1

α

√2

P

C

a

A

B

a

P

P

1

P

2

α

V

B

V

A

H

A

P

C

A

B

P/2

P/2

P

P

Zadanie 11.2.

Belkę swobodnie podpartą obciążono siłą

√2P nachyloną pod kątem 45°.

a) Wyznaczyć reakcje i sporządzić wykresy sił przekrojowych. b) Przeanalizować stan

naprężenia w najbardziej wytężonym przekroju. Jaki wpływ na wartość naprężeń ma

smukłości belki (stosunek długości belki do jej wysokości). c) Zaprojektować przekrój belki

wykonanej ze stali, dobrać profil dwuteownika i obliczyć wymiary przekroju prostokątnego.

Dane: P = 10 kN, a = 2m , k

r

= 250 MPa .

Wyznaczenie reakcji:

ΣX

1

: H

A

–P

1

= 0,

H

A

= P

1,

H

A

= P

ΣX

2

: -V

A

– V

B

+ P

2

= 0, V

A

= P

2

- V

B

,

V

A

= P – P/2 = P/2

Σ M

A

: -P

2

⋅

a + V

B

⋅

2a = 0, V

B

= P

2

/2,

V

B

= P/2

Sprawdzenie:

ΣΣΣΣ

M

B =

-V

A

⋅

2a +P

2

⋅

a = - P/2

⋅

2a + P

⋅

a = 0 .

Funkcje sił przekrojowych:

Przedział AB ,

∈< 0; >:

= − ,

= 0,5 ,

= 1,5

,

:

0 = 0 ,

:

=

.

Przedział CB

,

∈< 0; >:

= 0 ,

= −1,5 ,

= 1,5

,

:

0 = 0 , :

= 1,5

.

x

β

C

M

β

N

β

T

β

0.5P

x

α

A

M

α

N

α

T

α

0.5P

P

P

P

P

P

=

=

=

2

2

2

4

sin

2

π

P

P

P

P

=

=

=

2

2

2

4

cos

1

π

Ad. a) Niewiadome:

3 składowe reakcji H

A

, V

A

, V

B

- ?

Belka statycznie wyznaczalna.

Zestawienie
obciążeń i reakcji

1

x

2

x

Pa/2

P

P/2

P/2

N

T

M

W

M

σ

g

=

A

N

σ

r

=

10 kNm

5 kN

10 kN

τ

1

τ

2

τ

C

2

1

C

90

2

0

0

7,5

[mm]

1

1

,3

8

8

,7

2

0

0

Ad. b) Analiza stanu napręże

Przekrój, w którym naprężenie

wytężonym. W belkach największ

przekroju najbardziej wytężonego decyduje

W rozwiązywanej belce najbardziej wyt

x

1

=a

-

, gdzie moment ma wartość

Poniżej wykonano obliczenia napr

J

x3

=2140 cm

4

, W

3

=214 cm

3

. W przekroju wyst

- zginanie

- ściskanie

Położenie osi obojętnej, x

2

= x

3

=

−

=

x

J

M

o

x

g

red

τ

σ

σ

σ

Obliczenie naprężeń stycznych:

Wykresy naprężeń normalnych

Uwagi: Zginanie ma największy udział w przenoszeniu obci
ś

cinania jest niewielki. Napręż

półkę kształtownika, naprężenie styczne praktycznie w cało

x

3

x

2

C

2

MPa

cm

kN

,

cm

kNcm

W

M

7

,

46

67

4

214

1000

2

3

3

=

=

=

MPa

cm

kN

cm

kN

0

,

3

3

,

0

5

,

33

10

2

2

−

=

−

=

−

=

3,0

46,7

46,7

43,7

49,7

=

x

o

+

MPa

,

cm

kN

cm

cm

cm

kN

25

0

025

,

0

9

2140

43

,

9

13

,

1

9

5

2

4

3

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

MPa

cm

kN

cm

cm

cm

kN

0

,

3

3

,

0

75

,

0

2140

43

,

9

13

,

1

9

5

2

4

3

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

cm

cm

cm

kN

C

0

75

,

0

2140

)

43

,

4

87

,

8

75

,

0

43

,

9

13

,

1

9

(

5

4

3

=

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

cm

kN

M

J

A

N

x

x

o

1000

2140

5

,

33

10

2

3

⋅

−

=

⋅

−

=

ężenia w przekroju najbardziej wytężonym.

ęż

enie ma największą wartość nazywa się przekrojem najbardziej

największy wpływ na wartość naprężenia ma zginanie, o wyborze

ęż

onego decyduje wartość momentu zginającego.

najbardziej wytężony przekrój znajduje się na lewo od punktu

ma wartość M=Pa/2, siła porzeczna T=P/2 i siła normalna

bliczenia naprężeń dla przekroju dwuteowego 200: A =

W przekroju występuje złożony stan obciążenia.

x

o

, obliczono z warunku

σ

red

= 0:

0

=

+

A

N

ych:

σ

g

σ

τ

σ

g

+

σ

τ

normalnych

σ

g

,

σ

r

,

σ

red

=

σ

g

+

σ

r

oraz

τ

na rysunku.

ę

kszy udział w przenoszeniu obciążenia. Wpływ

Naprężenia normalne są przenoszone głównie przez górn

ęż

enie styczne praktycznie w całości jest przeniesione przez

49,7

3,9

[MPa]

o

MPa

MPa

,

cm

kN

9

3

39

,

0

2

=

cm

kNcm

cm

64

,

0

2140

4

−

=

przekrojem najbardziej

ma zginanie, o wyborze

.

na lewo od punktu B,

/2 i siła normalna N = P.

= 33,5 cm

2

,

ąż

enia.

τ

na rysunku.

. Wpływ ściskania i

przenoszone głównie przez górną i dolną

ci jest przeniesione przez środnik.

10 kNm

5 kN

10 kN

2

0

0

Wpływ smukłości belki na warto

Stan naprężenia określono dla trzech

Współczynnik smukłości

α

definiuje si

Do analizy przyjęto przekrój o wysoko

proporcje wysokości i długości

przypadku siły P są przyłożon

Wartości momentów zginających

odpowiednio: a) M = 5 kNm ,

dwuteownika 200. Wartości napr

stycznych zestawiono w tabeli.

h:L

1:20

1:10

1:5

1:2

Wykresy naprężeń normalnych

x

3

x

2

C

a)

b)



α

= 1/10



α

=

1/5

3

+

3,0

4,7

4,7

1,7

7,7

=

x

o

ci belki na wartość naprężeń.

ś

lono dla trzech długości belki: a) L = 2m, b) L = 1m

definiuje się iloraz wysokości przekroju do długoś

L

h

belki

dłługosc

przekroju

wys

=

=

.

α

to przekrój o wysokości h = 20 cm, L = 2a. Szkice belek zachowuj

ś

ci oraz smukłości przedstawiono na rysunku poni

ż

one w środku długości przęsła.

ą

cych M = Pa/2 odpowiadające długościom belek wynosz

, b) M = 2,5 kNm , c) M = 1 kNm . Oblicze

ś

ci naprężeń normalnych od zginania i ściskania oraz napr

stycznych zestawiono w tabeli. N rysunku zestawiono wykresy dla. smukłoś

max

σ

g

[MPa]

σ

r

[MPa]

σ

g

+

σ

r

[MPa]

τ

max



[MPa]

46,7

3,0

49,7

3,9

23,4

3,0

26,4

3,9

11,7

3,0

14,7

3,9

4,7

3,0

7,7

3,9

σ

g

σ

τ

σ

g

+

σ

τ

normalnych

σ

g

,

σ

r

,

σ

red

=

σ

g

+

σ

r

oraz

τ

:

c)

P

P

P

P

P

P

= 1/10

=

α

= 1/2

3,9

[MPa]

1m, c) L = 0,4m.

ci przekroju do długości belki

zkice belek zachowujące

przedstawiono na rysunku poniżej. W każdym

ś

ciom belek wynoszą

Obliczenia wykonano dla

ciskania oraz naprężeń

smukłości 

α

= 1/2 .

τ

4

MPa

cm

kN

cm

kN

A

N

σ

r

7

7

.

0

2

,

14

10

2

2

−

=

−

=

−

=

=

MPa

,

cm

kN

cm

cm

cm

kN

τ

66

0

066

,

0

8

,

5

328

62

,

5

77

,

0

8

,

5

5

2

4

3

1

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

MPa

cm

kN

,

cm

,

kNcm

W

M

σ

g

183

3

18

7

54

1000

2

3

3

=

=

=

=

MPa

,

cm

kN

cm

cm

cm

kN

τ

5

7

75

,

0

51

,

0

328

62

,

5

77

,

0

8

,

5

5

2

4

3

2

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

MPa

,

cm

kN

cm

cm

cm

kN

τ

C

6

9

96

,

0

51

,

0

328

)

62

,

2

23

,

5

51

,

0

62

,

5

77

,

0

8

,

5

(

5

2

4

3

=

=

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

2

1

C

58

5

2

,3

1

2

0

5,1

[mm]

7

,7

Uwagi:

1.

Wartości naprężeń normalnych i stycznych nie zależą od długości przęsła.

2.

Zmniejszanie smukłości powoduje zmniejszanie wartości naprężeń normalnych od

zginania. W przypadku 

α

= 1/2 wartość naprężeń stycznych i normalnych od

ś

ciskania są rzędu naprężeń normalnych od zginania.

3.

Naprężenia styczne i naprężenia normalne od ściskania są istotne dla belek krępych,

dla których wysokość przekroju jest tego samego rzędu co rozpiętość belki.

Ad. c) Projektowanie przekroju poprzecznego belki.

W obliczeniach uwzględniono kryterium wytrzymałościowe,

σ

max

≤

k

d

, gdzie k

d

jest dopuszczalną wartością naprężenia normalnego,

τ

max

≤

k

t

, gdzie k

t

jest dopuszczalną wartością naprężenia stycznego.

Należy sprawdzić niezależnie warunki dla zginania i ściskania.

- zginanie, dobór przekroju na podstawie wartości wskaźnika wytrzymałości:

.

40

25

1000

,

3

2

3

3

cm

m

kN

kNcm

k

M

W

k

W

M

r

r

g

=

=

≥

≤

=

σ

- ściskanie, dobór przekroju na podstawie wielkości pola powierzchni:

.

4

,

0

25

10

,

3

2

cm

m

kN

kN

k

N

A

k

A

N

r

r

r

=

=

≥

≤

=

σ

Z tablic inżynierskich, dobrano dwuteownik 120 , dla którego wskaźnik W

3

= 54,7 cm

3

,

oraz J

x3

= 328 cm

4

, A

1

= 14,2 cm

2

. Pole powierzchni A

1

jest większe od minimalnego pola

obliczonego dla ściskania. Wartości naprężeń:

- naprężenia normalne:

- zginanie

- ściskanie:

- naprężenia styczne

5

58

1

2

0

[mm]

8

7

43,4

MPa

cm

kN

cm

kN

A

N

σ

r

6

,

2

26

.

0

8

,

37

10

2

2

−

=

−

=

−

=

=

.

7

,

8

,

34

,

4

,

7

,

54

6

)

2

(

6

3

2

2

3

cm

h

cm

b

cm

b

b

bh

W

=

=

=

⋅

=

=

Projektowaniu belek polega na doborze przekroju na podstawie wskaźnika wytrzymałości.

Dla porównania dobrano wymiary przekroju prostokątnego, o takim samym wskaźniku

wytrzymałości W

3

= 54,7 cm

3

oraz wysokości h

≈

2b:

Dla obliczonych wymiarów przekroju: A

2

= `37,8 cm

2

, J

x3

= 238,2 cm

4

, naprężenie normalne

σ

g

jest takie jak dla dwuteownika, ze względu na taką samą wartość wskaźnika W

3

:

MPa

cm

kN

cm

cm

cm

kN

b

J

x

S

T

τ

x

9

,

7

789

,

0

37

,

4

2

,

238

2

7

,

8

7

,

8

34

,

4

5

)

(

2

4

3

3

2

2

max

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

Porównując zaprojektowanych przekrojów:

- do wykonania przekroju ekonomicznego

(dwuteownika) potrzeba A

1

:A

2

= 2,7 razy

mniej materiału,

- naprężenia styczne są tego samego rzędu.

- naprężenia normalne (ściskanie) w dwuteowniku

są większe, ale ich wartość jest dużo mniejsza od

naprężeń dopuszczalnych.