1

GRAWITACJA
Prawa Keplera ruchu planet

Sila dosrodkowa

r

v

a

a

m

F

d

d

d

2

=

=

r

r

a

d

– jest przyspieszeniem dosrodkowym

r

v

m

F

d

2

r

r

=

r – odleglosc planety od Slonca.

Prawo powszechnego ciazenia

12

3

2

1

12

r

r

m

m

G

F

r

r

−

=

r - odleglosc punktów materialnych
G – stala grawitacji (wyznaczona przez Cavendisha)
r

12

– wektor wodzacy punktu materialnego m, |r

12

| = r

Pole grawitacyjne
Natezenie pola grawitacyjnego

2

r

M

G

m

E

E

=

=

jedn. [N/kg]=[m/s

2

]

r

r

M

G

m

F

E

r

r

r

3

−

=

=

r – wektor wodzacy punktu, w którym wyznaczamy natezenie pola grawitacyjnego
wytworzonego przez punkt M,
V - potencjal

NABLA

OPERATOR

k

z

j

y

i

x

k

z

V

j

y

V

i

x

V

V

E

m

F

r

r

M

G

gradV

E

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

∇

−

=

=

−

=

−

=

)

(

3

Przyspieszenie grawitacyjne

m

F

a

g

r

r

=

tzn., ze

E

a

g

v

r

=

S

v

B

B

A

v

A

P

v

b

a

2

r

Mm

G

F

=

r = |r

12

|

M

F

g

F

g

m

III prawo Keplera

2

2

2

1

3

2

3

1

T

T

a

a

=

2

Pole grawitacyjne centralne
Linie sil pola centralnego

Natezenie pola centralnego

m

F

r

M

G

E

=

=

2

Sztuczne satelity
Predkosc satelity (M

Z

– masa i R – promien) na wysokosci h

)

(

h

R

GM

r

GM

v

z

z

s

+

=

=

Okres obiegu T = 2

π

r/v

s

Pierwsza predkosc kosmiczna

gR

v

I

=

Druga predkoscia kosmiczna

R

m

M

G

E

z

p

−

=

gdzie R – promien Ziemi, M

z

– masa Ziemi.

2

2

II

k

mv

E

=

.

I

Z

Z

II

Z

II

p

k

v

gR

R

GM

R

GM

v

R

m

M

G

mv

E

E

⋅

=

=

⋅

=

=

=

=

∆

+

∆

2

2

2

2

2

,

0

2

R

M

G

gR

R

M

G

g

Z

Z

=

=

2

V

F

g

M

R

r

m

M

E

max

E~r

E~1/r

2

r

2

2

R

M

G

E

r

M

G

E

R

r

=



→



=

=

- wewnatrz kuli - rosnie ~ r

2

3

R

M

G

E

r

R

M

G

E

R

r

=



→



=

=

- na zewnatrz kuli - maleje ~ r

2

3

Potencjal pola

∆

E

p

= W

F = F

g

= mg

W = Fh = mgh

∆E

p

=W=mgh-mgh

0

,

dla h

0

=0

wtedy

E

p

= mgh

)

1

1

(

0

r

r

GmM

r

F

E

p

−

−

=

−

=

r – odleglosc punktu, w którym wyznaczamy energie potencjalna punktu materialnego m, od
punktu materialnego M, r

0

– odleglosc punktu odniesienia do punktu materialnego M

r

m

M

G

r

E

z

p

−

=

)

(

r

0

=

∞

,

R

m

M

G

E

z

p

−

=

,

r=R

Potencjal pola grawitacyjnego

r

GM

m

r

GmM

V

m

r

E

r

V

p

1

1

)

(

)

(

−

=

−

=

=

Wykres energii potencjalnej E

p

ciala o masie m w centralnym
polu grawitacyjnym w funkcji
odleglosci r od srodka masy

-GMm/R

E

p

r

R

0