EGZAMIN z ALGEBRY

luty 2013

Imię i nazwisko

grupa

(dużymi literami)

Zad 1

Zad 2

Zad 3

Zad 4

Zad 5

Zad 6

∑ z egz

Ćwicz

Razem

Ocena

UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.

1. Podać definicję podprzestrzeni wektorowej U przestrzeni wektorowej V. Wykazać, że jądro

F

Ker

odwzorowania liniowego

W

V

F

→

:

jest podprzestrzenią przestrzeni V. Wyznaczyć

F

Ker

oraz

F

Im

odwzorowania

3

3

:

R

R

F

→

,

(

) (

)

z

y

x

z

y

x

y

x

z

y

x

F

2

2

2

,

4

2

,

3

,

,

−

+

−

+

+

=

.

Podać interpretację geometryczną tych zbiorów. Czy wektor

(

)

F

v

Im

10

,

7

,

2

∈

=

? Czy wektor

(

)

4

,

2

,

6

−

=

w

jest wektorem własnym odwzorowania F ?

2. Pierwiastek równania

0

13

2

2

=

+

−

z

z

spełniający warunek

(

)

1

−

<

−

z

i

i

z

jest

pierwiastkiem 6-tego stopnia pewnej liczby zespolonej

w

. Wyznaczyć (w postaci

algebraicznej) dwa dowolne inne pierwiastki liczby

w

. W rozwiązaniu zadania powołać się na

odpowiednie własności liczb zespolonych.

3. Wyznaczyć prostą styczną i płaszczyznę ściśle styczną do krzywej o przedstawieniu

parametrycznym

R

t

t

e

e

t

t

r

t

t

∈

−

+

−

=

−

−

),

3

2

,

1

,

1

3

(

)

(

w punkcie

(

)

2

,

2

,

1

−

. Czy krzywa jest

płaska? Zinterpretować parametr τ (skręcenie) i obliczyć skręcenie w punktach

1

P

i

2

P

odpowiadających parametrom

1

1

−

=

t

oraz

1

2

=

t

.

4. Sprowadzić formę kwadratową

(

)

3

1

2

3

2

2

2

1

3

2

1

4

3

,

,

x

x

x

x

x

x

x

x

f

+

+

+

=

do postaci kanonicznej,

znaleźć macierz odpowiadającą zamianie zmiennych. Co to znaczy, że forma kwadratowa jest
istotnie (ściśle) ujemnie określona (definicja)? Czy ta forma taka jest?

5. Uzasadnić, że proste







=

−

+

=

−

+

+

0

4

2

0

5

2

2

:

1

z

y

z

y

x

l

i

t

z

t

y

t

x

l

+

=

−

−

=

+

−

=

5

,

2

2

,

2

:

2

wraz płaszczyzną

0

5

2

=

−

+

+

z

y

x

tworzą trójkąt. Wyznaczyć jego pole.

6. Wyznaczyć odwzorowanie odwrotne

1

−

F (podać wzór) dla odwzorowania liniowego

2

2

:

R

R

F

→

,

(

) (

)

2

1

2

1

2

1

2

,

3

5

,

x

x

x

x

x

x

F

+

−

−

=

oraz

)

1

,

5

(

1

−

−

F

.

Znaleźć macierz odwzorowania F w bazie

( ) ( )

{

}

2

,

1

,

1

,

1

−

=

B

.

EGZAMIN z ALGEBRY

luty 2013

Imię i nazwisko

grupa

(dużymi literami)

Zad 1

Zad 2

Zad 3

Zad 4

Zad 5

Zad 6

∑ z egz

Ćwicz

Razem

Ocena

UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.

1. Podać definicję odwzorowania liniowego

W

V

F

→

:

oraz obrazu F (

F

Im

). Wyznaczyć

F

Ker

oraz

F

Im

odwzorowania

3

3

:

R

R

F

→

,

(

) (

)

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

F

2

2

,

2

,

4

4

,

,

+

−

−

−

+

+

−

=

.

Podać interpretację geometryczną tych zbiorów. Czy wektor

(

)

F

v

Im

0

,

0

,

1

∈

=

? Czy

0

=

λ

jest

wartością własną tego odwzorowania?

2. Pierwiastek równania

0

19

8

2

=

+

+

z

z

spełniający warunek

2

)

4

)(

1

(

<

−

+

+

i

z

i

jest

pierwiastkiem 3-go stopnia pewnej liczby zespolonej

w

. Wyznaczyć (w postaci algebraicznej)

dwa pozostałe pierwiastki liczby

w

. W rozwiązaniu zadania powołać się na odpowiednie

własności liczb zespolonych.

3. Dla krzywej o przedstawieniu parametrycznym

R

t

t

e

t

e

t

r

t

t

∈

−

−

+

=

),

4

3

,

2

1

,

1

(

)

(

wyznaczyć płaszczyznę normalną oraz prostą binormalną w punkcie

(

)

3

,

1

,

2

oraz wykazać, że

krzywa jest płaska. Podać interpretację skręcenia krzywej w punkcie

P .

Obliczyć skręcenie w punktach

1

P

i

2

P

należących do krzywej odpowiadających wartościom

parametru

1

1

−

=

t

oraz

2

2

=

t

.

4. Sprowadzić formę kwadratową

(

)

3

2

3

1

2

1

2

3

3

2

1

2

2

4

3

,

,

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

−

−

+

=

do postaci

kanonicznej, znaleźć macierz odpowiadającą zamianie zmiennych. Co to znaczy, że forma
kwadratowa jest dodatnio określona (definicja)? Czy ta forma taka jest?

5. Uzasadnij, że płaszczyzna

0

3

2

=

−

+

+

z

y

x

i proste

t

z

t

y

t

x

l

2

4

,

,

2

3

:

1

−

=

=

+

−

=

oraz







=

+

+

=

−

+

+

0

6

2

0

1

:

2

y

x

z

y

x

l

tworzą trójkąt. Wyznacz jego pole.

6. Wyznaczyć odwzorowanie odwrotne

1

−

F (podać wzór) dla odwzorowania liniowego

2

2

:

R

R

F

→

,

(

) (

)

2

1

2

1

2

1

5

2

,

3

,

x

x

x

x

x

x

F

+

+

=

oraz

)

2

,

1

(

1

−

F

.

Znaleźć macierz odwzorowania

F w bazie

(

) ( )

{

}

1

,

1

,

2

,

1

−

−

=

B

.