Analiza matematyczna 2

Lista zadań

Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas

Lista 1

1. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

(a)

∞

Z

1

dx

x

2

+ x

;

(b)

∞

Z

1

√

x dx

(x + 1)

;

(c)

∞

Z

π

x sin x dx;

(d)

∞

Z

0

arc ctg x dx;

(e)

∞

Z

−∞

dx

x

2

−4x + 13

;

(f)

∞

Z

−∞

xe

−x

dx.

2. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

(a)

∞

Z

4

dx

x (

√

x + 1)

;

(b)

∞

Z

9

dx

√

x + 3

;

(c)

∞

Z

1

x(x + 1) dx

x

4

+ x + 1

;

(d)

∞

Z

−∞

(2

x

+ 1) dx

3

x

+ 1

;

(e)

∞

Z

π

(x + sin x) dx

x

3

;

(f)

∞

Z

2

√

2 + cos x

dx

√

x−1

.

3. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

(a)

∞

Z

1

(

√

x + 1) dx

x (x + 1)

;

(b)

∞

Z

5

x

2

dx

√

x

5

− 3

;

(c)

∞

Z

2



e

1

x

− 1



dx;

(d)

∞

Z

1

sin

2

1

x

dx;

(e)

∞

Z

1

x

2

dx

x

3

−sin x

.

4. (a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y =

1

x

2

+ 4

oraz osią Ox.

(b) Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru D =

(x, y) ∈ R

2

: x ­ 0, 0 ¬ y ¬ e

−x

.

(c) Uzasadnić, że pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji y =

1

x

√

x

(x ­ 1) wokół osi Ox ma

skończoną wartość.

5. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:

(a)

1

Z

0

dx

√

x(x + 1)

;

(b)

e

Z

0

ln x dx

x

;

(c)

0

Z

−1

dx

x(x + 1)

;

(d)

π

Z

π

2

dx

sin x

;

(e)

5

Z

3

2

x

dx

√

2

x

− 8

.

6. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:

(a)

4

Z

0

arc tg x dx

√

x

;

(b)

2

Z

0

e

x

dx

x

3

;

(c)

4

Z

0

dx

x

2

+

√

x

;

(d*)

2

Z

0

dx

√

16 − x

4

.

7. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju:

(a)

1

Z

0

x

3

+ 1

dx

√

x (x

2

+ 1)

;

(b)

π

Z

0

sin

3

x dx

x

4

;

(c)

1

Z

0

(e

x

− 1) dx

√

x

3

;

(d*)

π

Z

π

2

dx

√

sin x

;

(e*)

2

Z

1

dx

x

2

−

√

x

.

8. Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych:

(a)

∞

Z

−∞

x

3

cos x dx

x

2

+ 4

;

(b)

∞

Z

−∞

e

x

dx

e

x

+ 1

;

(c)

∞

Z

−∞

e

−|x+5|

dx;

(d

9

Z

−4

dx

p|x|

;

(e)

1

Z

−1

sin x

x

2

dx.

1

Lista 2

9. Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:

(a)

∞

X

n

=0

 5

6



n

;

(b)

∞

X

n

=1

1

n

2

+ 3n + 2

;

(c)

∞

X

n

=2

n − 1

n!

;

(d)

∞

X

n

=1

1

√

n + 1 +

√

n

.

10. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów:

(a)

∞

X

n

=1

1

n

2

+ 4

;

(b)

∞

X

n

=2

n + 1

n

2

− n

;

(c)

∞

X

n

=2

ln n

n

2

;

(d)

∞

X

n

=1

1

n

√

n + 1

;

(e)

∞

X

n

=0

e

n

e

2n

+ 1

.

11. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:

(a)

∞

X

n

=1

3n + 1
n

3

+ 2

;

(b)

∞

X

n

=1

√

n

2

+ 1

n

2

+ 2

;

(c)

∞

X

n

=1

sin

π

2

n

;

(d)

∞

X

n

=0

2

n

+ e

n

e

n

+ 4

n

;

(e)

∞

X

n

=1

3

n

+ n

n3

n

+ 2

n

.

12. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów:

(a)

∞

X

n

=1

n + 2

√

2n

6

− 1

;

(b)

∞

X

n

=1

n

2

+ 1

n

3

+ 1

;

(c)

∞

X

n

=1

e

n

− 1

3

n

− 1

;

(d)

∞

X

n

=0

4

n

sin 5

−n

.

13. Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność szeregów:

(a)

∞

X

n

=1

2015

n

n!

;

(b)

∞

X

n

=1

e

n

+ 1

n

5

+ 1

;

(c)

∞

X

n

=1

n

2

sin

π

2

n

;

(d)

∞

X

n

=1

n!

n

n

;

(e)

∞

X

n

=1

n

n

π

n

n!

.

14. Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów:

(a)

∞

X

n

=1

(n + 1)

2n

(2n

2

+ 1)

n

;

(b)

∞

X

n

=1

2

n

+ 3

n

3

n

+ 4

n

;

(c)

∞

X

n

=1

3

n

n

n

2

(n + 1)

n

2

;

(d)

∞

X

n

=1

arc cos

n

1

n

2

.

15. Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności sze-
regów uzasadnić podane równości:

(a) lim

n

→∞

n

2015

3

n

= 0;

(b) lim

n

→∞

n

n

(n!)

2

= 0;

(c) lim

n

→∞

n

n

n!

= ∞;

(d*) lim

n

→∞

(3n)!(4n)!
(5n)!(2n)!

= 0.

16. Korzystając z twierdzenia Leibniza uzasadnić zbieżność szeregów:

(a)

∞

X

n

=0

(−1)

n

p

n

2

+ 1 − n



;

(b)

∞

X

n

=0

(−1)

n

2

n

3

n

+ 4

n

;

(c)

∞

X

n

=4

(−1)

n

tg

π
n

;

(d)

∞

X

n

=1

(−1)

n

+1

3

n

n!

.

17. Obliczyć sumy przybliżone szeregów ze wskazaną dokładnością:

(a)

∞

X

n

=1

(−1)

n

+1

n10

n

, 10

−6

;

(b)

∞

X

n

=0

(−1)

n

(2n + 1)!

, 10

−3

.

Lista 3

18. Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną szeregów:

(a)

∞

X

n

=0

(−1)

n

3

n

+ 1

;

(b)

∞

X

n

=2

(−1)

n

√

n

n + 1

;

(c)

∞

X

n

=1



−2n

3n + 5



n

;

(d)

∞

X

n

=2

(−1)

n

n

√

e − 1

;

(e)

∞

X

n

=0

(−2)

n

3

n

+ 1

.

19. Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych:

(a)

∞

X

n

=1

x

n

ne

n

;

(b)

∞

X

n

=1

(5x − 10)

n

;

(c)

∞

X

n

=1

(x + 3)

n

n!

;

(d)

∞

X

n

=1

(2x + 6)

n

3

n

− 2

n

;

(e)

∞

X

n

=1

√

n(x + 1)

n

n + 1

.

20. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:

(a)

5

1 + 2x

;

(b) sin

x

2

;

(c) x

2

e

−x

;

(d)

x

3

16 − x

2

;

(e) sinh x;

(f) cos

2

x.

21. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć pochodne:

(a) f

(50)

(0), f (x) = x

2

cos x;

(b) f

(2015)

(0), f (x) = xe

−x

;

(c) f

(11)

(0), f (x) =

x

3

1 + x

2

;

(d) f

(10)

(0), f (x) = x sin

2

x

2

.

2

22. Wyznaczyć szeregi potęgowe f

′

(x) oraz

x

Z

0

f (t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem:

(a) f (x) =

1

1 + x

3

;

(b) f (x) = sin x

2

;

(c*) f (x) = e

x

2

.

23. Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów:

(a)

∞

X

n

=0

1

(n + 1)3

n

;

(b)

∞

X

n

=2

2n − 1

2

n

;

(c)

∞

X

n

=1

n(n + 1)

5

n

.

24. Obliczyć całki oznaczone ze wskazaną dokładnością:

(a)

1

Z

0

e

x

2

dx, 0.001;

1

Z

0

sin x

2

dx, 0.0001.

Lista 4

25. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne funkcji:

(a) f (x, y) =

y

y − x

2

;

(b) f (x, y) =

r y − 2

x + 1

;

(c) f (x, y) =

x

2

y

p4 − x

2

− y

2

;

(d) f (x, y) = ln

x

2

+ y

2

− 9

16 − x

2

− y

2

;

(e) g(x, y, z) =

√

x +

√

2 − z;

(f) g(x, y, z) = arc cos x

2

+ y

2

+ z

2

− 2

.

26. Naszkicować wykresy funkcji:

(a) f (x, y) = 1 −

px

2

+ y

2

;

(b) f (x, y) =

p3 + 2x − x

2

− y

2

;

(c) f (x, y) = x

2

− 2x + y

2

+ 2y + 3;

(d) f (x, y) = sin y;

(e) f (x, y) = x

2

− 1;

(f) f (x, y) = 1 − |x|.

* 27. Obliczyć granice:

(a)

lim

(x,y)→(0,0)

sin x

4

− y

4

x

2

+ y

2

; (b)

lim

(x,y)→(0,0)

1 − cos x

2

+ y

2

(x

2

+ y

2

)

2

; (c)

lim

(x,y)→(0,0)

xy

2

x

2

+ y

2

; (d)

lim

(x,y)→(0,0)

x

2

+ y

2

cos

1

xy

.

28. Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu f

x

, f

y

funkcji f i pochodne cząstkowe

g

x

, g

y

, g

z

funkcji g we wskazanych punktach:

(a) f (x, y) =

x

2

y

, (0, 1);

(b) f (x, y) =

px

6

+ y

6

, (0, 0);

(c) g(x, y, z) =

x

2

+ z

y

, (0, 1, 2).

29. Obliczyć pochodne cząstkowe f

x

, f

y

funkcji f i pochodne cząstkowe g

x

, g

y

, g

z

funkcji g:

(a) f (x, y) =

x

2

+ y

2

xy

;

(b) f (x, y) = arc tg

1 − xy

x + y

;

(c) f (x, y) = e

cos x

y

;

(d) f (x, y) = y

px

2

+ y

2

;

(e) f (x, y) = ln



x +

px

2

+ y

2



;

(f) g(x, y, z) = x

2

+

xz

y

+ yz

3

;

(g) g(x, y, z) =

x

x

2

+ y

2

+ z

2

;

(h) g(x, y, z) = cos(x sin(y cos z));

(i) g(x, y, z) =

r

x

2

+

q

y

2

+

p

z

2

+ 1.

Lista 5

* 30. Sprawdzić, że funkcja f spełnia wskazane równanie:

(a) f (x, y) = ln x

2

+ xy + y

2

,

xf

x

+ yf

y

= 2;

(b) f (x, y) =

√

x sin

y
x

,

xf

x

+ yf

y

=

f

2

.

31. Obliczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu f

xx

, f

xy

, f

yx

, f

yy

funkcji f i pochodne cząstkowe g

xx

, g

xy

,

g

xz

, g

yx

, g

yy

, g

yz

, g

zx

, g

zy

, g

zz

funkcji g i sprawdzić, że pochodne cząstkowe mieszane są równe:

(a) f (x, y) = cos x

2

+ y

2

;

(b) f (x, y) = ye

xy

;

(c) f (x, y) = x

2

+

y

3

x

;

(d) f (x, y) = y ln

x
y

;

(e) g(x, y, z) =

y

√

1 + x

2

+ z

2

;

(f) g(x, y, z) = ln x + y

2

+ z

3

+ 1

.

3

32. Obliczyć pochodne cząstkowe:

(a) h

xyy

,

h(x, y) = sin xy;

(b) h

yyxy

,

h(x, y) =

x + y
x − y

;

(c) h

xyz

,

h(x, y, z) =

x

2

y

3

z

.

33. Sprawdzić, że funkcje:

(a) z = arc tg

y
x

;

(b) z = x +

r

x
y

;

(c) z = x + ln



1 +

y
x



;

(d) z = x +

√

xy

spełniają równanie

x

2

z

xx

+ 2xyz

xy

+ y

2

z

yy

= 0, (x, y > 0).

34. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu:

(a) z = x

2

py + 1, (x

0

, y

0

, z

0

) = (1, 3, z

0

);

(b) z = e

x

+2y

,

(x

0

, y

0

, z

0

) = (2, −1, z

0

);

(c) z =

arc sin x

arc cos y

,

(x

0

, y

0

, z

0

) =

−

1
2

,

√

3

2

, z

0

!

;

(d) z = x

y

,

(x

0

, y

0

, z

0

) = (2, 4, z

0

).

35. (a) Na wykresie funkcji z = arc tg

x
y

wskazać punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do

płaszczyzny x + y − z = 5.
(b) Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = x

2

+ y

2

, która jest prostopadła do prostej

x = t, y = t, z = 2t, t ∈ R.

Lista 6

36. (a) Wysokość i promień podstawy walca zmierzono z dokładnością ±1 mm. Otrzymano h = 350 mm oraz
r = 145 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość V tego walca?

(b) Krawędzie prostopadłościanu mają długości a = 3 m, b = 4 m, c = 12 m. Obliczyć w przybliżeniu, jak
zmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o 2 cm.

(c) Oszacować błąd względny δ

V

objętości prostopadłościamu V , jeżeli pomiaru jego boków x, y, z dokonano z

dokładnością odpowiednio ∆

x

, ∆

y

, ∆

z

.

* 37. Sprawdzić, że podane funkcje spełniają wskazane równania:

(a) z = f x

2

+ y

2

,

yz

x

− xz

y

= 0;

(b) z = xf (sin(x − y)) ,

z

x

+ z

y

=

z

x

;

(c) z = x

n

f



y
x



,

xz

x

+ yz

y

= nz (n ∈ N);

(d*) z =

x
y

g(x) + h



y
x



,

xyz

xy

+ y

2

z

yy

+ xz

x

+ 2yz

y

= 0.

38. Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierun-
kach:

(a) f (x, y) =

px

2

+ y

2

, (x

0

, y

0

) = (0, 0), v =

√

3

2

,

1
2

!

;

(b) f (x, y) =

3

√

xy, (x

0

, y

0

) = (1, 0), v =

√

2

2

,

√

2

2

!

;

(c) g(x, y, z) = x

2

+ yz, (x

0

, y

0

, z

0

) = (0, 0, 0), v =

 3

13

,

4

13

,

12
13



.

39. Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:

(a) f (x, y) = x

2

+ y

2

, (x

0

, y

0

) = (−3, 4), v =

 12

13

,

5

13



;

(b) f (x, y) = x −

y

x

2

+ y, (x

0

, y

0

) = (1, 1), v =

 3

5

, −

4
5



;

(c) g(x, y, z) = e

xyz

, (x

0

, y

0

, z

0

) = (−1, 1, −1), v =

1
2

, −

3
4

,

√

3

4

!

.

40. (a) Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = y − x

2

+ 2 ln(xy). w punkcie



−

1
2

, −1



w kierunku

wersora v tworzącego kąt α z dodatnim zwrotem osi Ox. Dla jakiego kąta α pochodna ta ma wartość 0, a dla

4

jakiego przyjmuje wartość największą?
(b) Wyznaczyć wersory v, w kierunku których funkcja f (x, y) =

√

e

x

x + y

2

w punkcie (0, 2) ma pochodną

kierunkową równą 0.

Lista 7

41. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:

(a) f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 51x − 24y;

(b) f (x, y) = xe

−y

+

1

x

+ e

y

;

(c) f (x, y) = xy

2

(12 − x − y) (x, y > 0);

(d) f (x, y) = y

√

x − y

2

− x + 6y;

(e) f (x, y) = x

3

+ y

3

− 3xy;

(f) f (x, y) =

8

x

+

x

y

+ y (x, y > 0);

(g) f (x, y) = xy + ln y + x

2

;

(h) f (x, y) = 4xy +

1

x

+

1
y

;

(i) f (x, y) = x − y

2

2

+ y − x

2

2

.

42. Wyznaczyć ekstrema podanych funkcji, których argumenty spełniają wskazane warunki:

(a) f (x, y) = x

2

+ y

2

, 3x + 2y = 6;

(b) f (x, y) = x

2

+ y

2

− 8x + 10, x − y

2

+ 1 = 0;

(c) f (x, y) = x

2

y − ln x, 8x + 3y = 0;

(d) f (x, y) = 2x + 3y, x

2

+ y

2

= 1.

43. Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach:

(a) f (x, y) = 2x

3

+ 4x

2

+ y

2

− 2xy, D =

(x, y) ∈ R

2

: x

2

¬ y ¬ 4

;

(b) f (x, y) = x

2

+ y

2

− 6x + 4y, D =

(x, y) ∈ R

2

: x + y ¬ 4, 2x + y ¬ 6, x ­ 0, y ­ 0

;

(c) f (x, y) = x

2

+ y

2

, D =

(x, y ∈ R

2

: |x| + |y| ¬ 2

;

(d) f (x, y) = xy

2

+ 4xy − 4x, D =

(x, y) ∈ R

2

: −3 ¬ x ¬ 3, −3 ¬ y ¬ 0

;

(e) f (x, y) = x

4

+ y

4

, D =

(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

¬ 9

.

44. (a) W trójkącie o wierzchołkach A = (−1, 5), B = (1, 4), C = (2, −3) znaleźć punkt M = (x

0

, y

0

), dla

którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza.

(b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V ,
aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza?

(c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi:

k :

 x + y − 1 = 0,

z + 1

= 0,

l :

 x − y + 3 = 0,

z − 2

= 0.

(d) Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 216 m

3

. Do budowy ścian magazynu używane są płyty

w cenie 30 zł/m

2

, do budowy podłogi w cenie 40 zł/m

2

, a sufitu w cenie 20 zł/m

2

. Znaleźć długość a, szerokość

b i wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy.
(f) Firma produkuje drzwi wewnętrzne i zewnętrzne w cenach zbytu odpowiednio 500 zł i 2000 zł za sztukę.
Koszt wyprodukowania x sztuk drzwi wewnętrznych i y zewnetrznych wynosi

K(x, y) = x

2

− xy + y

2

[zł].

Ile sztuk drzwi każdego rodzaju powinna wyprodukować firma, aby osiągnąć największy zysk?

Lista 8

45. Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach:

(a)

ZZ

R

x + xy − x

2

− 2y

dxdy, R = [0, 1] × [0, 1]; (b)

ZZ

R

dxdy

(x + y + 1)

3

, R = [0, 2] × [0, 1];

(c)

ZZ

R

(x sin xy) dxdy, R = [0, 1] × [π, 2π];

(d)

ZZ

R

e

2x−y

dxdy, R = [0, 1] × [−1, 0].

46. Całkę podwójną

ZZ

D

f (x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograniczony jest krzywymi o

równaniach:

(a) y = x

2

, y = x + 2;

(b) x

2

+ y

2

= 4, y = 2x − x

2

, x = 0 (x, y ­ 0);

(c) x

2

− 4x + y

2

+ 6y − 51 = 0;

(d) x

2

− y

2

= 1, x

2

+ y

2

= 3 (x < 0).

5

47. Obliczyć całki iterowane:

(a)

2

Z

1

dx

x

2

Z

x

y

x

2

dy;

(b)

4

Z

1

dx

2x

Z

x

x

2

√

y − x dy;

(c)

2

Z

−2

dx

√

4−x

2

Z

0

x

3

+ y

3

dy;

(d)

3

Z

0

dy

y

Z

0

py

2

+ 16 dx.

Narysować obszary całkowania.

48. Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w całkach:

(a)

1

Z

−1

dx

|x|

Z

0

f (x, y) dy;

(b)

1

Z

−1

dx

0

Z

−

√

1−x

2

f (x, y) dy;

(c)

4

Z

0

dx

2

√

x

Z

√

4x−x

2

f (x, y) dy;

(d)

√

2

Z

−

√

2

dy

y

2

2

Z

y

2

−1

f (x, y) dx;

(e)

π

Z

π

2

dx

sin x

Z

cos x

f (x, y) dy;

(f)

e

Z

1

dx

1

Z

ln x

f (x, y) dy.

49. Obliczyć całki po obszarach normalnych ograniczonych wskazanymi krzywymi:

(a)

ZZ

D

xy

2

dxdy, D : y = x, y = 2 − x

2

;

(b)

ZZ

D

x

2

y dxdy, D : y = −2, y =

1

x

, y = −

√

−x;

(c)

ZZ

D

e

x

y

dxdy, D : y =

√

x, x = 0, y = 1;

(d)

ZZ

D

xy + 4x

2

dxdy, D : y = x + 3, y = x

2

+ 3x + 3;

(e)

ZZ

D

x

2

e

xy

dxdy, D : y = x, y = 1, x = 0;

(f)

ZZ

D

(xy + x) dxdy, D : x = 0, y = −1, y = 3 − x

2

(x ­ 0);

(g)

ZZ

D

e

x

2

dxdy, D : y = 0, y = 2x, x =

√

ln 3;

(h)

ZZ

D

(2x − 3y + 2) dxdy, D : y = 0, y = π, x = −1, x = sin y.

* 50. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:

(a)

ZZ

D

min(x, y) dxdy, D = [0, 1]×[0, 2];

(b)

ZZ

D

⌊x + y⌋ dxdy, D = [0, 2]×[0, 2];

(c)

ZZ

D

|x − y| dxdy, D =

(x, y) ∈ R

2

: x ­ 0, 0 ¬ y ¬ 3 − 2x

;

(d)

ZZ

D

sgn x

2

− y

2

+ 2

dxdy, D = (x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

¬ 4

.

Uwaga. Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei ⌊u⌋ oznacza część całkowitą liczby u.

51. Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach:

(a) f (x, y) = sin x cos y, D = [0, π] ×

h

0,

π

2

i

;

(b) f (x, y) = x + y, D : 0 ¬ y ¬ π, 0 ¬ x ¬ sin y.

* 52. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:

(a)

ZZ

D

(x + y)

2

(x − y)

3

dxdy, D : x + y = −1, x + y = 1, x − y = 1, x − y = 3;

(b)

ZZ

D

dxdy

y

, D : y = x, y = 2x, y = −

1
2

x + 1, y = −2x + 4;

(c)

ZZ

D

xy dxdy, D : xy = 1, xy = 2, y = x

2

, y = 3x

3

;

(d*)

ZZ

D

x

4

− y

4

dxdy, D : x

2

+ y

2

= 3, x

2

+ y

2

= 5, x

2

− y

2

= 1, x

2

− y

2

= 2 (x ­ 0, y ­ 0).

Lista 9

53. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:

6

(a)

ZZ

D

xy dxdy, D : x

2

+ y

2

¬ 1,

x

√

3

¬ y ¬

√

3x;

(b)

ZZ

D

xy

2

dxdy, D : x ­ 0, 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 2;

(c)

ZZ

D

y

2

e

x

2

+y

2

dxdy, D : x ­ 0, y ­ 0, x

2

+ y

2

¬ 1;

(d)

ZZ

D

x

2

dxdy, D : x

2

+ y

2

¬ 2y;

(e)

ZZ

D

x

2

+ y

2

dxdy, D : y ­ 0, y ¬ x

2

+ y

2

¬ x;

(f)

ZZ

D

y dxy, D : x

2

+ y

2

¬ 2x (y ¬ 0).

Obszar D naszkicować we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych.

54. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:

(a) y

2

= 4x, x + y = 3, y = 0 (y ­ 0);

(b) x

2

+ y

2

− 2y = 0, x

2

+ y

2

− 4y = 0;

(c) x + y = 4, x + y = 8, x − 3y = 0, x − 3y = 5;

(d) x

2

+ y

2

= 2y, y =

√

3|x|.

55. Obliczyć objętości brył ograniczonych powierzchniami:

(a) y = z, y = 2x, y = 2, z = 0, z = y;

(b) x

2

+ y

2

+ z

2

= 4, z = 1 (z ­ 1);

(c) x

2

+ y

2

− 2y = 0, z = x

2

+ y

2

, z = 0;

(d) z = 5 − x

2

+ y

2

, x = 0, y = 0, x + y = 1, z = 0;

(e*) (x − 1)

2

+ (y − 1)

2

= 1, z = xy, z = 0;

(f*) 2z = x

2

+ y

2

, y + z = 4.

56. Obliczyć pola płatów:

(a) z = x

2

+ y

2

, x

2

+ y

2

¬ 1; (b) x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

, x

2

+ y

2

− Rx ¬ 0, z ­ 0; (c) z =

px

2

+ y

2

, 1 ¬ z ¬ 2.

57. Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych:
(a) D =

(x, y) ∈ R

2

: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x

, σ(x, y) = x;

(b) D =

(x, y) ∈ R

2

: 1 ¬ x

2

+ y

2

¬ 4, y ­ 0

, σ(x, y) = |x|.

58. Znaleźć położenia środków masy obszarów jednorodnych:
(a) D =

(x, y) ∈ R

2

: 0 ¬ y ¬ 4 − x

2

;

(b) D =

(x, y) ∈ R

2

: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin

2

x

;

(c) D =

(x, y) ∈ R

2

: 0 ¬ x ¬ 1, |y| ¬ e

x

;

(d) D — trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości h;
(e) D — trójkąt równoboczny o boku 2a, do którego dołączono półkole o promieniu a;
(f) D — kwadrat o boku 1, z którego wycięto półkole o średnicy a.

59. Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi:
(a) D =

(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

¬ R

2

, y ­ 0

, oś Ox, przyjąć σ(x, y) =

px

2

+ y

2

;

(b) D =

(x, y) ∈ R

2

: 0 ¬ y ¬ 1 − x

2

, oś symetrii obszaru, przyjąć σ(x, y) = x

2

;

(c) D =

(x, y) ∈ R

2

: 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x

, oś Ox, przyjąć σ(x, y) = x;

(d) D — jednorodny kwadrat o masie M i boku a, przekątna kwadratu;
(e) D — jednorodny trójkat równoboczny o masie M i boku a, oś symetrii.

Lista 10

60. Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach:

(a)

ZZ

U

Z

x dxdydz

yz

, U = [1, 2] × [1, e] × [1, e];

(b)

ZZ

U

Z

(x + y + z) dxdydz, U = [1, 2] × [2, 3] × [3, 4];

(c)

ZZ

U

Z

sin x sin(x + y) sin(x + y + z) dxdydz, U = [0, π] × [0, π] × [0, π];

(d)

ZZ

U

Z

(x + y)e

x

+z

dxdydz, U = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].

7

61. Całkę potrójną z funkcji g(x, y, z) po obszarze U zamienić na całki iterowane, jeżeli U jest ograniczony
powierzchniami o podanych równaniach:

(a) z = 2

px

2

+ y

2

, z = 6;

(b) x

2

+ y

2

+ z

2

= 25, z = 4, (z ­ 4);

(c) z = x

2

+ y

2

, z =

p20 − x

2

− y

2

.

* 62. Narysować obszar całkowania i następnie zmienić kolejność całkowania:

(a)

1

Z

0

dx

2−2x

Z

0

dy

3−3x−

3
2

y

Z

0

f (x, y, z) dz;

(b)

2

Z

−2

dx

0

Z

−

√

4−x

2

dy

√

4−x

2

−y

2

Z

−

√

4−x

2

−y

2

f (x, y, z) dz;

(c)

3

Z

0

dz

√

z

Z

−

√

z

dx

√

z

−x

2

Z

−

√

z

−x

2

f (x, y, z) dy;

(d)

1

Z

0

dx

√

1−x

2

Z

0

dy

1

Z

x

2

+y

2

f (x, y, z) dz.

63. Obliczyć całki potrójne z podanych funkcji po wskazanych obszarach:
(a) g(x, y, z) = e

x

+y+z

, U : x ¬ 0, −x ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ −x;

(b) g(x, y, z) =

1

(3x+2y +z +1)

4

, U : x ­ 0, y ­ 0, 0 ¬ z ¬ 1−x−y;

(c) g(x, y, z) = x

2

+ y

2

, U : x

2

+ y

2

¬ 4, 1 − x ¬ z ¬ 2 − x;

(d) g(x, y, z) = x

2

y

2

, U : 0 ¬ x ¬ y ¬ z ¬ 1.

* 64. Stosując odpowiednią zamianę zmiennych obliczyć całki potrójne:

(a)

ZZ

U

Z

x(x + y)

2

(x + y + z)

3

dxdydz, U jest obszarem ograniczonym przez płaszczyzny: x = 0, x = 1, x + y = 1,

x + y = 2, x + y + z = 2, x + y + z = 3;

(b)

ZZ

U

Z



y
x



2

dxdydz, U jest obszarem ograniczonym przez powierzchnie: y = x, y = 2x, xy = 1, xy = 4,

z = y + 2, z = y + 3, x > 0;

(c*)

ZZ

U

Z

x

2

+ y

2

dxdydz, U jest torusem, tj. bryłą powstałą z obrotu wokół osi Oz koła (x − R)

2

+ z

2

¬ r

2

,

y = 0, 0 < r ¬ R.

Lista 11

65. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach:

(a)

ZZ

U

Z

x

2

+ y

2

+ z

2

2

dxdydz, U : x

2

+ y

2

¬ 4, 0 ¬ z ¬ 1;

(b)

ZZ

U

Z

xyz dxdydz, U :

px

2

+ y

2

¬ z ¬

p1 − x

2

− y

2

;

(c)

ZZ

U

Z

x

2

+ y

2

dxdydz, U : x

2

+ y

2

+ z

2

¬ R

2

, x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 2Rz;

(d)

ZZ

U

Z

(x + y + z) dxdydz, U : x

2

+ y

2

¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2 − x − y.

66. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach:

(a)

ZZ

U

Z

dxdydz

px

2

+ y

2

+ z

2

, U : 4 ¬ x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 9;

(b)

ZZ

U

Z

x

2

+ y

2

dxdydz, U :

px

2

+ y

2

¬ z ¬

p1 − x

2

− y

2

;

(c)

ZZ

U

Z

z

2

dxdydz, U : x

2

+ y

2

+ (z − R)

2

¬ R

2

(R > 0);

8

(d)

ZZ

U

Z

x

2

dxdydz, U : x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 4x.

67. Obliczyć objętości obszarów U ograniczonych podanymi powierzchniami:

(a) x

2

+ y

2

= 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5;

(b) x = −1, x = 2, z = 4 − y

2

, z = 2 + y

2

;

(c) z =

1

1 + x

2

+ y

2

, z = 0, x

2

+ y

2

= 1;

(d) x

2

+ y

2

+ z

2

= 2, y = 1 (y ­ 1).

68. Obliczyć masy obszarów o zadanych gęstościach objętościowych:
(a) U = [0, a] × [0, b] × [0, c], γ(x, y, z) = x + y + z oraz a, b, c > 0;
(b) U : x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 9, γ(x, y, z) = x

2

+ y

2

+ z

2

.

69. Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
(a) U : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1 − x, 0 ¬ z ¬ 1 − x;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H;

(c) U : x

2

+ y

2

¬ z ¬

p2 − x

2

− y

2

.

70. Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie M :
(a) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca;
(b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka;
(c) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem średnicy podstawy.

Lista 12

71. Korzystając z definicji obliczyć transformaty Laplace’a funkcji:

(a) 2t − 1;

(b) sin 2t;

(c) t

2

;

(d) te

−t

;

(e) e

2t

cos 2t;

(f) sinh t;

(g)

y

t

1

y = f (t)

1

(h)

y

t

1

2

y = g(t)

1

(i)

y

t

1

y = h(t)

1

72. Wyznaczyć funkcje ciągłe, których transformaty Laplace’a mają postać:

(a)

1

s + 2

;

(b)

s

s

2

+ 4s + 5

;

(c)

1

s

2

− 4s + 3

;

(d)

s + 2

(s + 1)(s − 2) (s

2

+ 4)

;

(e)

s

2

+ 1

s

2

(s

2

− 1)

2

;

(f)

s + 9

s

2

+ 6s + 13

;

(g)

2s + 3

s

3

+ 4s

2

+ 5s

;

(h)

3s

2

(s

3

− 1)

2

;

(i)

e

−s

s + 1

.

73. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych
współczynnikach:

(a) y

′

− y = 1, y(0) = 1;

(b) y

′

− 2y = sin t, y(0) = 0;

(c) y

′′

+ y

′

= 0, y(0) = 1, y

′

(0) = 1;

(d) y

′′

+ 3y

′

= e

−3t

, y(0) = 0, y

′

(0) = −1;

(e) y

′′

− 2y

′

+ 2y = sin t, y(0) = 0, y

′

(0) = 1;

(f) y

′′

− 2y

′

+ y = 1 + t, y(0) = 0, y

′

(0) = 0;

(g) y

′′

+ 4y

′

+ 4y = t

2

, y(0) = 0, y

′

(0) = 0;

(h) y

′′

+ 4y

′

+ 13y = te

−t

, y(0) = 0, y

′

(0) = 2.

* 74. Korzystając z własności przekształcenia Laplace’a obliczyć transformaty funkcji:

(a) sin

4

t;

(b) cos 4t cos 2t;

(c) t

2

cos t;

(d) t sinh 3t;

(e) te

t

cos t;

(f) e

3t

sin

2

t;

(g) 1(t − 2) sin(t − 2);

(h) 1(t − 1)e

t

−1

.

9

* 75. Obliczyć sploty par funkcji:

(a) f (t) = e

t

, g(t) = e

2t

;

(b) f (t) = cos 3t, g(t) = cos t;

(c) f (t) = 1(t), g(t) = sin t;

(d) f (t) = e

t

, g(t) = t.

* 76. Korzystając ze wzoru Borela wyznaczyć funkcje, których transformaty dane są wzorami:

(a)

1

(s + 1)(s + 2)

;

(b)

1

(s − 1)

2

(s + 2)

;

(c)

1

s

2

(s

2

+ 1)

;

(d)

s

(s

2

+ 1)

2

.

Lista 13

77. Korzystając z definicji wyznaczyć transformaty Fouriera funkcji:

(a) f (t) =

(

sin t

dla

|t| ¬ π,

0

dla

|t| > π;

(b) f (t) =











cos t

dla |t| ¬

π

2

,

0

dla |t| >

π

2

;

(c) f (t) =

(

t

dla |x| ¬ 1,

0

dla |x| > 1;

(d) f (t) =

(

t

2

dla

|t| ¬ 1,

0 dla

|t| > 1;

(e) f (t) = e

−|t|

;

(f*) f (t) = e

−at

2

, a 6= 0.

Wskazówka. (f*) Wykorzystać równość

∞

Z

−∞

e

−at

2

dt =

r π

a

.

78. Niech c, h ∈ R oraz δ > 0. Wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji

y

t

c

c −

δ
2

c +

δ
2

h

79. Pokazać, że jeżeli F {f(t)} = ˆ

f (ω), to:

(a) F {f(t) cos αt} =

1
2

h ˆ

f (ω − α) + ˆ

f (ω + α)

i

;

(b) F {f(t) sin αt} =

1

2i

h ˆ

f (ω − α) − ˆ

f (ω + α)

i

.

80. Korzystając z własnści transformaty Fouriera oraz z wyników poprzednich zadań obliczyć transformaty
funkcji:

(a) f (t) = e

−3|t−1|

;

(b) f (t) = te

−|t|

;

(c) f (t) = e

−4t

2

−4t−1

;

(d) f (t) =

(

cos

t

2

dla

|t| ¬ π,

0

dla

|t| > π;

(e) f (t) =

(

2 cos t

dla

|t| ¬ π,

0

dla

|t| > π;

(f) f (t) = [1(t) − 1(t − 4)] · t;

(g) f (t) = 1(t) · e

−t

cos t;

(h) f (t) = e

−|t|

cos

t

2

;

(i) f (t) = e

−|t|

sin 2t.

Uwaga. 1(t) =



0 dla

t < 0,

1 dla

t ­ 0

– funkcja Heaviside’a.

* 81. Korzystając z zadania 80 oraz transformaty Fouriera pochodnej wyznaczyć transformaty funkcji:

(a)

y

t

−2

2

2

(b)

y

t

−2 −1

2

1

2

* 82. W obwodzie RLC, napięcie x(t) jest sygnałem wejściowym, a napięcie y(t) sygnałem wyjściowym (rys.).

x(t)

y(t)

R

L

C

+

−

+

−

Wyznaczyć trnsformatę Fouriera sygnału wyjściowego y(t).

10

83. Obliczyć transformatę Fouriera funkcji t

2

f

′′

(t) + 2f

′′′

(t), jeżeli ˆ

f (ω) =

1

1 + ω

2

.

84. Wyznaczyć funkcje, których transformaty Fouriera mają postać:

(a)

1

1 + 2iω

;

(b)

1

4 + ω

2

;

(c)

e

2iω

1 + iω

;

(e)

sin ω cos ω

2ω

;

(f)

1

(1 + ω

2

) (4 + ω

2

)

;

85. Obliczyć sploty podanych par funkcji i ich transformaty Fouriera:

(a) f (t) = g(t) = 1(t) − 1(t − 1),

(b) f (t) = 1(t) − 1(t − 1), g(t) = 1(t + 1) − 1(t),

(c) f (t) = 1(t) · e

−t

, g(t) = 1(t) · e

−2t

,

(d) f (t) = g(t) = e

−t

2

.

11