MO

Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

1

Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

Z1/2.1. Belka złożona numer 1

Sprawdzić   czy   belka   złożona   przedstawiona   na   rysunku   Z1/2.1   jest   układem   geometrycznie 

niezmiennym.

Rys. Z1/2.1. Belka złożona

W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów 

podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/2.2.

4

5

1

2

3

A

B

I

II

III

Rys. Z1/2.2. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z1/2.2 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   2.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

3

⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z1/2.1)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie 
niezmiennym   i   statycznie   wyznaczalnym.   W   dalszej   kolejności   musimy   jeszcze   sprawdzić   warunki 
dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza  numer I jest  podparta trzema prętami podporowymi  numer 1, 2 i 3, których kierunki nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności 
dla   tej   tarczy   sztywnej.  Wobec   tego   jest   ona   geometrycznie   niezmienna   i   może   stanowić   podłoże   dla 
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.3.

4

5

A

B

II

III

Rys. Z1/2.3. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

2

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub 

A  nie  leży  na  kierunku  pręta   podporowego. Został  więc  spełniony  warunek dostateczny geometrycznej 
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić 
podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/2.4.

5

B

III

Rys. Z1/2.4. Zastępcza tarcza sztywna

Tarcza   numer   III   jest   podparta   przegubem   rzeczywistym   B   oraz   prętem   podporowym   numer   5. 

Przegub   B   nie   leży   na   kierunku   pręta   podporowego.   Został   więc   spełniony   warunek   dostateczny 
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/2.2. Belka złożona numer 2

Sprawdzić   czy   belka   złożona   przedstawiona   na   rysunku   Z1/2.5   jest   układem   geometrycznie 

niezmiennym.

Rys. Z1/2.5. Belka złożona

W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów 

podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/2.6.

4

5

1

2

3

A

B

I

II

III

Rys. Z1/2.6. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z1/2.6 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   2.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

3

⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z1/2.2)

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

3

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie 
niezmiennym   i   statycznie   wyznaczalnym.   W   dalszej   kolejności   musimy   jeszcze   sprawdzić   warunki 
dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza  numer I jest  podparta trzema prętami podporowymi  numer 1, 2 i 3, których kierunki nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności 
dla   tej   tarczy   sztywnej.  Wobec   tego   jest   ona   geometrycznie   niezmienna   i   może   stanowić   podłoże   dla 
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.7.

4

5

A

B

C

∞

II

III

Rys. Z1/2.7. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcze numer II i III tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi A i B oraz przegubem 

fikcyjnym   C   znajdującym   się   w   nieskończoności   utworzonym   z   prętów   podporowych   numer   4   i   5. 
Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej 
niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/2.3. Belka złożona numer 3

Sprawdzić   czy   belka   złożona   przedstawiona   na   rysunku   Z1/2.8   jest   układem   geometrycznie 

niezmiennym.

Rys. Z1/2.8. Belka złożona

W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów 

podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/2.9.

4

5

1

2

3

A

B

I

II

III

Rys. Z1/2.9. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z1/2.9 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   2.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

4

3

⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z1/2.3)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie 
niezmiennym   i   statycznie   wyznaczalnym.   W   dalszej   kolejności   musimy   jeszcze   sprawdzić   warunki 
dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza  numer I jest  podparta trzema prętami podporowymi  numer 1, 2 i 3, których kierunki nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności 
dla   tej   tarczy   sztywnej.  Wobec   tego   jest   ona   geometrycznie   niezmienna   i   może   stanowić   podłoże   dla 
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.10.

4

5

A

B

II

III

Rys. Z1/2.10. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub 

A  nie  leży  na  kierunku  pręta   podporowego. Został  więc  spełniony  warunek dostateczny geometrycznej 
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić 
podłoże dla pozostałej tarczy sztywnej. Przedstawia to rysunek Z1/2.11.

5

B

III

Rys. Z1/2.11. Zastępcza tarcza sztywna

Tarcza   numer   III   jest   podparta   przegubem   rzeczywistym   B   oraz   prętem   podporowym   numer   5. 

Przegub   B   nie   leży   na   kierunku   pręta   podporowego.   Został   więc   spełniony   warunek   dostateczny 
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/2.4. Belka złożona numer 4

Sprawdzić   czy   belka   złożona   przedstawiona   na   rysunku   Z1/2.12   jest   układem   geometrycznie 

niezmiennym.

Rys. Z1/2.12. Belka złożona

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

5

W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów 

podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/2.13.

4

5

1

2

3

A

B

I

II

III

Rys. Z1/2.13. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z1/2.13 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   2.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

3

⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z1/2.4)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie 
niezmiennym   i   statycznie   wyznaczalnym.   W   dalszej   kolejności   musimy   jeszcze   sprawdzić   warunki 
dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza  numer I jest  podparta trzema prętami podporowymi  numer 1, 2 i 3, których kierunki nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności 
dla   tej   tarczy   sztywnej.  Wobec   tego   jest   ona   geometrycznie   niezmienna   i   może   stanowić   podłoże   dla 
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.14.

4

5

A

B

II

III

C

∞

Rys. Z1/2.14. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcze numer II i III tworzą układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi A i B oraz przegubem 

fikcyjnym   C   znajdującym   się   w   nieskończoności   utworzonym   z   prętów   podporowych   numer   4   i   5. 
Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej 
niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/2.5. Belka złożona numer 5

Sprawdzić   czy   belka   złożona   przedstawiona   na   rysunku   Z1/2.15   jest   układem   geometrycznie 

niezmiennym.

W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów 

podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/2.16.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

6

Rys. Z1/2.15. Belka złożona

4

5

1

2

3

B

D

I

II

III

Rys. Z1/2.16. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z1/2.16 liczba tarcz wynosi 3, liczba prętów podporowych wynosi 5 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   2.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

3

⋅3=5⋅12⋅2

.

(Z1/2.5)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie 
niezmiennym   i   statycznie   wyznaczalnym.   W   dalszej   kolejności   musimy   jeszcze   sprawdzić   warunki 
dostateczne geometrycznej niezmienności.

4

5

1

2

3

B

D

I

II

III

C

∞

A

Rys. Z1/2.17. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Zgodnie z rysunkiem Z1/2.17 tarcze numer I i II tworzą układ trójprzegubowy z przegubem fikcyjnym 

A utworzonym z prętów podporowych numer 1 i 2, przegubem rzeczywistym B oraz przegubem fikcyjnym 
C znajdującym się w nieskończoności utworzonym z prętów podporowych numer 3 i 4. Wszystkie przeguby 
nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tych 
tarcz sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne i mogą stanowić podłoże dla tarczy numer 
III. Przedstawia to rysunek Z1/2.18.

5

D

III

Rys. Z1/2.18. Zastępcza tarcza sztywna

Tarcza   numer   III   jest   podparta   przegubem   rzeczywistym   D   oraz   prętem   podporowym   numer   5. 

Przegub   D   nie   leży   na   kierunku   pręta   podporowego.   Został   więc   spełniony   warunek   dostateczny 
geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

7

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/2.6. Belka złożona numer 6

Sprawdzić   czy   belka   złożona   przedstawiona   na   rysunku   Z1/2.19   jest   układem   geometrycznie 

niezmiennym.

Rys. Z1/2.19. Belka złożona

W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów 

podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/2.20.

3

4

A

B

I

II

5

6

1

2

III

IV

C

Rys. Z1/2.20. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z1/2.20 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 6 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   3.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

3

⋅4=6⋅13⋅2

.

(Z1/2.6)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie 
niezmiennym   i   statycznie   wyznaczalnym.   W   dalszej   kolejności   musimy   jeszcze   sprawdzić   warunki 
dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza  numer I jest  podparta trzema prętami podporowymi  numer 1, 2 i 3, których kierunki nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności 
dla   tej   tarczy   sztywnej.  Wobec   tego   jest   ona   geometrycznie   niezmienna   i   może   stanowić   podłoże   dla 
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.21.

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub 

A  nie  leży  na  kierunku  pręta   podporowego. Został  więc  spełniony  warunek dostateczny geometrycznej 
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić 
podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.22.

Tarcze   numer   III   i   IV   tworzą   układ   trójprzegubowy   z   przegubami   rzeczywistymi   B   i   C   oraz 

przegubem fikcyjnym D znajdującym się w nieskończoności utworzonym z prętów podporowych numer 5 i 
6. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej 
niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

8

4

A

B

II

5

6

III

IV

C

Rys. Z1/2.21. Zastępczy układ tarcz sztywnych

B

5

6

III

IV

C

D

∞

Rys. Z1/2.22. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Z1/2.7. Belka złożona numer 7

Sprawdzić   czy   belka   złożona   przedstawiona   na   rysunku   Z1/2.23   jest   układem   geometrycznie 

niezmiennym.

Rys. Z1/2.23. Belka złożona

W pierwszej kolejności musimy pręty belki zamienić na tarcze sztywne a podpory na układ prętów 

podporowych. Przedstawia to rysunek Z1/2.24.

4

A

B

I

II

5

6

III

IV

C

1

2

3

I

Rys. Z1/2.24. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Jak widać na rysunku Z1/2.24 liczba tarcz wynosi 4, liczba prętów podporowych wynosi 6 natomiast 

liczba   przegubów   rzeczywistych   wynosi   3.  Warunek   konieczny   geometrycznej   niezmienności   ma   więc 
postać

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni

MO

Z1/2. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

ZADANIE 2

9

3

⋅4=6⋅13⋅2

.

(Z1/2.7)

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności został spełniony. Belka może być układem geometrycznie 
niezmiennym   i   statycznie   wyznaczalnym.   W   dalszej   kolejności   musimy   jeszcze   sprawdzić   warunki 
dostateczne geometrycznej niezmienności.

Tarcza  numer I jest  podparta trzema prętami podporowymi  numer 1, 2 i 3, których kierunki nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności 
dla   tej   tarczy   sztywnej.  Wobec   tego   jest   ona   geometrycznie   niezmienna   i   może   stanowić   podłoże   dla 
pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.25.

4

A

B

II

5

6

III

IV

C

Rys. Z1/2.25. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcza numer II jest podparta przegubem rzeczywistym A oraz prętem podporowym numer 4. Przegub 

A  nie  leży  na  kierunku  pręta   podporowego. Został  więc  spełniony  warunek dostateczny geometrycznej 
niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Wobec tego jest ona geometrycznie niezmienna i może stanowić 
podłoże dla pozostałych tarcz sztywnych. Przedstawia to rysunek Z1/2.26

B

5

6

III

IV

C

D

∞

Rys. Z1/2.26. Zastępczy układ tarcz sztywnych

Tarcze   numer   III   i   IV   tworzą   układ   trójprzegubowy   z   przegubami   rzeczywistymi   B   i   C   oraz 

przegubem fikcyjnym D znajdującym się w nieskończoności utworzonym z prętów podporowych numer 5 i 
6. Wszystkie przeguby nie leżą na jednaj prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej 
niezmienności dla tych tarcz sztywnych. Wobec tego są one geometrycznie niezmienne.

Jak więc widać wszystkie tarcze sztywne są geometrycznie niezmienne. Możemy więc stwierdzić, że 

belka złożona jest układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.

Dr inż. Janusz Dębiński

Zaoczni