Dodatek do obliczeń 
fizykochemicznych 

 

Wzory podstawowych całek i pochodnych, własności 
działań na logarytmach, metoda regresji liniowej i metoda 
iteracyjna, ważniejsze wzory z termodynamiki 
 
Sebastian Śnieżek 
Wrocław 2008 
 

 

 

Podstawowe kroki ułatwiające  
rozwiązywanie zagadnień 
fizykochemicznych 

 

Twierdzenie, że „znam i rozumiem teorię, ale mam problemy z zadaniami” jej po prostu sprzeczne. 

Wzory  opisują  rzeczywistość  i  mamy  je  stosować  do  rozwiązywania  problemów  praktycznych. 

Rozwiązywanie problemów rachunkowych i projektowanie stanowi ostateczny sprawdzian wszelkiej 

teorii.  Musimy  zdać  sobie  sprawę  z  tego,  że  chemia  fizyczna  nie  jest  czystą  teorią  i  dziedziną 

oderwaną  od  życia.  Stanowi  ona  podwaliny  dla  wielu  dyscyplin  takich  jak,  choćby  inżynieria 

chemiczna itp. 

 

Zdaję sobie jednak sprawę z trudności na jakie napotykamy się rozwiązując zadania z chemii 

fizycznej. Dlatego, też warto zastosować przytoczone poniżej reguły: 

1

1. Przed rozpoczęciem wynotuj sobie starannie i w pewnym porządku wszystkie dane. Zastanów się, 

czy  jakieś  dane  –  nie  podane  w  tekście  explicite  –  z  wartościami  liczbowymi  –  nie  wynikają  jednak 
implicite z opisu słownego, np. wartości C

P

 i C

V

 dla gazów doskonałych. Nie zakładaj jednak niczego, 

co jasno nie wynika z treści zadania. Może też występować nadmiar danych. Zastanów się, które są 
ważne i potrzebne. 
2. Wyraźnie powiedz sobie jakich wielkości szukasz. 
3.  Znajdź  lub  przypomnij  sobie  związki  między  wielkościami  danymi  a  szukanymi  (niewiadomymi). 
Wypisz je sobie. Pamiętaj, że nie zawsze będzie tak, że we wzorach, jakimi dysponujesz na początku 
niewiadoma znajduje się po lewej stronie, a wiadome – po prawej. Generalnie kieruj się podstawową 
zasadą  algebry,  że  potrzebujesz  tyle  niezależnych  równań,  ile  masz  niewiadomych.  Na  tym  etapie 
dobrze jest wyobrazić sobie opisany w zadaniu proces. 
4.  Rozwiąż  problem  symbolicznie  (odpowiednio  przekształcając  równania  i  eliminując  niewiadome). 
Jeżeli  są  zbyt  zawikłane,  lub  nie  lubisz  takiego  sposobu,  podziel  sobie  problem  na  etapy.  Jeżeli  są 
możliwe  dwa  (lub  więcej)  sposoby  rozwiązania,  to  –  jeśli  czas  pozwala  –  wykonaj  też  sprawdzenie 
innym sposobem. 
5. Sprawdź, czy wszystkie dane są w zgodnych jednostkach (zgodnych, nie oznacza tylko, że zgodnych 
z SI, nie powinieneś np. dodawać hPa do kPa, czy dm3 do m3) oraz odpowiadających wymaganiom 
wzorów. Po obliczeniu wartości liczbowych podstaw do wzoru jednostki i poskracaj co się da. Jeżeli 
wzór był wyprowadzony prawidłowo – jednostki wyniku powinny być zgodne z oczekiwanymi. 
6. Obliczenia wykonuj najlepiej unikając zapisywania wyników pośrednich na papierze i wpisywania 
ich  z  powrotem  do  kalkulatora  (nawet  jeśli  rozbiłeś  zadanie  na  etapy,  kontynuuj  z  wartością 
pośrednią  jak  pozostała  w  kalkulatorze).  Jeśli  już  musisz  zapisać  wynik  pośredni  i  wprowadzić  go  z 
powrotem,  to  czyń  to  (wprowadzanie)  z  możliwie  największą  ilością  cyfr  znaczących.  Nie  wolno 
zapisywać  wartości  logarytmów  czy  odwrotności  z  dwiema,  czy  nawet  jedną  (zdarza  się!)  cyframi 
znaczącymi!  Jednak  wartości  wyników  podawanych  jako  rozwiązania  powinny  być  zapisywane  z 
sensowną liczbą cyfr znaczących (studiowałeś te zagadnienia także na innych przedmiotach). 
7.  Przyjrzyj  się  otrzymanym  wynikom.  Czy  mają  one  sens,  także  fizykochemiczny?  Nie  przepisuj 
bezmyślnie  z  kalkulatora. Mogłeś  się  przecież  pomylić  przy  wpisywaniu  do  niego  danych.  Nie  może 

                                                            

1

 Wojciech Chrzanowski: O zadnich i problemach obliczeniowych w chemii fizycznej oraz ich rozwiązywaniu 

Politechnika Gdańska 

 

 

wyjść ułamek molowy (czy jakikolwiek inny) mniejszy od zera lub większy od jedności – z definicji! Nie 
może  być  tak,  że  po  wlaniu  do  wody  roztopionego  ołowiu  –  woda  ta  zamarznie!  Nie  może  masa 
molowa  polimeru  –  nawet  bardzo  wielkocząsteczkowego  –  wynosić  tyle  ile  waży  Ziemia  razem  z 
Księżycem! 
 

Matematyka w zadaniach 

Podstawowe wzory matematyczne 
stosowane przy obliczeniach fizykochemicznych   

Studiując  chemię  fizyczną  nie  obejdzie  się  bez  znajomości  matematyki.  Dlatego  też  przy 

rozwiązywaniu  zadań  konieczna  jest  znajomość  rachunku  różniczkowego  i  całkowego  oraz  dobrze 

opanowana  umiejętność  działań  na  logarytmach.  Dlatego  też  poniżej  znajdziecie  wzory  na 

podstawowe różniczki i całki z funkcji elementarnych, jak i też wzory wynikające z  własności funkcji 

logarytmicznych. 

Tab. 1a) Pochodne funkcji elementarnych 

Funkcja 

Pochodna 

Uwagi 

c 

0 

 ∈  

x 

1 

 





 





 

 ∈ /{0,1} 

ax+b 

a 

 





+  + 
 

2ax+b 

 





 

−





 

x

≠ 0 





 





 

 





 





ln  

a

> 0 





 





(1 + ) 

 

ln  

1



 

x

> 0 

log



 

1

 ln 

 

 

√

 

1

2

√



 

x

> 0 

 

Tab. 1b) Podstawowe własności działań na pochodnych: 

Funkcja 

Pochodna 

" ± $ 

"` ± $` 

c

∙ " 

 ∙ "` 

" ∙ $ 

"` ∙ $ + $` ∙ " 

"

$

 

"` ∙ $ − $` ∙ "

$



 (1) 

$(") 

$`(") ∙ "` (2) 

  

(1)

$() ≠ 0 

(2) f(x)

> 0 

 

Tab. 1c) Całki nieoznaczone z funkcji elementarnych: 

Całka nieoznaczona 

Funkcja elementarna 

(

)* 

C 

(

+)* 

ax+C 

(

)*

*

 

ln|| + - 

(

.

*

)* 





+ - 

(

+

*

)* 





ln 

 

(

*

/

)* 

 ≠ 0 

1

 + 1 

0

+ - 

 

 

 

Tab. 1d). Metody rozwiązywania całek: 

a)

 

całkowanie przez podstawnie 

( "[$()] ∙ $`() = ( "(4)54      4 = $(), 54 = $`()5 

 

b)

 

całkowanie przez części 

( "()$`()5 = "()$() − ( "`()$()5 

Tab. 1e). Prawa działań na logarytmach: 

Poniższe prawa obowiązują przy założeniach: b, b

1

, b

2

∈ 

0 

i a, c

∈ 

0

\{1} i m

∈  i n∈N\{0,1} 

1.

 

log



(



∙ 



) = log







+ log







 

2.

 

log



6

7

6

8

= log







− log







 

3.

 

log





9

= : log



 

4.

 

;<=

+

> =

;<=

?

>

;<=

?

+

  

 

Własność  (4)  zasługuje  na  szczególną  uwagę,  z  racji  tego,  że  przy  rozwiązywaniu  wielu  problemów 

rachunkowych  niejednokrotnie  zmuszeni  będziemy  to  zmiany  podstawy  logarytmu.  Wiele  funkcji 

termodynamicznych występuje pod logarytmami naturalnymi lub dziesiętnymi. 

Przykład: 

∆A

°

= −C ln D

EF

 

Chcemy  teraz  to  równanie,  tak  przekształcić  aby  stała  równowagi  występowała  pod  logarytmem 

dziesiętnym. Zatem: 

ln 10 = 2,303 

∆A

°

= −2,303C log D

EH

 

Podobnie postępujemy, kiedy chcemy zamienić logarytm dziesiętny na naturalny, wystarczy wtedy: 

log  = 0,4343 

Algorytmy rozwiązywania zadań 

 

Niejednokrotnie  rozwiązując  zadania  na  ćwiczeniach,  czy  też  sporządzając  sprawozdania           

z laboratorium chemii fizycznej zmuszeni będziemy do wykorzystania jednego z dwóch algorytmów, 

który  pozwoli  nam  uzyskać  szukaną  przez  nas  wartość.  Mam  tutaj  na  myśli:  regresję  liniową  oraz 

metodę  kolejnych  przybliżeń.  Obie  metody  stają  się  bardzo  proste,  jeśli  nasze  kalkulatory 

wyposażone  są  w  takie  funkcje.  Warto  jednak  wiedzieć,  czemu  mają  one  służyć  i  kiedy  należy  je 

wykorzystać. Poniżej na przykładach objaśniono zastosowanie tych metod. 

 

 

1.

 

Regresja liniowa: 

Przykład:  

Dla reakcji uwodnienia etylenu znaleziono doświadczalnie wartości stałych równowag: 

T[K] 

418 

448 

473 

498 

523 

K

p

∙10

2 

6,80 

3,60 

1,62 

1,07 

0,62 

 

Oszacować ciepło reakcji zakładając, że nie zależy od temperatury. 

 

Analizę  powyższego  problemu  należy  zacząć  od  ustalenia  zależności  stałej  równowagi  od 

temperatury. Wyraża to równanie izobary van`t Hoffa: 

JD

K

JC =

∆L

M

°

C

 

Rozdzielając zmienne i nakładając z obu stron całkę otrzymujemy równanie postaci: 

ln D

K

=

−∆L

M

°



1

C + 
NO4

 

Wynika  z    niego,  że  zależność  lnK

p

  od  1/T  jest  liniowa.  Zatem  wystarczy  teraz,  zebrać  dane 

doświadczalne  w  tabeli,  tak  by:  x=1/T,  zaś  y  odpowiadał  lnK

p

.  Następnie  za  pomocą 

odpowiedniego  programu  komputerowego  lub  po  prostu  kalkulatora  wyznaczyć  równie 

prostej. 

x 

1

C [D



] 

0,002392 

0,002392 

0,002392 

0,002392 

0,002392 

y 

ln D

K

 

-2,68825 

-2,68825 

-2,68825 

-2,68825 

-2,68825 

Uzyskaliśmy  dzięki  temu  postać  zależności  logarytmu  ze  stałej  równowagi  od  odwrotności  

temperatury.  Teraz  należy  przyrównać  równanie  prostej  do  całkowej  postaci  równania 

izobary van`t Hoffa. 

ln D

K

=

−∆L

M

°



1

C

+ 
NO4 

      

P

  = 5049 ∙



− 14,71 

Teraz wyraźnie widać, że współczynnik kierunkowy prostej odpowiada 

 

∆T

U°

V

 . Inny sposób 

obliczenia wartości tego stosunku polega na wyznaczeniu tangensa kąta nachylenia stycznej 

do krzywej. Teraz już bez problemu możemy oszacować ciepło reakcji: 

−∆L

M

°

 = 5049 

y = 5049x - 14,71

R² = 0,992

-5,5

-5

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

0,0018

0,0019

0,002

0,0021

0,0022

0,0023

0,0024

0,0025

ln

K

p

1/T  [1/K]  

 

 

∆L

M

°

= −42 

WX

:N

 

 

2.

 

Metoda kolejnych przybliżeń: 

Przykład: 

Obliczyć  rozpuszczalność  SrF

2

  w  czystej  wodzie  jeśli  iloczyn  rozpuszczalności  wynosi  3∙10

-9

. 

Uwzględnić współczynniki aktywności. 

 

W układzie istnieje  równowagowy proces: 

YZ[

(\)

⇌ YZ

(H)

0

+ 2[

(H)



 

Równowagę  termodynamiczną  pomiędzy  osadem,  a  jego  jonami  opisuje  iloczyn 

rozpuszczalności: 

D

\

= ^

:

0

:

⊕

` a

0

^2

:



:

⊕

`



a



= 4 ^

:

:

⨁

`

c

a

±

c

 

Siłę jonową przedstawia wyrażenie: 

d =

1

2 (:(2)



+ 2:(−1)



) = 3: 

Na  podstawie  iloczynu  rozpuszczalności  mogę  wyznaczyć  pierwszą  przybliżoną  wartość 

rozpuszczalności fluorku strontu: 

: = e

D

\

4a

±

c

f

∙ :

⊕

= |gWł5:, ż jOkół
gPmW W4PjNś
m ZójP oO4 o5NO
m|

= 9,086 ∙ 10

r

 :N ∙ W$



 

Znając  pierwszą  przybliżoną  wartość  rozpuszczalności  na  nowo  przeliczam  siłę  jonową                 

i wyznaczam współczynnik aktywności: 

d = 3: = 2,727 ∙ 10

c

 :N ∙ W$



 

Z równania Debeya-Hückla liczę nowy współczynnik aktywności: 

N$a

±

=

−0,509 ∙ 2 ∙ |−1| ∙ s2,727 ∙ 10

c

1 + s2,727 ∙ 10

c

= −0,05609 jmę
 a

±

= 0,8788 

: = e

D

\

4a

±

c

f

∙ :

⊕

= |g NjP: jOkół
gPmWm: W4PjNś
m| = 1,034 ∙ 10

r

 :N ∙ W$



 

Cały cykl obliczeń powtarzamy na nowo, aż wartość współczynnika aktywności  będzie stała: 

d = 3: = 3,102 ∙ 10

c  

:N ∙ W$



 

N$a

±

=

−0,509 ∙ 2 ∙ |−1| ∙ s3,102 ∙ 10

c  

1 + s3,102 ∙ 10

c  

= −0,05370 jmę
 a

±

= 0,8837 

: = e

D

\

4a

±

c

f

∙ :

⊕

= 1,028 ∙ 10

c

 :N ∙ W$



 

d = 3: = 3,084 ∙ 10

c

 :N ∙ W$



 

N$a

±

=

−0,509 ∙ 2 ∙ |−1| ∙ s3,084 ∙ 10

c

1 + s3,084 ∙ 10

c

= −0,5356 jmę
  a

±

= 0,884 

Z  taką  dokładnością  możemy  przyjąć,  że  współczynnik  aktywności  jest  już  stały.  Następnie 

wyliczamy ostatecznie rozpuszczalność fluorku strontu: 

 

 

: = e

D

\

4a

±

c

f

∙ :

⊕

= 1,028 ∙ 10

c

  :N ∙ W$



 

 

Ważniejsze wzory z termodynamiki 

Wszystkie wzory dotyczą gazu doskonałego. 

 

Przemiany gazu 

izotermiczna 

izobaryczna 

izochoryczna 

adiabatyczna 

ciepło 

u = −v 

u = ∆L 

u = ∆w 

u = 0 

praca 

v = −k

xEy

5z 

[1]

v = −C {

|}

}

}

8

}

7

 

[2]v = −k

xEy

5z 

v = ∆w − u 

v = 0 

v = ∆w 

energia 

wewnętrzna 

∆w = 0 

∆w = u + v 

∆w =  ( -

}

5C

~

8

~

7

 

∆w = u 

∆w = ( -

}

5C

~

8

~

7

 

∆w = v 

∆w = -

}

( 5C

~

8

~

7

 

entalpia 

∆L = 0 

∆L = u 

∆L =  ( -

K

5C

~

8

~

7

 

∆L = ∆w + z∆k 

∆L = ( -

K

5C

~

8

~

7

 

∆L = ∆w + ∆kz 

∆L = -

K

( 5C

~

8

~

7

 

entropia 

∆Y =  (

5z

z

}

8

}

7

 

∆Y = (

-

}

5C

C

~

8

~

7

+  (

5z

z

}

8

}

7

 

∆Y = (

-

K

5C

C

~

8

~

7

−  (

5k

k

K

8

K

7

 

∆Y = (

-

K

5C

C

~

8

~

7

−  (

5k

k

K

8

K

7

 

∆Y = (

-

}

5C

C

~

8

~

7

+  (

5z

z

}

8

}

7

 

potencjał 

Hemholtza 

∆[ = −C∆Y 

∆[ = ∆w − ∆CY 

∆[ = u − ∆CY 

∆[ = ∆w − ∆CY 

potencjał 

Gibbsa 

∆A = −C∆Y 

∆A = u − ∆CY 

∆A = ∆L − ∆CY 

∆A = ∆L − ∆CY 

 

[1]proces kwazistatyczny 

[2]proces nieodwracalny