I Kolokwium z Analizy Matematycznej

Zestaw A:

1.

Niech f

x = log

୶

3 . Wyznaczyć funkcję odwrotną f

ିଵ

(o ile istnieje) do danej funkcji f

oraz naszkicować jej wykres i podać jej własności.

2.

Obliczyć granicę lim

୬→ஶ



ସ୬ାହ

ସ୬ାଽ



ଶ୬

oraz podać wykorzystane tutaj twierdzenia.

3.

Obliczyć granicę lim

୬→ஶ

ሾଷୣ

౮

ሿାଶ

ሾୣ

౮

ሿାଵ

oraz podać wykorzystane tutaj twierdzenia.

4.

Znaleźć asymptoty funkcji f

x = xe

ି

భ

౮

.

5.

Wyznaczyć zbiory punktów nieciągłości funkcji f

x =
x

ଷ

− x

[x] oraz określić ich

rodzaj nieciągłości.

Zestaw B:

1.

Niech f

x = |x − 1| dla x ∈ R ∧ g
x =

୶

ଵି୶

dla x ≠ 1 . Naszkicować wykres funkcji f ∘ g

(o ile istnieje).

2.

Obliczyć granicę

lim

୬→ஶ

ଶ୬!ା୬

య

ሺ୬ାଷሻ!ାଵ

oraz znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu

a

୬

: (1,11,111,1111 … ).

3.

Obliczyć granicę

lim

୶→ஶ

1 +

ଵ

ଶ୶ାଵ



ଷ୶

oraz zbadać ograniczoność funkcji

f

x = log

୶

3 .

4.

Uzasadnić, że równanie

x2

୶

= 1 ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni.

5.

Podać definicję funkcji odwrotnej do funkcji

f

x = tgx, gdzie |x| <

஠

ଶ

oraz podać jej

własności.