luty 2013
Imię i nazwisko
grupa
(dużymi literami)
Zad 1
Zad 2
Zad 3
Zad 4
Zad 5
Zad 6
∑ z egz
Ćwicz
Razem
Ocena
UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.
1. Podać definicję podprzestrzeni wektorowej U przestrzeni wektorowej V. Wykazać, że jądro Ker F odwzorowania liniowego F : V → W jest podprzestrzenią przestrzeni V. Wyznaczyć Ker F oraz Im F odwzorowania
3
3
F : R → R , F ( x, y, z) = ( x + 3 y, 2 x + 4 y − z, 2 x + 2 y − 2 z) .
Podać interpretację geometryczną tych zbiorów. Czy wektor v = ( , 2
,
7 10)∈ Im F ? Czy wektor
w = ( ,
6 − ,
2 4) jest wektorem własnym odwzorowania F ?
2. Pierwiastek równania 2
z − 2 z + 13 = 0 spełniający warunek z − i < i ( z − ) 1 jest
pierwiastkiem 6-tego stopnia pewnej liczby zespolonej w . Wyznaczyć (w postaci algebraicznej) dwa dowolne inne pierwiastki liczby w . W rozwiązaniu zadania powołać się na odpowiednie własności liczb zespolonych.
3. Wyznaczyć prostą styczną i płaszczyznę ściśle styczną do krzywej o przedstawieniu parametrycznym
− t
− t
r( t) = ( t
3 − ,
1 e
+ ,
1 2 e
− t
3 ), t ∈ R w punkcie (− ,
1 ,
2 2) . Czy krzywa jest
płaska? Zinterpretować parametr τ (skręcenie) i obliczyć skręcenie w punktach P i P
1
2
odpowiadających parametrom t = −1 oraz t = 1.
1
2
4. Sprowadzić formę kwadratową f ( x , x , x = x + 3 x + x + 4 x x do postaci kanonicznej, 1
2
3 )
2
2
2
1
2
3
1
3
znaleźć macierz odpowiadającą zamianie zmiennych. Co to znaczy, że forma kwadratowa jest istotnie (ściśle) ujemnie określona (definicja)? Czy ta forma taka jest?
x + 2 y + 2 z − 5 = 0
5. Uzasadnić, że proste l :
i l : x
2
= − 2 + t , y = − 2 − 2 t , z = 5 + t 1
2 y + z − 4 = 0
wraz płaszczyzną x + 2 y + z − 5 = 0 tworzą trójkąt. Wyznaczyć jego pole.
6. Wyznaczyć odwzorowanie odwrotne
1
−
F (podać wzór) dla odwzorowania liniowego
2
2
F : R → R , F ( x , x = 5 x − 3 x , − 2 x + x oraz 1
−
F (− ,
5 )
1 .
1
2 )
( 1
2
1
2 )
Znaleźć macierz odwzorowania F w bazie B = { ( , 1 − )
1 , ( ,
1 2)}.
luty 2013
Imię i nazwisko
grupa
(dużymi literami)
Zad 1
Zad 2
Zad 3
Zad 4
Zad 5
Zad 6
∑ z egz
Ćwicz
Razem
Ocena
UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.
1. Podać definicję odwzorowania liniowego F : V → W oraz obrazu F ( Im F ). Wyznaczyć Ker F
oraz Im F odwzorowania
3
3
F : R → R , F ( x, y, z) = ( x − 4 y + 4 z, 2 x + y − z, − x − 2 y + 2 z) .
Podać interpretację geometryczną tych zbiorów. Czy wektor v = ( , 1 ,
0 0)∈ Im F ? Czy λ = 0 jest
wartością własną tego odwzorowania?
2. Pierwiastek równania 2
z + 8 z + 19 = 0 spełniający warunek 1
( + i)( z + 4 − i) < 2 jest
pierwiastkiem 3-go stopnia pewnej liczby zespolonej w . Wyznaczyć (w postaci algebraicznej) dwa pozostałe pierwiastki liczby w . W rozwiązaniu zadania powołać się na odpowiednie własności liczb zespolonych.
3. Dla krzywej o przedstawieniu parametrycznym
t
t
r( t) = ( e + ,
1 1 − 2 t,
e
3
− 4 t), t ∈ R
wyznaczyć płaszczyznę normalną oraz prostą binormalną w punkcie ( , 2 ,
1 )
3 oraz wykazać, że
krzywa jest płaska. Podać interpretację skręcenia krzywej w punkcie P .
Obliczyć skręcenie w punktach P i P należących do krzywej odpowiadających wartościom 1
2
parametru t = −1 oraz t = 2 .
1
2
4. Sprowadzić formę kwadratową f ( x , x , x = 3 x + 4 x x − 2 x x − 2 x x do postaci 1
2
3 )
2
3
1 2
1 3
2
3
kanonicznej, znaleźć macierz odpowiadającą zamianie zmiennych. Co to znaczy, że forma kwadratowa jest dodatnio określona (definicja)? Czy ta forma taka jest?
5. Uzasadnij, że płaszczyzna x + y + 2 z − 3 = 0 i proste l : x = − 3 + 2 t , y = t , z = 4 − 2 t 1
x + y + z − 1 = 0
oraz l :
tworzą trójkąt. Wyznacz jego pole.
2
2 x + y + 6 = 0
6. Wyznaczyć odwzorowanie odwrotne
1
−
F (podać wzór) dla odwzorowania liniowego
2
2
F : R → R , F ( x , x = x + 3 x , 2 x + 5 x oraz 1
−
F
,
1
( 2) .
1
2 )
( 1
2
1
2 )
Znaleźć macierz odwzorowania F w bazie B = { (− , 1 2), ( ,
1 − )
1 }.