę hamiltonianu zerowego i hamiltonianu
zaburzenia:

zb

H

H

H

ˆ

ˆ

ˆ

0

+

=

Przy czym znane jest działanie hamiltonianu zerowego na funkcję falową, która jest jego funkcją własną:

0

0

0

0

ˆ

m

m

m

E

H

ψ

ψ

=

Problem polega na znalezieniu nieznanej funkcji własnej hamiltonianu będącego sumą

zb

H

H

ˆ

ˆ

0

+

.

W tym celu rozpisujemy tą nieznaną funkcję w szereg funkcji znanych:

∑

∞

=

=

1

0

m

m

nm

n

c

ψ

ψ

Działamy na to hamiltonianem:

(

)

∑

∑

∞

=

∞

=

=

+

1

0

1

0

0

ˆ

ˆ

m

m

nm

n

m

m

nm

zb

c

E

c

H

H

ψ

ψ

Ponieważ hamiltonian jest operatorem liniowym:

(

)

∑

∑

∞

=

∞

=

=

+

1

0

1

0

0

ˆ

ˆ

m

m

n

nm

m

m

zb

nm

E

c

H

H

c

ψ

ψ

Możemy działanie hamiltonianu zerowego zastąpić przez jego wynik:

(

)

∑

∑

∞

=

∞

=

=

+

1

0

1

0

0

ˆ

m

m

n

nm

m

m

zb

m

nm

E

c

H

E

c

ψ

ψ

Mnożymy obustronnie przez funkcję

*

0

l

ψ

ortonormalną do

0

m

ψ

i całkujemy po objętości kryształu:

∑

∫

∑

∫

∫

∞

=

∞

=

=















+

1

0

*

0

1

0

*

0

0

*

0

0

ˆ

m

m

V

l

n

nm

m

m

V

zb

l

m

V

l

m

nm

dV

E

c

dV

H

dV

E

c

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

Ponieważ

*

0

l

ψ

i

0

m

ψ

są ortonormalne,

lm

m

l

δ

ψ

ψ

=

0

*

0

(delta Kronneckera), stąd:

n

nl

m

m

V

zb

l

nm

l

nl

E

c

dV

H

c

E

c

=

+

∑ ∫

∞

=

1

0

*

0

0

ˆ

ψ

ψ

Możemy przyjąć, że

n

l

=

:

n

nn

m

m

V

zb

n

nm

n

nn

E

c

dV

H

c

E

c

=

+

∑ ∫

∞

=

1

0

*

0

0

ˆ

ψ

ψ

A więc

...

0

+

=

E

E

n

(energia jest sumą energii z hamiltonianu zerowego i nieskończonej sumy całek z

zaburzeń). Po przekształceniach uzyskamy wzór, na którym opiera się rachunek zaburzeń:

∑

∞

≠

=

−

+

+

=

n

l

l

l

n

zb

zb

zb

n

n

E

E

n

H

l

l

H

n

l

H

n

E

E

1

0

0

0

0

ˆ

0

0

ˆ

0

0

ˆ

0

gdzie

0

ˆ

0

l

H

n

zb

oznacza skrócony zapis całki

dV

H

l

V

zb

n

0

*

0

ˆ

ψ

ψ

∫

Wszystko to działa przy założeniu, że

zb

H

H

ˆ

ˆ

0

>>

(hamiltonian zaburzenia daje niewielki wkład

energetyczny w porównaniu z hamiltonianem zerowym) – wówczas wystarczą pierwsze 3 lub 4 wyrazy
szregu, aby uzyskać poprawny wynik.

0

0

l

n

E

E

−

jest różnicą pomiędzy poziomami zerowymi

Łączymy rachunek zaburzeń z funkcją Blocha:

(

)

)

(

)

(

)

(

ˆ

ˆ

0

r

u

k

E

r

u

H

H

k

n

k

zb

=

+

gdzie, jak wynika z poprzednich przekształceń:

m

p

k

m

k

i

H

zb

ˆ

ˆ

2

⋅

=

∇

−

=

h

h













+

∇

−

=

)

(

V

ˆ

2

ˆ

kr

2

2

0

r

m

H

h

Wstawiamy to do wzoru na energię w rachunku zaburzeń:

∑

∫

∫

∫

∞

≠

=

−













∇

−

⋅













∇

−

+













∇

−

+

=

n

l

l

l

n

n

V

l

l

V

n

n

V

n

n

n

E

E

dV

u

m

k

i

u

dV

u

m

k

i

u

dV

u

m

k

i

u

E

E

1

0

0

0

2

*

0

0

2

*

0

0

2

*

0

0

h

h

h

Dla

0

=

k

pochodna energii po wektorze falowym się zeruje:

0

=

∇

E

k

, co oznacza, że funkcja

)

(k

E

ma w

tym punkcie ekstremum. W powyższym wzorze znika drugi człon, zależny liniowo od k .
Jednocześnie iloczyn skalarny

∇

⋅

k

możemy zapisać jako:

∑

=

∂

∂

=

∇

⋅

3

1

i

i

i

x

k

k

Zauważamy dodatkowo, że w liczniku mamy iloczyn dwóch całek wzajemnie sprzężonych, a więc kwadrat
całki, który jest zawsze dodatni – możemy zlikwidować minusy. Uzyskujemy:

j

i

j

i

n

l

l

l

n

V

i

n

l

V

i

l

n

n

n

k

k

E

E

dV

x

u

u

dV

x

u

u

m

E

k

E

∑ ∑

∫

∫

=

∞

≠

=

























−

∂

∂

⋅

∂

∂

+

=

3

1

,

1

0

0

0

*

0

0

*

0

2

4

0

)

(

h

Do tej energii musimy jeszcze dodać

m

k

2

2

2

h

:

m

k

E

E

2

'

2

2

h

+

=

Ostatecznie:

m

k

k

k

E

E

dV

x

u

u

dV

x

u

u

m

E

k

E

j

i

j

i

n

l

l

l

n

V

i

n

l

V

i

l

n

n

n

2

)

(

2

2

3

1

,

1

0

0

0

*

0

0

*

0

2

4

0

h

h

+

























−

∂

∂

⋅

∂

∂

+

=

∑ ∑

∫

∫

=

∞

≠

=

Jak widać, w krysztale dla elektronu o wektorze falowym

k

, w przeciwieństwie do elektronu swobodnego,

pojawiają się pasma energetyczne.

Energię elektronu w krysztale możemy wyrazić skrótowo, przez analogię do elektonu swobodnego:

∑

=

+

=

3

1

,

*

2

0

2

)

(

j

i

j

i

j

i

n

n

m

k

k

E

k

E

h

(w elektronie swobodnym:

m

k

k

k

k

k

k

m

k

2

)

(

2

3

3

2

2

1

1

2

2

2

+

+

=

h

h

)

*

j

i

m

jest tzw. masą efektywną elektronu na danym kierunku, wynikającą z anizotropii rozkładu energii w sieci

krystalicznej:

∑

∫

∫

∞

≠

=

−

∂

∂

⋅

∂

∂

+

=

n

l

l

l

n

V

i

n

l

V

i

l

n

j

i

j

i

E

E

dV

x

u

u

dV

x

u

u

m

m

m

1

0

0

0

*

0

0

*

0

2

2

*

2

1

h

δ

Elektron w krysztale zachowuje się jak elektron swobodny, tyle że zachowuje się tak, jakby miał w każdym
kierunku inną masę. Masa efektywna jest tensorem, który, jeśli weźmiemy osie główne kryształu, będzie
wyglądał następująco:





































=

*

33

*

22

*

11

*

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

m

m

m

m

j

i













+

+

=

*

33

2

3

*
22

2

2

*

11

2

1

2

2

m

k

m

k

m

k

E

h

Z kolei w kryształach izotropowych, np. kubicznych (Si, Ge, GaAs) wszystkie trzy osie są równoważne:

*

2

2

2

m

k

E

h

=

Możemy też mieć do czynienia z kryształem, w którym wyróżniona jest jedna oś:

2

2

2

2

2

||

y

x

z

k

k

k

k

k

+

=

=

+

Wówczas:















+

=

+

+

*

2

*

||

2

||

2

2

m

k

m

k

E

h

Warunki periodyczności Borna-Karmana:

Aby opisać kryształ o skończonej liczbie N atomów, musimy atomowi o indeksie

1

+

N

przypisać numer 1.

Można sobie wyobrazić, że gdy mamy jednowymiarowy kryształ, zamykamy go w „kryształ cykliczny”:

Z kolei kryształ 2-wymiarowy: w torus

(nie sposób sobie wyobrazić analogicznej operacji na krysztale 3-wymiarowym, ale dokonujemy tego w
rachunkach)

Funkcja Blocha musi zatem spełniać warunek:

)

(

)

(

1

1

)

(

1

1

x

u

e

a

N

x

u

e

k

x

k

i

k

a

N

x

k

i

x

x

=

+

+

, (gdy rozpatrujemy jeden kierunek, np.

x

)

1

1

1

=

a

N

k

i

x

e

, gdy

1

1

1

2 n

a

N

k

x

π

=

,

1

1

...,

,

3

,

2

,

1

N

n

=

Wynika stąd, że wektor falowy musi być równy:

1

1

1

2

N

n

a

k

x

n

π

=

Analogicznie dla pozostałych kierunków:

2

2

2

2

N

n

a

k

y

n

π

=

3

3

3

2

N

n

a

k

z

n

π

=

Wszystkich atomów mamy

3

2

1

N

N

N

N

⋅

⋅

=

Objętość komórki elementarnej:

V

L

L

L

N

a

N

a

N

a

V

k

3

3

2

1

3

3

2

2

1

1

8

2

2

2

π

π

π

π

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

, gdzie

V - objętość kryształu

Gęstość stanów w przestrzeni kryształu:

3

3

8

1

8

1

)

(

π

π

ρ

→

=

=

V

V

k

k

, jeśli przyjmiemy jednostkową objętość

Gdy uwzględnimy spin, gęstość stanów wzrośnie dwukrotnie:

3

3

4

1

4

)

(

π

π

ρ

→

=

V

k

Model ciasnego wiązania

Zakładamy, że dla konkretnego atomu znamy:

0

0

0

0

ˆ

ψ

ψ

E

H

=

Rozważmy jeden kierunek w sieci kryształu, w której atomy powtarzają się periodycznie o

a

i ponumerujmy kolejne atomy:

i

i

E

H

ψ

ψ

0

0

ˆ

=

Funkcje

i

ψ

będą miały ten sam kształt, ale będą przesunięte w fazie:

2

0

2

ψ

ψ

=

i

Weźmy się za równanie:

ψ

ψ

E

H

=

ˆ

, gdzie

Hˆ

jest hamiltonianem dla całego kryształu

Dla atomu poza kryształem:

)

(

V

ˆ

2

ˆ

at

2

2

2

0

x

dx

d

m

H

+

−

=

h

W krysztale:

)

(

V

ˆ

ˆ

)

(

V

ˆ

2

ˆ

p

0

kr

2

2

2

x

H

x

dx

d

m

H

+

=

+

−

=

h

gdzie

p

V

ˆ to tzw. potencjał perturbacji, wynikający z umieszczenia atomu w sieci krystalicznej:

)

(

V

ˆ

)

(

V

ˆ

)

(

V

ˆ

at

kr

p

x

x

x

−

=

Ponieważ funkcja

ψ

zostaje zmieniona przez potencjał perturbacji, nie jest już funkcją własną hamiltonianu.

Musimy ją rozpisać w szereg funkcji, które znamy:

∑

=

=

N

i

i

i

c

1

ψ

ψ

, gdzie N jest liczbą atomów w sieci kryształu

Jeśli uwzględnimy tylko oddziaływanie najbliższych sąsiadów:

W

dx

dx

i

i

i

i

−

=

=

+

∞

∞

−

∞

∞

−

−

∫

∫

1

p

*

p

*

1

V

ˆ

V

ˆ

ψ

ψ

ψ

ψ

gdzie

0

>

W

- potencjał perturbacji obniża energię całkowitą (inaczej kryształ byłby niestabilny).

Wstawiamy

∑

=

=

N

i

i

i

c

1

ψ

ψ

do

ψ

ψ

E

H

=

ˆ

:

∑

∑

=

=

=

N

i

i

i

N

i

i

i

c

E

c

H

1

1

ˆ

ψ

ψ

- całkujemy obustronnie: /

dx

m

∫

∞

∞

−

*

ψ

(

)

dx

c

E

dx

c

H

N

i

i

i

m

N

i

i

i

m

∑

∫

∑

∫

=

∞

∞

−

=

∞

∞

−

=

+

1

*

1

p

0

*

V

ˆ

ˆ

ψ

ψ

ψ

ψ

Lewa strona jest równa:

(

)

=















+

=

+

∑

∫

∫

∑

∫

=

∞

∞

−

∞

∞

−

=

∞

∞

−

N

i

i

m

i

m

i

N

i

i

i

m

dx

dx

H

c

dx

c

H

1

p

*

0

*

1

p

0

*

V

ˆ

ˆ

V

ˆ

ˆ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

||

i

E

ψ

0

)

(

V

ˆ

1

1

0

p

*

1

*

1

0

+

−

∞

∞

−

=

∞

∞

−

=

+

−

=

+

=

∫

∑

∫

∑

m

m

m

i

m

N

i

i

i

m

N

i

i

c

c

W

E

c

dx

c

dx

E

c

ψ

ψ

ψ

ψ

||

||

↑

mi

δ

W

−

uwzględniamy tylko najbliższych sąsiadów

Zgadujemy rozwiązanie w postaci fali:

ma

k

i

m

s

Ae

c

=

, gdzie

x

ma

=

(

a

to stała sieciowa)

E

Ae

Ae

Ae

W

E

Ae

ma

k

i

a

m

k

i

a

m

k

i

ma

k

i

s

s

s

s

=

+

−

+

−

)

(

)

1

(

)

1

(

0

dzielimy obustronnie przez

ma

k

i

s

Ae

:

E

e

e

W

E

a

k

i

a

k

i

s

s

=

+

−

−

)

(

0

I tym sposobem otrzymujemy zależność energii od wektora falowego:

a

k

W

E

E

s

cos

2

0

−

=

Wynik jest bardzo prosty, ale to tylko dzięki temu, że rozpatrywaliśmy wyłącznie jeden kierunek.

Koncentracja nośników w półprzewodnikach

Prawdopodobieństwem zajmowania danego stanu energetycznego przez fermiony rządzi
statystyka Fermiego-Diraca:

1

1

)

(

+

=

−

kT

E

E

F

e

E

f

, gdzie k jest stałą Boltzmanna, zaś

F

E

to energia Fermiego

Przykładowo, dla metali, w temperaturze ok. 300 K:

W przestrzeni odwrotnej poziom Fermiego tworzy kulę, znajdującą się w środku strefy Brillouina.
Stany poniżej poziomu Fermiego (wewnątrz kuli) są obsadzone, z kolei poza kulą – praktycznie puste. Prąd
jest przewodzony przez elektrony rozmyte na powierzchni kuli – jest ich o dwa rzędy wielkości mniej, niż
wewnątrz, ale i tak nie wszystkie biorą udział w przewodzeniu.
Na sferze o promieniu wyznaczanym przez wektor falowy k gęstość stanów jest jednorodna:

3

4

1

)

(

π

ρ

=

k

Gęstość zależy od energii, a ta jest proporcjonalna do kwadratu wektora falowego:

*

2

2

2

m

k

E

h

=

Gęstość nośników możemy wyrazić jako stosunek ich koncentracji do objętości:

dV

dN

k

=

)

(

ρ

stąd:

dk

k

dk

k

dV

k

dN

2

2

2

3

4

4

1

)

(

π

π

π

ρ

=

=

=

Jednocześnie możemy napisać:

dE

E

dN

)

(

ρ

=

Łącząc powyższe równości uzyskujemy:

dE

dk

k

E

2

2

)

(

π

ρ

=

Korzystając z zależności

*

2

2

2

m

k

E

h

=

obliczamy pochodną:

*

2

m

k

dk

dE

h

=

2

2

2

2

2

*

*

)

(

h

h

m

k

k

m

k

E

π

π

ρ

=

=

Z równania

*

2

2

2

m

k

E

h

=

mamy również wyrażenie na k :

h

E

m

k

*

2

=

, które wstawiamy tego powyżej:

E

m

E

3

2

2

3

2

1

*)

(

2

)

(

h

π

ρ

=

- jest to zależność prawdziwa na dnie pasma przewodnictwa, tam, gdzie nośniki przewodzą prąd

Nośnikami ładunku mogą być zrówno elektrony, o rozkładzie:

1

1

)

(

+

=

−

kT

E

E

e

F

e

e

E

f

,

jak i dziury, oznaczające brak elektronu:

e

d

e

d

E

E

E

f

E

f

−

=

→

−

=

)

(

1

)

(

, stąd:

1

1

)

(

+

=

+

kT

E

E

d

F

d

e

E

f

- poziom Fermiego jest taki sam dla elektronów i dziur, znajduje się mniej więcej w połowie przerwy

energetycznej, tam też wybieramy poziom zerowy: przeskalowujemy energię

e

g

e

E

E

E

+

→

2

Koncentracja elektronów w paśmie przewodnictwa – całka po strefie Brillouina:

=

=

=

∫

∫

∞

0

)

(

)

(

)

(

)

(

e

e

e

SB

dE

E

E

f

dE

E

E

f

n

ρ

ρ

∫

∞

−

+

=

0

2

1

3

2

2

3

2

1

2

*)

(

2

1

1

e

e

kT

E

kT

E

kT

E

dE

E

m

e

e

e

F

g

e

h

π

Stosujemy przybliżenie:

kT

E

kT

E

kT

E

kT

E

kT

E

kT

E

kT

E

kT

E

kT

E

F

g

e

F

g

e

F

g

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

2

2

2

1

1

1

−

−

−

−

=

≈

+

∫

∞

−

−

⋅

=

0

2

1

3

2

2

3

2

1

2

*)

(

2

e

e

kT

E

kT

E

kT

E

dE

E

m

e

e

e

n

F

g

e

h

π

= const

Zamiana zmiennych:

kT

E

x

e

=

,

2

1

2

1

2

1

)

(

x

kT

E

e

=

,

dx

kT

dE

e

=

dx

x

e

kT

m

e

e

n

x

kT

E

kT

E

F

g

∫

∞

−

−

⋅

⋅

=

0

2

1

3

2

2

3

2

3

2

1

2

)

(

*)

(

2

h

π

||

2

π

Ostatecznie:

kT

E

kT

E

e

F

g

e

e

kT

m

n

2

2

3

2

*

2

2

−













=

h

π

- koncentracja elektronów w paśmie przewodnictwa

Wykonując analogiczne obliczenia w przypadku dziur otrzymalibyśmy:

kT

E

kT

E

d

F

g

e

e

kT

m

p

−

−













=

2

2

3

2

*

2

2

h

π

- koncentracja dziur w paśmie walencyjnym

Półprzewodniki samoistne

Poziom Fermiego dla półprzewodnika niedomieszkowanego (samoistnego) oznaczamy symbolem

S

F

E

.

W półprzewodniku takim liczba elektronów jest równa liczbie dziur:

S

n

p

n

=

=

Korzystając ze wzorów:

kT

E

kT

E

e

F

g

e

e

kT

m

n

2

2

3

2

*

2

2

−













=

h

π

i

kT

E

kT

E

d

F

g

e

e

kT

m

p

−

−













=

2

2

3

2

*

2

2

h

π

Otrzymujemy zależność:

kT

E

d

kT

E

e

S

F

S

F

e

m

e

m

−

=

2

3

*

2

3

*

)

(

)

(

2

3

*

*

2













=

e

d

kT

E

m

m

e

S

F

*

*

ln

4

3

e

d

S

F

m

m

kT

E

=

→

Mając poziom Fermiego, możemy policzyć koncentrację nośników

S

n :

kT

E

kT

E

e

S

S

F

g

e

e

kT

m

n

2

2

3

2

*

2

2

−













=

h

π

4

3

*

*

ln

4

3

*

*













=

=

e

d

kT

m

m

kT

kT

E

m

m

e

e

e

d

S

F

Mnożymy ten wyraz przez

( )

2

3

*

e

m

:

( )

(

)

[

]

2

3

2

1

*

*

4

3

*

*

2

3

*

d

e

e

d

e

m

m

m

m

m

⋅

=













⋅

Wyrażenie

(

)

2

1

*

*

d

e

m

m

⋅

to masa zredukowana:

(

)

*

2

1

*

*

r

d

e

m

m

m

=

⋅

A więc:

kT

E

r

S

g

e

kT

m

n

2

2

3

2

*

2

2

−













=

h

π

- koncentracja samoistna zależy tylko od masy zredukowanej, przerwy energetycznej i temperatury

Fonony akustyczne

Fonony to drgania atomów w sieci kryształu. Najłatwiej jest je wyprowadzić z sieci liniowej:

Siła działająca na atom wychylony z położenia równowagi:

x

F

α

−

=

, gdzie

α

- stała siłowa

Z II prawa dynamiki Newtona:

a

m

F

w

=

← przyspieszenie = druga pochodna wychylenia po czasie:

n

n

n

n

n

m

ξ

α

ξ

α

ξ

α

ξ

α

ξ

−

+

−

=

+

−

1

1

&

&

(

)

1

1

2

+

−

+

−

=

n

n

n

n

m

ξ

α

ξ

α

ξ

α

ξ

&

&

-

n

- te równanie, dotyczące wychylenia

n

-tego atomu

Równanie to jest skojarzone z równaniem

1

−

n

i

1

+

n

.

Szukamy rozwiązania w postaci fali płaskiej:

(

)

qna

t

i

n

Ae

−

=

ω

ξ

, gdzie

x

na

=

to położenie atomu w sieci

(

)

2

2

−

+

=

−

−

iqa

iqa

e

e

m

α

ω

(

)

2

cos

2

2

−

=

−

qa

m

α

ω

(

)

qa

m

cos

1

2

−

=

α

ω

Korzystamy z własności funkcji trygonometrycznych:

x

x

x

x

x

x

2

cos

1

sin

2

sin

2

1

sin

cos

2

cos

2

2

2

2

−

=

→

−

=

−

=

2

sin

2

2

sin

4

2

qa

m

qa

m

⋅

=













=

α

α

ω

- jest to wyrażenie na dyspersję sieci

Najkrótsza możliwa fala akustyczna, jaka może się rozchodzić w ciele stałym:

a

2

min

=

λ

, stąd

a

q

π

λ

π

=

=

min

max

2

Dla małych

α

:

α

α

≈

sin

→

uq

qa

m

=

⋅

=

α

ω

, gdzie

u

- prędkość dźwięku w krysztale

Po skwantowaniu tego pola harmonicznego uzyskamy fonony – elementarne drgania atomów:

Energia całkowita drgań:













+

=

2

1

n

E

ω

h

- okazuje się, że dla

0

=

n

występują drgania zerowe (atomy w sieci nie mogą być nieruchome)

Fonony optyczne

Rozpatrujemy sieć, w której mamy po dwa atomy na węzeł:

1

,

2

,

1

,

2

,

1

1

,

1

n

n

n

n

n

m

ξ

β

ξ

β

ξ

α

ξ

α

ξ

−

+

−

=

−

&

&

2

,

1

,

1

2

,

1

,

1

,

2

n

n

n

n

n

m

ξ

α

ξ

α

ξ

β

ξ

β

ξ

−

+

−

=

+

&

&

(

)

qna

t

i

n

Ae

−

=

ω

ξ

1

,

(

)

qna

t

i

n

Ae

−

=

ω

ξ

2

,

Dla obu atomów częstość i wektor falowy są takie same, różne są natomiast amplituda i faza.
Otrzymujemy układ równań:







−

+

−

=

−

−

+

−

=

−

−

B

Ae

B

A

B

m

A

B

A

Be

A

m

iqa

iqa

α

α

β

β

ω

β

β

α

α

ω

2

2

2

1







=

−

+

+

−

−

=

+

−

−

+

−

0

]

)

[(

)

(

0

)

(

]

)

[(

2

2

2

1

ω

β

α

α

β

β

α

ω

β

α

m

B

e

A

e

B

m

A

iqa

iqa

W zapisie macierzowym:













=

























−

+

+

−

+

−

−

+

−

0

0

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

1

B

A

m

e

e

m

iqa

iqa

ω

β

α

β

α

β

α

ω

β

α

Rozwiązanie nietrywialne istnieje wtedy, gdy wyznacznik macierzy

0

≠

.

0

)

)(

(

]

)

][(

)

[(

2

2

2

1

=

+

+

−

−

+

−

+

−

β

α

β

α

ω

β

α

ω

β

α

iqa

iqa

e

e

m

m

gdy przyjmiemy, że

m

m

m

=

=

2

1

, ilość rozwiązań się nie zmieni, a za to równanie się uprości:

0

)

cos

2

(

]

)

[(

2

2

2

2

=

+

+

−

−

+

qa

m

αβ

β

α

ω

β

α

2

δ

=

δ

ω

β

α

±

=

−

+

2

)

(

m

m

δ

β

α

ω

±

+

=

)

(

Gdy

0

=

q

,

2

2

2

2

)

(

2

β

α

αβ

β

α

δ

+

=

+

+

=

m

)

(

2

,

0

β

α

ω

ω

+

=

=

+

−

Gdy

a

q

π

=

,

2

2

2

2

)

(

2

β

α

αβ

β

α

δ

−

=

−

+

=

m

m

α

ω

β

ω

2

,

2

=

=

+

−

Jak zinterpretować to rozwiązanie?

Górna linia to drgania optyczne – atomy z jednego węzła wychylają się w przeciwne strony.
Dolna linia – drgania akustyczne, w których atomy z jednego węzła wychylają się w tę samą stronę.

Wśród tych drgań wyróżniamy jeszcze fale poprzeczne:

1

T

i

2

T

, oraz fale podłużne L.

Tworzą one tzw. gałęzie: 3 gałęzie akustyczne, oraz 3(n-1) gałęzi optycznych.