Document Outline

Definicja macierzy

Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).

Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j ),
1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jeden
element a

ciała K,

to mówimy, że jest określona

macierz prostokątna

A = [a

] typu

m × n.
Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:

A =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








Rzędy poziome tej tablicy nazywamy

wierszami

, a rzędy pionowe

—

kolumnami

Definicja macierzy

Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).
Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j ),
1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jeden
element a

ciała K,

to mówimy, że jest określona

macierz prostokątna

A = [a

] typu

m × n.
Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:

A =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








Rzędy poziome tej tablicy nazywamy

wierszami

, a rzędy pionowe

—

kolumnami

Definicja macierzy

Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).
Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j ),
1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jeden
element a

ciała K,

to mówimy, że jest określona

macierz prostokątna

A = [a

] typu

m × n.

Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:

A =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








Rzędy poziome tej tablicy nazywamy

wierszami

, a rzędy pionowe

—

kolumnami

Definicja macierzy

Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).
Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j ),
1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jeden
element a

ciała K,

to mówimy, że jest określona

macierz prostokątna

A = [a

] typu

m × n.
Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:

A =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








Rzędy poziome tej tablicy nazywamy

wierszami

, a rzędy pionowe

—

kolumnami

Definicja macierzy

Niech K będzie ciałem (najczęściej R lub C).
Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j ),
1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n jest przyporządkowany dokładnie jeden
element a

ciała K,

to mówimy, że jest określona

macierz prostokątna

A = [a

] typu

m × n.
Macierz zapisujemy w postaci tablicy, np.:

A =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








Rzędy poziome tej tablicy nazywamy

wierszami

, a rzędy pionowe

—

kolumnami

Rodzaje macierzy

Gdy m = n macierz nazywamy

kwadratową

O elementach a

macierzy kwadratowej A mówimy, że tworzą

przekątną główną

A =















Rodzaje macierzy

Gdy m = n macierz nazywamy

kwadratową

O elementach a

macierzy kwadratowej A mówimy, że tworzą

przekątną główną

A =















Rodzaje macierzy

Gdy m = n macierz nazywamy

kwadratową

O elementach a

macierzy kwadratowej A mówimy, że tworzą

przekątną główną

A =















Rodzaje macierzy

Macierz, w której a

= 0 dla i < j (odpowiednio: a

= 0 dla i > j )

nazywamy

dolnotrójkątną

(odpowiednio:

górnotrójkątną

A =















Jeśli a

= 0 dla i 6= j , to macierz nazywamy

diagonalną

Rodzaje macierzy

Macierz, w której a

= 0 dla i < j (odpowiednio: a

= 0 dla i > j )

nazywamy

dolnotrójkątną

(odpowiednio:

górnotrójkątną

A =















Jeśli a

= 0 dla i 6= j , to macierz nazywamy

diagonalną

Rodzaje macierzy

Macierz, w której a

= 0 dla i < j (odpowiednio: a

= 0 dla i > j )

nazywamy

dolnotrójkątną

(odpowiednio:

górnotrójkątną

A =















Jeśli a

= 0 dla i 6= j , to macierz nazywamy

diagonalną

Macierz transponowana

Jeśli w macierzy A zamienimy wiersze z kolumnami, to otrzymamy
macierz, którą nazywamy macierzą

transponowaną

macierzy A i

oznaczamy A

Jeśli A = [a

] jest typu m × n, to A

= [a

] jest typu n × m.

Macierz transponowana

Jeśli w macierzy A zamienimy wiersze z kolumnami, to otrzymamy
macierz, którą nazywamy macierzą

transponowaną

macierzy A i

oznaczamy A

Jeśli A = [a

] jest typu m × n, to A

= [a

] jest typu n × m.

Macierz transponowana

A =






−1 5













−1








Macierz transponowana

A =






−1 5













−1








Dodawanie macierzy

Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [a

] i B = [b

]

otrzymujemy po dodaniu odpowiadających

sobie wyrazów:

A + B = [a

+ b

Działanie to jest łączne, przemienne, i ma element neutralny O (O
oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):

A + O = O + A = A,

oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.

Dodawanie macierzy

Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [a

] i B = [b

] otrzymujemy po dodaniu odpowiadających

sobie wyrazów:

A + B = [a

+ b

Działanie to jest łączne, przemienne, i ma element neutralny O (O
oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):

A + O = O + A = A,

oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.

Dodawanie macierzy

Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [a

] i B = [b

] otrzymujemy po dodaniu odpowiadających

sobie wyrazów:

A + B = [a

+ b

Działanie to jest łączne, przemienne, i ma element neutralny O (O
oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):

A + O = O + A = A,

oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.

Dodawanie macierzy

Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [a

] i B = [b

] otrzymujemy po dodaniu odpowiadających

sobie wyrazów:

A + B = [a

+ b

Działanie to jest łączne,

przemienne, i ma element neutralny O (O

oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):

A + O = O + A = A,

oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.

Dodawanie macierzy

Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [a

] i B = [b

] otrzymujemy po dodaniu odpowiadających

sobie wyrazów:

A + B = [a

+ b

Działanie to jest łączne, przemienne,

i ma element neutralny O (O

oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):

A + O = O + A = A,

oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.

Dodawanie macierzy

Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [a

] i B = [b

] otrzymujemy po dodaniu odpowiadających

sobie wyrazów:

A + B = [a

+ b

Działanie to jest łączne, przemienne, i ma element neutralny O (O
oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):

A + O = O + A = A,

oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.

Dodawanie macierzy

Sumę A + B dwóch m-wierszowych i n-kolumnowych macierzy
A = [a

] i B = [b

] otrzymujemy po dodaniu odpowiadających

sobie wyrazów:

A + B = [a

+ b

Działanie to jest łączne, przemienne, i ma element neutralny O (O
oznacza macierz, której wszystkie elementy są zerami):

A + O = O + A = A,

oraz dla każdej macierzy A istnieje element odwrotny względem
dodawania.

Mnożenie macierzy przez liczbę

Iloczyn cA macierzy A przez skalar c ∈ K określamy jako macierz
[ca

Oczywiście

1·A = A,

c(d A) = (cd )A,

(c + d )A = cA + d A,

c(A + B) = cA + cB.

Mnożenie macierzy przez liczbę

Iloczyn cA macierzy A przez skalar c ∈ K określamy jako macierz
[ca

]. Oczywiście

1·A = A,

c(d A) = (cd )A,

(c + d )A = cA + d A,

c(A + B) = cA + cB.

Mnożenie macierzy przez liczbę

Iloczyn cA macierzy A przez skalar c ∈ K określamy jako macierz
[ca

]. Oczywiście

1·A = A,

c(d A) = (cd )A,

(c + d )A = cA + d A,

c(A + B) = cA + cB.

Mnożenie macierzy przez liczbę

Iloczyn cA macierzy A przez skalar c ∈ K określamy jako macierz
[ca

]. Oczywiście

1·A = A,

c(d A) = (cd )A,

(c + d )A = cA + d A,

c(A + B) = cA + cB.

Mnożenie macierzy przez liczbę

Iloczyn cA macierzy A przez skalar c ∈ K określamy jako macierz
[ca

]. Oczywiście

1·A = A,

c(d A) = (cd )A,

(c + d )A = cA + d A,

c(A + B) = cA + cB.

Iloczyn macierzy

Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami.

Iloczynem

nazywamy macierz C(m × p) taką, że

j =1

Warunkiem istnienia iloczynu AB jest, by macierz A miała tyle
kolumn, ile macierz B ma wierszy.

Iloczyn macierzy

Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami.

Iloczynem

nazywamy macierz C(m × p)

taką, że

j =1

Warunkiem istnienia iloczynu AB jest, by macierz A miała tyle
kolumn, ile macierz B ma wierszy.

Iloczyn macierzy

Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami.

Iloczynem

nazywamy macierz C(m × p) taką, że

j =1

Warunkiem istnienia iloczynu AB jest, by macierz A miała tyle
kolumn, ile macierz B ma wierszy.

Iloczyn macierzy

Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami.

Iloczynem

nazywamy macierz C(m × p) taką, że

j =1

Warunkiem istnienia iloczynu AB jest,

by macierz A miała tyle

kolumn, ile macierz B ma wierszy.

Iloczyn macierzy

Niech A(m × n) i B(n × p) będą macierzami.

Iloczynem

nazywamy macierz C(m × p) taką, że

j =1

Warunkiem istnienia iloczynu AB jest, by macierz A miała tyle
kolumn, ile macierz B ma wierszy.

Macierz jednostkowa

Macierz

I =








. . .

. . . . . . . . . . . .

. . .








nazywamy

macierzą jednostkową

Iloczyn macierzy – własności

1) Mnożenie macierzy jest łączne,

tj. (AB)C = A(BC).

2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.

(A + B) · C = AC + BC,

A(B + C) = AB + AC.

4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru

(AB)

= B

Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.

Iloczyn macierzy – własności

1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).

2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.

(A + B) · C = AC + BC,

A(B + C) = AB + AC.

4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru

(AB)

= B

Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.

Iloczyn macierzy – własności

1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.

3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.

(A + B) · C = AC + BC,

A(B + C) = AB + AC.

4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru

(AB)

= B

Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.

Iloczyn macierzy – własności

1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania,

tj.

(A + B) · C = AC + BC,

A(B + C) = AB + AC.

4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru

(AB)

= B

Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.

Iloczyn macierzy – własności

1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.

(A + B) · C = AC + BC,

A(B + C) = AB + AC.

4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru

(AB)

= B

Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.

Iloczyn macierzy – własności

1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.

(A + B) · C = AC + BC,

A(B + C) = AB + AC.

4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).

5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru

(AB)

= B

Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.

Iloczyn macierzy – własności

1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.

(A + B) · C = AC + BC,

A(B + C) = AB + AC.

4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru

(AB)

= B

Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.

Iloczyn macierzy – własności

1) Mnożenie macierzy jest łączne, tj. (AB)C = A(BC).
2) Dla macierzy A typu (m × n) i macierzy I stopnia n mamy
AI = A.
3) Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tj.

(A + B) · C = AC + BC,

A(B + C) = AB + AC.

4) (aA) · B = a(AB), a(b(A)) = (ab)(A).
5) Iloczyn macierzy transponujemy według wzoru

(AB)

= B

Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne.

Definicja wyznacznika

1) Jeżeli A = [a] jest macierzą stopnia 1, to jej wyznacznikiem
nazywamy liczbę a.

Piszemy

det A = a

lub

|A| = a.

2) Jeżeli

A =

jest macierzą stopnia 2, to jej wyznacznikiem nazywamy liczbę

det A = a

− a

Piszemy także

= a

− a

Definicja wyznacznika

1) Jeżeli A = [a] jest macierzą stopnia 1, to jej wyznacznikiem
nazywamy liczbę a.
Piszemy

det A = a

lub

|A| = a.

2) Jeżeli

A =

jest macierzą stopnia 2, to jej wyznacznikiem nazywamy liczbę

det A = a

− a

Piszemy także

= a

− a

Definicja wyznacznika

1) Jeżeli A = [a] jest macierzą stopnia 1, to jej wyznacznikiem
nazywamy liczbę a.
Piszemy

det A = a

lub

|A| = a.

2) Jeżeli

A =

jest macierzą stopnia 2,

to jej wyznacznikiem nazywamy liczbę

det A = a

− a

Piszemy także

= a

− a

Definicja wyznacznika

1) Jeżeli A = [a] jest macierzą stopnia 1, to jej wyznacznikiem
nazywamy liczbę a.
Piszemy

det A = a

lub

|A| = a.

2) Jeżeli

A =

jest macierzą stopnia 2, to jej wyznacznikiem nazywamy liczbę

det A = a

− a

Piszemy także

= a

− a

Definicja wyznacznika

1) Jeżeli A = [a] jest macierzą stopnia 1, to jej wyznacznikiem
nazywamy liczbę a.
Piszemy

det A = a

lub

|A| = a.

2) Jeżeli

A =

jest macierzą stopnia 2, to jej wyznacznikiem nazywamy liczbę

det A = a

− a

Piszemy także

= a

− a

Definicja wyznacznika

3) Jeżeli

A =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








jest macierzą stopnia n,

oznacza wyznacznik stopnia n − 1 powstały przez skreślenie w

macierzy A i -tego wiersza i k-tej kolumny,
A

= (−1)

i +k

to określamy

det A =

k=1

Tę równość nazywamy

rozwinięciem Laplace’a

Definicja wyznacznika

3) Jeżeli

A =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








jest macierzą stopnia n,
M

oznacza wyznacznik stopnia n − 1 powstały przez skreślenie w

macierzy A i -tego wiersza i k-tej kolumny,

= (−1)

i +k

to określamy

det A =

k=1

Tę równość nazywamy

rozwinięciem Laplace’a

Definicja wyznacznika

3) Jeżeli

A =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








jest macierzą stopnia n,
M

oznacza wyznacznik stopnia n − 1 powstały przez skreślenie w

macierzy A i -tego wiersza i k-tej kolumny,
A

= (−1)

i +k

to określamy

det A =

k=1

Tę równość nazywamy

rozwinięciem Laplace’a

Definicja wyznacznika

3) Jeżeli

A =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








jest macierzą stopnia n,
M

oznacza wyznacznik stopnia n − 1 powstały przez skreślenie w

macierzy A i -tego wiersza i k-tej kolumny,
A

= (−1)

i +k

to określamy

det A =

k=1

Tę równość nazywamy

rozwinięciem Laplace’a

Definicja wyznacznika

3) Jeżeli

A =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








jest macierzą stopnia n,
M

oznacza wyznacznik stopnia n − 1 powstały przez skreślenie w

macierzy A i -tego wiersza i k-tej kolumny,
A

= (−1)

i +k

to określamy

det A =

k=1

Tę równość nazywamy

rozwinięciem Laplace’a

Liczbę M

nazywamy

podwyznacznikiem

lub

minorem

macierzy

A, natomiast A

— to

dopełnienie algebraiczne

elementu a

macierzy A.

Piszemy także:

det A =

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

Liczbę M

nazywamy

podwyznacznikiem

lub

minorem

macierzy

A, natomiast A

— to

dopełnienie algebraiczne

elementu a

macierzy A.
Piszemy także:

det A =

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

Twierdzenie Laplace’a

Twierdzenie

Dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n:

det A =

j =1

(rozwinięcie Laplace’a według i -tego wiersza) oraz

det A =

i =1

(rozwinięcie Laplace’a według j -tej kolumny).

Twierdzenie Laplace’a

Twierdzenie

Dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n:

det A =

j =1

(rozwinięcie Laplace’a według i -tego wiersza)

oraz

det A =

i =1

(rozwinięcie Laplace’a według j -tej kolumny).

Twierdzenie Laplace’a

Twierdzenie

Dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n:

det A =

j =1

(rozwinięcie Laplace’a według i -tego wiersza) oraz

det A =

i =1

(rozwinięcie Laplace’a według j -tej kolumny).

Twierdzenie Laplace’a

Twierdzenie

Dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n:

det A =

j =1

(rozwinięcie Laplace’a według i -tego wiersza) oraz

det A =

i =1

(rozwinięcie Laplace’a według j -tej kolumny).

Wyznacznik:

−4

−2 −1 −1

można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:

1 · (−1)

−1 −1

2 · (−1)

−4

−2 −1

3 · (−1)

−4

−2 −1

= . . .

Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:

2 · (−1)

−4

−2 −1

5 · (−1)

−2 −1

(−1) · (−1)

−4 6

= . . .

Wyznacznik:

−4

−2 −1 −1

można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:

1 · (−1)

−1 −1

2 · (−1)

−4

−2 −1

3 · (−1)

−4

−2 −1

= . . .

Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:

2 · (−1)

−4

−2 −1

5 · (−1)

−2 −1

(−1) · (−1)

−4 6

= . . .

Wyznacznik:

−4

−2 −1 −1

można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:

1 · (−1)

−1 −1

2 · (−1)

−4

−2 −1

3 · (−1)

−4

−2 −1

= . . .

Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:

2 · (−1)

−4

−2 −1

5 · (−1)

−2 −1

(−1) · (−1)

−4 6

= . . .

Wyznacznik:

−4

−2 −1 −1

można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:

1 · (−1)

−1 −1

2 · (−1)

−4

−2 −1

3 · (−1)

−4

−2 −1

= . . .

Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:

2 · (−1)

−4

−2 −1

5 · (−1)

−2 −1

(−1) · (−1)

−4 6

= . . .

Wyznacznik:

−4

−2 −1 −1

można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:

1 · (−1)

−1 −1

2 · (−1)

−4

−2 −1

3 · (−1)

−4

−2 −1

= . . .

Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:

2 · (−1)

−4

−2 −1

5 · (−1)

−2 −1

(−1) · (−1)

−4 6

= . . .

Wyznacznik:

−4

−2 −1 −1

można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:

1 · (−1)

−1 −1

2 · (−1)

−4

−2 −1

3 · (−1)

−4

−2 −1

= . . .

Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:

2 · (−1)

−4

−2 −1

5 · (−1)

−2 −1

(−1) · (−1)

−4 6

= . . .

Wyznacznik:

−4

−2 −1 −1

można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:

1 · (−1)

−1 −1

2 · (−1)

−4

−2 −1

3 · (−1)

−4

−2 −1

= . . .

Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:

2 · (−1)

−4

−2 −1

5 · (−1)

−2 −1

(−1) · (−1)

−4 6

= . . .

Wyznacznik:

−4

−2 −1 −1

można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:

1 · (−1)

−1 −1

2 · (−1)

−4

−2 −1

3 · (−1)

−4

−2 −1

= . . .

Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:

2 · (−1)

−4

−2 −1

5 · (−1)

−2 −1

(−1) · (−1)

−4 6

= . . .

Wyznacznik:

−4

−2 −1 −1

można rozwinąć według pierwszego wiersza, otrzymując:

1 · (−1)

−1 −1

2 · (−1)

−4

−2 −1

3 · (−1)

−4

−2 −1

= . . .

Ten sam wyznacznik można rozwinąć według drugiej kolumny:

2 · (−1)

−4

−2 −1

5 · (−1)

−2 −1

(−1) · (−1)

−4 6

= . . .

Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) z
dużą liczbą zer.

−2

−5 6

−3 −1 0

−2 0

= 6 · (−1)

−2

−3 −1

−2

6 · (−2) · (−1)

−2

−3

= − 12(−12 + 4) = 96.

Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięcie
według IV wiersza.

Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) z
dużą liczbą zer.

−2

−5 6

−3 −1 0

−2 0

6 · (−1)

−2

−3 −1

−2

6 · (−2) · (−1)

−2

−3

= − 12(−12 + 4) = 96.

Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięcie
według IV wiersza.

Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) z
dużą liczbą zer.

−2

−5 6

−3 −1 0

−2 0

= 6 · (−1)

−2

−3 −1

−2

6 · (−2) · (−1)

−2

−3

= − 12(−12 + 4) = 96.

Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięcie
według IV wiersza.

Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) z
dużą liczbą zer.

−2

−5 6

−3 −1 0

−2 0

= 6 · (−1)

−2

−3 −1

−2

6 · (−2) · (−1)

−2

−3

− 12(−12 + 4) = 96.

Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięcie
według IV wiersza.

Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) z
dużą liczbą zer.

−2

−5 6

−3 −1 0

−2 0

= 6 · (−1)

−2

−3 −1

−2

6 · (−2) · (−1)

−2

−3

− 12(−12 + 4) = 96.

Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięcie
według IV wiersza.

Korzystnie jest rozwijać wyznacznik według wiersza (kolumny) z
dużą liczbą zer.

−2

−5 6

−3 −1 0

−2 0

= 6 · (−1)

−2

−3 −1

−2

6 · (−2) · (−1)

−2

−3

− 12(−12 + 4) = 96.

Rozwinęliśmy według IV kolumny; równie dobre byłoby rozwinięcie
według IV wiersza.

Własności wyznacznika

1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,
diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.
2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy A

det A = det A

3) Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, to
det A = 0.
4) Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak jej
wyznacznika.
5) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
równe, to det A = 0.

Własności wyznacznika

1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,
diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.

2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy A

det A = det A

Własności wyznacznika

1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,
diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.
2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy A

det A = det A

Własności wyznacznika

1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,
diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.
2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy A

det A = det A

3) Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, to
det A = 0.

4) Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak jej
wyznacznika.
5) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
równe, to det A = 0.

Własności wyznacznika

1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,
diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.
2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy A

det A = det A

3) Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, to
det A = 0.
4) Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak jej
wyznacznika.

5) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
równe, to det A = 0.

Własności wyznacznika

1) Wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej (górnotrójkątnej,
diagonalnej) jest iloczynem elementów przekątnej głównej.
2) Wyznacznik macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy A

det A = det A

Własności wyznacznika

6) Wspólny czynnik wszystkich elementów jednego wiersza (jednej
kolumny) można wynieść przed znak wyznacznika.

7) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
proporcjonalne, to det A = 0.

Własności wyznacznika

6) Wspólny czynnik wszystkich elementów jednego wiersza (jednej
kolumny) można wynieść przed znak wyznacznika.
7) Jeżeli dwa wiersze (dwie kolumny) wyznacznika macierzy A są
proporcjonalne, to det A = 0.

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i 1

+ a

∗

i 1

i 2

+ a

∗

i 2

· · ·

+ a

∗

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

i 1

i 2

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗

i 1

∗

i 2

· · ·

∗

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

Własności wyznacznika

9) Jeżeli do elementów jednego wiersza (jednej kolumny)
wyznacznika dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (innej
kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę, to wartość
wyznacznika nie ulegnie zmianie.

Równanie postaci:

+ a

+ . . . + a

= b

nazywamy

równaniem liniowym o n niewiadomych

, x

, . . . , x

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem

tego

równania,
jeśli jest

+ a

+ . . . + a

= b.

Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x

, x

, . . . , x

nazywa się

układem równań liniowych

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem układu

, jeśli

jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy

sprzecznym

Równanie postaci:

+ a

+ . . . + a

= b

nazywamy

równaniem liniowym o n niewiadomych

, x

, . . . , x

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem

tego

równania,
jeśli jest

+ a

+ . . . + a

= b.

Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x

, x

, . . . , x

nazywa się

układem równań liniowych

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem układu

, jeśli

jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy

sprzecznym

Równanie postaci:

+ a

+ . . . + a

= b

nazywamy

równaniem liniowym o n niewiadomych

, x

, . . . , x

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem

tego

równania,
jeśli jest

+ a

+ . . . + a

= b.

Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x

, x

, . . . , x

nazywa się

układem równań liniowych

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem układu

, jeśli

jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy

sprzecznym

Równanie postaci:

+ a

+ . . . + a

= b

nazywamy

równaniem liniowym o n niewiadomych

, x

, . . . , x

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem

tego

równania,

jeśli jest

+ a

+ . . . + a

= b.

Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x

, x

, . . . , x

nazywa się

układem równań liniowych

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem układu

, jeśli

jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy

sprzecznym

Równanie postaci:

+ a

+ . . . + a

= b

nazywamy

równaniem liniowym o n niewiadomych

, x

, . . . , x

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem

tego

równania,
jeśli jest

+ a

+ . . . + a

= b.

Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x

, x

, . . . , x

nazywa się

układem równań liniowych

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem układu

, jeśli

jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy

sprzecznym

Równanie postaci:

+ a

+ . . . + a

= b

nazywamy

równaniem liniowym o n niewiadomych

, x

, . . . , x

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem

tego

równania,
jeśli jest

+ a

+ . . . + a

= b.

Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x

, x

, . . . , x

nazywa się

układem równań liniowych

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem układu

, jeśli

jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy

sprzecznym

Równanie postaci:

+ a

+ . . . + a

= b

nazywamy

równaniem liniowym o n niewiadomych

, x

, . . . , x

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem

tego

równania,
jeśli jest

+ a

+ . . . + a

= b.

Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x

, x

, . . . , x

nazywa się

układem równań liniowych

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem układu

, jeśli

jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.

Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy

sprzecznym

Równanie postaci:

+ a

+ . . . + a

= b

nazywamy

równaniem liniowym o n niewiadomych

, x

, . . . , x

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem

tego

równania,
jeśli jest

+ a

+ . . . + a

= b.

Skończony zbiór równań liniowych o niewiadomych x

, x

, . . . , x

nazywa się

układem równań liniowych

Ciąg n liczb (s

, s

, . . . , s

) nazywa się

rozwiązaniem układu

, jeśli

jest rozwiązaniem każdego równania tego układu.
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy

sprzecznym

Układ Cramera

Układ n równań o n niewiadomych

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

(1)

nazywa się

układem Cramera

, jeśli

det A = det[a

] 6= 0.

Macierz A nazywamy

macierzą układu

, a det A

wyznacznikiem

układu

Macierz A spełniającą warunek det A 6= 0 nazywamy

nieosobliwą

Układ Cramera

Układ n równań o n niewiadomych

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

(1)

nazywa się

układem Cramera

, jeśli

det A = det[a

] 6= 0.

Macierz A nazywamy

macierzą układu

, a det A

wyznacznikiem

układu

Macierz A spełniającą warunek det A 6= 0 nazywamy

nieosobliwą

Układ Cramera

Układ n równań o n niewiadomych

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

(1)

nazywa się

układem Cramera

, jeśli

det A = det[a

] 6= 0.

Macierz A nazywamy

macierzą układu

, a det A

wyznacznikiem

układu

Macierz A spełniającą warunek det A 6= 0 nazywamy

nieosobliwą

Układ Cramera

Układ n równań o n niewiadomych

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

(1)

nazywa się

układem Cramera

, jeśli

det A = det[a

] 6= 0.

Macierz A nazywamy

macierzą układu

, a det A

wyznacznikiem

układu

Macierz A spełniającą warunek det A 6= 0 nazywamy

nieosobliwą

Układ Cramera

Układ n równań o n niewiadomych

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

(1)

nazywa się

układem Cramera

, jeśli

det A = det[a

] 6= 0.

Macierz A nazywamy

macierzą układu

, a det A

wyznacznikiem

układu

Macierz A spełniającą warunek det A 6= 0 nazywamy

nieosobliwą

Twierdzenie (Cramera)

Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Jest one dane wzorem:

det A

(k = 1, 2, . . . , n)

(2)

gdzie macierz A

powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tej

kolumny kolumną utworzoną z wyrazów b

, b

, . . . , b

Twierdzenie (Cramera)

Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Jest one dane wzorem:

det A

(k = 1, 2, . . . , n)

(2)

gdzie macierz A

powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tej

kolumny kolumną utworzoną z wyrazów b

, b

, . . . , b

Twierdzenie (Cramera)

Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Jest one dane wzorem:

det A

(k = 1, 2, . . . , n)

(2)

gdzie macierz A

powstaje z macierzy A przez zastąpienie k-tej

kolumny kolumną utworzoną z wyrazów b

, b

, . . . , b

Lemat

Niech A = [a

] będzie macierzą kwadratową, A

dopełnieniem

algebraicznym elementu a

Jeżeli i 6= k, to

j =1

= 0.

Podobnie, jeśli j 6= k, to

i =1

= 0.

Dowód: suma

n
j =1

= 0 jest rozwinięciem Laplace’a

wyznacznika, którego i -ty i k-ty wiersz jest taki sam.
Taki wyznacznik równy jest 0.
Analogicznie druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwie
kolumny (j -tą i k-tą) równe.

Lemat

Niech A = [a

] będzie macierzą kwadratową, A

dopełnieniem

algebraicznym elementu a

. Jeżeli i 6= k, to

j =1

= 0.

Podobnie, jeśli j 6= k, to

i =1

= 0.

Dowód: suma

n
j =1

= 0 jest rozwinięciem Laplace’a

wyznacznika, którego i -ty i k-ty wiersz jest taki sam.
Taki wyznacznik równy jest 0.
Analogicznie druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwie
kolumny (j -tą i k-tą) równe.

Lemat

Niech A = [a

] będzie macierzą kwadratową, A

dopełnieniem

algebraicznym elementu a

. Jeżeli i 6= k, to

j =1

= 0.

Podobnie, jeśli j 6= k, to

i =1

= 0.

Dowód: suma

n
j =1

= 0 jest rozwinięciem Laplace’a

wyznacznika, którego i -ty i k-ty wiersz jest taki sam.
Taki wyznacznik równy jest 0.
Analogicznie druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwie
kolumny (j -tą i k-tą) równe.

Lemat

Niech A = [a

] będzie macierzą kwadratową, A

dopełnieniem

algebraicznym elementu a

. Jeżeli i 6= k, to

j =1

= 0.

Podobnie, jeśli j 6= k, to

i =1

= 0.

Dowód: suma

n
j =1

= 0 jest rozwinięciem Laplace’a

wyznacznika, którego i -ty i k-ty wiersz jest taki sam.

Taki wyznacznik równy jest 0.
Analogicznie druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwie
kolumny (j -tą i k-tą) równe.

Lemat

Niech A = [a

] będzie macierzą kwadratową, A

dopełnieniem

algebraicznym elementu a

. Jeżeli i 6= k, to

j =1

= 0.

Podobnie, jeśli j 6= k, to

i =1

= 0.

Dowód: suma

n
j =1

= 0 jest rozwinięciem Laplace’a

wyznacznika, którego i -ty i k-ty wiersz jest taki sam.
Taki wyznacznik równy jest 0.

Analogicznie druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwie
kolumny (j -tą i k-tą) równe.

Lemat

Niech A = [a

] będzie macierzą kwadratową, A

dopełnieniem

algebraicznym elementu a

. Jeżeli i 6= k, to

j =1

= 0.

Podobnie, jeśli j 6= k, to

i =1

= 0.

Dowód: suma

n
j =1

= 0 jest rozwinięciem Laplace’a

wyznacznika, którego i -ty i k-ty wiersz jest taki sam.
Taki wyznacznik równy jest 0.
Analogicznie druga suma jest wyznacznikiem, który ma dwie
kolumny (j -tą i k-tą) równe.

Dowód twierdzenia Cramera.

Krok 1. Wykażemy, że jeśli układ ma rozwiązanie x

, x

, . . . , x

det A

(k = 1, 2, . . . , n).

Załóżmy, że x

, x

, . . . , x

jest rozwiązaniem układu.

Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A

, A

, . . . , A

elementów k-tej kolumny:

· · ·

/ · A

· · ·

/ · A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

/ · A

Dowód twierdzenia Cramera.

Krok 1. Wykażemy, że jeśli układ ma rozwiązanie x

, x

, . . . , x

det A

(k = 1, 2, . . . , n).

Załóżmy, że x

, x

, . . . , x

jest rozwiązaniem układu.

Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A

, A

, . . . , A

elementów k-tej kolumny:

· · ·

/ · A

· · ·

/ · A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

/ · A

Dowód twierdzenia Cramera.

Krok 1. Wykażemy, że jeśli układ ma rozwiązanie x

, x

, . . . , x

det A

(k = 1, 2, . . . , n).

Załóżmy, że x

, x

, . . . , x

jest rozwiązaniem układu.

Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A

, A

, . . . , A

elementów k-tej kolumny:

· · ·

/ · A

· · ·

/ · A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

/ · A

Dowód twierdzenia Cramera.

Krok 1. Wykażemy, że jeśli układ ma rozwiązanie x

, x

, . . . , x

det A

(k = 1, 2, . . . , n).

Załóżmy, że x

, x

, . . . , x

jest rozwiązaniem układu.

Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A

, A

, . . . , A

elementów k-tej kolumny:

· · ·

/ · A

· · ·

/ · A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

/ · A

Dowód twierdzenia Cramera.

Krok 1. Wykażemy, że jeśli układ ma rozwiązanie x

, x

, . . . , x

det A

(k = 1, 2, . . . , n).

Załóżmy, że x

, x

, . . . , x

jest rozwiązaniem układu.

Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A

, A

, . . . , A

elementów k-tej kolumny:

· · ·

/ · A

· · ·

/ · A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

/ · A

Dowód twierdzenia Cramera.

Krok 1. Wykażemy, że jeśli układ ma rozwiązanie x

, x

, . . . , x

det A

(k = 1, 2, . . . , n).

Załóżmy, że x

, x

, . . . , x

jest rozwiązaniem układu.

Pomnożymy kolejne równania przez dopełnienia A

, A

, . . . , A

elementów k-tej kolumny:

· · ·

/ · A

· · ·

/ · A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

/ · A

· A

· · ·

· A

· · ·

· A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· A

· · ·

· A

a następnie dodamy wszystkie równania stronami:

i =1

i 1

· · · +

i =1

· · · +

i =1

(od razu pogrupowaliśmy składniki lewej strony według
niewiadomych).

· A

· · ·

· A

· · ·

· A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· A

· · ·

· A

a następnie dodamy wszystkie równania stronami:

i =1

i 1

· · · +

i =1

· · · +

i =1

(od razu pogrupowaliśmy składniki lewej strony według
niewiadomych).

· A

· · ·

· A

· · ·

· A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· A

· · ·

· A

a następnie dodamy wszystkie równania stronami:

i =1

i 1

· · · +

i =1

· · · +

i =1

(od razu pogrupowaliśmy składniki lewej strony według
niewiadomych).

· A

· · ·

· A

· · ·

· A

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· A

· · ·

· A

a następnie dodamy wszystkie równania stronami:

i =1

i 1

· · · +

i =1

· · · +

i =1

(od razu pogrupowaliśmy składniki lewej strony według
niewiadomych).

Dowód twierdzenia Cramera.

Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jeden
składnik jest niezerowy — ten zawierający x

Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi det A.
Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika det A

. Zatem

det A · x

= det A

skąd

det A

k = 1, 2, . . . , n.

Dowód twierdzenia Cramera.

Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jeden
składnik jest niezerowy — ten zawierający x

Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi det A.

Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika det A

. Zatem

det A · x

= det A

skąd

det A

k = 1, 2, . . . , n.

Dowód twierdzenia Cramera.

Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jeden
składnik jest niezerowy — ten zawierający x

Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi det A.
Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika det A

Zatem

det A · x

= det A

skąd

det A

k = 1, 2, . . . , n.

Dowód twierdzenia Cramera.

Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jeden
składnik jest niezerowy — ten zawierający x

Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi det A.
Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika det A

. Zatem

det A · x

= det A

skąd

det A

k = 1, 2, . . . , n.

Dowód twierdzenia Cramera.

Na podstawie lematu wnioskujemy, że po lewej stronie tylko jeden
składnik jest niezerowy — ten zawierający x

Współczynnik przy tej niewiadomej wynosi det A.
Prawa strona jest rozwinięciem wyznacznika det A

. Zatem

det A · x

= det A

skąd

det A

k = 1, 2, . . . , n.

Dowód twierdzenia Cramera.

Krok 2. Wiemy na razie, że

jeżeli układ ma rozwiązanie

, to jest

ono określone wzorami Cramera.

Sprawdzimy, że istotnie liczby x

określone tymi wzorami spełniają

równania układu.

Dowód twierdzenia Cramera.

Krok 2. Wiemy na razie, że

jeżeli układ ma rozwiązanie

, to jest

ono określone wzorami Cramera.
Sprawdzimy, że istotnie liczby x

określone tymi wzorami spełniają

równania układu.

Dowód twierdzenia Cramera.

Po podstawieniu do s-tego równania otrzymujemy:

det A

+ a

det A

· · · + a

det A

+ · · · + b

) + · · · +

+ · · · + b

)

det A

+ · · · + a

) + · · · +

+ · · · + a

)

det A

· det A = b

Dowód twierdzenia Cramera.

Po podstawieniu do s-tego równania otrzymujemy:

det A

+ a

det A

· · · + a

det A

+ · · · + b

) + · · · +

+ · · · + b

)

det A

+ · · · + a

) + · · · +

+ · · · + a

)

det A

· det A = b

Dowód twierdzenia Cramera.

Po podstawieniu do s-tego równania otrzymujemy:

det A

+ a

det A

· · · + a

det A

+ · · · + b

) + · · · +

+ · · · + b

)

det A

+ · · · + a

) + · · · +

+ · · · + a

)

det A

· det A = b

Dowód twierdzenia Cramera.

Po podstawieniu do s-tego równania otrzymujemy:

det A

+ a

det A

· · · + a

det A

+ · · · + b

) + · · · +

+ · · · + b

)

det A

+ · · · + a

) + · · · +

+ · · · + a

)

det A

· det A = b

Dowód twierdzenia Cramera.

Po podstawieniu do s-tego równania otrzymujemy:

det A

+ a

det A

· · · + a

det A

+ · · · + b

) + · · · +

+ · · · + b

)

det A

+ · · · + a

) + · · · +

+ · · · + a

)

det A

· det A =

Dowód twierdzenia Cramera.

Po podstawieniu do s-tego równania otrzymujemy:

det A

+ a

det A

· · · + a

det A

+ · · · + b

) + · · · +

+ · · · + b

)

det A

+ · · · + a

) + · · · +

+ · · · + a

)

det A

· det A = b

Przykład

−5 .

Obliczamy kolejno wyznaczniki:

det A =

= −20,

Przykład

−5 .

Obliczamy kolejno wyznaczniki:

det A =

= −20,

Przykład

−5 .

Obliczamy kolejno wyznaczniki:

det A =

= −20,

det A

−5 3 2 1

= 40,

det A

−5 2 1

= −40,

det A

−5 3 2 1

= 40,

det A

−5 2 1

= −40,

det A

−5 1

= 60,

det A

−5

= −60.

det A

−5 1

= 60,

det A

−5

= −60.

Zatem

det A

= −2,

det A

= 2,

det A

= −3,

det A

= 3.

Zatem

det A

= −2,

det A

= 2,

det A

= −3,

det A

= 3.

Zatem

det A

= −2,

det A

= 2,

det A

= −3,

det A

= 3.

Zatem

det A

= −2,

det A

= 2,

det A

= −3,

det A

= 3.

Układ jednorodny

Układ (1) dla b

= b

= . . . = b

= 0 nazywamy układem

jednorodnym

Jeżeli jest on układem Cramera, to ma tylko rozwiązanie zerowe,
bo det A

= 0 dla k = 1, 2, . . . , n.

Wniosek

Układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy,
gdy det A = 0.

Wówczas rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Układ jednorodny

Układ (1) dla b

= b

= . . . = b

= 0 nazywamy układem

jednorodnym

Jeżeli jest on układem Cramera, to ma tylko rozwiązanie zerowe,

bo det A

= 0 dla k = 1, 2, . . . , n.

Wniosek

Układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy,
gdy det A = 0.

Wówczas rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Układ jednorodny

Układ (1) dla b

= b

= . . . = b

= 0 nazywamy układem

jednorodnym

Jeżeli jest on układem Cramera, to ma tylko rozwiązanie zerowe,
bo det A

= 0 dla k = 1, 2, . . . , n.

Wniosek

Układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy,
gdy det A = 0.

Wówczas rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Układ jednorodny

Układ (1) dla b

= b

= . . . = b

= 0 nazywamy układem

jednorodnym

Jeżeli jest on układem Cramera, to ma tylko rozwiązanie zerowe,
bo det A

= 0 dla k = 1, 2, . . . , n.

Wniosek

Układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy,
gdy det A = 0.

Wówczas rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Układ jednorodny

Układ (1) dla b

= b

= . . . = b

= 0 nazywamy układem

jednorodnym

Jeżeli jest on układem Cramera, to ma tylko rozwiązanie zerowe,
bo det A

= 0 dla k = 1, 2, . . . , n.

Wniosek

Układ jednorodny ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy,
gdy det A = 0.

Wówczas rozwiązań jest nieskończenie wiele.