Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Wygªadzenie wykªadnicze

Wst¦p do ekonometrii szeregów czasowych  ¢wiczenia 7

Andrzej Torój

9 kwietnia 2010

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Plan prezentacji

1

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

2

Model podstawowy

3

Model z trendem i sezonowo±ci¡

4

Dobór parametrów α, β, γ, φ

5

Praca domowa

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Plan prezentacji

1

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

2

Model podstawowy

3

Model z trendem i sezonowo±ci¡

4

Dobór parametrów α, β, γ, φ

5

Praca domowa

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

technika wygªadzania i prognozy
w wersji podstawowej (omawianej na zaj¦ciach) 

jednowymiarowa (tzn. prognozuje szereg na podstawie jego

przeszªo±ci)
zasada: prognozowana warto±¢ zale»y od caªej przeszªo±ci

szeregu, ale im nowsza obserwacja, tym wi¦cej wa»y na

prognozie
w najprostszej wersji: 1. równanie (autoregresyjne 

cykliczne wahania wokóª staªej ±redniej)
wersja rozbudowana  model Holta-Wintersa:

2. równanie: trend

3. równanie: sezonowo±¢

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Plan prezentacji

1

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

2

Model podstawowy

3

Model z trendem i sezonowo±ci¡

4

Dobór parametrów α, β, γ, φ

5

Praca domowa

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Jedno równanie (bez trendu i sezonowo±ci)

ˆ

y

t

= α

y

t

+ (

1 − α) ˆy

t−1

przy czym:
α ∈ (

0; 1)  dobierane przez u»ytkownika

ˆ

y

1

=

y

1

Prognoza dla wszystkich przyszªych obserwacji:

ˆ

y

t+h

= ˆ

y

T

, gdzie h  dowolny horyzont prognozy, T  data

ostatniej obserwacji

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Zadanie 1

Rozwi¡» rekurencyjne równanie ˆy

t

= α

y

t

+ (

1 − α) ˆy

t−1

w ten

sposób, aby wyrazi¢ ˆy

t

jako funkcj¦ wszystkich przeszªych

warto±ci szeregu czasowego.
Jakie warto±ci α silniej wygªadzaj¡ szereg  niskie czy wysokie?

Dlaczego?

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Dlaczego wykªadnicze? Interpretacja parametru α

ˆ

y

t

= α

t−1

P

s=0

(

1 − α)

s

y

t−s

wagi dla poszczególnych przeszªych obserwacji obni»aj¡ si¦ w

sposób wykªadniczy, im gª¦biej w przeszªo±¢ si¦gamy
im mniejsze α, tym wolniej zmniejszaj¡ si¦ wagi, a wi¦c

przeszªe obserwacje wa»¡ wi¦cej i tym bardziej wygªadzony jest

szereg

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Plan prezentacji

1

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

2

Model podstawowy

3

Model z trendem i sezonowo±ci¡

4

Dobór parametrów α, β, γ, φ

5

Praca domowa

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Typy modeli

Trend:

brak
liniowy
wykªadniczy
wygasaj¡cy

Sezonowo±¢:

brak
addytywna
multiplikatywna

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Ogólny model

równanie poziomu: l

t

= α ·

P

t

+ (

1 − α) · Q

t

równanie trendu: b

t

= β ·

R

t

+ (

1 − β) · b

t−1

równanie sezonowo±ci: s

t

= γ ·

T

t

+ (

1 − γ) · s

t−m

Notacja

m to dªugo±¢ cyklu sezonowo±ci (np. m = 4 dla danych

kwartalnych, m = 12 dla danych miesi¦cznych)

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Specykacja równania trendu

1

brak trendu:

Q

t

=

l

t−1

2

trend

addytywny:

Q

t

=

l

t−1

+ φ ·

b

t−1

R

t

=

l

t

−

l

t−1

3

trend multiplikatywny:

Q

t

=

l

t−1

+

b

φ

t−1

R

t

=

l

t

l

t−1

Notacja

φ

to parametr tªumienia (ang. dampening) trendu. Je»eli trend

nie jest wygasaj¡cy, to φ = 1.

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Specykacja równania sezonowo±ci

1

brak sezonowo±ci:

P

t

=

Y

t

2

sezonowo±¢

addytywna:

P

t

=

Y

t

−

s

t−m

T

t

=

Y

t

−

Q

t

3

sezonowo±¢ multiplikatywna:

P

t

=

Y

t

s

t−m

T

t

=

Y

t

Q

t

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Prognozy z modeli ró»nego typu (1)

Prognoza z okresu t na okres t + h: F

h,t

zale»y zarówno od typu

trendu, jak i sezonowo±ci:

brak trendu i sezonowo±ci: F

h,t

=

l

t

brak trendu, sezonowo±¢ addytywna:

F

h,t

=

l

t

+

s

t−m+(h mod m)

brak trendu, sezonowo±¢ multiplikatywna:

F

h,t

=

l

t

·

s

t−m+(h mod m)

Notacja

mod  reszta z dzielenia liczb naturalnych

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Prognozy z modeli ró»nego typu (2)

Prognoza z okresu t na okres t + h: F

h,t

zale»y zarówno od typu

trendu, jak i sezonowo±ci:

trend addytywny, brak sezonowo±ci:

F

h,t

=

l

t

+ (φ + φ

2

+ ... + φ

h

) ·

b

t

trend addytywny, sezonowo±¢ addytywna:

F

h,t

=

l

t

+ (φ + φ

2

+ ... + φ

h

) ·

b

t

+

s

t−m+(h mod m)

trend addytywny, sezonowo±¢ multiplikatywna:

F

h,t

= (

l

t

+ (φ + φ

2

+ ... + φ

h

) ·

b

t

]) ·

s

t−m+(h mod m)

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Prognozy z modeli ró»nego typu (3)

Prognoza z okresu t na okres t + h: F

h,t

zale»y zarówno od typu

trendu, jak i sezonowo±ci:

trend multiplikatywny, brak sezonowo±ci:
F

h,t

=

l

t

·

b

(φ+φ

2

+...+φ

h

)

t

trend multiplikatywny, sezonowo±¢ addytywna:
F

h,t

=

l

t

·

b

(φ+φ

2

+...+φ

h

)

t

+

s

t−m+(h mod m)

trend multiplikatywny, sezonowo±¢ multiplikatywna:
F

h,t

=

l

t

·

b

(φ+φ

2

+...+φ

h

)

t

·

s

t−m+(h mod m)

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Modele Holta i Wintersa

model z trendem liniowym bez sezonowo±ci: Holta
model z trendem liniowym i multiplikatywn¡ sezonowo±ci¡:

Wintersa

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Plan prezentacji

1

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

2

Model podstawowy

3

Model z trendem i sezonowo±ci¡

4

Dobór parametrów α, β, γ, φ

5

Praca domowa

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Sk¡d wzi¡¢ parametry?

algorytm optymalizacyjny (np. metoda najwi¦kszej

wiarygodno±ci)
grid search  sprawdzanie wszystkich mo»liwych kombinacji

warto±ci parametrów

zadany zakres warto±ci (od... do...)

zadana dokªadno±¢ przeszukiwania (sprawdzaj co...)

nast¦pnie porównywane s¡ syntetyczne miary bª¦dów prognozy

ex post i wybierane s¡ takie warto±ci parametrów, przy których

bª¦dy prognozy s¡ najni»sze

UWAGA

Stastistica oznacza β jako delta :-)

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Kryteria oceny jako±ci prognozy (1)

Root Mean Squared Error (RMSE)

RMSE =

s

1

T

T

P

τ =

1

(

y

τ

−

y

P

τ

)

2

Mean Absolute Error (MAE)

RMSE =

1

T

T

P

τ =

1




y

τ

−

y

P

τ




Mean Absolute Percentage Error (MAPE) MAPE =

1

T

T

P

τ =

1





y

τ

−

y

P

τ

y

τ





·

100

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Kryteria oceny jako±ci prognozy (2)

Theil Inequality Coecient (U∈ [0; 1])

U =

s

1

T

T

P

τ =

1

(

y

τ

−

y

P

τ

)

2

s

1

T

T

P

τ =

1

y

2

τ

+

s

1

T

T

P

τ =

1

(

y

P

τ

)

2

w przypadku idealnych prognoz U = 0; im bli»ej 1, tym

prognoza gorsza

wspóªczynnik mo»na zdekomponowa¢ na 3 skªadniki:

bias proportion  cz¦±¢ odpowiedzialna za systematyczne

bª¦dy (obci¡»enie prognozy)

variance proportion  cz¦±¢ wynikaj¡ca z niewyja±nionych

przez model waha« zmiennej obja±nianej

covariance proportion  w idealnym przypadku ona powinna

stanowi¢ 100% wspóªczynnika U

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Zadanie 2

Dost¦p do polecenia w programie Statistica:

Statistics -- Advanced linear/nonlinear models -- Time

series/forecasting -- Exponential smoothing

Wyznacz prognoz¦ PKB na 10 okresów w przód dla PKB

dowolnego pa«stwa, zawartego w pliku pkb.sta. Dobierz typ modelu

na podstawie wykresu, a parametry  na podstawie przeszukiwania i

optymalizacji wªasno±ci prognostycznych.

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Plan prezentacji

1

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

2

Model podstawowy

3

Model z trendem i sezonowo±ci¡

4

Dobór parametrów α, β, γ, φ

5

Praca domowa

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze

Wygªadzenie wykªadnicze  ogólne informacje

Model podstawowy

Model z trendem i sezonowo±ci¡

Dobór parametrów α, β, γ, φ

Praca domowa

Praca domowa 5

Zob. prezentacja z zaj¦¢ nt. modeli GARCH.

Andrzej Torój

Wygªadzenie wykªadnicze