1
α
√2
P
C
a
A
B
a
P
P
1
P
2
α
V
B
V
A
H
A
P
C
A
B
P/2
P/2
P
P
Zadanie 11.2.
Belkę swobodnie podpartą obciążono siłą
√2P nachyloną pod kątem 45°.
a) Wyznaczyć reakcje i sporządzić wykresy sił przekrojowych. b) Przeanalizować stan
naprężenia w najbardziej wytężonym przekroju. Jaki wpływ na wartość naprężeń ma
smukłości belki (stosunek długości belki do jej wysokości). c) Zaprojektować przekrój belki
wykonanej ze stali, dobrać profil dwuteownika i obliczyć wymiary przekroju prostokątnego.
Dane: P = 10 kN, a = 2m , k
r
= 250 MPa .
Wyznaczenie reakcji:
ΣX
1
: H
A
–P
1
= 0,
H
A
= P
1,
H
A
= P
ΣX
2
: -V
A
– V
B
+ P
2
= 0, V
A
= P
2
- V
B
,
V
A
= P – P/2 = P/2
Σ M
A
: -P
2
⋅
a + V
B
⋅
2a = 0, V
B
= P
2
/2,
V
B
= P/2
Sprawdzenie:
ΣΣΣΣ
M
B =
-V
A
⋅
2a +P
2
⋅
a = - P/2
⋅
2a + P
⋅
a = 0 .
Funkcje sił przekrojowych:
Przedział AB ,
∈< 0; >:
= − ,
= 0,5 ,
= 1,5
,
:
0 = 0 ,
:
=
.
Przedział CB
,
∈< 0; >:
= 0 ,
= −1,5 ,
= 1,5
,
:
0 = 0 , :
= 1,5
.
x
β
C
M
β
N
β
T
β
0.5P
x
α
A
M
α
N
α
T
α
0.5P
P
P
P
P
P
=
=
=
2
2
2
4
sin
2
π
P
P
P
P
=
=
=
2
2
2
4
cos
1
π
Ad. a) Niewiadome:
3 składowe reakcji H
A
, V
A
, V
B
- ?
Belka statycznie wyznaczalna.
Zestawienie
obciążeń i reakcji
1
x
2
x
Pa/2
P
P/2
P/2
N
T
M
W
M
σ
g
=
A
N
σ
r
=
10 kNm
5 kN
10 kN
τ
1
τ
2
τ
C
2
1
C
90
2
0
0
7,5
[mm]
1
1
,3
8
8
,7
2
0
0
Ad. b) Analiza stanu napręże
Przekrój, w którym naprężenie
wytężonym. W belkach największ
przekroju najbardziej wytężonego decyduje
W rozwiązywanej belce najbardziej wyt
x
1
=a
-
, gdzie moment ma wartość
Poniżej wykonano obliczenia napr
J
x3
=2140 cm
4
, W
3
=214 cm
3
. W przekroju wyst
- zginanie
- ściskanie
Położenie osi obojętnej, x
2
= x
3
=
−
=
x
J
M
o
x
g
red
τ
σ
σ
σ
Obliczenie naprężeń stycznych:
Wykresy naprężeń normalnych
Uwagi: Zginanie ma największy udział w przenoszeniu obci
ś
cinania jest niewielki. Napręż
półkę kształtownika, naprężenie styczne praktycznie w cało
x
3
x
2
C
2
MPa
cm
kN
,
cm
kNcm
W
M
7
,
46
67
4
214
1000
2
3
3
=
=
=
MPa
cm
kN
cm
kN
0
,
3
3
,
0
5
,
33
10
2
2
−
=
−
=
−
=
3,0
46,7
46,7
43,7
49,7
=
x
o
+
MPa
,
cm
kN
cm
cm
cm
kN
25
0
025
,
0
9
2140
43
,
9
13
,
1
9
5
2
4
3
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
MPa
cm
kN
cm
cm
cm
kN
0
,
3
3
,
0
75
,
0
2140
43
,
9
13
,
1
9
5
2
4
3
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
cm
cm
cm
kN
C
0
75
,
0
2140
)
43
,
4
87
,
8
75
,
0
43
,
9
13
,
1
9
(
5
4
3
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
cm
kN
M
J
A
N
x
x
o
1000
2140
5
,
33
10
2
3
⋅
−
=
⋅
−
=
ężenia w przekroju najbardziej wytężonym.
ęż
enie ma największą wartość nazywa się przekrojem najbardziej
największy wpływ na wartość naprężenia ma zginanie, o wyborze
ęż
onego decyduje wartość momentu zginającego.
najbardziej wytężony przekrój znajduje się na lewo od punktu
ma wartość M=Pa/2, siła porzeczna T=P/2 i siła normalna
bliczenia naprężeń dla przekroju dwuteowego 200: A =
W przekroju występuje złożony stan obciążenia.
x
o
, obliczono z warunku
σ
red
= 0:
0
=
+
A
N
ych:
σ
g
σ
τ
σ
g
+
σ
τ
normalnych
σ
g
,
σ
r
,
σ
red
=
σ
g
+
σ
r
oraz
τ
na rysunku.
ę
kszy udział w przenoszeniu obciążenia. Wpływ
Naprężenia normalne są przenoszone głównie przez górn
ęż
enie styczne praktycznie w całości jest przeniesione przez
49,7
3,9
[MPa]
o
MPa
MPa
,
cm
kN
9
3
39
,
0
2
=
cm
kNcm
cm
64
,
0
2140
4
−
=
przekrojem najbardziej
ma zginanie, o wyborze
.
na lewo od punktu B,
/2 i siła normalna N = P.
= 33,5 cm
2
,
ąż
enia.
τ
na rysunku.
. Wpływ ściskania i
przenoszone głównie przez górną i dolną
ci jest przeniesione przez środnik.
10 kNm
5 kN
10 kN
2
0
0
Wpływ smukłości belki na warto
Stan naprężenia określono dla trzech
Współczynnik smukłości
α
definiuje si
Do analizy przyjęto przekrój o wysoko
proporcje wysokości i długości
przypadku siły P są przyłożon
Wartości momentów zginających
odpowiednio: a) M = 5 kNm ,
dwuteownika 200. Wartości napr
stycznych zestawiono w tabeli.
h:L
1:20
1:10
1:5
1:2
Wykresy naprężeń normalnych
x
3
x
2
C
a)
b)
α
= 1/10
α
=
1/5
3
+
3,0
4,7
4,7
1,7
7,7
=
x
o
ci belki na wartość naprężeń.
ś
lono dla trzech długości belki: a) L = 2m, b) L = 1m
definiuje się iloraz wysokości przekroju do długoś
L
h
belki
dłługosc
przekroju
wys
=
=
.
α
to przekrój o wysokości h = 20 cm, L = 2a. Szkice belek zachowuj
ś
ci oraz smukłości przedstawiono na rysunku poni
ż
one w środku długości przęsła.
ą
cych M = Pa/2 odpowiadające długościom belek wynosz
, b) M = 2,5 kNm , c) M = 1 kNm . Oblicze
ś
ci naprężeń normalnych od zginania i ściskania oraz napr
stycznych zestawiono w tabeli. N rysunku zestawiono wykresy dla. smukłoś
max
σ
g
[MPa]
σ
r
[MPa]
σ
g
+
σ
r
[MPa]
τ
max
[MPa]
46,7
3,0
49,7
3,9
23,4
3,0
26,4
3,9
11,7
3,0
14,7
3,9
4,7
3,0
7,7
3,9
σ
g
σ
τ
σ
g
+
σ
τ
normalnych
σ
g
,
σ
r
,
σ
red
=
σ
g
+
σ
r
oraz
τ
:
c)
P
P
P
P
P
P
= 1/10
=
α
= 1/2
3,9
[MPa]
1m, c) L = 0,4m.
ci przekroju do długości belki
zkice belek zachowujące
przedstawiono na rysunku poniżej. W każdym
ś
ciom belek wynoszą
Obliczenia wykonano dla
ciskania oraz naprężeń
smukłości
α
= 1/2 .
τ
4
MPa
cm
kN
cm
kN
A
N
σ
r
7
7
.
0
2
,
14
10
2
2
−
=
−
=
−
=
=
MPa
,
cm
kN
cm
cm
cm
kN
τ
66
0
066
,
0
8
,
5
328
62
,
5
77
,
0
8
,
5
5
2
4
3
1
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
MPa
cm
kN
,
cm
,
kNcm
W
M
σ
g
183
3
18
7
54
1000
2
3
3
=
=
=
=
MPa
,
cm
kN
cm
cm
cm
kN
τ
5
7
75
,
0
51
,
0
328
62
,
5
77
,
0
8
,
5
5
2
4
3
2
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
MPa
,
cm
kN
cm
cm
cm
kN
τ
C
6
9
96
,
0
51
,
0
328
)
62
,
2
23
,
5
51
,
0
62
,
5
77
,
0
8
,
5
(
5
2
4
3
=
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
2
1
C
58
5
2
,3
1
2
0
5,1
[mm]
7
,7
Uwagi:
1.
Wartości naprężeń normalnych i stycznych nie zależą od długości przęsła.
2.
Zmniejszanie smukłości powoduje zmniejszanie wartości naprężeń normalnych od
zginania. W przypadku
α
= 1/2 wartość naprężeń stycznych i normalnych od
ś
ciskania są rzędu naprężeń normalnych od zginania.
3.
Naprężenia styczne i naprężenia normalne od ściskania są istotne dla belek krępych,
dla których wysokość przekroju jest tego samego rzędu co rozpiętość belki.
Ad. c) Projektowanie przekroju poprzecznego belki.
W obliczeniach uwzględniono kryterium wytrzymałościowe,
σ
max
≤
k
d
, gdzie k
d
jest dopuszczalną wartością naprężenia normalnego,
τ
max
≤
k
t
, gdzie k
t
jest dopuszczalną wartością naprężenia stycznego.
Należy sprawdzić niezależnie warunki dla zginania i ściskania.
- zginanie, dobór przekroju na podstawie wartości wskaźnika wytrzymałości:
.
40
25
1000
,
3
2
3
3
cm
m
kN
kNcm
k
M
W
k
W
M
r
r
g
=
=
≥
≤
=
σ
- ściskanie, dobór przekroju na podstawie wielkości pola powierzchni:
.
4
,
0
25
10
,
3
2
cm
m
kN
kN
k
N
A
k
A
N
r
r
r
=
=
≥
≤
=
σ
Z tablic inżynierskich, dobrano dwuteownik 120 , dla którego wskaźnik W
3
= 54,7 cm
3
,
oraz J
x3
= 328 cm
4
, A
1
= 14,2 cm
2
. Pole powierzchni A
1
jest większe od minimalnego pola
obliczonego dla ściskania. Wartości naprężeń:
- naprężenia normalne:
- zginanie
- ściskanie:
- naprężenia styczne
5
58
1
2
0
[mm]
8
7
43,4
MPa
cm
kN
cm
kN
A
N
σ
r
6
,
2
26
.
0
8
,
37
10
2
2
−
=
−
=
−
=
=
.
7
,
8
,
34
,
4
,
7
,
54
6
)
2
(
6
3
2
2
3
cm
h
cm
b
cm
b
b
bh
W
=
=
=
⋅
=
=
Projektowaniu belek polega na doborze przekroju na podstawie wskaźnika wytrzymałości.
Dla porównania dobrano wymiary przekroju prostokątnego, o takim samym wskaźniku
wytrzymałości W
3
= 54,7 cm
3
oraz wysokości h
≈
2b:
Dla obliczonych wymiarów przekroju: A
2
= `37,8 cm
2
, J
x3
= 238,2 cm
4
, naprężenie normalne
σ
g
jest takie jak dla dwuteownika, ze względu na taką samą wartość wskaźnika W
3
:
MPa
cm
kN
cm
cm
cm
kN
b
J
x
S
T
τ
x
9
,
7
789
,
0
37
,
4
2
,
238
2
7
,
8
7
,
8
34
,
4
5
)
(
2
4
3
3
2
2
max
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
Porównując zaprojektowanych przekrojów:
- do wykonania przekroju ekonomicznego
(dwuteownika) potrzeba A
1
:A
2
= 2,7 razy
mniej materiału,
- naprężenia styczne są tego samego rzędu.
- naprężenia normalne (ściskanie) w dwuteowniku
są większe, ale ich wartość jest dużo mniejsza od
naprężeń dopuszczalnych.