Kolokwium 2. 

1. 

 

sin ⁡(1−𝑐𝑜𝑠𝑥 )

1+𝑐𝑜𝑠𝑥

𝜋

2

0

 𝑑𝑥 

2. 

𝜕𝑓
𝜕𝑥

 𝑥, 𝑦  , 

𝜕𝑓
𝜕𝑦

 𝑥, 𝑦  = ? , 𝑔𝑑𝑦 

a) Z(x,y) = (arcsinx

2

)

ln(y^2+1)

 

b) Z(x,y) = 2

arctg x/y

 

3. Pole 

y = x

2 

, styczna w (1,1) i (-2,4) oraz y=-1 

4.   

a) lim

 𝑥,𝑦 →(0,0)

sin (𝑥,𝑦)

 𝑥

2

+𝑦

2

 

b) lim

 𝑥,𝑦 →(0,0)

𝑥

2

−𝑦

2

𝑥

2

+𝑦

2

 

5. Ciągłośd 

𝑓 𝑥, 𝑦  =  

1 − cos⁡(𝑥 + 𝑦)

 𝑥

2

+ 𝑦

2

,

 𝑥, 𝑦  ≠ (0,0)

0,    𝑥, 𝑦  = (0,0)

  

 

Kolokwium 3. 

1. Zbadad różniczkowalnośd funkcji 

𝑓 𝑥, 𝑦  =  

𝑥 + 𝑦 +

𝑥𝑦

 𝑥

2

+𝑦

2

,

 𝑥, 𝑦  ≠ (0,0)

0,

 𝑥, 𝑦  = (0,0)

  

2. Wyznaczyd gradient funkcji 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑥
𝑦

 w punkcie M(1,1) oraz 

wyznaczyd wersor tego gradientu. 

3. Obliczyd: 

a) lim

 𝑥,𝑦 →(0,0)

1−cos ⁡(𝑥,𝑦)

𝑥𝑦 𝑥

2

+𝑦

2

 

b) lim

 𝑥,𝑦 →(0,0)

𝑥𝑦

𝑥

2

+𝑦

2

 

4. Wyznaczyd pochodną funkcji 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥, 𝑦) w punkcie P(1,1) 

w kierunku dwusiecznej kąta pierwszej dwiartki układu 
współrzędnych. 

5. Zbadad zbieżnośd szeregu  

 

𝑛 + 1

𝑛

2

 ln 𝑛

∞

𝑛=2

 

Wskazówka: 

𝑥+1

𝑥

2

 ln 𝑥

  >  

1

𝑥 ln 𝑥

 dla 𝑥 ≥ 2