ep do analizy matematycznej, Matematyka I i II 1
Rachunek zdań i rachunek zbiorów
1. Sprawdzić, czy nast ¾
epuj ¾
ace schematy zdań s ¾
a tautologiami:
(a) [(p ^ q) ) p] _ q;
(b) (p ^ q) ) (p _ q) ;
(c) (p ) q) , [(p ^ q) , p] ;
(d) [p _ (q ^ r)] , [(p _ q) ^ (p ^ r)] ; (e) [(p ) q) ^ (q ) p)] , (p , q) ;
(f) [[(p _ r) , q] ^ r] ) ( p _ q) ;
(g) [(p ) q) ^ p] ) q:
2. Wyznaczyć wykres funkcji zdaniowej ', której zakresem zmienności jest zbiór X:
(a) ' (x)
sin
x = 1 ;
X = N;
2
x 3
(b) ' (x)
1
> 4 ;
X = Z;
2
(c) ' (x)
x2
x
2 < 0 ;
X = R;
(d) ' (x)
(jx
1j
2 ) x > 0) ;
X = R;
(e) ' (x)
(cos x < 0 _ sin x > 0) ;
X = R;
p
(f) ' (x)
x2 + 2x + 1 = x + 1 , x > 0 ;
X = R;
(g) ' (x)
31 x > 1 ^ x2
1 ;
X = R:
3. Wyznaczyć A [ B; A \ B; A
B; B
A; A0; B0, gdzie
(a) A = [ 3; 2] ;
B = ( 1; 2) ;
(b) A = fx 2 R : jxj
1g;
B = ( 2; 1];
(c) A = [0; 1);
B = fx 2 R : x2
4g;
(d) A = fx 2 R : x2 + x
6 > 0g;
B = f 3; 2; 4g:
4. Wyznaczyć i przedstawić gra…cznie zbiór (a) f 1; 2g
f 1; 3; 4g;
(b) (0; 1)
f1; 3g;
(c) Z
[ 1; 2);
(d) ( 2; 1)
[ 1; 2];
1
(e) f(x; y) 2 R2 : y > 2x ^ x 1g;
(f) f(x; y) 2 R2 : y
x2 ^ y
4g;
(g) f(x; y) 2 R2 : jxj < 2 ^ x < y < x + 1g; (h) f(x; y) 2 R2 : x2 + y2
2y
0g;
(i) f(x; y) 2 R2 : y
jx + 1j ^ y < 1
x2g;
(j) f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 < 2x ^ x
y2g;
(k) f(x; y) 2 R2 : xy < 1 ) y2 < xg: 2
Funkcja wymierna, wartość bezwzgl ¾
edna
1. Rozwi ¾
azać równania i nierówności:
(a) x4
x2 < 0;
(b) x3
x2
4x + 4 > 0;
(c) x3 + x2
6x
0;
(d) x+2
0;
x
(e) 2x 1
1;
2 x
(f) 2x2+5x 3 < 0;
x2+2x 3
(g) x3+2x2 x 2 > 0;
x 1
(h) 1 + 1
<
2
;
x 2
3 x
(i)
2 <
3
< 3:
x2
1
2. Rozwi ¾
azać równania i nierówności:
(a) j2
xj
4;
(b) jx
2j + jxj = 3;
(c) x2
1 < 2;
(d) x2
4x
4;
p
(e)
x2 + x
1 = x2;
(f)
1
3;
jx 2j
(g) jx + 3j
2 j1
xj
2;
p
(h)
x2 + 6x + 9 > 2x
2;
(i) x2 + 2x
x:
3. Naszkicować wykres funkcji:
(a) f (x) = jx
2j + 1;
(b) f (x) = jj1
xj
3j ;
p
(c) f (x) =
x2 + 4x + 4
3;
(d) f (x) = x2
2x ;
(e) f (x) = x2
2 jxj + 1:
4. Wyznaczyć dziedzin ¾
e funkcji:
p
(a) f (x) =
12 + x
x2;
q
(b) f (x) =
x 1 ;
2 3x p
(c) f (x) =
x
+
x2
x;
x2
1
p
(d) f (x) =
jx
4j
2 +
1
p
:
4x x2
3
Funkcja wyk÷
adnicza i logarytmiczna
1. Rozwi ¾
azać równania i nierówności:
x2
(a)
1
8 x;
4
(b) 9x + 3x
2 > 0;
p 2x 1
(c) 5x 3 =
5
;
x+1
x+1
x
(d)
2
3
1
= 1 ;
3
4
8
32
(e) 3x2 x 4
1 ;
9
(f) 32x+1 + 5 3x
2 > 0;
(g) log4 (x + 1)
log4 (x + 3) = 1;
(h) log22 x
log2 x = 6;
(i)
1
+
1
1;
log x
1 log x
3
3
(j) log1=2 (x
2)
log1=2 (x + 1)
1;
(k) log21=3 x
1
0:
2. Naszkicować wykres funkcji:
(a) f (x) = 2 jxj
1;
(b) f (x) = 2jx 1j 2;
(c) f (x) =
1
3 ;
3x
(d) f (x) = log2 (x + 2)
1;
(e) f (x) = j2
log3 (x
1)j ;
(f) f (x) = log 1 jx
2j :
2
3. Wyznaczyć dziedzin ¾
e funkcji:
q
x
x
(a) f (x) =
1
+ 1
2;
4
2
p
(b) f (x) =
jx+1j 1
;
log
(4x
2x
6)
1=2
p
(c) f (x) =
4x
2x+1 ;
jx+4j 1
p
(d) f (x) =
1
+
x2 + 2x:
log (x2
4)
3
4
Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne 1. Obliczyć:
(a) sin
17
cos 2 + 7
+ tg 23
;
6
3
4
(b) ctg 3
+ sin 11
2 cos 29
;
4
3
4
(c) arctg ctg 11
arcsin 1 + arccos sin 7
;
4
2
6
p
(d) arcsin
3
+ arccos cos 11
:
2
6
2. Rozwi ¾
azać równania i nierówności:
(a) cos2 x > 1 ;
2
p
(b) sin x =
3 ;
2
2
(c) cos2 x
cos x
0;
(d) jctg xj > 1;
(e) 6 cos2 x
5 sin x
2 > 0;
(f) arcsin x2
2x
1 <
;
6
(g) arctg(2x
1) =
;
4
(h) arcctg x2
x
1
3
;
4
3. Wyznaczyć dziedzin ¾
e, zbiór wartości, funkcj ¾
e odwrotn ¾
a i naszkicować wykresy
funkcji:
(a) f (x) = 2 arccos (2x
1) + ;
(b) f (x) = arcsin (1
2x)
;
2
(c) f (x) = 2 arctg(x + 1)
;
(d) f (x) =
arcctg (x
3) :
2
5
Liczby zespolone
1. Wykonać dzia÷
ania:
p
p
a) 2 + 3i
(1
i)2 ;
b) 1
i 2
2 + i ;
c) 3+i ;
d) z w; z , gdzie z = 2
i, w = 1 + 2i.
1 2i
w
2. Znaleźć liczby zespolone z spe÷
niaj ¾
ace warunki:
a) 2z
i = 3 + 2i;
b) 3z
(1
2i) = z+i ;
1 i
3. Znaleźć liczby rzeczywiste a i b takie, by zachodzi÷
a równość
a (3 + i)
b (2
3i) = 4
2i.
4. Znaleźć postać trygonometryczn ¾
a nast ¾
epuj ¾
acych liczb:
p
p
a)
7i;
b) 5 + 5i;
c)
3 + 1 i;
d)
1 + i 3;
2
2
p
p
p
e)
3 3
3i,
f)
2 + i 2:
5. Obliczyć:
p 7
p
p
19
a) (1
i)10 ;
b) 1 + i 3 ;
c)
2 + i 2
:
2
2
6. Narysować na p÷
aszczyźnie zespolonej zbiory liczb spe÷
niaj ¾
acych warunki:
(a) jz
2ij = 1;
(b) 1
jz
1 + 3ij < 3;
(c) jz
2j > 2^ Re z
1;
(d) jzj > 1^ < Arg z
3
;
3
4
(e) Re z
(Im z)2 ^ jzj < 1:
7. Obliczyć:
p
p
p
p
a) 3
8i;
b) 6 1;
c) 4
16
d)
8
6i:
8. Rozwi ¾
azać równanie:
a) z2 + 2iz + 3 = 0; b) z2 + (2 + i) z + i = 0; c) iz3 + (1 + 2i) z2 + z = 0: 6
Macierze i wyznaczniki
1. Obliczyć iloczyny A (BC) i (AB) C, gdzie 2
3
2
3
1
3
1
1
0
2
1
A = 4 0
1
2 5 ; B = 4 1
2 5 ; C =
:
1
1
0
1
1
2
3
2. Obliczyć AB; BA; det A; det B; det (AB) i det (BA), gdzie 2
3
2
3
2
1
0
1
2
1
A = 4 3
2
1 5 ;
B = 4 3
2
0 5 :
1
3
1
1
0
0
3. Obliczyć A 1BA, ABA 1, det B; det A 1BA , gdzie 2
3
2
3
2
1
1
2
1
0
A = 4 0
1
3 5 ;
B = 4 3
1
0 5 :
0
0
1
1
2
2
4. Rozwi ¾
azać równanie:
x
1
2
x
0
1
x
1
a)
1
x
1
= 0;
b)
1
0
x
=
:
1
x
1
1
x + 1
1
x
1
5. Obliczyć wyznaczniki:
2
1
0
1
1
1
2
1
2
0
1
2
3
1
2
1
2
3
0
1
2
1
3
0
1
2
a)
;
b)
;
c)
3
1
1
1
2
:
1
1
1
2
2
3
0
1
2
1
0
3
1
0
1
2
1
1
2
3
0
3
2
1
3
1
6. Wyznaczyć macierz odwrotn ¾
a:
2
3 1
2
3 1
1
1
0
0
2
1
0
2
3
a)
;
b) 4
2
2
0 5
;
c) 4
1
0
2 5
:
1
2
3
3
3
1
1
1
7. Stosuj ¾
ac rachunek macierzowy rozwi ¾
azać równania:
1
2
1
3
0
(a)
X=
;
2
3
1
2
1
2
3
0
1
2
T
2
2
3
(b) 4 0
0
1 5 X
2X =
;
2
3
1
0
0
0
2
3
2
3
3
3
2
1
0
3
1
2
3
(c) X 4 0
3
2 5 +
= X 4 0
1
0 5 + X:
0
1
2
0
0
3
0
1
0
7
Uk÷
ady równań
1. Obliczć rz ¾
ad macierzy:
2
3
2
3
1
3
2
1
2
1
3
3
6
2
3
1
1 7
a) 4
1
2
0
1 5;
b) 6
7
4
2
0
2
2 5;
1
1
3
4
0
2
2
1
2
3
2
3T
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
c) 4 1
1
1
1
1
1 5;
d) 4
1
1
3
1
1 5 :
1
1
1
3
3
1
1
1
3
1
1
2. Korzystaj ¾
ac ze wzoru Cramera rozwi ¾
azać uk÷
ad równań:
8
8
< x + y + z = 2
< x + z = 2
x
2y = 0
a)
;
b)
2x
y + z = 2 ;
c)
x + y = 1 :
2x + 3y = 1
:
:
x + y + 3z = 0
y + z = 5
3. Korzystaj ¾
ac z twierdzenia Kroneckera-Capellego rozwi ¾
azać uk÷
ad równań:
8
>
>
x
y + z = 0
>
8
>
<
x + y
z = 0
< x
y
z + w = 0
x + 2y
z = 0
a)
x + 3y
3z = 0 ;
b)
;
c)
x + y + z
w = 0 ;
>
>
x
y + z = 0
:
>
>
y
z = 0
x + y
z + w = 0
:
x + y + z = 0
8
8
< x + y
z = 2
<
x
2y + z = 1
x
y + z = 1
d)
;
e)
x
y + 2z = 1 ;
f)
2x
y + 2z = 1 ;
2x
y + 2z = 0
:
:
3x + y = 5
5x
3y + 5z = 1
8
>
8
> x + y + z = 1
<
< x + y
z + w = 1
2x
y + z = 2
g)
;
h)
2x
y + z + w = 1 :
>
>
3x + 2z = 3
:
:
x
w = 2
x
y
z = 0
8
ac z metody elimancji rozwi ¾
azać uk÷
ad równań:
8
8
> x + y + z + w = 1
< x
y + 2z = 1
>
< x y z + w = 1
a)
2x
y + z = 0 ;
b)
;
:
>
2x + z + w = 1
x
y
z = 2
>
:
y + z + w = 2
8
< x + y
z + u
w = 0
c)
y + u + 2w = 1 .
:
x + z + w = 1
8
Ci ¾
agi
1. Obliczyć granice ci ¾
agów o wyrazie ogólnym:
(a) an =
(1 n)3
;
1
(2n+2)(n+3)2
2
(b) an = n+1 n2 ;
(0)
3n(n2+2)
(c) an =
(2n 3)3
p
;
(1)
(n+2)( n+1)2
p
(d) a
n+2
n = n
;
(0)
(2 3n)2
p
(e) an =
n3 + n2 + 1
n;
(1)
p
p
(f) an =
2n + 7
2n;
(0)
p
(g) an = n
n2 + n + 1;
1
2
q
p
p
(h) an =
n n
n2
1 ;
1
2
2
p
p
(i) an =
n2 + 3n + 1
n2 + n + 2;
(1)
(j) an = 2n+3n 1 ;
1
3n+1
5
9
(k) an = 32n+1 3n+4 ;
(3)
9n 1+4n
4n
(l) an = 1 + 2
;
e8
n
3n2
(m) an = 1
1
;
e 3
n2+1
2n
(n) an = n 2
;
e 10
n+3
n2
(o) an = ln n2+2
;
(2)
n2
(p) an = ( 1)npn ;
(0)
1 n
(q) an = 1 sin (n + 3) ;
(0)
2n
p
n
(r) a
n+ n
p2n
n =
;
(0)
n
p3+n
p
(s) an = n 2 + 2n + 3n;
(3)
(t) an =
1
p
:
(1) :
n n+1
9
Granice funkcji
Obliczyć granice:
1. lim 16 x2 ;
( 8)
x!4 x 4
2. lim x3 8 ;
( 12)
x!2 2 x
3. lim x4 1 ;
(4)
x!1 x 1
4. lim x2 2x 3 ;
( 2)
x!3
6 2x
5. lim x2 3x+2 ;
1
x!2 2x2 x 6
7
p
6. lim
x+2 2 ;
1
x!2
6 3x
12
p
7. lim
x+5 3
p
;
4
x!4 4
12+x
3
8.
lim
2 x x3 ;
(1)
x! 1
x2+1
9.
lim
(1 2x)3 ;
8
x! 1 3x3+x2 1
3
p
p
10. lim
x2 + 3x
1
x2
x + 2 ;
(2)
x!1
p
p
p
11.
lim
2x2 + 4x + 1
2x2
1 ;
2
x! 1
p
p
p
12. lim
x +
x
x ;
1
x!1
2
13. lim sin 3x ;
3
x!0
2x
2
14. lim sin 4x ;
4
x!0 sin 3x
3
15. lim tan x ;
1
x!0 sin 3x
3
16. lim 3x sin 2x ;
( 1)
x!0 sin 3x 4x
17. lim
2x+1
x!1
;
(1)
(1 x)2
5x
18. lim
1 + 2
;
e 10
x!1
x
19. lim 1 + 3x2 2=x2 ;
e6
x!0
20. limx!0 1
x2 1=(1+x) ;
(1)
10
(0)
x!1
Wyznaczyć asymptoty funkcji:
1. f (x) =
x3
;
x2
x
2. f (x) = ex=(x2 4)
3. f (x) =
1
;
ex
e
4. f (x) = arctg x2 + e1=(x 1)
1 x2
11
Pochodna funkcji
Obliczyć pochodn ¾
a funkcji
1. f (x) = 1 x4
3 x5
3x
4x2
4
10
2. f (x) = 2 + 1
3 + 1
x
x2
4x4
p
p
p
3. f (x) =
x
2 3 x + 3 5 x2
4
px
4. f (x) = 2 tg x
3 ctg x
5. f (x) = ex cos x
6. f (x) = 1 + x2 arctg x
7. f (x) = (3
x) ex ln x
8. f (x) = x 2
x2+1
9. f (x) = ex+1
px+1
10. f (x) = 2x sin x
p
11. f (x) =
ex + 1
4
12. f (x) = x3 + x
1
13. f (x) = e x2+3x 1
14. f (x) = sin x
p1+x2
15. f (x) = arcsin e3x
16. f (x) = 3esin2 x
17. f (x) = arcsin 1x
q
18. f (x) = ln
1+x
1 x
19. f (x) = arctg
x
p
1+
1+x2
20. f (x) = ln (ln (ln x))
Wyznaczyć przedzia÷
y monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji: 1. f (x) = x3
6x2 + 9x
2;
2. f (x) =
x
;
1+x2
3. f (x) = xe 3x;
12
2 ln x
5. f (x) = ln2 x
4 ln x + 3;
6. f (x) =
x
p
;
ln x 1
p
7. f (x) = 2 4x
x2
arcsin x 2 ;
2
8. f (x) = x ;
ln x
9. f (x) = x
arctan x;
1
10. f (x) = x2e x ;
11. f (x) = ln x :
x2
Wyznaczyć przedzia÷
y wypuk÷
ości, wkl ¾
es÷
ości i punkty przegi ¾
ecia wykresu funkcji:
1. f (x) = x4
6x2
6x
1;
2. f (x) = 2x ;
x2+1
3. f (x) = ln 4 + x2 ;
4. f (x) = ex ;
x+2
5. f (x) =
x
;
2+ln x
6. f (x) = (2
ln x) ln x;
7. f (x) = x
2 arctan x:
Obliczyć granice:
1. lim x sin x
1
;
x!0 x tg x
2
2. lim ex e x
(1) ;
x!0 x sin x
3. lim
ln x
( 1) ;
x!1 (1 x)3
4. lim x arctan x
(0) ;
x!0
x2
5. lim ln cos x
1
;
x!0 ln cos 3x
9
p
6. lim
tg x 1
2 ;
x!
sin x cos x
4
7. lim ln(ln x)
(0) ;
x!1
x
13
(0) ;
x!0+
1
9.
lim x2e x
(1) ;
x!0
10. lim ln x ln (x
1)
(0) ;
x!1+
11. lim 1
1
(0) ;
x!0 x
arctan x
12. lim
1
x
( 1) :
x!1 ln x
ln x
Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji:
1. f (x) = x
ln x;
2. f (x) = x ln x ;
1 ln x
1
3. f (x) = xe x ;
4. f (x) = 2x arctg x:
x+1
14
Ca÷
ka nieoznaczona i ca÷
ka oznaczona
Obliczyć ca÷
ki:
R
p
3
1.
2x
3x2 +
x dx
x2
x3 + 2 x 2 + C ;
3
R
p
p
2.
1
3
p
+ 2
p
dx
ln x
6 x + 3 3 x2 + C ;
x
x
3 x
R
3.
x2
dx
(x
arctg x + C) ;
x2+1
R
4.
tg 2xdx
tg x
x + C;
+ k < x <
+ k ; k 2 Z
2
2
R (x2 1)3
5.
dx
1 x6
3 x4 + 3 x2
ln jxj + C; x > 0 lub x < 0
x
6
4
2
R
3
p
1
1
p
6.
3+5
x2
p
dx
6x 2 + 30x 6 =
6
p
+ 30 6 x + C; x > 0
x3
x
Ca÷
kuj ¾
ac przez podstawienie obliczyć:
R
1.
(1
3x)4 dx;
1 (1
3x)5 + C ;
15
R
2.
sin (2x
1) dx
1 cos (1
2x) + C ;
2
R
3.
cos 3
1 x dx
2 sin 3
1 x + C ;
2
2
R
4.
e3x+1dx
1 e3x+1 + C ;
3
R p
p
5.
x 1 + x2dx
1
1 + x2
1 + x2 + C ;
3
R
6.
xe 2x2+1dx
1 e 2x2+1 + C ;
4
R
7.
sin5 x cos xdx
1 sin6 x + C ;
6
R
8.
tg xdx
(
ln jcos xj + C) ;
R
9.
sin2 x cos xdx
1 sin x
1 sin 3x + C ;
4
12
R
10.
sin x
dx
(
arctg (cos x) + C) ;
1+cos2 x
R
11.
(ln x)2 dx
1 ln3 x + C ;
x
3
R
12.
xdx
1 arctan x2 + C ;
x4+1
2
R
13.
x sin 2x2 + 1 dx
1 cos 2x2 + 1 ;
4
R
14.
2x dx
ln x2 + 8 + C ;
x2+8
R
15.
e2x
dx
ln e2x + 1 + C ;
1+e2x
15
p
16.
3 cos x
p
dx
6 sin x + 2 + C ;
2+sin x
R
p
17.
x+2
p
dx
4x + x2 + 5 + C ;
x2+4x+5
R
18.
1 ctg (ln x) dx
(ln jsin (ln x)j + C) ;
x
R
19.
3
dx
arctan 1 x + C ;
9+x2
3
R
20.
4
p
dx
arcsin 1 x + C ;
4 x2
2
R
21.
ex
dx
1 arctg 1 ex + C ;
4+e2x
2
2
R
22.
xdx
1
+
1
+ C
(x+1)3
x+1
2(x+1)2
Ca÷
kuj ¾
ac przez cz ¾
eści obliczyć:
R
1.
x cos xdx
(cos x + x sin x + C) ;
R
2.
x sin 2xdx
1 sin 2x
1 x cos 2x + C ;
4
2
R
3.
(x
1) exdx
(xex
2ex + C) ;
R
4.
x2 sin 1 x + 1 dx
16 cos 1 x + 1 + 8x sin 1 x + 1
2x2 cos 1 x + 1 + C ;
2
2
2
2
R
5.
x2e 3xdx
2 e 3x
2 xe 3x
1 x2e 3x + C ;
27
9
3
R p
p
6.
x ln xdx
x 2 x ln x
4 x + C ;
3
9
R
7.
x2 ln2 xdx
2 x3
2 x3 ln x + 1 x3 ln2 x + C ;
27
9
3
R
8.
x2
1 ln xdx
x
1 x3 + 1 x3
x ln x + C ;
9
3
R
p
9.
arccos xdx
x arccos x
1
x2 + C ;
R
10.
arcctg xdx
x arctg 1 + 1 ln x2 + 1 + C ;
x
2
Obliczyć ca÷
ki funkcji wymiernych:
R
1.
3
dx;
1 4x
R
2.
2x dx;
x 1
R
3.
1 3x dx;
2x+1
R
4.
x2+x dx;
x+2
R
5.
dx
;
x2+4x+8
16
6.
dx
;
2x2
2x+5
R
7.
x+1
dx;
x2+x+1
R
8.
x2
dx;
x2
2x+5
R
9.
x
dx;
(x 3)2
R
10.
2
dx;
(x 1)(x+2)
R
11.
4x+1 dx;
x2
1
R
12.
x 3x
dx;
x2
3x+2
R
13.
x2
dx;
(x 1)(x+2)
R
14.
x4
dx;
x2+2
Obliczyć ca÷
ki funkcji niewymiernych:
R q
1.
1 x + 5dx;
2
R
2.
dx
p
;
2+3x
R p
3.
x x + 2dx;
R p
4.
x dx;
x 1
R
5.
dx
p
;
1 3x2
R
6.
2x 1
p
dx;
1 4x2
R
7.
6x+5
p
dx;
6+x x2
R
8.
dx
p
;
x2+3x+2
R
9.
3x 2
p
;
4x2
4x+5
R
10.
x2
p
dx;
4 x2
R p
11.
x2 + 5dx;
R
12.
x2
p
dx;
1+x x2
Obliczyć ca÷
ki oznaczone:
17
R
1.
x sin 2x dx;
0
1
R
2.
(1
3x)5 dx;
0
=2
R
3.
sin3 x cos2 x dx;
0
2
R
4.
dx
;
x(x+1)
1
0
R
5.
dx
;
4+25x2
2
5
e2
R
6.
dx
;
x ln2 x
e
e
R
7.
x ln xdx;
1
1
R
8.
x2e xdx;
0
Obliczyć ca÷
ki niew÷
aściwe:
1
R
1.
sin x dx;
0
1
R
2.
dx
;
(x+1)2
1
1
R
3.
xe x2 dx;
0
2
R
4.
dx
;
(x 1)2
1
e
R
5.
dx
p
;
x
ln x
1
0
R
6.
dx
;
x2+3x+3
1
1
R
7.
dx
;
x2+25
1
18
R
8.
xdx
p
;
1 x2
0
Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: 1. y = x2;
y = 4x;
2. y = x;
y = 3x;
y = 3;
3. y = 1 ;
y = x;
y = 4;
x2
4. y = x3
2x;
y = x2;
5. xy = 1;
y = x;
y = 2x;
6. xy =
2;
y
x + 3 = 0;
7. y = sin x;
y = x;
y = ;
8. y = x2;
y = 2x2;
y = 8:
Obliczyć d÷
ugość ÷
uku:
1. y = 1 ;
x 2 [1; 4] ;
x
2. y = 1 x2;
x 2 [0; 1] ;
2
3. y = ln sin x;
x 2
;
;
3
2
4. y = 3 ln 9
x2 ;
x 2 [0; 2] ;
Obliczyć obj ¾
etość bry÷powsta÷
ych z obrotu podanych …gur wokó÷osi OX: 1. 0
x
1;
0
y
x2;
2. 0
x
;
0
y
sin x + cos x;
2
3.
1
x
1;
0
y
1
p
;
1+x2
4. e
x
e2;
1
y
ln x;
19
Funkcje wielu zmiennych
1. Przedstawić gra…cznie dziedzin ¾
e naturaln ¾
a funkcji:
p
(a) f (x; y) =
9
x2
y2 + ln (jxj
1) ;
p
(b) f (x; y) = ln (2
jx + yj)
4x
x2
y2;
(c) f (x; y) = arcsin
x
;
2x+y
q
(d) f (x; y) =
x
1;
x2+y2+2x
(e) f (x; y) = arcsin x + arccos (1
y) ;
y2
p
(f) f (x; y) =
1
p
y2
x;
y
x 2
q
(g) f (x; y) =
1
+
1
y
ln(x y
1)
x
(h) f (x; y) = arccos ln x2 + y2
4x + 6y + 13 :
2. Obliczyć pochodne cz ¾
astkowe funkcji:
(a) f (x; y) = x2y3
x4 + y3
2x2y + 2xy
y + 3x
1;
(b) f (r; ') = r2 cos2 '
r sin3 ';
(c) f (s; t) = s+t ;
2s t
(d) f (x; y) = x2ex2 y2 ;
(e) f (x; y) = x2 + y ln x2 + 2x + 1 ;
(f) f (x; y) = arccos (x
2y) ;
(g) f (x; y) = arctg y + arcctg x ;
x
y
p
(h) f (u; v) = u u2 + v2 + 1;
(i) f (x; y; z) = x2yz3
3x2z + 2yz
z2 + 2x
3y + 1;
(j) f (u; v; w) = u arctg w :
v+w
3. Obliczyć pochodn ¾
a funkcji f w punkcie p w kierunku wektora h: (a) f (x; y) = x2
2xy,
p (2; 1) ;
h = [2; 4] ;
(b) f (r; ') = r cos (r') + r2;
p (1; ) ;
h = [1; 2] ;
(c) f (x; y) = ln x2 + 3y2
y ;
p (1; 0) ;
h = [cos 30 ; sin 30 ] ;
x
p
(d) f (x; y) = x2 + y
2x
3y;
p (2; 1) ;
h = [2; 2] ;
(e) f (x; y; z) = y ln x2 + z2 ;
p (1; 1; 0) ;
h = [ 1; 2; 1] ;
(f) f (u; v; w) =
u
;
p (1;
1; 1) ;
h = [0; 1 ;
1 ]:
v
2w
2
3
4. Bez u·
zywania kalkulatora podać przybli·
zon ¾
a wartość funkcji f w punkcie p0 :
p
(a) f (x; y) =
x2 + y2;
p0 = (6:2; 7:9) ;
20
y
0 = (0:98; 1:02) ;
p
(c) f (x; y) =
xy + 1;
p0 = (0:99; 3:03) ;
(d) f (x; y) = xy;
p0 = (1:4; 2:1) :
5. Obliczyć pochodne cz ¾
astkowe rz ¾
edu drugiego:
(a) f (x; y) = x3y2
2x2y4
3x + ln y;
(b) f (x; y) = xe x+y2 ;
(c) f (x; y) = ln x2 + y2 ;
(d) f (x; y) = x y ;
x2+y2
(e) f (r; ') = r cos (r')
sin ' + r2;
(f) f (u; v) = arctg u
euv;
v
(g) f (x; y; z) = x2eyz
yez;
(h) f (u; v; w) = u
p
w + v ;
w
v
1 u
6. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
(a) f (x; y) = x2 + 2x + 1
4y2 + 4y
1;
(b) f (x; y) = 6xy
x3
y3;
(c) f (x; y) = x2 + 4xy
1 ;
y
p
(d) f (x; y) = y x
y2
x + 6y;
(e) f (x; y) = x4
4xy + 2y2;
(f) f (x; y) = x3 + xy + y2 + y;
(g) f (x; y) = ex2 y (5
2x + y) ;
(h) f (x; y) = x3 + 3xy2 + 12xy:
13
Równania ró·
zniczkowe zwyczajne
1. Rozwi ¾
azać równania o zmiennych rozdzielonych: (a) y0 = (xy)2 ;
(b) y0 = y ln y ;
x
(c) y0 cos x = ctg y;
(d)
1 + x2 yy0 = x 1 + y2 ;
(e) y0 = y 2 ;
y (0) = 3;
x+1
(f) y0 cos y + 2x sin y = 0;
y (0) =
;
2
p
p
(g) x
1 + y2 + yy0 1 + x20 = 0;
y (0) = 1;
21
2xy
= 0;
y (0) =
2;
1+x2
p
(i)
1 + x2 y0 + y 1 + x2 = xy;
y (0) = 1;
(j) y0
y cos x =
y;
y (0) =
1:
2. Rozwi ¾
azać równanie liniowe metod ¾
a uzmienniania sta÷
ej
(a) y0 + y cos x = e sin x;
(b) y0
3y = e2x;
(c) y0
2xy = x3;
(d) y0 + y = ln x;
x
(e) y0
y = 2x2;
y (1) = 3;
x
(f) y0 + xy = x;
y (0) = 1 ;
1+x2
3
(g) y0
y = x sin x;
y
=
;
x
2
2
(h) y0 +
y
= 2x ;
y (e) = e2:
x ln x
ln x
3. Rozwi ¾
azać równanie liniowe metod ¾
a przewidywań
(a) y0
y = x2
2x;
(b) y0 + 2y = e 2x;
(c) y0
y = ex sin x;
(d) y0 + 3y = e3x (x + 1) ;
(e) y0
2y = cos 2x;
(f) y0
y = x sin x;
(g) y0 + y = e xx2;
(h) y0 + 2y = x sin x + cos x:
4. Rozwi ¾
azać równanie liniowe II rz ¾
edu
(a) y00
y0
2y = 0;
y (0) = 1;
y0 (0) = 2;
(b) y00 + 25y = 0;
y (0) = 0;
y0 (0) = 1;
(c) y00
4y0 + 2y = 0;
y (0) = 1;
y0 (0) =
1;
(d) y00
y0 = x2
x;
(e) y00 + 5y0 + 4y = ex;
(f) y00
6y0 + 9y = e3x;
(g) y00
4y0 + 3y = (x + 1) ex;
(h) y00 + 2y0 + 2y = sin x;
(i) y00
2y0 + 2y = ex cos x;
(j) y00
4y = x2;
y (0) = 2;
y0 (0) =
1:
22