MLR2x str. 267

MLR2x str. 268

PRZYKŁ

AD

Y

CIĄGÓW

PRZYKŁADY CIĄGÓW

Kolejność

państw ONZ

wg powierzchni

w 2012 roku

Lp.

Państwo

1

Rosja

2

Kanada

3

Chiny

4

USA

5

Brazylia

6

Australia

7

Indie

8

Argentyna

9

Kazachstan

10

Algieria

..

.

70

Polska

71

Oman

72

Włochy

..

.

192 Nauru

193 Monako

Kolejność

państw ONZ

wg liczby ludności

w 2012 roku

Lp.

Państwo

1

Chiny

2

Indie

3

USA

4

Indonezja

5

Brazylia

6

Pakistan

7

Nigeria

8

Bangladesz

9

Rosja

10

Japonia

..

.

33

Polska

34

Algieria

35

Kanada

..

.

192 Tuvalu

193 Nauru

Przyjrzyj się tabelkom przedstawio-
nym obok. W pierwszej uporządko-
wano kraje ONZ ze względu na ich
powierzchnię, a w drugiej — ze wzglę-
du na liczbę ludności. Z każdej tabeli
łatwo odczytać, który z krajów jest
w wybranej klasyfikacji pierwszy, któ-
ry drugi, a który ostatni.

Gdy pewne elementy ustawimy w ko-
lejności tak, że wiadomo, który ele-
ment jest pierwszy, który drugi, który
trzeci itd., to mówimy, że utworzyli-
śmy ciąg. Tak ponumerowane elemen-
ty nazywamy wyrazami ciągu.

W tabelkach są przedstawione dwa
różne ciągi państw. Jak widać, w wy-
padku ciągu ważne jest nie tylko to,
z jakich wyrazów się składa, ale też
— w jakiej kolejności te wyrazy wy-
stępują.

A

1.

Wskaż w każdym z ciągów przed-

stawionych w tabelkach obok wyrazy:
drugi i dziewiąty.

2.

Którym wyrazem jest Polska?

3.

Ile wyrazów ma każdy z tych ciągów?

4.

Ile wyrazów ciągu znajduje się mię-

dzy Chinami a Polską w pierwszym
ciągu, a ile — w drugim?

Poniżej podajemy kilka przykładów różnych ciągów. Zwróć uwagę, że wy-
razy ciągu mogą się powtarzać.

Ciąg nazw miast — gospodarzy igrzysk olimpijskich od roku 1896 do
roku 2012:

Ateny, Paryż, St. Louis, Londyn, . . . . , Sydney, Ateny, Pekin, Londyn

Ciąg dystynkcji oficerskich w marynarce wojennej (pierwsze z nich nosi
podporucznik, a ostatnie — admirał):

268

CIĄGI

MLR2x str. 269

Ciąg kolejnych liter słowa matematyka w alfabecie semaforowym:

Ciąg kolejnych znaków numeru rejestracyjnego pewnego samochodu:

G, A, 7, 0, 4, 0, N

Ciąg figur budowanych z zapałek:

Ciąg liczb naturalnych podzielnych przez 11:

0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121, 132, . . .

Dwa ostatnie z podanych ciągów mają nieskończenie wiele wyrazów. Takie
ciągi nazywamy ciągami nieskończonymi. Gdy ciąg składa się ze skończo-
nej liczby wyrazów, nazywamy go ciągiem skończonym.

Wyrazy ciągu są ponumerowane — kolejnym liczbom naturalnym odpo-
wiadają kolejne wyrazy ciągu (liczbie 1 odpowiada pierwszy wyraz ciągu,
liczbie 2 — drugi, liczbie 3 — trzeci itd.). Możemy więc powiedzieć, że
wyrazy ciągu to wartości pewnej funkcji określonej na zbiorze liczb natu-
ralnych dodatnich lub na jego skończonym podzbiorze

{1, 2, 3, 4, ..., k}.

Wyrazy ciągu oznaczamy zwykle za pomocą małych liter z indeksem, na
przykład a

1

, a

7

, a

n

(indeks jest dodatnią liczbą naturalną); a

1

oznacza

pierwszy wyraz ciągu, a

7

— siódmy, a a

n

to n-ty wyraz ciągu.

Ciąg a

1

, a

2

, a

3

, a

4

, . . . , a

100

, a

101

, . . . oznaczać będziemy symbolem (a

n

).

Ten ciąg to taka funkcja f , której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych
dodatnich oraz f (n) = a

n

, czyli: f (1) = a

1

, f (2) = a

2

, f (3) = a

3

, . . . , f (100) =

= a

100

, f (101) = a

101

, . . .

Uwaga. Symbolu (a

n

) używać będziemy do oznaczania zarówno ciągów nieskoń-

czonych, jak i ciągów skończonych.

Ciągi, których wszystkie wyrazy są liczbami, nazywamy ciągami liczbowy-
mi. Oto kilka przykładów ciągów liczbowych:

1,

1
2

,

3,

1
4

,

5,

1
6

,

7, . . .

1,

2,

2,

3,

3,

3,

4,

4,

4,

4,

5, . . .

−1,

−2,

3,

4,

−5,

−6,

7,

8, . . .

√

2,

√

3,

√

5,

√

6,

√

7,

√

8,

√

10,

√

11,

√

12,

√

13, . . .

PRZYKŁADY CIĄGÓW

269

MLR2x str. 270

B

W każdym z ciągów liczbowych zapisanych na poprzedniej stronie kolejne
wyrazy powstają według pewnej reguły. Spróbuj odgadnąć tę regułę i napisz
trzy następne wyrazy każdego z tych ciągów.

Niektóre reguły powstawania kolejnych wyrazów ciągu można opisać za
pomocą ogólnego wzoru przedstawiającego zależność wyrazu a

n

od licz-

by n. Na przykład ciąg kolejnych liczb naturalnych parzystych:

0, 2, 4, 6, 8, 10, . . .

można opisać za pomocą wzoru:

a

n

= 2(n − 1)

Korzystając z niego, można obliczyć dowolny wyraz ciągu, na przykład
setny lub pięćset jedenasty:

a

100

= 2(100 − 1) = 198

a

511

= 2(511 − 1) = 1020

Poniżej podajemy przykłady kilku ciągów liczbowych oraz wzory opisujące
te ciągi.

Ciąg

1
2

,

2
3

,

3
4

,

4
5

,

5
6

,

. . .

1,

√

2,

2,

2

√

2,

4,

. . .

1,

−1,

1,

−1,

1,

. . .

2,

6,

12,

20,

30,

. . .

5,

5,

5,

5,

. . .

Wzór ogólny

a

n

=

n

n + 1

b

n

= (

√

2)

n−1

c

n

= (−1)

n+1

d

n

= n(n + 1)

e

n

= 5

C

1.

Oblicz pięćdziesiąty i dwusetny wyraz każdego z powyższych ciągów.

2.

Korzystając z pierwszego wzoru, możemy otrzymać równość a

n+1

=

n+1
n+2

.

Zapisz w podobny sposób liczby:

b

n+1

, c

n−1

, d

n+1

, c

2n

, a

n+1

− a

n

, d

n−1

· d

n

,

d

n + 1

d

n

,

e

n − 1

+ e

n + 1

2

Ciąg można określić, podając pierwszy wyraz (lub kilka początkowych)
i wzór pozwalający obliczyć wyraz a

n+1

na podstawie jednego lub więcej

wyrazów poprzednich. Ten sposób opisywania ciągu nazywamy rekuren-
cyjnym. Rozważmy ciąg liczb:

Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 10 (a

1

= 10), drugi wyraz jest o 1

większy od pierwszego (a

2

= a

1

+ 1), trzeci wyraz jest o 2 większy od

drugiego (a

3

= a

2

+ 2) itd. Ciąg ten można określić za pomocą wzoru

rekurencyjnego: a

1

= 10, a

n+1

= a

n

+ n.

270

CIĄGI

MLR2x str. 271

Oto przykłady ciągów opisanych za pomocą wzorów rekurencyjnych:

Ciąg

−216, −220, −224, −228, . . .

1, 11, 111, 1111, . . .

3, 5, 4, 4

1
2

, 4

1
4

, . . .

Wzór rekurencyjny

a

1

= −216, a

n + 1

= a

n

− 4

b

1

= 1, b

n + 1

= 10b

n

+ 1

d

1

= 3, d

2

= 5, d

n + 2

=

d

n

+ d

n + 1

2

Jeśli wyrazy ciągu są liczbami, z których każda następna jest większa od
poprzedniej, to ciąg nazywamy rosnącym. W takim ciągu dla dowolnych
dwóch kolejnych wyrazów a

n

i a

n+1

zachodzi nierówność a

n

< a

n+1

.

Gdy wyrazy ciągu są takimi liczbami, z których każda następna jest
mniejsza od poprzedniej, to ciąg nazywamy malejącym. W takim ciągu
dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów a

n

i a

n+1

zachodzi nierówność

a

n+1

< a

n

.

Gdy wszystkie wyrazy ciągu są jednakowe, to ciąg nazywamy ciągiem sta-
łym. W ciągu stałym dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów a

n

i a

n+1

zachodzi równość a

n+1

= a

n

.

D

Podaj przykład ciągu rosnącego, ciągu malejącego oraz ciągu, który nie jest
ani rosnący, ani malejący, ani stały.

Aby sprawdzić monotoniczność ciągu określonego wzorem (tzn. spraw-
dzić, czy jest on rosnący, malejący czy stały), wystarczy ustalić znak
różnicy a

n+1

− a

n

. Jeśli różnica ta jest dodatnia (niezależnie od wartości n),

to ciąg jest rosnący, gdy ujemna — malejący, a gdy równa 0 — stały.

P

a) Zbadaj monotoniczność ciągu:

a

n

=

2

n

n + 1

a

n+1

−

a

n

=

2(

n +1)

(

n +1) +1

−

2

n

n +1

=

2

n + 2

n + 2

−

2

n

n +1

=

=

(2

n + 2)(n +1) − 2n(n + 2)

(

n + 2)(n +1)

=

2

n

2

+ 2

n + 2n + 2 − 2n

2

− 4

n

(

n + 2)(n +1)

=

=

2

(

n + 2)(n +1)

> 0

Nierówność jest spełniona, gdyż dla
dowolnej liczby naturalnej dodatniej
n liczby n + 2 oraz n + 1 są dodatnie.

Ponieważ

a

n+1

−

a

n

> 0, więc

a

n+1

>

a

n

. Zatem ciąg

a

n

=

2

n

n + 1

jest rosnący.

b) Zbadaj monotoniczność ciągu:

a

n

=

n

2

− 8

n + 7

a

n+1

−

a

n

= (

n + 1)

2

− 8(

n + 1) + 7 − n

2

+ 8

n − 7 = 2n − 7

Wartość wyrażenia 2

n − 7 może być liczbą dodatnią (np. dla n = 4) lub ujemną

(np. dla

n = 3). Zatem ciąg a

n

=

n

2

− 8

n + 7 nie jest ani rosnący, ani malejący.

PRZYKŁADY CIĄGÓW

271

MLR2x str. 272

ZADANIA

1.

Zapisz kilka różnych ciągów utworzonych z liter twojego imienia.

2.

Antoni Słonimski i Julian Tuwim w „Pracowitej pszczółce — kalendarzyku

encyklopedyczno–informacyjnym na rok 1921” zamieścili wśród wielu innych dow-
cipnych tekstów „Pierwszy spis alfabetyczny wszystkich liczb od 1 do 100”. Ułóż
podobny spis dla liczb naturalnych od 0 do 10.

3.

Poniższe znaki to ciąg kolejnych liczb naturalnych zapisanych po arabsku

(pierwsza to 0). Zapisz szesnasty, dziewiętnasty i pięćdziesiąty wyraz tego ciągu.

4.

Czy domyślasz się, jakie mogą być następne dwa wyrazy podanego ciągu?

a) pn.,

wt.,

śr.,

czw.,

pt.,

sob.,

nd.,

pn.,

. . .

b) 31,

28,

31,

30,

31,

30,

31,

31,

. . .

c)

366

2000

,

365

2001

,

365

2002

,

365

2003

,

366

2004

,

365

2005

,

365

2006

,

. . .

5.

Oto przykład łamigłówki rysunkowej. Jaka mogłaby być następna figura w tym

ciągu?

6.

Ustal, ile wyrazów ciągu (a

n

) znajduje się między wyrazami:

a) a

27

i a

33

b) a

25

i a

108

c) a

n

i a

2n

d) a

n+1

i a

3n

7.

Podaj pierwsze trzy wyrazy, wyraz dziesiąty oraz jedenasty ciągu określonego

następująco:

a) n-tym wyrazem ciągu jest liczba zer w liczbie 10

n

,

b) a

n

to ostatnia cyfra liczby 2

n

,

c) n-ty wyraz ciągu to liczba jedynek występujących w zapisie (dziesiątkowym)
liczby n,

d) a

n

oznacza, ile liter występuje w zapisie liczby n słowami.

8.

Podaj pierwsze trzy wyrazy ciągu określonego wzorem:

a) a

n

= −7n +

1
n

c) a

n

= −n

3

+ 2n + 5

e) a

n

= (−3)

n

+ 3

n

b) a

n

=

2n + 1
2n − 1

d) a

n

= tg nπ

f) a

n

=

2

n

n

2

272

CIĄGI

MLR2x str. 273

9.

Poniżej zapisano wzory ogólne trzech ciągów:

a

n

= (n − 1)(n + 3)

b

n

= 5

n

+ 4

c

n

=

1
2

n − 1

n + 1

Zapisz wyrażenia przedstawiające liczby:

a

n + 1

, b

n − 1

, c

2n + 1

, a

n

− a

1

, b

n + 1

− b

n − 1

,

c

n

c

n − 2

10.

Wzór a

n

= n

2

− n + 41 określa ciąg, którego czterdzieści początkowych wyrazów

to liczby pierwsze. Wzór ten podał matematyk szwajcarski Leonhard Euler.

a) Podaj kilka początkowych wyrazów ciągu (a

n

).

b) Uzasadnij, że a

41

nie jest liczbą pierwszą.

ciekawostka

W tabelce obok przedstawiono średnie odległości od
Słońca sześciu kolejnych planet, licząc od Słońca. Jako
jednostkę odległości przyjęto

1

10

jednostki astronomicz-

nej (czyli

1

10

średniej odległości Ziemi od Słońca).

W 1772 roku niemiecki astronom Daniel Titius zauwa-
żył, że gdyby między liczby 16 i 52 wpisać jeszcze
liczbę 28, to otrzymany ciąg można by opisać prostą
regułą:

a

1

= 4 i a

n

= 4 + 3

· 2

n−2

dla n ≥ 2

Ku zaskoczeniu astronomów, dzięki znacznie później-
szym obserwacjom, znaleziono między Marsem a Jowi-
szem pas planetoid, którego odległość od Słońca odpo-
wiada w tym ciągu liczbie 28.

Średnia

Planeta

odległość

od Słońca

Merkury

4

Wenus

7

Ziemia

10

Mars

16

Jowisz

52

Saturn

100

11.

a) Przeczytaj ciekawostkę. Planetę Uran odkryto dopiero w 1781 roku i dlatego

Titius nie uwzględnił jej w swoich rozważaniach. Jednak liczba w ciągu Titiusa
odpowiadająca planecie następnej po Saturnie jest zdumiewająco bliska prawdziwej
odległości Urana od Słońca. Znajdź tę liczbę.

b) Neptun to następna po Uranie planeta. Znajduje się ona około 30 razy dalej od
Słońca niż Ziemia. Sprawdź, czy i tę odległość pozwalał przewidzieć ciąg Titiusa.

12.

Ciąg jest określony za pomocą wzoru: a

n

=

2n

5

− 8.

a) Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 0?
b) Czy wyrazami tego ciągu są liczby

1
2

,

1
3

i

1
5

?

c) Które wyrazy tego ciągu są większe od 10?

d) Które wyrazy tego ciągu są mniejsze od 13?

13.

Wyrazami każdego z podanych ciągów są kwadraty liczb całkowitych. Znajdź

wzory ogólne tych ciągów.

a) 1, 4, 9, 16, 25, . . .

b) 0, 4, 16, 36, 64, . . .

4, 9, 16, 25, 36, . . .

9, 4, 1, 0, 1, 4, . . .

25, 36, 49, 64, 81, . . .

100, 81, 64, 49, 36, . . .

PRZYKŁADY CIĄGÓW

273

MLR2x str. 274

14.

Podaj wzór ogólny ciągu:

a) 1 + 5

1

, 2 + 5

2

, 3 + 5

3

, . . .

d) 1, 8, 27, 64, 125, . . .

b) 2, 4, 6, 8, 10, . . .

e)

1
2

,

2
3

,

3
4

,

4
5

,

5
6

, . . .

c) 1,

1
2

,

1
3

,

1
4

, . . .

f)

√

3

2

,

2

3

√

2

,

√

5

4

√

3

,

√

6

10

,

√

7

6

√

5

, . . .

15.

Niech S

k

oznacza sumę k początkowych wyrazów ciągu (a

n

), czyli: S

1

= a

1

,

S

2

= a

1

+ a

2

,

S

3

= a

1

+ a

2

+ a

3

,

S

k

= a

1

+ a

2

+ . . . + a

k

.

a) Znajdź S

1

, S

2

, S

3

i S

4

dla ciągu (a

n

) określonego za pomocą wzoru a

n

= 2n.

b) Dla pewnego ciągu (a

n

) wartość S

n

można obliczyć ze wzoru S

n

= n

2

−

5
n

. Oblicz

pierwszy oraz dziesiąty wyraz ciągu (a

n

). Znajdź wzór ogólny ciągu (a

n

).

Wskazówka. a

n

= S

n

− S

n−1

.

16.

Wykaż, że ciąg (a

n

) jest rosnący, a ciąg (b

n

) malejący:

a) a

n

= 4n − 5,

b

n

= −

3
4

n −

1
3

c) a

n

= n

2

+ 3n − 10,

b

n

= −5n

2

+ 10

b) a

n

= −

7
n

+ 1,

b

n

=

1

2n

+ 2

d) a

n

= 5

n+3

,

b

n

=



2
3



n+1

17.

Wykaż, że ciąg (a

n

) nie jest ani rosnący, ani malejący:

a) a

n

=

|5 − n|

b) a

n

=

1

n − 9,5

c) a

n

= n

2

− 6n

d) a

n

= (−2)

n−1

18.

Zbadaj monotoniczność ciągu (a

n

).

a) a

n

= −2n + 20

b) a

n

= 1 + (−1)

n

c) a

n

=

n

n + 1

d) a

n

= n

2

19.

Zbadaj, czy podany ciąg jest ciągiem stałym, czy nie jest.

a) a

n

= (−1)

n

+ (−1)

n+1

b) b

n

= (−1)

n

− (−1)

n

c) c

n

= (−1)

(−1)n

d) d

n

= ((−1)

n

)

n+1

20.

Przyjmijmy, że wszystkie wyrazy ciągu (a

n

) są dodatnie. Czy na podstawie

podanej nierówności można określić monotoniczność ciągu (a

n

)?

a)

a

n + 1

a

n

< 1

b)

a

n + 1

a

n

> 2

c) a

n+1

> a

n

+ 2

d) a

n+1

+ a

n

≥ 0

21.

Przyjmijmy, że ciąg (a

n

) jest rosnący. Wskaż te ciągi, które na pewną są rosnące.

b

n

= a

n

+ 5

c

n

= −a

n

d

n

=

|a

n

|

r

n

= a

n

+ a

n+1

t

n

=

a

n

4

22.

Wymyśl regułę rekurencyjną opisującą jakiś ciąg i oblicz kilka początkowych

wyrazów tego ciągu.

23.

Podaj cztery pierwsze wyrazy ciągu określonego rekurencyjnie:

a) a

1

= 90 i a

n+1

=

a

n

3

+ 3

c) a

1

= 1 i a

n+1

= 2a

n

− n

b) a

1

= −5 i a

n+1

= a

n

+ 3(n − 1)

n+1

d) a

1

= −2, a

2

= 2 i a

n+2

= a

n

· a

n+1

274

CIĄGI

MLR2x str. 275

24.

Podaj wzór rekurencyjny i ogólny ciągu:

a) 5, 10, 15, 20, 25, . . .

b) 3a, 3a − 1, 3a − 2, 3a − 3, . . .

ciekawostka

W roku 1202 Leonardo z Pizy, zwany Fi-
bonaccio (czyt. fibonaczio), opublikował
słynną „Księgę abaku”, w której spisał
ówczesną wiedzę matematyczną. W jed-
nym z zadań tej księgi rozważał pewien
ciąg liczb, który (jak się później oka-
zało) ma niezwykłe własności. W ciągu
tym pierwszy i drugi wyraz to 1, a każdy
następny jest sumą dwóch poprzednich.
Zatem:

a

1

= 1, a

2

= 1, a

n+2

= a

n

+ a

n+1

.

Okazuje się, że w różnych zjawiskach
przyrodniczych można dostrzec ciąg Fi-
bonacciego. Ciekawe jest to, że ciąg ten
jest ściśle związany z często stosowa-
nym przez artystów tzw. „złotym po-
działem” i wynikającą z niego „złotą
liczbą” ϕ =

1 +

√

5

2

. Można bowiem wyka-

zać, że wzór ogólny ciągu Fibonacciego
jest następujący:

a

n

=

1

√

5



ϕ

n

−



−

1

ϕ



n



25.

a) Zapisz dziesięć początkowych wyrazów ciągu Fibonacciego.

b) Jeśli krowa rodzi swoje pierwsze cielę-jałówkę w wieku dwóch lat, a potem nową
jałówkę każdego roku, to ile krów będzie po 12 latach — przy założeniu, że żadna
nie padnie? To zadanie podał znany twórca łamigłówek H. Dudeney. Przyjął on,
że każda jałówka po 2 latach także zacznie rodzić cielęta — jałówki. Sprawdź, że
liczby krów w kolejnych latach tworzą ciąg Fibonacciego.

c) Korzystając z podanego w ciekawostce ogólnego wzoru ciągu Fibonacciego,
sprawdź, że a

1

= a

2

= 1. Posługując się kalkulatorem, oblicz z tego wzoru a

3

i a

4

.

TEST

T1.

Cztery początkowe wyrazy ciągu a

n

= n + (−2)

n

to:

A. −1, −2, −5, −12

B. 1, 5, 9, 13

C. −1, 6, −5, 20

D. −1, 6, −3, 12

T2.

Wskaż ciąg, którego jednym z wyrazów jest 2.

A. a

n

= 2n + 2

B. b

n

=

n + 8

2

C. c

n

= 2n

2

− 2

D. d

n

=

2

8 − n

T3.

Ciąg jest określony wzorem a

n

=

5

n + 1

. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

I

Ciąg jest malejący.

TAK/NIE

II

Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie.

TAK/NIE

III

Dziewiąty wyraz tego ciągu jest 10 razy większy niż a

99

.

TAK/NIE

T4.

Ciąg (a

n

) jest określony wzorem rekurencyjnym: a

1

= 0

a

n+1

= −2a

n

+ 5

Piąty wyraz tego ciągu jest równy:

A. −25

B. −5

C. 0

D. 15

PRZYKŁADY CIĄGÓW

275

MLR2x str. 276

CIĄGI

A

RYTM

ETY

C

ZNE

CIĄGI ARYTMETYCZNE

A

Spróbuj odkryć regułę, według której powstają kolejne wyrazy ciągu. Podaj
dwa następne wyrazy.

1.

1, 11, 21, 31, 41, . . .

2.

1,

1
3

, −

1
3

, −1, −1

2
3

, −2

1
3

, . . .

3.

5, 3, 1, −1, −3, −5, . . .

4.

π, 3π, 5π, 7π, 9π, 11π, . . .

W każdym z ciągów przedstawionych w ćwiczeniu A kolejny wyraz po-
wstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego pewnej liczby dodatniej
albo ujemnej, zawsze takiej samej. Takie ciągi nazywamy arytmetyczny-
mi. Aby stwierdzić, czy ciąg jest arytmetyczny, wystarczy sprawdzić, czy
różnice między kolejnymi jego wyrazami są jednakowe.

Ciąg (a

n

) nazywamy arytmetycznym, jeśli ma co najmniej trzy wyrazy

i każdy jego wyraz, z wyjątkiem pierwszego, powstaje przez dodanie do wy-
razu poprzedniego pewnej stałej liczby r . Liczbę r nazywamy różnicą cią-
gu. Ciąg arytmetyczny możemy opisać za pomocą wzoru rekurencyjnego.

Wzór rekurencyjny ciągu arytmetycznego (a

n

) o różnicy r :

a

n+1

=

a

n

+

r

Zauważ, że dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów a

n

i a

n+1

ciągu aryt-

metycznego zachodzi równość a

n+1

− a

n

= r .

B

Zapisz kilka początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o podanym pierw-
szym wyrazie i różnicy.

1.

a

1

= 10,

r = 7

2.

a

1

= 22,

r = −2

3.

a

1

= 8,

r = 0

C

Niech r oznacza różnicę pewnego ciągu arytmetycznego (a

n

).

1.

Który wyraz tego ciągu otrzymamy, gdy do wyrazu a

50

dodamy 2r , a który

— gdy od wyrazu a

100

odejmiemy 5r ?

2.

Jaką otrzymamy liczbę, gdy od wyrazu a

30

odejmiemy a

22

?

Jeśli ciąg (a

n

) jest cią-

giem arytmetycznym, to:

a

n

=

a

n−1

+

a

n+1

2

W ciągu arytmetycznym każdy wyraz (któ-
ry nie jest ani pierwszym, ani ostatnim)
jest równy średniej arytmetycznej dwóch
sąsiednich wyrazów. Z tej własności pew-
nie wzięła się nazwa „ciąg arytmetyczny”.

D

Niech (a

n

) będzie ciągiem arytmetycznym o różnicy r . Zapisz za pomocą a

n

oraz r wyrazy: a

n−1

, a

n+1

. Sprawdź, czy średnia arytmetyczna tych wyrazów

jest równa a

n

.

276

CIĄGI

MLR2x str. 277

E

W ciągu arytmetycznym (a

n

) pierwszy wyraz jest równy 7, a różnica tego ciągu

wynosi

√

2. Znajdź kilka początkowych wyrazów ciągu (a

n

) oraz wyrazy a

10

,

a

20

, a

100

. Podaj wzór ogólny tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym o różnicy r i pierwszym wyrazie a

1

kolejne wyrazy

są równe:

a

2

= a

1

+ r

a

3

= a

2

+ r = a

1

+ 2r

a

4

= a

3

+ r = a

1

+ 3r

itd.

Z równości tych wynika wzór ogólny ciągu (a

n

).

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego (a

n

) o różnicy r :

a

n

=

a

1

+ (

n − 1)r

Oto przykłady ciągów arytmetycznych oraz ich wzory rekurencyjne i ogólne.

Ciąg arytmetyczny

√

2,

√

2 + 3,

√

2 + 6, . . .

1,

3
4

,

1
2

,

1
4

, 0, −

1
4

, . . .

Wzór rekurencyjny

a

1

=

√

2

a

n+1

= a

n

+ 3

a

1

= 1

a

n+1

= a

n

−

1
4

Wzór ogólny

a

n

=

√

2 + 3(n − 1)

a

n

= 1 −

1
4

(n − 1)

F

Zapisz wzory ogólne ciągów podanych w ćwiczeniu A. Oblicz dwudziesty piąty
wyraz każdego z tych ciągów.

P

W ciągu arytmetycznym dane są

a

5

= 8 oraz

a

12

= −6. Oblicz

a

50

.

a

n

=

a

1

+ (

n − 1)r

Zapisujemy wzór ogólny ciągu arytmetycznego.



8 =

a

1

+ 4

r

−6 =

a

1

+ 11

r

Korzystając z tego, że

a

5

= 8 i

a

12

= −6,

zapisujemy układ równań.

 a

1

= 8 − 4

r

−6 = 8 − 4

r + 11r

7

r = −14
r = −2

a

1

= 8 − 4

r

a

1

= 8 − 4

· (−2) = 16

a

50

= 16 + 49

· (−2) = −82

Ze wzoru ogólnego wiemy, że

a

50

=

a

1

+ 49

r.

Uwaga. Zwróć uwagę, że aby obliczyć różnicę r w powyższym przykładzie, można
było skorzystać z równości a

12

= a

5

+ 7r .

CIĄGI ARYTMETYCZNE

277

MLR2x str. 278

ciekawostka

Carl Friedrich Gauss, jeden z najwybitniejszych matematyków, już od
najmłodszych lat wykazywał niezwykłe zdolności matematyczne.

Podobno gdy Gauss miał 7 lat, nauczyciel w jego klasie kazał uczniom
obliczyć sumę liczb naturalnych od 1 do 50. Zapewne miał nadzieję, że
zajmie to uczniom dużo czasu i dzięki temu będzie miał spokój do końca
lekcji. Można sobie wyobrazić jego zaskoczenie, gdy młody Gauss podał
poprawną odpowiedź już po chwili. Być może Gauss liczył w następu-
jący sposób: zapisał liczby od 1 do 50, a pod spodem te same liczby
w odwrotnej kolejności i wykonał dodawanie.

1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 49 + 50

+

50 + 49 + 48 + 47 + . . . + 2 + 1

51 + 51 + 51 + 51 + . . . + 51 + 51 = 51

·50

W ten sposób otrzymał liczbę 2 razy większą niż szukana suma. Zatem:

1 + 2 + 3 + . . . + 50 =

51

· 50

2

= 1275

Opisany w powyższej ciekawostce sposób obliczania sumy 50 początko-
wych liczb naturalnych można wykorzystać do znalezienia sumy począt-
kowych wyrazów dowolnego ciągu arytmetycznego.

Niech (a

n

) oznacza ciąg arytmetyczny o różnicy r . Zapiszmy sumę wyra-

zów od a

1

do a

n

, a pod spodem — tę samą sumę, ale składniki ustawmy

w odwrotnej kolejności.

a

1

+ a

2

+ a

3

+ . . . + a

n

a

n

+ a

n−1

+ a

n−2

+ . . . + a

1

Sumy te zapisano poniżej w innej postaci i dodano odpowiednie wyrazy:

a

1

+ (a

1

+ r ) + (a

1

+ 2r ) + . . . +

a

n

+

a

n

+ (a

n

− r ) + (a

n

− 2r ) + . . . +

a

1

(a

1

+ a

n

) + (a

1

+ a

n

) + (a

1

+ a

n

) + . . . + (a

1

+ a

n

) = (a

1

+ a

n

)

· n

Suma n początkowych

wyrazów ciągu arytme-

tycznego (a

n

):

S

n

=

a

1

+

a

n

2

· n

Niech S

n

oznacza sumę a

1

+ a

2

+ . . . + a

n

.

Z powyższych rozważań wynika równość:

2S

n

= (a

1

+ a

n

)

· n

Stąd:

S

n

=

a

1

+ a

n

2

· n

G

1.

Oblicz sumę jedenastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,

w którym a

1

= −12 i r = 0,2.

2.

Oblicz sumę pięćdziesięciu początkowych dodatnich liczb parzystych.

278

CIĄGI

MLR2x str. 279

P

Liczby 5, 1, −3 to trzy początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego (

a

n

). Oblicz

sumę

a

11

+

a

12

+ . . . +

a

30

.

a

11

+

a

12

+ . . . +

a

30

=

S

30

−

S

10

a

1

= 5,

r = 1 − 5 = −4

a

n

= 5 + (

n − 1) · (−4)

a

30

= 5 + 29

· (−4) = −111

S

30

=

5 −111

2

· 30 = −1590

a

10

= 5 + 9

· (−4) = −31

S

10

=

5 − 31

2

· 10 = −130

Szukana suma wynosi

S

30

−

S

10

= −1590 − (−130) = −1460.

Uwaga. Zadanie w powyższym przykładzie można było rozwiązać inaczej — za-
uważyć, że ciąg b

1

= a

11

, b

2

= a

12

, . . . , b

20

= a

30

, . . . jest ciągiem arytmetycznym.

Szukana suma jest równa sumie pierwszych dwudziestu wyrazów ciągu (b

n

).

ZADANIA

1.

Podany ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Oblicz różnicę tego ciągu i zapisz

kolejne dwa jego wyrazy.

a) −3, 2, 7, . . .

d) 125,5, 120, 114,5, . . .

b) 1 +

√

2, 1 + 2

√

2, 1 + 3

√

2, . . .

e) 1

3
7

,

6
7

,

2
7

, . . .

c) 10,2, 10,6, 11, . . .

f) (1 +

√

2)

2

, 3, (1 −

√

2)

2

, . . .

2.

Zapisz drugi, trzeci i czwarty wyraz ciągu arytmetycznego, w którym:

a) a

1

= 7, r = −3

c) a

7

= −4, r = 0

b) a

5

= 11, r = 2

d) a

5

= 13, a

6

= 6

3.

Podany ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Ustal jego różnicę i podaj dwa pierw-

sze wyrazy tego ciągu.

a) a

1

, a

2

, 24, 31, 38, . . .

c) a

1

, a

2

, m + 7, m − 7, m − 21, . . .

b) a

1

, a

2

, −3, −5, −7, . . .

d) a

1

, a

2

,

x − 3

4

,

x − 4

4

,

x − 5

4

, . . .

Liczby pierwsze mniejsze od 50:

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

4.

a) Zapisz trójwyrazowy ciąg arytme-

tyczny malejący, którego wyrazami są
liczby pierwsze.

b) Zapisz pięciowyrazowy ciąg arytme-
tyczny o różnicy 6, którego wyrazami
są liczby pierwsze.

CIĄGI ARYTMETYCZNE

279

MLR2x str. 280

5.

a) Pierwszym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego jest liczba −3, a piątym

– liczba 15. Znajdź drugi, trzeci i czwarty wyraz tego ciągu.

b) Liczby 2, a, b, c, d, −24 tworzą ciąg arytmetyczny. Znajdź liczby a, b, c i d.
c) Wstaw pomiędzy liczby

1
2

i 8 sześć liczb tak, by razem tworzyły one osiem

kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

6.

Ile jest nieskończonych ciągów arytmetycznych o wyrazach całkowitych, w któ-

rych pierwszym wyrazem jest liczba 3, a jednym z wyrazów jest liczba 15?

7.

Ustal, dla jakiej wartości t podane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytme-

tycznego.

a) −6, −12, 18 − t

2

b)

t − 1

2

, 8,

t + 3

2

8.

Podaj przykład ciągu arytmetycznego rosnącego oraz przykład ciągu arytme-

tycznego malejącego. Jak monotoniczność ciągu arytmetycznego zależy od jego
różnicy?

9.

Oto wzory ogólne czterech ciągów. Które z tych ciągów są arytmetyczne?

a

n

= −13 − 5n

b

n

=

4n + n

2

n

c

n

=



3 + (n − 1)

· 2

d

n

=

6n

2

+ 12n

n + 2

10.

Przyjmijmy, że ciągi (a

n

) i (b

n

) są arytmetyczne. Wykaż, że ciąg (c

n

), w którym

c

n

= a

n

+ b

n

, też jest arytmetyczny.

11.

Załóżmy, że ciąg (a

n

) jest ciągiem arytmetycznym.

a) Znajdź a

10

, jeśli a

1

= 2 i r = 5.

c) Znajdź a

13

, jeśli a

1

= 1 i a

2

= 4.

b) Znajdź a

21

, jeśli a

1

=

√

2 i r =

√

2.

d) Znajdź a

100

, jeśli a

1

= −6 i a

2

= −8.

12.

a) Zapisz wzory ogólne i rekurencyjne następujących ciągów arytmetycznych:

5

1
7

, 5

4
7

, 6, . . .

3 + 4

√

3, 3 +

√

3, 3 − 2

√

3, . . .

−27,4, −26, −24,6, . . .

b) Zapisz wzory ogólne ciągów arytmetycznych (określonych rekurencyjnie):

a

1

= −7 i a

n+1

= a

n

+ 2

b

1

=

1
4

i b

n+1

= b

n

−

1
2

c

1

= −13 i c

n+1

= c

n

− 0,2

c) Zapisz wzory rekurencyjne ciągów arytmetycznych (określonych wzorami ogól-
nymi):

x

n

= 4 + 5(n − 1)

y

n

= −2,5 +

n
2

z

n

= 104 − 4n

13.

Załóżmy, że ciąg (a

n

) jest arytmetyczny.

a) Znajdź różnicę ciągu oraz a

12

, jeśli a

1

= 3 i a

13

= −5,4.

b) Oblicz a

1

oraz a

15

, jeśli a

31

= 8, a różnica wynosi 0,1.

c) Znajdź różnicę ciągu oraz a

1

, jeśli a

100

= 100 i a

102

= 104.

d) Znajdź różnicę ciągu oraz a

1

, jeśli a

5

= −8 i a

9

= −2.

280

CIĄGI

MLR2x str. 281

14.

W pewnym ciągu arytmetycznym wyraz dziesiąty jest liczbą 2 razy większą niż

wyraz piąty i zarazem liczbą o 2 mniejszą od wyrazu piętnastego. Znajdź pierwszy
wyraz i różnicę tego ciągu.

15.

Sprawdź, czy liczba −120 jest wyrazem podanego ciągu arytmetycznego. Jeśli

tak — to którym?

a) −240, −230, . . .

b) 26, 22, . . .

c) 66, 65

1
2

, . . .

16.

Ustal, ile wyrazów ma ciąg arytmetyczny:

a) 7, 11, 15, . . . , 55

b) 121, 132, 143, . . . , 1100

17.

Dane są ciągi arytmetyczne 17, 21, . . . oraz 16, 21, . . . . Znajdź pięć początko-

wych liczb, które występują zarówno w jednym, jak i w drugim ciągu.

18.

a) Wybierz dowolną liczbę naturalną większą od 1. Zapisz rosnący ciąg wszyst-

kich liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez wybraną przez ciebie liczbę dają
resztę 1. Sprawdź, czy otrzymany ciąg jest ciągiem arytmetycznym.

b) Wykaż, że jeśli wyrazami ciągu arytmetycznego są liczby całkowite, to przy dzie-
leniu każdej z tych liczb przez różnicę ciągu otrzymamy taką samą resztę.

CIEKAWOSTKA

Ciąg arytmetyczny ma ścisły związek
z funkcją liniową. Dla dowolnej funkcji
liniowej f (x) = ax + b wartości f (1), f (2),
f (3), . . . tworzą ciąg arytmetyczny.

Kolejne wyrazy tego ciągu to: a

·1 + b,

a

·2 + b, a·3 + b, a·4 + b, ...

Liczby te można zapisać inaczej:

a + b, a + b + a, a + b + 2a, a + b + 3a, . . .

Widać więc, że jest to ciąg arytmetyczny
o pierwszym wyrazie a + b i różnicy a.

Wynika stąd m.in., że dla danej funkcji
liniowej różnica między jej wartościami
dla dwóch kolejnych liczb naturalnych
jest zawsze taka sama (zob. rysunek).

Można wykazać ogólniejszą własność:
Ciąg (a

n

) jest ciągiem arytmetycznym

wtedy i tylko wtedy, gdy punkty (1, a

1

),

(2, a

2

), (3, a

3

) itd. leżą na jednej prostej.

19.

a) Dana jest funkcja f (x) = −3x + 5. Sprawdź, że ciąg f (1), f (2), f (3), . . . jest

ciągiem arytmetycznym. Podaj pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

b) Dany jest ciąg arytmetyczny a

1

= −5, a

2

= −2, a

3

= 1, . . . . Znajdź wzór takiej

funkcji liniowej f , że f (1) = a

1

, f (2) = a

2

, f (3) = a

3

, . . . .

c) Wykaż, że jeśli f jest funkcją liniową, a ciąg a

1

, a

2

, a

3

, . . . jest ciągiem arytme-

tycznym, to ciąg f (a

1

), f (a

2

), f (a

3

), . . . też jest ciągiem arytmetycznym.

CIĄGI ARYTMETYCZNE

281

MLR2x str. 282

20.

a) Oblicz sumę dwudziestu jeden początkowych wyrazów ciągu arytmetyczne-

go, w którym a

1

= 42 i r = −3.

b) Oblicz sumę trzydziestu pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
a

n

= 8 − 5n.

c) Oblicz sumę stu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego −5

1
2

, −5, −4

1
2

, . . . .

d) Suma dziesięciu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 21 oraz
a

7

= 3

2
3

. Oblicz a

1

i r .

e) W ciągu arytmetycznym a

4

= −1,9 i a

7

= −4. Oblicz sumę dziewiętnastu pierw-

szych wyrazów tego ciągu.

21.

a) Oblicz sumę wyrazów od dziesiątego do trzydziestego dla ciągu arytmetycz-

nego, w którym a

1

= −5 i r =

1
2

.

b) Dla pewnego ciągu arytmetycznego S

10

= −37,5, a S

20

= 25. Oblicz S

30

.

c) Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym
S

20

= 33, a S

30

= 86.

22.

Ciąg (a

n

) jest arytmetyczny i S

n

= a

1

+ a

2

+ . . . + a

n

. Znajdź pierwszy wyraz

i różnicę ciągu (a

n

), wiedząc, że:

a) S

2

= −24, a

2

= 12

b) S

2

= 13, S

3

= 16

c) S

n

= 4n

2

− 9n

23.

Ile zapałek potrzeba do ułożenia setnej figury w podanym ciągu? Ile figur tego

ciągu można ułożyć z 1000 zapałek?

24.

W pierwszym rzędzie amfiteatru może zasiąść 40 osób, a w każdym następ-

nym rzędzie — o 8 osób więcej. Ile miejsc znajduje się w ostatnim, dwudziestym
pierwszym rzędzie? Ile miejsc ma ten amfiteatr?

282

CIĄGI

MLR2x str. 283

25.

Dachówki są ułożone na jednej po-

łaci dachu w szesnastu rzędach. Naj-
niższy rząd składa się ze 130 dachó-
wek, a w każdym następnym rzędzie
leży o 5 dachówek mniej niż w rzędzie
poprzednim. Ile dachówek leży w naj-
wyższym rzędzie? Ile dachówek leży na
całej połaci dachu?

26.

Która z dwóch podanych ofert jest według ciebie korzystniejsza? Oblicz w obu

przypadkach sumę zarobioną po 5 latach.

Oferta 1: Wynagrodzenie wypłacane
jest co pół roku. Pierwsza wypłata
wyniesie 10 000 zł, a po każdym na-
stępnym półroczu dostaniesz 100 zł
podwyżki.

Oferta 2: Wynagrodzenie wypłacane
jest raz w roku. Pierwsza wypłata
wyniesie 21 100 zł, a po każdym na-
stępnym roku dostaniesz 200 zł pod-
wyżki.

27.

Układamy domek z kart tak, że w każdej war-

stwie są o 3 karty mniej niż w poprzedniej, a naj-
wyższe „piętro” zbudowane jest z dwóch kart.

a) Wyobraź sobie, że mamy do dyspozycji 2 talie
kart (tzn. 104 karty). Ile kondygnacji może mieć
domek ułożony z tych kart? Ile kart potrzeba do
ułożenia parteru tego domku?

b) Według księgi rekordów Guinnessa najwyższa bu-
dowla ułożona z kart miała 131 kondygnacji. Ile ta-
lii kart potrzeba do ułożenia tak wysokiego domku
w sposób, który opisaliśmy na początku?

28.

Oblicz sumę wyrazów ciągu arytmetycznego:

a) 2 + 4 + 6 + . . . + 248

c) −34 − 38 − 42 − . . . − 126

b) 12,5 + 11,25 + 10 + . . . + (−5)

d) 29

1
3

+ 28

2
3

+ 28 + . . . + 17

1
3

29.

a) Oblicz sumę wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych.

b) Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 210.
c) Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych większych od 39 i mniejszych od 93.

30.

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych:

a) podzielnych przez 3 i mniejszych od 1000,
b) niepodzielnych przez 5 i mniejszych od 500,
c) mniejszych od 200, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 2.

CIĄGI ARYTMETYCZNE

283

MLR2x str. 284

31.

Oblicz:

a) 13,7 +

2
7

+ 13,3 +

5
7

+ 12,9 + 1

1
7

+ . . . + 8,1 + 6

2
7

b) 12 − 7 + 10 − 4 + 8 − 1 + 6 + 2 + . . . − 20 + 41

c) −129 − 6 − 123 − 11 − 117 − 16 − 111 − 21 − . . . − 69 − 56

32.

Ile początkowych wyrazów podanego ciągu arytmetycznego należy dodać, aby

otrzymana suma była większa od liczby p?

a) −2,7, −2,1, −1,5, −0,9, . . . ,

p = 2

c) a

3

= 1, a

2

=

4
5

,

p = 13

b) a

1

= −59, r = 10,

p = −29

d) S

5

= −35, a

5

= −1,

p = 0

33.

Lewa strona równania jest sumą wyrazów ciągu arytmetycznego. Rozwiąż to

równanie.

a) 0,2 + (0,2 + x) + . . . + (0,2 + 19x) = −129

c) 13 + 11 + 9 + . . . + x = −51

b) x + (x + 3) + . . . + (x + 57) = 580

d) −24,3 − 23,7 − 23,1 − . . . − x = −480

34.

Sumę n początkowych wyrazów pewnego ciągu (a

n

) można obliczyć ze wzoru

S

n

= 20n−3n

2

. Znajdź wzór ogólny ciągu (a

n

). Wykaż, że ciąg (a

n

) jest arytmetyczny.

TEST

T1.

Dziesiątym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego jest 20, a trzynastym wy-

razem tego ciągu jest 29. Drugim wyrazem tego ciągu jest:

A. −4

B. −1

C. 3

D. 7

T2.

Trzy początkowe wyrazy pewnego skończonego ciągu arytmetycznego to licz-

by 1, 1

5
6

, 2

2
3

, a ostatnim wyrazem jest liczba 16. Ile wyrazów ma ten ciąg?

A. 16

B. 17

C. 18

D. 19

T3.

Istnieją dwie wartości p, dla których ciąg p, 6, p

2

jest ciągiem arytmetycznym.

Suma tych dwóch wartości jest równa:

A. −6

B. −1

C. 0

D. 3

T4.

Suma pewnej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 65.

Pierwszy z tych wyrazów jest równy 8, a ostatni 18. Ile wyrazów sumowano?

A. 13

B. 26

C. 5

D. 9

284

CIĄGI

MLR2x str. 285

CIĄGI

G

EOM

ETRY

CZNE

CIĄGI GEOMETRYCZNE

Załóżmy, że ktoś wysłał do 100 osób SMS
o treści, którą podajemy obok.

Załóżmy też, że każda osoba, która otrzy-
mała taką wiadomość, wysłała cztery SMS-y.
W takim razie każdego dnia wysyłano ta-
kich SMS-ów 4 razy więcej niż dnia po-
przedniego. Zatem w ciągu kolejnych dni
liczba wysłanych SMS-ów wyniosła:

100, 100

· 4, 100 · 4

2

, 100

· 4

3

, 100

· 4

4

,

100

· 4

5

, 100

· 4

6

, . . .

Łatwo zauważyć, że dziesiątego dnia liczba wysłanych SMS-ów wyniosłaby
100

· 4

9

, czyli ponad 26 milionów.

A

Przyjmijmy, że operatorzy sieci komórkowych na każdej wysłanej wiadomości
zarabiają 10 gr. Jaki dochód przyniesie „łańcuszek szczęścia” w jedenastym
dniu zabawy?

Kolejne wyrazy ciągu 100, 100

· 4, 100 · 4

2

, . . . otrzymujemy, mnożąc

poprzedni wyraz przez 4. Ciąg, w którym kolejne wyrazy powstają przez
pomnożenie poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę, nazywamy ciągiem
geometrycznym. Aby stwierdzić, czy dany ciąg o wyrazach różnych od 0
jest geometryczny, wystarczy sprawdzić, czy obliczając iloraz wyrazu przez
wyraz go poprzedzający, otrzymujemy zawsze tę samą liczbę.

Ciąg (a

n

) nazywamy geometrycznym, jeśli ma co najmniej trzy wyrazy

i każdy jego wyraz, z wyjątkiem pierwszego, powstaje w wyniku pomnoże-
nia poprzedniego wyrazu przez pewną stałą liczbę q. Liczbę q nazywamy
ilorazem ciągu. Ciąg geometryczny można opisać za pomocą wzoru reku-
rencyjnego.

Wzór rekurencyjny ciągu geometrycznego o ilorazie q:

a

n+1

=

a

n

· q

Zauważ, że dla dowolnych dwóch kolejnych (niezerowych) wyrazów a

n

i a

n+1

ciągu geometrycznego zachodzi równość

a

n+1

a

n

= q.

B

Oto przykłady ciągów geometrycznych. Oblicz ich ilorazy.

1.

3, 1,

1
3

,

1
9

,

1

27

,

1

81

, . . .

2.

−

1
4

,

1
2

, −1, 2, −4, 8, . . .

3.

−3, −0,3, −0,03, −0,003, −0,0003, . . .

4.

1 +

√

2,

√

3 +

√

6,

3 + 3

√

2,

3

√

3 + 3

√

6, . . .

CIĄGI GEOMETRYCZNE

285

MLR2x str. 286

C

Zapisz cztery początkowe wyrazy ciągu geometrycznego o podanym pierw-
szym wyrazie i podanym ilorazie.

1.

a

1

= 18,

q =

2
3

2.

a

1

= 1,

q =

√

2

3.

a

1

= 2

√

3,

q = 0

4.

a

1

= −π,

q = −1

D

Niech (a

n

) oznacza ciąg geometryczny o ilorazie q.

1.

Który wyraz tego ciągu otrzymamy, gdy wyraz a

37

pomnożymy przez q

2

,

a który — gdy wyraz a

101

podzielimy przez q

5

?

2.

Jaką liczbę otrzymamy, dzieląc wyraz a

55

przez a

48

?

3.

Przez jaką liczbę trzeba pomnożyć wyraz a

22

, aby otrzymać wyraz a

37

?

E

Podaj przykład dowolnego ciągu geometrycznego. Wybierz trzy kolejne wyrazy
tego ciągu. Oblicz kwadrat środkowego wyrazu i iloczyn dwóch pozostałych.

W ciągu geometrycz-
nym (a

n

) o wyrazach

nieujemnych:

a

n

=

√

a

n −1

· a

n +1

Średnią geometryczną dwóch liczb nie-
ujemnych a i b nazywamy liczbę

√

a

· b.

Łatwo wykazać, że w ciągu geometrycz-
nym o wyrazach nieujemnych każdy wy-
raz (który nie jest pierwszym ani ostatnim
wyrazem ciągu) jest równy średniej geo-
metrycznej sąsiednich wyrazów.

Tej własności ciąg geometryczny zawdzięcza zapewne swą nazwę.

F

Niech (a

n

) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q i wszystkich wyrazach

dodatnich. Zapisz za pomocą a

n

oraz q wyrazy a

n−1

i a

n+1

. Wykaż, że średnia

geometryczna liczb a

n−1

i a

n+1

jest równa a

n

.

W ciągu geometrycznym (a

n

) o pierwszym wyrazie a

1

i ilorazie q począt-

kowe wyrazy są równe:

a

1

a

2

= a

1

· q

a

3

= a

2

· q = a

1

q

2

a

4

= a

3

· q = a

1

q

3

itd.

Równości te prowadzą do wzoru:

Wzór ogólny ciągu geometrycznego (a

n

) o ilorazie q:

a

n

=

a

1

· q

n−1

286

CIĄGI

MLR2x str. 287

Oto przykłady ciągów geometrycznych i ich wzory rekurencyjne i ogólne:

Ciąg geometryczny

√

2, 3

√

2, 9

√

2, . . .

3, −

3
4

,

3

16

, . . .

Wzór rekurencyjny

a

1

=

√

2

a

n+1

= 3a

n

a

1

= 3

a

n+1

= −

1
4

a

n

Wzór ogólny

a

n

=

√

2

· 3

n−1

a

n

= 3

·



−

1
4



n−1

G

Znajdź wzory rekurencyjne i ogólne ciągów geometrycznych z ćwiczenia B.

P

W ciągu geometrycznym o pierwszym wyrazie równym 2 piąty wyraz jest o 40
większy od trzeciego. Znajdź wzór ogólny tego ciągu.

a

5

=

a

3

+ 40

Równość wynika z warunków zadania.

2

q

4

= 2

q

2

+ 40

Korzystamy z tego, że

a

5

=

a

1

q

4

= 2

q

4

oraz

a

3

=

a

1

q

2

= 2

q

2

.

q

4

−

q

2

− 20 = 0

Niech

q

2

=

t, wówczas t

2

−

t − 20 = 0.

Δ = 1 + 80 = 81

t

1

=

1 + 9

2

= 5

t

2

=

1 − 9

2

= −4

q

2

= 5

lub

q

2

= −4

q =

√

5 lub

q = −

√

5

równanie sprzeczne

a

n

= 2(

√

5)

n−1

lub

a

n

= 2(−

√

5)

n−1

Dwa ciągi spełniają warunki zadania.

H

Podaj przykład ciągu geometrycznego, który:

1.

jest rosnący, a jego pierwszy wyraz jest liczbą dodatnią,

2.

jest malejący, a jego pierwszy wyraz jest liczbą ujemną,

3.

nie jest ani rosnący, ani malejący.

Ciąg geometryczny (a

n

) o ilorazie q jest:

ciągiem rosnącym, gdy:

a

1

> 0 i q > 1

(np. 0,7, 7, 70, 700, . . .)

lub

a

1

< 0 i 0 < q < 1

(np. −0,5, −0,05, −0,005, . . .)

ciągiem malejącym, gdy:

a

1

> 0 i 0 < q < 1

(np. 6, 3, 1,5, 0,75, . . .)

lub

a

1

< 0 i q > 1

(np. −10, −20, −40, −80, . . .)

Uwaga. Ciąg geometryczny o ilorazie q = 1 jest ciągiem stałym. Ciągiem stałym
jest także ciąg geometryczny, którego pierwszy wyraz jest równy 0.

CIĄGI GEOMETRYCZNE

287

MLR2x str. 288

Niech S

n

oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu geometryczne-

go (a

n

):

S

n

= a

1

+ a

2

+ a

3

+ . . . + a

n−1

+ a

n

Mnożąc obie strony powyższej równości przez q, otrzymujemy:

Wobec tego liczba S

n

q jest równa sumie wyrazów od a

2

do a

n+1

.

Stąd:

S

n

− S

n

q = (a

1

+ a

2

+ . . . + a

n

) − (a

2

+ a

3

+ . . . + a

n

+ a

n+1

)

S

n

(1 − q) = a

1

− a

n+1

S

n

=

a

1

− a

n + 1

1 − q

dla q

= 1

Tę równość możemy zapisać w innej postaci:

S

n

=

a

1

− a

1

q

n

1 − q

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (a

n

) o ilorazie q

= 1:

S

n

=

a

1

·

1 −

q

n

1 −

q

Uwaga. Jeśli w ciągu geometrycznym q = 1, to S

n

= na

1

.

I

Oblicz sumę wyrazów skończonego ciągu geometrycznego:

1.

1, 3, 9, 27, 81, 243, 729

2.

1, −

2
3

,

4
9

, −

8

27

,

16
81

P

Składniki poniższej sumy są wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz tę sumę.

4 + 12 + 36 + . . . + 4

· 3

10

a

1

= 4,

a

n

= 4

· 3

10

,

q =

12

4

= 3

Korzystamy z równości

q = a

2

a

1

.

4

· 3

10

= 4

· 3

n−1

10 =

n − 1

n = 11

Ustalamy, którym wyrazem ciągu jest wyraz
4

· 3

10

, korzystając ze wzoru

a

n

=

a

1

· q

n−1

.

S

11

= 4

·

1 − 3

11

1 − 3

= 4

·

1 − 177 147

−2

= 354 292

288

CIĄGI

MLR2x str. 289

ZADANIA

1.

Czy podany ciąg jest geometryczny?

a) −

4

27

,

2
9

, −

1
3

,

1
2

b) 14, 2,

2
7

,

1
2

c) 5

√

5,

√

5,

1

√

5

,

1

5

√

5

2.

Podany ciąg jest ciągiem geometrycznym. Ustal jego iloraz i znajdź kolejny wy-

raz tego ciągu.

a) 10, 100, 1000, . . .

c)

3
7

, −1,

7
3

, −

49

9

, . . .

e) 200, 2, 0,02, 0,0002, . . .

b)

3

√

5,

3

√

25, 5, 5

3

√

5, . . .

d) 1, −1, 1, −1, . . .

f) 1+

√

5, (1+

√

5)

3

, . . .

3.

Podany ciąg jest ciągiem geometrycznym. Ustal jego iloraz i znajdź a

1

i a

4

.

a) a

1

, −3, 15, a

4

, . . .

b) a

1

, 2, 7, a

4

, . . .

c) a

1

, 204, −68, a

4

, . . .

4.

a) Pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego jest liczba −0,15, a trzecim —

liczba −6. Znajdź drugi wyraz tego ciągu.

b) Liczby 25, x, y, 12

4
5

tworzą ciąg geometryczny. Znajdź liczby x i y.

c) Wstaw pomiędzy liczby 16 i 81 trzy liczby tak, by razem tworzyły one pięć
kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

5.

Znajdź liczbę x, dla której podany ciąg jest geometryczny.

a) −6, 15,

x
2

b) −4, x + 1, −25

c) 3 + x, x, 3

6.

Które z podanych ciągów są ciągami geometrycznymi?

a

n

= 4 − 3

n

b

n

=

2

11

n

c

n

= 2

n

· 7

n+2

d

n

= 3

· 5

n−3

e

n

= 6n

2

7.

Załóżmy, że ciąg (a

n

) jest ciągiem geometrycznym, a jego wyrazy są różne od 0.

Które z poniższych ciągów są geometryczne?

b

n

=

1

a

n

c

n

=

|a

n

|

d

n

= a

2

n

e

n

= 2a

n

f

n

= a

n

+ 2

8.

a) Piąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego jest równy −5. Czy siódmym

wyrazem tego ciągu może być liczba 20?

b) Wykaż, że w ciągu geometrycznym o wyrazach różnych od zera wyrazy a

n

i a

n+2

mają taki sam znak.

c) Czy istnieje taki ciąg geometryczny (a

n

), w którym a

12

= 8 i a

28

= −64?

9.

a) Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (a

n

) jest równy

√

7, a jeden z następ-

nych wyrazów tego ciągu jest równy 0. Oblicz a

127

.

b) W ciągu geometrycznym (b

n

) czwarty wyraz jest równy 3, a wyrazy b

17

i b

25

są

jednakowe. Oblicz b

100

.

CIĄGI GEOMETRYCZNE

289

MLR2x str. 290

10.

a) Zapisz wzory ogólne i rekurencyjne następujących ciągów geometrycznych:

1
2

,

3
2

,

9
2

, . . .

5

√

2, 10, 10

√

2, . . .

−2, 1, −

1
2

, . . .

b) Zapisz wzory ogólne ciągów geometrycznych (określonych rekurencyjnie):

a

1

= 13 i a

n+1

= 5a

n

b

1

= −0,4 i b

n+1

=

b

n

7

c

1

=

3
4

i c

n+1

= −9c

n

c) Zapisz wzory rekurencyjne ciągów geometrycznych (określonych za pomocą
wzorów ogólnych):

x

n

= 19

· (−0,7)

n−1

y

n

= −

2
3

·



3
2



n

z

n

=

−5

3

n

11.

Przyjmijmy, że ciąg (a

n

) jest ciągiem geometrycznym.

a) Znajdź iloraz tego ciągu i a

10

, jeśli a

1

= 1 i a

11

= 32.

b) Znajdź iloraz tego ciągu i a

10

, jeśli a

9

= 0,28 i a

13

= 175.

c) Znajdź a

4

, jeśli a

10

= 24 i iloraz wynosi q =

√

2.

d) Znajdź a

10

, jeśli a

13

= −1 i a

15

= −

1
9

.

12.

Podany ciąg jest ciągiem geometrycznym. Sprawdź, czy wyrazem tego ciągu

jest liczba b.

a) 1,

3
5

,

9

25

, . . .

b =

243
625

b) 6, 4, 2

2
3

, . . .

b =

64
81

13.

Szósty wyraz pewnego ciągu geometrycznego o niezerowych wyrazach jest dwa

razy większy od wyrazu trzeciego. Jaki jest iloraz tego ciągu?

14.

Wyobraź sobie ogromny arkusz papieru o grubości 0,1 mm. Arkusz ten składa-

my na pół, potem jeszcze raz na pół i jeszcze raz na pół. Zapisz wzór pozwalający
obliczyć grubość złożonego arkusza po n złożeniach. Oblicz grubość złożonego
papieru po 30 złożeniach.

15.

Moc obliczeniowa to największa moż-

liwa liczba operacji wykonywanych przez
komputer w ciągu sekundy. W 1994 roku
najszybszym komputerem był Paragon
wykonujący 15

· 10

10

operacji na sekun-

dę. W 1965 roku Amerykanin Gordon
Moore (czyt. Mur), sformułował zasadę
znaną jako „prawo Moore’a”: Moc obli-
czeniowa komputerów podwaja się co 18
miesięcy.

a) Najszybsze komputery w 2000 roku wykonywały około 2

· 10

12

operacji na se-

kundę. Czy wzrost mocy obliczeniowej w latach 1994–2000 był zgodny z prawem
Moore’a?

b) Przewiduje się, że prawo Moore’a będzie obowiązywało do około 2015 roku.
Jakiej mocy obliczeniowej komputerów można się wówczas spodziewać?

290

CIĄGI

MLR2x str. 291

16.

Przeczytaj ciekawostkę ze str. 67.

a) Okres połowicznego rozpadu izotopu węgla

14

C wynosi 5700 lat. Oblicz masę

tego izotopu w próbce zawierającej 1 g

14

C po upływie 34200 lat.

b) Okres połowicznego rozpadu izotopu jodu

131

I wynosi 8 dni. Zmierzono, że

pewna próbka zawiera 0,4 mg jodu

131

I. Oblicz masę

131

I, jaką zawierała ta próbka

40 dni wcześniej.

c) Próbka zawiera m

0

gramów pewnego pierwiastka promieniotwórczego. Zapisz

wzór pozwalający obliczyć masę tego pierwiastka, jaka będzie zawarta w próbce po
upływie n okresów połowicznego rozpadu.

17.

Podane ciągi są geometryczne. Zbadaj ich monotoniczność.

a

n

= 4

· (

5

√

2)

n

b

n

= 100

· 0,1

n

c

n

=

−5

n

10

d

n

= −9

·



−

2
7



n

e

n

=

−8

4

n

18.

Spośród liczb −3, −

2
3

, 0,

1
4

, 2

1
2

, 5 wybieramy dwie i tworzymy ciąg geometrycz-

ny (a

n

) w taki sposób, że jedna z tych liczb jest pierwszym wyrazem tego ciągu,

a druga — jego ilorazem.

a) Wybierz a

1

i q tak, by ciąg (a

n

) był malejący. Ile takich ciągów można utworzyć?

b) Ile ciągów rosnących o wyrazach ujemnych można utworzyć w ten sposób?

19.

Oblicz sumę:

a) pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym a

1

= 3 i q = −2,

b) siedmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego b

n

=

5

2

n

,

c) sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego 22, −66, 198, . . .

20.

Oblicz podaną sumę wyrazów ciągu geometrycznego.

a) 4 + 12 + 36 + . . . + 4

· 3

9

c) 50 − 10 + 2 − . . . +

2

625

b) −1 −

3
2

−

9
4

− . . . −

243

32

d) −

1
3

+

1
6

−

1

12

+ . . . −

1
3

·

1

1024

21.

Każdy człowiek ma dwoje rodziców, czworo dziadków, ośmioro pradziadków,

szesnaścioro prapradziadków itd.

a) Oblicz liczbę wszystkich swoich przodków w 10 pokoleniach.

b) Przyjmijmy, że co 25 lat rodzi się nowe pokolenie. Ilu twoich przodków urodziło
się w ciągu ostatnich 2000 lat? Szacuje się, że od zarania ludzkości na Ziemi żyło
11

·10

10

ludzi. Wytłumacz sprzeczność między tą liczbą a otrzymanym rezultatem.

CIĄGI GEOMETRYCZNE

291

MLR2x str. 292

22.

Grę w szachy wymyślono w Indiach. Legenda

głosi, że władca Indii zachwycony tą grą postanowił
nagrodzić jej twórcę, proponując mu, by sam wy-
brał nagrodę. Sprytny wynalazca poprosił o jedno
ziarno pszenicy za pierwsze pole szachownicy, dwa
ziarenka za drugie, a za każde następne 2 razy wię-
cej ziaren niż za pole poprzednie.

a) Zapisz wzór, który przedstawia liczbę ziarenek za n-te pole szachownicy.

b) Oszacuj, ile ton pszenicy miałby otrzymać wynalazca szachów. Możesz przyjąć,
że 2

10

≈ 1000 oraz że 4 tony pszenicy to około 10

8

ziaren. Rocznie na świecie

produkuje się około 600 mln ton pszenicy. Porównaj otrzymany wynik z tą liczbą.

23.

Piłkę puszczono z wysokości 2 m. Po każdym odbiciu się od podłogi piłka

wznosi się na wysokość równą 0,7 wysokości, z której opadała. Oblicz:

a) wysokość, na którą wzniesie się piłka po piątym odbiciu się od podłogi,

b) drogę, jaką pokona piłka od momentu puszcze-
nia jej do momentu szóstego odbicia się od podłogi.

24.

Sześcian, który jest podstawą budowli przed-

stawionej na rysunku, ma krawędź długości 30 m.
Krawędź każdego następnego sześcianu jest o

1
3

krótsza od krawędzi sześcianu poniżej. Oblicz wyso-
kość budowli, jej pole powierzchni całkowitej oraz
objętość.

25.

Odgadnij, według jakiej reguły są dopisywane kolejne składniki, i oblicz:

a) 5 − 4 + 25 − 8 + 125 − 16 + . . . + 5

7

− 2

8

b) 3 − 1 + 9 − 4 + 27 − 7 + . . . + 3

10

− 28

c) 3 + 2 + 6 + 1 + 9 +

1
2

+ . . . + 30 +

1

256

d)

3
2

+

5
4

+

9
8

+

17
16

+

33
32

+ . . . +



1 +

1

2

9



26.

Oblicz sumę:

a) 9 + 99 + 999 + . . . + 999999999

b) 3 + 33 + 333 + . . . + 333333333

27.

Uzasadnij, że dla a

= 1 zachodzi równość:

a + 2a

2

+ 3a

3

+ 4a

4

+ . . . + 30a

30

=

a(30a

31

− 31a

30

+ 1)

(1 − a)

2

292

CIĄGI

MLR2x str. 293

TEST

T1.

Ciąg (a

n

) jest geometryczny, a

1

= 6, a iloraz tego ciągu jest równy

1
3

. Która

z poniższych równości nie jest prawdziwa?

A. a

3

=

2
3

B. a

11

=

2

3

9

C.

a

20

a

21

= 3

D. a

13

· a

12

=

1
3

T2.

Suma początkowych ośmiu wyrazów ciągu określonego za pomocą wzoru

a

n

=

0,3

n

9

, zaokrąglona do części dziesięciotysięcznych, wynosi:

A. 0,0476

B. 3,6666

C. 0,9303

D. 2,4932

T3.

Piątym wyrazem pewnego ciągu geometrycznego jest

1

√

2

, a jego ósmym wyra-

zem jest 2. Iloraz tego ciągu jest równy:

A.

1

√

2

B.

√

2

C. 2

√

2

D. 2

T4.

Iloraz pewnego ciągu geometrycznego wynosi 2, a suma trzech początkowych

wyrazów tego ciągu jest równa 14. Suma czterech początkowych wyrazów jest
równa:

A. 16

B. 28

C. 30

D. 31

SKŁ

ADANY

PROCENT SKŁADANY

Wyobraź sobie, że w twoim domu zjawił się nagle bardzo bogaty krew-
ny i obiecał, że przez najbliższe dwa lata będzie ci co miesiąc wypłacał
kieszonkowe. Złożył przy tym dwie propozycje do wyboru.

Propozycja I

W pierwszym miesiącu otrzymasz
kwotę 100 zł, a w każdym na-
stępnym — więcej niż w poprzed-
nim o kwotę równą 50 % kieszon-
kowego w pierwszym miesiącu.

Propozycja II

W pierwszym miesiącu otrzymasz
2 zł, a w każdym następnym mie-
siącu — o 50 % więcej niż w po-
przednim miesiącu.

Która propozycja wydaje ci się korzystniejsza?

A

Oblicz, ile wyniosłoby kieszonkowe w trzecim miesiącu według pierwszej pro-
pozycji, a ile — według drugiej.

PROCENT SKŁADANY

293

MLR2x str. 294

Niech K

n

oznacza kieszonkowe (w złotych) otrzymane w n-tym miesiącu.

Zatem wypłaty w kolejnych miesiącach wyniosłyby:

Propozycja I

K

1

= 100

K

2

= K

1

+ 50 = 100 + 50

K

3

= K

2

+ 50 = 100 + 2

· 50

K

4

= K

3

+ 50 = 100 + 3

· 50

..

.

K

n

= K

n−1

+ 50 = 100 + (n − 1)

· 50

Propozycja II

K

1

= 2

K

2

= K

1

· 1,5 = 2 · 1,5

K

3

= K

2

· 1,5 = 2 · 1,5

2

K

4

= K

3

· 1,5 = 2 · 1,5

3

..

.

K

n

= K

n−1

· 1,5 = 2 · 1,5

n−1

Łatwo zauważyć, że kolejne wypłaty w pierwszej propozycji tworzą ciąg
arytmetyczny (o pierwszym wyrazie K

1

= 100 i różnicy r = 50), a w dru-

giej — ciąg geometryczny (o pierwszym wyrazie K

1

= 2 i ilorazie q = 1,5).

Korzystając z powyższych równości, można porównać kieszonkowe po
pierwszym roku i po drugim.

Propozycja I

Propozycja II

K

12

100 + 11

· 50 = 650

2

· 1,5

11

≈ 173

K

24

100 + 23

· 50 = 1250

2

· 1,5

23

≈ 22 445

Jak widać, w ostatnim miesiącu drugiego roku wypłaty według drugiej
propozycji byłyby zdecydowanie wyższe.

Aby porównać obie propozycje, należałoby obliczyć sumę wszystkich wy-
płat. W tym celu możemy skorzystać ze wzorów na sumę n początkowych
wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.

Propozycja I

S

24

=

K

1

+ K

24

2

· 24 =

=

100 + 1250

2

· 24 =

= 16 200

Propozycja II

S

24

= K

1

·

1 − q

24

1 − q

=

= 2

·

1 − (1,5)

24

1 − 1,5

≈

≈ 67 332

Choć propozycja druga wydawała się początkowo mało atrakcyjna, okazała
się jednak dużo korzystniejsza.

Opisane powyżej propozycje przypominają dwa najczęściej spotykane spo-
soby naliczania odsetek przy różnych operacjach finansowych.

294

CIĄGI

MLR2x str. 295

PROCENT PROSTY

W tej metodzie odsetki są obliczane od stałej kwoty, tzn. jeśli kapitał po-
czątkowy wynosi K

0

, a oprocentowanie jest równe p %, to po n okresach

naliczania odsetek kapitał wraz z odsetkami będzie wynosił:

K

n

= K

0

+

p

100

· K

0

· n

P

Warunki kredytowe są następujące:

Przez 2 lata należy spłacać co miesiąc 1% pożyczonej kwoty, przy czym w ostat-
nim miesiącu oprócz odsetek trzeba oddać całą pożyczoną kwotę.

Jaką sumę trzeba będzie wpłacić pożyczkodawcy w ciągu 2 lat, jeśli na tych
warunkach zaciągniemy kredyt w wysokości 5000 zł?

K

0

= 5 000 zł

K

0

— pożyczona kwota

p % = 1%

p — oprocentowanie

n = 24

n — liczba miesięcy (okresów naliczania od-
setek)

Suma wpłaconych odsetek wynosi:

p

100

· K

0

· n

0,01

· 5000 zł ·24 = 1200 zł

Suma wpłat wynosi: 5000 zł +1200 zł = 6200 zł

PROCENT SKŁADANY

W tej metodzie odsetki są obliczane od kapitału powiększonego o odsetki
za wcześniejszy okres, tzn. jeśli kapitał początkowy wynosi K

0

, a opro-

centowanie jest równe p %, to po kolejnych okresach naliczania odsetek
kapitał wraz z odsetkami wynosi:

po pierwszym okresie:

K

1

= K

0

+

p

100

K

0

= K

0



1 +

p

100



po dwóch okresach:

K

2

= K

1

+

p

100

K

1

= K

1



1 +

p

100



= K

0



1 +

p

100



2

po trzech okresach:

K

3

= K

2

+

p

100

K

2

= K

2



1 +

p

100



= K

0



1 +

p

100



3

po n okresach:

K

n

= K

0



1 +

p

100



n

Ten sposób obliczania odsetek jest zwykle stosowany przy naliczaniu od-
setek od lokat bankowych. Gdy bank dolicza kwotę odsetek do kapitału
(stanu konta), to mówimy, że odsetki są kapitalizowane.

Uwaga. W kolejnych przykładach oraz w zadaniach 5–13, gdy mowa o opro-
centowaniu lokat bankowych, nie uwzględniamy podatku od odsetek, czyli
przyjmujemy, że podano oprocentowanie netto.

PROCENT SKŁADANY

295

MLR2x str. 296

P

Na konto, którego oprocentowanie wynosi 4 % w skali roku, wpłacono 10 000 zł.
Oblicz, jaki będzie stan konta po upływie 5 lat, jeśli właściciel konta nie będzie
dokonywał żadnych wpłat ani wypłat.

K

0

= 10 000 zł

K

0

— wpłacona kwota

p % = 4%

p — oprocentowanie w skali roku

n = 5

n — liczba lat (okresów naliczania odsetek)

K

5

=

K

0



1 +

p

100



5

=

= 10 000



1 +

4

100



5

≈ 12 166,53

K

5

— kwota na koncie po 5 latach

Odp. Po 5 latach na koncie będzie 12 166,53 zł.

Przy lokatach krótszych niż 1 rok bank kapitalizuje odsetki po każdym
okresie trwania lokaty.

Jeśli na przykład przez dłuższy czas pozostawimy pieniądze na lokacie
3-miesięcznej, to odsetki będą doliczane co 3 miesiące.

Przypomnijmy, że oprocentowanie lokat bankowych jest zawsze podawane
w skali roku, także lokat, które trwają krócej niż rok. Trzeba o tym pamię-
tać przy obliczaniu odsetek. Na przykład: gdy oprocentowanie wynosi 4 %,
to odsetki po 3 miesiącach wynoszą

3

12

· 4% kwoty, która była na koncie.

P

Na lokatę 2-miesięczną wpłacamy 30 000 zł. Oprocentowanie lokaty wynosi 5 %.
Ile wyniesie suma odsetek z tej lokaty po półtora roku?

K

0

= 30 000 zł

p % =

2

12

· 5% =

5
6

%

Obliczamy oprocentowanie za okres lokaty.

n = 9

1,5 roku to 18 miesięcy, czyli 9 okresów na-
liczania odsetek.

K

9

=

K

0

·



1 +

p

100



9

=

= 30 000

·



1 +

5

6

·100



9

≈

≈ 32 326,48

Obliczamy według wzoru stan konta po 18
miesiącach.

K

9

−

K

0

≈ 2326,48

Obliczamy sumę odsetek.

Odp. Odsetki po 18 miesiącach wyniosą 2326,48 zł.

296

CIĄGI

MLR2x str. 297

ZADANIA

1.

Kasa pożyczkowa proponuje kredyty, które należy spłacić w następujący sposób:

1. Całą pożyczoną kwotę należy wpłacić do kasy po upływie ustalonego terminu
kredytu.
2. Przez czas, na który udzielono kredytu, należy na początku miesiąca wpłacać do
kasy 2% pożyczonej kwoty.

Oblicz, jaką kwotę trzeba będzie w sumie wpłacić do kasy, pożyczając:

a) 1 000 zł na 1 rok,

b) 10 000 zł na 8 miesięcy,

c) 15 000 zł na 3 lata.

2.

Cena pewnego towaru wynosi 1000 zł. Sprzedawca ma zamiar zmieniać ją co

tydzień. Zapisz wzór, który pozwala obliczać, jaka będzie cena towaru po n tygo-
dniach, jeśli co tydzień sprzedawca:

a) będzie powiększać cenę o 10% ceny początkowej,
b) będzie zmniejszać cenę o 10% ceny początkowej,
c) będzie zwiększać cenę o 2%,

d) będzie zmniejszać cenę o 2%.

3.

Cena akcji pewnej firmy podczas sesji giełdowej wzrosła o 10 %, a potem przez

pięć kolejnych sesji spadała o 2 % (podczas każdej kolejnej sesji wartość akcji była
o 2 % mniejsza). W czasie szóstej sesji cena się już nie zmieniła. Czy cena ta była
wyższa czy niższa od ceny początkowej?

4.

a) Miesięczne obroty pewnej firmy początkowo wynosiły 5000 zł, a następnie

wzrastały systematycznie o 2 % miesięcznie przez 1,5 roku. Jakie obroty osiągnęła
ta firma po tym czasie?

b) Nowy samochód kosztował 50 000 zł i co roku tracił 10% swojej wartości. Po ilu
latach jego cena będzie mniejsza od połowy ceny początkowej?

Uwaga. Rozwiązuj zadania 5–13, nie uwzględniając podatku od odsetek.

5.

Na lokatę roczną, której oprocentowanie wynosi p %, wpłacono kwotę K zł. Ob-

licz, jaki będzie stan tej lokaty po upływie n lat, jeśli:

a) K = 4 000, p % = 3%, n = 5

b) K = 1 200, p % = 5%, n = 10
c) K = 35 000, p % = 2%, n = 8
d) K = 5 500, p % = 3,5%, n = 6

6.

Na lokatę terminową, oprocentowaną p % w stosunku rocznym, wpłacono kwotę

10 000 zł. Oblicz, jaki będzie stan tej lokaty po upływie okresu t, jeśli:

a) lokata jest miesięczna, p % = 4%, t = 2 lata,

b) lokata jest 3-miesięczna, p % = 3,5%, t = 3 lata,
c) lokata jest 6-miesięczna, p % = 3%, t = 3,5 roku.

PROCENT SKŁADANY

297

MLR2x str. 298

7.

Pan Kowalski wpłacił 50 000 zł na lokatę miesięczną, której oprocentowanie wy-

nosi 5 %, i co miesiąc wypłaca odsetki. Jaką kwotę odsetek wypłaci w ciągu roku?
O ile wyższe byłyby odsetki, gdyby pierwszej wypłaty dokonał po roku?

8.

a) Na lokatę roczną, której oprocentowanie wynosi 3%, wpłacono 2000 zł. Po ilu

latach stan tej lokaty wyniesie 2388,10 zł?

b) Jaką kwotę wpłacono na lokatę 3-miesięczną, której oprocentowanie wynosi
2,5 %, skoro po upływie 2 lat oszczędzania na koncie znajduje się 7778,20 zł?

c) Na lokatę roczną wpłacono 5200 zł i po 4 latach oszczędzania kwota ta wzrosła
do 6201,10 zł. Jakie było oprocentowanie tej lokaty?

9.

a) O ile procent wzrośnie po roku kwota wpłacona na lokatę miesięczną, której

oprocentowanie wynosi 5 %? (Odpowiedź podaj z dokładnością do dziesiątej części
procenta).

b) Jak długo należałoby oszczędzać na lokacie półrocznej, której oprocentowanie
wynosi 6 %, by kwota na lokacie się podwoiła?

10.

Po pięciu latach oszczędzania na lokacie rocznej, której oprocentowanie wy-

nosiło 3 %, stan konta zwiększył się o 262,80 zł. Jaki był stan konta po roku
oszczędzania?

11.

Na lokatę miesięczną o oprocentowaniu w wysokości 2 % wpłacono 5000 zło-

tych. Po jakim czasie kwota odsetek osiągnie ponad 200 zł?

12.

Kwotę 12 000 zł wpłacono na lokatę 3-letnią, ale odsetki doliczane były co pół

roku. Kwota odsetek wyniosła w sumie 1513,95 zł. Oblicz oprocentowanie lokaty.

13.

Bank proponuje lokatę miesięczną o stałym oprocentowaniu w wysokości 3 %

i lokatę półroczną o stałym oprocentowaniu 4 %. Która z tych lokat przyniesie
większe korzyści po dwóch latach od jej założenia?

ciekawostka

Odsetki, które dopisuje bank do naszych
oszczędności, traktowane są przez pań-
stwo jako nasz dochód. Dlatego musi-
my zapłacić od nich podatek. Podatek
ten wynosi w Polsce 19 % kwoty odse-
tek i jest automatycznie przekazywany
przez bank do skarbu państwa po każ-
dym doliczeniu odsetek.

Przypuśćmy na przykład, że złożyliśmy
w banku kwotę 1000 zł na lokacie rocz-
nej, której oprocentowanie wynosi 6 %.

Po roku bank doliczy nam 6 % odsetek,
tzn. kwotę 0,06

· 1000 zł = 60 zł. Jednak

19 % tej kwoty bank przekaże do skar-
bu państwa. Oznacza to, że do naszych
oszczędności zostanie dopisana kwota,
która stanowi 81% należnych odsetek,
czyli 0,81

· 60 zł = 48,60 zł.

Można więc powiedzieć, że jeśli opro-
centowanie lokaty wynosi brutto p%, to
oprocentowanie netto tej lokaty jest
równe 0,81p %.

298

CIĄGI

MLR2x str. 299

14.

Przeczytaj ciekawostkę na poprzedniej stronie. Przypuśćmy, że kwotę 10 000 zł

wpłacono na lokatę półroczną, której oprocentowanie wynosi 4 %. Wiadomo, że
przy tej lokacie co pół roku jest odprowadzany do skarbu państwa podatek w wy-
sokości 19 %.

a) Jaki podatek od odsetek zostanie odprowadzony do skarbu państwa, gdy pie-
niądze pozostaną na tej lokacie przez 1,5 roku?

b) Jaki podatek od odsetek zostałby odprowadzony do skarbu państwa, gdyby
podatek ten obliczany był dopiero po 1,5 rocznym oszczędzaniu od całej kwoty
uzyskanych odsetek?

TEST

T1.

Pani Marta wpłaciła 10 000 zł na lokatę roczną, której oprocentowanie wyno-

si 4 %. Każdego roku odsetki z tej lokaty przekazywane są na rachunek bieżący,
a kwota na lokacie nie zmienia się. Po upływie 10 lat suma odsetek wpłaconych na
rachunek wynosić będzie:

A. 400 zł

B. 3600 zł

C. 4000 zł

D. 4802 zł

T2.

Pan Adam i pan Jan skorzystali z wielokrotnej lokaty, której oprocentowanie

wynosi 3 % w skali roku, a odsetki doliczane są po roku. Pan Adam wpłacił 10 000 zł,
a pan Jan 20 000 zł. Oceń, które z podanych zdań jest prawdziwe.

I

Po trzech latach pan Adam otrzyma w sumie 1500 zł odsetek.

TAK/NIE

II

Po drugim roku panu Janowi zostanie dopisana dwa razy więk-
sza kwota odsetek niż panu Adamowi.

TAK/NIE

III

Po czterech latach pan Adam będzie miał na lokacie tyle samo
co pan Jan po dwóch latach.

TAK/NIE

T3.

Pani Jola potrzebowała sporej kwoty pieniędzy, postanowiła więc oszczędzać.

Obliczyła, że dokładnie tyle, ile potrzebuje, zaoszczędzi po czterech latach, gdy
wpłaci 1000 zł na wieloletnią lokatę oprocentowaną 4 % w skali roku. Ile musiałaby
wpłacić na tę lokatę, aby potrzebną kwotę otrzymać rok wcześniej?

A. 1030 zł

B. 1040 zł

C. 1300 zł

D. 1400 zł

T4.

Pan Nowak zainwestował 40 tysięcy zł w przedsięwzięcie, którego wartość po

każdym roku będzie rosła o p % (p jest liczbą naturalną). Obliczył, że dokładnie
po czwartym roku (nie wcześniej) wartość jego inwestycji przekroczy 50 tysięcy zł.
Wynika stąd, że p jest równe:

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

PROCENT SKŁADANY

299

MLR2x str. 300

GR

ANICE

CIĄ

G

GRANICE CIĄGÓW

A

Oblicz sześć początkowych wyrazów ciągu określonego za pomocą wzoru
ogólnego a

n

= 8

·



1
2



n

. Zaznacz w układzie współrzędnych kilka punktów

należących do wykresu tego ciągu, tzn. punktów o współrzędnych (n, a

n

).

Poniżej podano wzory ogólne oraz zapisano kilka wyrazów trzech różnych
ciągów. Na rysunkach zilustrowano te ciągi za pomocą wykresów.

a

n

=

1 − 2n

n

−1, −1

1
2

, −1

2
3

, −1

3
4

, . . .

Łatwo zauważyć, że im większa
liczba n, tym wyraz a

n

jest bliż-

szy liczbie −2. Możemy powie-
dzieć, że wyrazy tego ciągu zbli-
żają się do liczby −2.

b

n

= 1 − 0,7

n

0,3, 0,51, 0,657, 0,7599, . . .

W tym ciągu wraz ze wzrostem
n coraz mniejsze są różnice mię-
dzy liczbą 1 a wyrazami ciągu.
Możemy powiedzieć, że wyrazy
tego ciągu zbliżają się do licz-
by 1.

c

n

= 2 +

(−1)

n

n

1, 2

1
2

, 1

2
3

, 2

1
4

, 1

4
5

, . . .

W tym ciągu nieskończenie wiele
wyrazów jest większych od licz-
by 2 i nieskończenie wiele wyra-
zów jest mniejszych od liczby 2,
ale wyrazy tego ciągu wyraźnie
zbliżają się do liczby 2.

O każdym z tych trzech ciągów możemy powiedzieć, że jest zbieżny do
pewnej liczby. Liczbę, do której „zbiegają” wyrazy ciągu, nazywamy granicą
ciągu.

Granicą ciągu (a

n

) jest więc liczba −2. Zapisujemy to tak:

lim

n

→∞

a

n

= −2

albo tak:

a

n

−

→ −2 przy n −→ ∞

Czytamy: granicą ciągu (a

n

) jest liczba −2 (przy n dążącym do nieskończo-

ności).

300

CIĄGI

MLR2x str. 301

Granica to po łacinie limes i stąd pochodzi skrót lim. Ponieważ a

n

=

1 − 2n

n

,

więc podaną na poprzedniej stronie równość można zapisać inaczej:

lim

n

→∞

1 − 2n

n

= −2

Granice ciągów (b

n

) i (c

n

) są równe 1 i 2, zatem:

lim

n

→∞

(1 − 0,7

n

) = 1

lim

n

→∞



2 +

(−1)

n

n



= 2

Spróbujemy teraz precyzyjniej określić, co to znaczy, że ciąg ma granicę.

Rozważmy ciąg c

n

= 2 +

(−1)

n

n

. Granicą tego ciągu jest liczba 2.

Wszystkie wyrazy tego ciągu leżą w przedziale

1; 3), a w krótszym

przedziale, na przykład



2 −

1
3

; 2 +

1
3



, mieszczą się, oprócz trzech począt-

kowych, wszystkie pozostałe wyrazy tego ciągu.

Ogólnie mówiąc, dla dowolnie małej liczby dodatniej ε (czyt. epsilon)
w przedziale (2 − ε; 2 + ε) leży nieskończenie wiele wyrazów ciągu, a liczba
wyrazów leżących poza tym przedziałem jest skończona. Mówimy wów-
czas, że prawie wszystkie wyrazy ciągu leżą w przedziale (2 − ε; 2 + ε).

Uwaga. Możemy też powiedzieć, że prawie wszystkie wyrazy ciągu (c

n

) różnią się

od granicy tego ciągu o mniej niż ε.

GRANICE CIĄGÓW

301

MLR2x str. 302

Liczba g jest granicą nieskończonego ciągu (a

n

), czyli lim

n

→∞

a

n

= g wtedy

i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby dodatniej ε istnieje taka liczba natu-
ralna k, że dla wszystkich n spełniających warunek n ≥ k:

|a

n

− g

| < ε

Uwaga. O granicy ciągu możemy mówić tylko wtedy, gdy rozważamy ciąg nie-
skończony.

B

Granicą ciągu a

n

= 3 −

1

10

n

jest liczba g = 3.

1.

Oblicz dla kilku wyrazów tego ciągu, ile wynosi wartość wyrażenia

|a

n

− g

|.

2.

Znajdź taki wyraz a

k

, aby wszystkie wyrazy następujące po nim różniły się

od granicy ciągu o mniej niż

1

5000

.

Ciąg, który ma granicę, nazywamy ciągiem zbieżnym.

Ciąg, który nie ma granicy, nazywamy ciągiem rozbieżnym. Poniżej poda-
jemy przykłady czterech ciągów rozbieżnych.

a

n

= (−1)

n

·



1 +

1
n



−2, 1

1
2

, −1

1
3

, 1

1
4

, . . .

Ten ciąg nie ma granicy, gdyż
nieskończenie wiele wyrazów
leży dowolnie blisko liczby 1,
ale również nieskończenie wie-
le wyrazów leży dowolnie bli-
sko liczby −1. Jest to ciąg roz-
bieżny.

b

n

=

√

n

1,

√

2,

√

3, 2, . . .

Prawie wszystkie wyrazy tego
ciągu (poza czterema począt-
kowymi) są większe od 2. Pra-
wie wszystkie wyrazy tego cią-
gu (poza dwudziestoma pię-
cioma początkowymi) są także
większe od 5.

Ogólnie dla dowolnie dużej liczby M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu
(poza skończoną liczbą początkowych) są większe od M. O ciągach, któ-
re mają tę własność, mówimy, że są rozbieżne do +

∞. Możemy zapisać

w skrócie:

lim

n

→∞

√

n = +

∞

302

CIĄGI

MLR2x str. 303

c

n

= −

1
3

n + 2

1

2
3

, 1

1
3

, 1,

2
3

, . . .

Dla dowolnej ujemnej liczby M
można wskazać w tym ciągu
taki wyraz, po którym wszyst-
kie kolejne wyrazy będą mniej-
sze od liczby M.

Innymi słowy — prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od dowol-
nej liczby M. O ciągach, które mają tę własność, mówimy, że są rozbieżne
do −

∞. Możemy więc zapisać równość:

lim

n

→∞



−

1
3

n + 2



= −

∞

d

n

= (−1,1)

n

−1,1, 1,21, −1,331, 1,4641, . . .

W tym ciągu dla dowolnej licz-
by M nieskończenie wiele wyra-
zów jest większych od M i nie-
skończenie wiele wyrazów jest
mniejszych od M. Jest to ciąg
rozbieżny (choć nie jest on roz-
bieżny ani do +

∞, ani do −∞).

Ciągi (b

n

) i (c

n

) opisane powyżej są rozbieżne w sposób szczególny. Oto

bardziej precyzyjne określenia ciągów rozbieżnych do +

∞ oraz do −∞.

Ciąg (a

n

) nazywamy ciągiem rozbieżnym do +

∞, jeśli dla dowolnej liczby

M istnieje taka liczba naturalna k, że dla n ≥ k zachodzi nierówność a

n

> M.

Zdanie: „Ciąg (a

n

) jest rozbieżny do +

∞” możemy zapisać w skrócie tak:

lim

n

→∞

a

n

= +

∞

Ciąg (a

n

) nazywamy ciągiem rozbieżnym do −

∞, jeśli dla dowolnej liczby

M istnieje taka liczba naturalna k, że dla n ≥ k zachodzi nierówność a

n

< M.

Zdanie: „Ciąg (a

n

) jest rozbieżny do −

∞.” możemy zapisać w skrócie tak:

lim

n

→∞

a

n

= −

∞

Jeśli ciąg (a

n

) jest rozbieżny do +

∞ (czyli lim

n

→∞

a

n

= +

∞), to mówimy, że

ciąg ten ma granicę niewłaściwą +

∞. Analogicznie — jeśli lim

n

→∞

a

n

= −

∞, to

mówimy, że ma on granicę niewłaściwą −

∞.

Uwaga. Gdy ciąg jest zbieżny, to jego granica jest nazywana granicą właściwą.

GRANICE CIĄGÓW

303

MLR2x str. 304

C

Zapisz kilka początkowych wyrazów ciągu typu a

n

=

1

n

k

, gdzie k jest liczbą

naturalną różną od 0, i ustal, jaka jest granica tego ciągu.

Omówimy teraz przykłady kilku ciągów.

a

n

=

1
n

b

n

=

1

n

2

c

n

=

1

n

5

d

n

=

1

n

10

Obok zapisano przykłady kilku ciągów

postaci a

n

=

1

n

k

, gdzie k jest liczbą natu-

ralną. Każdy z tych ciągów jest zbieżny,

gdyż o każdym z nich możemy powie-

dzieć, że prawie wszystkie jego wyrazy

leżą dowolnie blisko 0.

Ogólnie dla dowolnej liczby naturalnej k > 0 zachodzi równość:

lim

n→∞

1

n

k

= 0

Łatwo również zauważyć, że każdy ciąg stały jest ciągiem zbieżnym.
Granicą ciągu stałego a

n

= c jest liczba c.

lim

n→∞

c = c

a

n

=



1
2



n

b

n

= (−2)

n

c

n

=



3
2



n

d

n

=



−

1
2



n

Obok zapisano przykłady kilku ciągów
geometrycznych postaci a

n

= q

n

.

D

Oblicz kilka początkowych wyrazów każde-
go z tych ciągów. Które z tych ciągów są
zbieżne?

Ciąg geometryczny typu a

n

= q

n

jest zbieżny, gdy q

∈ (−1; 1 , a jeśli

q

∈



\ (−1; 1 , to ciąg geometryczny a

n

= q

n

jest rozbieżny, przy czym:

Jeśli q ∈ (−1; 1), to lim

n→∞

q

n

= 0

.

Jeśli q = 1, to lim

n→∞

q

n

= 1

.

Jeśli q > 1, to lim

n→∞

q

n

= +

∞.

Jeśli q

∈ (−∞, −1 , to ciąg a

n

= q

n

jest rozbieżny (ale nie jest rozbieżny ani

do +

∞, ani do −∞).

Rozważmy teraz ciąg określony wzorem:

a

n

=



1 +

1
n



n

E

Oblicz trzy początkowe wyrazy tego ciągu.

Ciąg ten jest zbieżny. Liczbę równą jego granicy oznaczamy literą e. Ozna-
czenie to wprowadził w 1736 roku szwajcarski matematyk Leonhard Euler.

lim

n

→∞



1 +

1
n



n

= e

304

CIĄGI

MLR2x str. 305

Liczba e jest liczbą niewymierną. W matematyce ma ona szczególne zna-
czenie. Pojawia się we wzorach i zależnościach w wielu różnych działach
matematyki. Poniżej zapisano kilkanaście cyfr rozwinięcia dziesiętnego
liczby e.

e = 2,71828182845904 . . .

ciekawostka

Ciąg



1 +

1
n



n

pojawił się po raz pierwszy przy okazji rozważań dotyczących pro-

centu składanego, prowadzonych w 1683 roku przez szwajcarskiego matematyka
Jakuba Bernoulliego.

Załóżmy, że kwotę 1 zł wpłacamy na lokatę, której oprocentowanie wynosi p %
w stosunku rocznym. Wówczas stan konta po roku zależy od tego, jak często
kapitalizowane są odsetki.

Stan konta po roku

Jak często kapitalizowane są odsetki



1 +

p

100



1

1 raz dolicza się odsetki (po roku)



1 +

p

2

·100



2

2 razy dolicza się odsetki (co pół roku)



1 +

p

12

·100



12

12 razy dolicza się odsetki (co miesiąc)



1 +

p

n

·100



n

n razy w roku dolicza się odsetki

Gdy przyjmiemy, że oprocentowanie jest równe 100 %, to stan konta po roku przy
n okresach doliczania odsetek będzie wynosił:



1 +

1
n



n

Ciąg ten jest ciągiem rosnącym. Ponieważ jego granicą jest liczba e

≈ 2,72, więc

nawet gdyby odsetki doliczane były co ułamek sekundy, to stan konta po roku
nigdy nie przekroczy kwoty 2,72 zł.

Jakub Bernoulli nie przypuszczał zapewne, jak wielką rolę odegra granica rozwa-
żanego przez niego ciągu. Oto przykłady tylko niektórych wzorów i zależności ze
współczesnej matematyki, w których pojawia się liczba e:

Pole obszaru zacieniowanego na ry-
sunku poniżej jest równe 1.

e = 1 + 1 +

1

1

·2

+

1

1

·2·3

+

1

1

·2·3·4

+ . . .

Niech p

n

(dla n ≥ 2) oznacza ilo-

czyn wszystkich liczb pierwszych
mniejszych lub równych n (czyli
p

2

= 2, p

3

= 2

· 3, p

4

= 2

· 3, p

5

=

= 2

·3·5 . . .). Wówczas lim

n

→∞

n



p

n

= e.

e

·

3

√

e

·

5

√

e

·

7

√

e

· . . .

√

e

·

4

√

e

·

6

√

e

· . . .

= 2

e =

2 +

2

2 +

3

3 +

4

4 +

5

5 + ...

GRANICE CIĄGÓW

305

MLR2x str. 306

ZADANIA

1.

Podane ciągi są ciągami zbieżnymi. Oblicz kilka początkowych wyrazów każdego

z nich. Czy domyślasz się, jakie są granice tych ciągów?

a

n

= 7 −

1

10

n

b

n

= 2 +



1
2



n

c

n

= 3 +

1
n

d

n

=

n − 2

n

2.

Zastąp znak zapytania odpowiednią liczbą lub jednym ze znaków +

∞ lub −∞:

a) lim

n

→∞



1
3



n

= ?

c) lim

n

→∞

n

5

= ?

e) lim

n

→∞

1 + n

2

= ?

g) lim

n

→∞



6 −

1
n



= ?

b) lim

n

→∞

1

n

7

= ?

d) lim

n

→∞

6

n

= ?

f) lim

n

→∞



3
5



n

= ?

h) lim

n

→∞

1,6

n

= ?

3.

Podaj przykład ciągu rosnącego oraz przykład ciągu malejącego, które mają:

a) tę samą granicę równą 0,

b) tę samą granicę równą 7.

4.

a) Wybierz dowolną liczbę dodatnią a. Oblicz za pomocą kalkulatora kilkanaście

wyrazów ciągu: a,

√

a,

√

a,

√

a, . . . . Jak myślisz, jaka jest granica tego ciągu?

b) Wybierz dowolną liczbę a taką, by 0 < a < 1. Oblicz za pomocą kalkulatora
kilkanaście wyrazów ciągu a, a

2

, (a

2

)

2

, ((a

2

)

2

)

2

, . . . . Jak myślisz, jaka jest granica

tego ciągu?

5.

Na poniższych rysunkach przedstawiono wykresy ciągów a

n

= n

1
2

, b

n

= n

−

1
2

,

c

n

= 1 −



n
9



2

i d

n

= 3

· (1,1)

n

. Które z tych ciągów są rozbieżne? Które z nich są

rozbieżne do +

∞ lub do −∞?

6.

Podany ciąg jest ciągiem geometrycznym. Czy jest to ciąg zbieżny? Jeśli tak, to

podaj jego granicę, a jeśli nie, to określ, czy jest rozbieżny do +

∞ lub −∞.

a) 16, 8, 4, . . .

c) a

n

=



2
3



n

e) a

1

= 1, a

n+1

=

4a

n

3

b) a

1

= −

5
3

, q = 5

d) a

n

=



−

3
4



n

f) a

1

= −

√

2, a

n+1

= a

n

306

CIĄGI

MLR2x str. 307

7.

Naszkicuj wykres funkcji y = −3x(x + 1)(x − 1). Korzystając z tego wykresu, ustal,

czy ciąg a

n

= −3n(n + 1)(n − 1) jest zbieżny czy rozbieżny.

8.

Czy ciąg (a

n

) jest ciągiem zbieżnym? Jeśli tak, to jaka jest jego granica?

a) a

n

=

⎧

⎨
⎩

0

dla n parzystych

1
n

dla n nieparzystych

c) a

n

=

⎧

⎨
⎩

−1

dla n ≤ 10

9

1

dla n > 10

9

b) a

n

=

⎧

⎨
⎩

n

2

dla n ≤ 1000

−

1
n

dla n > 1000

d) a

n

=

⎧

⎨
⎩

3n

2

dla n ≤ 100

−5

dla n > 100

9.

Podaj przykład:

a) ciągu, którego granicą jest liczba

3
4

,

b) ciągu, którego granicą jest liczba ujemna,

c) ciągu, którego granicą jest liczba dodatnia i który ma 100 wyrazów ujemnych,

d) ciągu rozbieżnego do +

∞, który nie jest ciągiem rosnącym,

e) ciągu, w którym dokładnie 10 wyrazów jest równych 1 i którego granicą jest
liczba 1,

f) ciągu, którego wszystkie wyrazy są liczbami niewymiernymi i którego granicą
jest liczba wymierna.

10.

a) Czy w ciągu rosnącym jeden z wyrazów może być równy granicy ciągu?

b) Czy granica ciągu, którego wszystkie wyrazy są ujemne, może być liczbą nie-
ujemną?

c) Czy ciąg, którego wyrazy przyjmują tylko dwie wartości, musi być ciągiem roz-
bieżnym?

d) Czy ciąg, w którym nieskończenie wiele wyrazów jest ujemnych i nieskończenie
wiele wyrazów jest dodatnich, musi być ciągiem rozbieżnym?

e) Czy ciąg geometryczny może mieć granicę równą 1?

11.

Granicą pewnego ciągu arytmetycznego jest liczba 7. Jaki jest pierwszy wyraz

tego ciągu?

12.

Wśród podanych ciągów wskaż ciągi zbieżne i oblicz ich granice. Które z tych

ciągów nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do +

∞, ani rozbieżne do −∞?

a

n

= (−2)

n

b

n

= −n

4

c

n

= sin nπ

d

n

= cos nπ

e

n

=

3

√

n

f

n

= 2

· (−1)

n

g

n

= (−1)

n

+ (−1)

n+1

h

n

=

(−1)

n

(−1)

n+1

GRANICE CIĄGÓW

307

MLR2x str. 308

TEST

T1.

Granicą jednego z poniższych ciągów nie jest 0. Wskaż ten ciąg.

A. a

n

=



2
5



n

B. b

n

=

5

n

2

C. c

n

= 2 − n

2

D. d

n

=

5

2

n

T2.

Która z poniższych liczb może być ilorazem zbieżnego ciągu geometrycznego

(o wyrazach różnych od zera)?

A. 3

B.

5
3

C.

3
7

D. −1

T3.

Która z poniższych granic ciągów geometrycznych jest równa 6?

A. lim

n

→∞

6

· 1, 2

n

B. lim

n

→∞

(6

· 1

n

)

C. lim

n

→∞

6

· 0, 8

n

D. lim

n

→∞

6

· (−0, 2)

n

ANIE

GR

ANIC

OBLICZANIE GRANIC

A

Rozważmy ciągi określone wzorami: a

n

= 4 +

5
n

oraz b

n

= 3 +

2
n

.

1.

Oblicz lim

n

→∞

a

n

oraz lim

n

→∞

b

n

.

2.

Niech c

n

= a

n

+ b

n

i d

n

= a

n

− b

n

. Zapisz wzory ciągów (c

n

) i (d

n

) i oblicz

ich granice.

Poniżej podajemy własności granic, z których będziemy korzystać przy
obliczaniu granic różnych ciągów.

Jeśli ciągi (a

n

) i (b

n

) są zbieżne,

to zachodzą równości:

lim

n→∞

(

a

n

+

b

n

) = lim

n→∞

a

n

+ lim

n→∞

b

n

lim

n→∞

(

a

n

−

b

n

) = lim

n→∞

a

n

− lim

n→∞

b

n

lim

n→∞

(

a

n

· b

n

) = lim

n→∞

a

n

· lim

n→∞

b

n

Jeśli ciągi (a

n

) i (b

n

) są zbieżne

i wyrazy ciągu (b

n

) są różne od 0

oraz lim

n

→∞

b

n

= 0, to:

lim

n→∞

a

n

b

n

=

lim

n→∞

a

n

lim

n→∞

b

n

Jeśli ciąg (a

n

) jest zbieżny i wszystkie

jego wyrazy są nieujemne (a

n

≥ 0), to:

lim

n→∞

√

a

n

=



lim

n→∞

a

n

Zauważ, że z jednej z powyższych równości wynika, że dla dowolnej liczby
rzeczywistej k, jeśli (a

n

) jest ciągiem zbieżnym, to:

lim

n

→∞

(k

· a

n

) = k

· lim

n

→∞

a

n

308

CIĄGI

MLR2x str. 309

Wiemy już, jakie granice mają ciągi stałe oraz ciągi typu

1

n

k

. Wiadomo

także, kiedy ciąg geometryczny jest zbieżny. W poniższych przykładach
pokazujemy, jak korzystając z powyższych własności, można obliczać gra-
nice ciągów o bardziej skomplikowanych wzorach.

P

lim

n→∞



5 +

1

n

3

−

1

n

2



= lim

n→∞

5 + lim

n→∞

1

n

3

− lim

n→∞

1

n

2

= 5 + 0 − 0 = 5

lim

n→∞

7

n

2

= lim

n→∞



7

·

1

n

2



= 7

· lim

n→∞

1

n

2

= 7

· 0 = 0

lim

n→∞



2−

4
n

·



3+

2

n

3



= lim

n→∞



2−

4
n

· lim

n→∞



3+

2

n

3

=



lim

n→∞



2−

4
n



·



lim

n→∞



3+

2

n

3



=

√

6

Dla uproszczenia zapisu możemy zakreślić kółkiem ogólny wyraz ciągu,
narysować strzałkę i na jej końcu zapisać liczbę równą granicy tego ciągu.
Na przykład obliczenia z pierwszego przykładu można zapisać w następu-
jący sposób:

B

Oblicz lim

n

→∞

a

n

, a następnie lim

n

→∞

1

a

n

, jeśli:

1.

a

n

= 5

n

2.

a

n

= n

5

3.

a

n

= −



4
3



n

4.

a

n

= −n

3

Przykłady podane w ćwiczeniu B są ilustracją pewnej ogólnej własności:

Jeśli lim

n

→∞

|a

n

| = +∞, to lim

n

→∞

1

a

n

= 0.

Z powyższej własności wynika, że jeśli ciąg (a

n

) jest rozbieżny do +

∞ lub

do −

∞, to lim

n

→∞

1

a

n

= 0.

C

Oblicz

lim

n

→∞

a

n

oraz

lim

n

→∞

b

n

. Jak myślisz, ile wynosi

lim

n

→∞

(a

n

+ b

n

), a ile

lim

n

→∞

(a

n

· b

n

)?

1.

a

n

= n

3

,

b

n

= n

2

2.

a

n

= −n

5

,

b

n

= −n

7

3.

a

n

= 2

n

,

b

n

= 5

n

Oto własności granic ciągów rozbieżnych do +

∞ lub do −∞.

Jeśli lim

n

→∞

a

n

= +

∞ i lim

n

→∞

b

n

= +

∞, to lim

n

→∞

(a

n

+ b

n

) = +

∞, a także lim

n

→∞

(a

n

· b

n

) = +

∞.

Jeśli lim

n

→∞

a

n

= −

∞ i lim

n

→∞

b

n

= −

∞, to lim

n

→∞

(a

n

+ b

n

) = −

∞, a także lim

n

→∞

(a

n

· b

n

) = +

∞.

OBLICZANIE GRANIC

309

MLR2x str. 310

D

Oblicz

lim

n

→∞

a

n

oraz

lim

n

→∞

b

n

. Jak myślisz, ile wynosi

lim

n

→∞

(a

n

+ b

n

), a ile

lim

n

→∞

(a

n

· b

n

)?

1.

a

n

= n

2

,

b

n

= 3 +

1

n

2

2.

a

n

= −n

3

,

b

n

= 5 −

1

n

4

Jeśli lim

n

→∞

a

n

= +

∞ i lim

n

→∞

b

n

= g, gdzie g

∈



, to lim

n

→∞

(a

n

+ b

n

) = +

∞,

jeśli ponadto g > 0, to lim

n

→∞

(a

n

· g) = +∞, a jeśli g < 0, to lim

n

→∞

(a

n

· g) = −∞.

E

Pierwszą z własności podanych na poprzedniej stronie można zapisać w na-
stępujący sposób: Przy n

→ ∞, jeśli |a

n

| → ∞, to

1

a

n

→ 0. Zapisz w podobny

sposób pozostałe własności.

1

+

∞

= 0

(+

∞) + (+∞) = +∞

(−

∞) + (−∞) = −∞

(−

∞) − (+∞) = −∞

(+

∞) · q = +∞ dla q > 0

(−

∞) · q = −∞ dla q > 0

1

−

∞

= 0

(+

∞) · (+∞) = +∞

(−

∞) · (−∞) = +∞

(−

∞) · (+∞) = −∞

(+

∞) · q = −∞ dla q < 0

(−

∞) · q = +∞ dla q < 0

Uwaga. Podane wła-
sności granic można
zapisać w skrócie za
pomocą symboli +

∞

i −

∞. Obok zapisa-

ne są niektóre rów-
ności odpowiadające
tym własnościom.

Zastanówmy się teraz, czy można ustalić reguły dotyczące obliczania

lim

n

→∞

(a

n

− b

n

), gdy ciągi (a

n

) i (b

n

) są rozbieżne do +

∞.

Przyjrzyj się poniższym czterem przykładom. Zauważ, że w każdym wy-
padku lim

n

→∞

a

n

= +

∞ i lim

n

→∞

b

n

= +

∞. Natomiast rezultaty obliczania granicy

ciągu c

n

= a

n

− b

n

są różne.

a

n

= n

2

lim

n

→∞

(a

n

− b

n

) = lim

n

→∞

(n

2

− 2n

2

) = lim

n

→∞

(−n

2

) = −

∞

b

n

= 2n

2

a

n

= 4n

3

lim

n

→∞

(a

n

− b

n

) = lim

n

→∞

(4n

3

− n

3

) = lim

n

→∞

3n

3

= +

∞

b

n

= n

3

a

n

=

n
3

lim

n

→∞

(a

n

− b

n

) = lim

n

→∞



n
3

−

n
3

− 5



= lim

n

→∞

(−5) = −5

b

n

=

n
3

+ 5

a

n

= n + (−1)

n

lim

n

→∞

(a

n

−b

n

) nie istnieje, gdyż a

n

−b

n

= (n+(−1)

n

−n) = (−1)

n

,

a ten ciąg jest rozbieżny i nie ma ani granicy właściwej,
ani niewłaściwej

b

n

= n

310

CIĄGI

MLR2x str. 311

Sytuację, z którą mieliśmy do czynienia w przykładach, można opisać za
pomocą symbolu „

∞ − ∞”. Jak widać, nie można podać ogólnej reguły po-

zwalającej określić lim

n

→∞

(a

n

− b

n

), gdy ciągi (a

n

) i (b

n

) są rozbieżne do +

∞.

Mówimy wtedy, że symbol „

∞ − ∞” jest nieoznaczony.

Poniżej podajemy symbole nieoznaczone, z którymi możesz się spotkać
przy okazji obliczania granic ciągów.

Symbole nieoznaczone

„

∞ − ∞”

„0

· ∞”

„

0
0

”

„

∞

∞

”

F

Dane są ciągi (a

n

) i (b

n

). Zauważ, że lim

n

→∞

a

n

= 0 i lim

n

→∞

b

n

= +

∞. Oblicz, jeśli

istnieje, lim

n

→∞

(a

n

· b

n

).

1.

a

n

=

1

n

2

, b

n

= n

6

2.

a

n

=

1

n

4

, b

n

= n

3

3.

a

n

=

1

n

5

, b

n

= 6n

5

4.

a

n

=

(−1)

n

n

, b

n

= n

P

OBLICZANIE GRANIC

311

MLR2x str. 312

ZADANIA

1.

Oblicz:

a) lim

n

→∞



3 +

1

n

+

1

n

2



e) lim

n

→∞



9 +

4

n

2

−

1

n

4

b) lim

n

→∞



5 −



2
3



n

+

2

n

3



f) lim

n

→∞



4 −



2
7



n

·



4 +



2
7



n



c) lim

n

→∞



7
n

− 3



−5 +

4

n

2



g) lim

n

→∞

3
n

− 1,5

3 − 0,5

n

d) lim

n

→∞

(1 − 0,3

n

)



5

n

3

−

1
4



h) lim

n

→∞

0,7

n

− 10



0,1

n

+ 0,01

2.

Oblicz

lim

n

→∞

2a

n

3b

n

,

lim

n

→∞

a

n

+ 4b

n

5

,

lim

n

→∞

1
2

a

n

(b

n

− 1),

lim

n

→∞

(a

n

− b

n

+ 1), wiedząc, że

przy n

→ ∞:

a) a

n

→ 3, b

n

→ 2

c) a

n

→ 5, b

n

→ +∞

b) a

n

→ 0, b

n

→ 3

d) a

n

→ −∞, b

n

→ −2

3.

Oblicz:

a) lim

n

→∞



3

n

+

2
n



e) lim

n

→∞

5

n

− 0,2

n

+ 3n

2

b) lim

n

→∞



0,6

n

+ 2n

4

−

3

n

3



f) lim

n

→∞



3
5



n

+

4
n

− 2n



c) lim

n

→∞

0,3

n

− n

5

g) lim

n

→∞



4n

2

−



2
7



n

 

1
7



n

− 5n

3



d) lim

n

→∞



5

n

4

−



1
6



n



h) lim

n

→∞

0,1

n

− 3n

3



2
3



n

− 4n

4



4.

Oblicz:

a) lim

n

→∞

n + 2

2n − 7

e) lim

n

→∞

n

3

+ n

n

5

i) lim

n

→∞

(n − 2)(2n + 1)

n(1 − n)

b) lim

n

→∞

3 − 5n

n + 1

f) lim

n

→∞

15n + 1

3 − 2n

2

j) lim

n

→∞

3n

3

2n(n − 7)(n − 2)

c) lim

n

→∞

6n

2

− n

4n

2

+ 8n

g) lim

n

→∞

9n

4

− n

3

n

3

+ 12

k) lim

n

→∞



−n

3

+ n

n

2

+ 1



2

d) lim

n

→∞

− n

3

+ n

2

− 17

n

2

− n

3

h) lim

n

→∞

2n

5

+ 5n

2

n

10

+ 3n

l) lim

n

→∞



3n + 1

2 − n



3

312

CIĄGI

MLR2x str. 313

5.

Oblicz:

a) lim

n

→∞

(3n

2

+ 2n − 1)

d) lim

n

→∞

(−5n

2

+ 2n

3

− 7)

b) lim

n

→∞

(−2n

3

+ n

2

− 13)

e) lim

n

→∞

−2n(n − 1)(n + 3)

c) lim

n

→∞

(n

5

− n

7

+ 1)

f) lim

n

→∞

(2n + 1)(3 − n)(6n + 2)

6.

Oblicz lim

n

→∞

(a

n

+ b

n

), lim

n

→∞

(a

n

− b

n

), lim

n

→∞

(a

n

· b

n

), lim

n

→∞

a

n

b

n

, wiedząc, że:

a) a

n

= 3n

2

,

b

n

=

2
n

e) a

n

= 2n

5

,

b

n

= 6n

5

b) a

n

=

5

n

2

,

b

n

= 4n

f) a

n

=

3

n

2

,

b

n

=

1

2n

2

c) a

n

=

−7
n

3

,

b

n

= 2n

3

g) a

n

= −8n

4

,

b

n

= 4n

3

d) a

n

= −5n

4

,

b

n

=

−1

10n

4

h) a

n

=

2

n

5

,

b

n

=

6

n

2

7.

Podaj przykłady takich ciągów (a

n

) i (b

n

), dla których lim

n

→∞

a

n

= 0, lim

n

→∞

b

n

= +

∞

oraz:

a) lim

n

→∞

(a

n

· b

n

) = 0

d) lim

n

→∞

(a

n

· b

n

) = −1

b) lim

n

→∞

(a

n

· b

n

) = +

∞

e) lim

n

→∞

(a

n

· b

n

) = −

∞

c) lim

n

→∞

(a

n

· b

n

) = 5

f) granica ciągu (a

n

· b

n

) nie istnieje

8.

Oblicz lim

n

→∞

a

n

, lim

n

→∞

b

n

, lim

n

→∞

(a

n

+ b

n

) oraz lim

n

→∞

a

n

b

n

, jeśli:

a) a

n

= 2

−n

, b

n

= 2

n+1

c) a

n

=

1

3n

, b

n

=

3
n

b) a

n

= n + 1, b

n

= −n

d) a

n

= 1 +

1
n

, b

n

= 1 −

1

n

2

9.

Przyjmijmy, że ciąg (x

n

) ma granicę równą 3. Znajdź granice ciągów:

a

n

=

−2

x

n

b

n

= 2x

3

n

+ 3

c

n

=

−3

x

3

n

+

1

n

2

d

n

=

x

5

n

− x

n

2x

5

n

+ x

n

lim

n

→∞

3

·5

n

+ 1

5

n

+ 2

n

=

= lim

n

→∞

5

n



3 +

1

5n



5

n



1 +

2n
5n



=

= lim

n

→∞

3 +

1

5n

1 +



2
5



n

= 3

10.

Przyjrzyj się obliczeniom przedstawionym obok,

a następnie w podobny sposób oblicz:

a) lim

n

→∞

3

n

7

·3

n

+ 2

d) lim

n

→∞

3

·7

n

− 2

n

3

·2

n

− 2

·7

n

b) lim

n

→∞

2

·5

n

5

n

+ 3

n

e) lim

n

→∞

2

·4

n

− 6

n+1

5

·6

n

− 3

c) lim

n

→∞

3

n

+ 4

3

n

+ 5

n

f) lim

n

→∞

2

·9

n

− 8

n

√

2

·9

n

OBLICZANIE GRANIC

313

MLR2x str. 314

lim

n

→∞

(

√

n + 3 −

√

n ) =

= lim

n

→∞

(

√

n+3 −

√

n)(

√

n+3 +

√

n)

√

n+3 +

√

n

=

= lim

n

→∞

n + 3 − n

√

n+3 +

√

n

=

= lim

n

→∞

3

√

n+3 +

√

n

= 0

11.

Przyjrzyj się obliczeniom przedsta-

wionym obok, a następnie w podobny
sposób oblicz:

a) lim

n

→∞

(

√

n −

√

n − 2)

b) lim

n

→∞

(

√

3n + 1 −

√

3n − 1)

c) lim

n

→∞

(

√

5n −

√

5n + 8)

d) lim

n

→∞

(

√

n

2

+ 1 − n)

12.

Oblicz granicę ciągu:

a) a

n

=

5

n



2
3



n

c) a

n

=

4

n

6

n+2

e) a

n

=



1
2



n

n + 3

b) a

n

=

(0,3)

n

(

√

2)

n

d) a

n

= n

· 7

n

f) a

n

=

(0,3)

n+7

2n

2

+ 1

13.

Oblicz:

a) lim

n

→∞

1 + 2 + 3 + ... + n

n

2

e) lim

n

→∞



1
2

+

1
4

+ . . . +

1

2

n



b) lim

n

→∞

1 + 3 + 5 + ... + (2n−1)

n

f) lim

n

→∞



1
5

+

1

25

+ . . . +

1

5

n



c) lim

n

→∞

2 + 4 + ... + 2n

1 + 3 + 5 + ... + (2n−1)

g) lim

n

→∞

1
3

+

1
9

+ . . . +

1

3

n

1
4

+

1

16

+ . . . +

1

4

n

d) lim

n

→∞

5 + 10 + ... + 5n

1
2

+ 1 + 1

1
2

+ ... +

n
2

h) lim

n

→∞

n



1
7

+

1

49

+ . . . +

1

7

n



2n + 1

Wskazówka. Skorzystaj ze wzorów na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geome-
trycznego.

14.

Zapisz wzór określający różnicę między wartościami podanej funkcji f dla

dwóch kolejnych liczb naturalnych. Oblicz, jaka jest granica ciągu f (n + 1) − f (n).

a) f (x) = 2x + 3

b) f (x) =

1

2x+3

c) f (x) = x

2

d) f (x) =

√

x

15.

Korzystając z odpowiednich wykresów funkcji trygonometrycznych zmiennej

rzeczywistej, oblicz:

a) lim

n

→∞

sin nπ

c) lim

n

→∞

tg



π

4

+ nπ



e) lim

n

→∞

tg



π

2

−

1
n



b) lim

n

→∞

cos 2nπ

d) lim

n

→∞

sin

1
n

f) lim

n

→∞

tg



π

2

+

1
n



314

CIĄGI

MLR2x str. 315

16.

a) Dla jakiej wartości parametru p granica ciągu a

n

=

(p + 3)n

3

− 7

1 − 2n

3

jest równa

1
2

?

b) Dla jakiej wartości parametru p granica ciągu a

n

=

1 − (p − 2)

2

n

n

jest największa?

c) Jaka jest największa możliwa wartość wyrażenia lim

n

→∞

n

2

cos α

1 + 2n

2

? Dla jakiej wartości

parametru α wyrażenie to przyjmuje najmniejszą wartość?

TEST

T1.

Granica ciągu a

n

jest równa −2, a granicą ciągu b

n

jest +

∞. Która z poniższych

granic została błędnie obliczona?

A. lim

n

→∞

(a

n

+ b

n

) = +

∞

B. lim

n

→∞

(a

n

− b

n

) = −

∞

C. lim

n

→∞

(a

n

b

n

) = −

∞

D. lim

n

→∞



a

n

b

n



= +

∞

T2.

Który z poniższych ciągów jest zbieżny?

A. a

n

=

−2n

2

− 7n + 5

B. b

n

=

6n

2

+ 5

−5n

2

+ 2n

C. c

n

=

2n

2

− 3

2n + 4

D. d

n

=

−3n

3

+ 5

n

2

− 6n

T3.

Granica lim

n

→∞

3

·2

n

− 5

·3

n

4 + 2

·3

n

jest równa:

A.

3
4

B. −

5
2

C.

3
2

D. −

5
4

M

ETRY

CZNE

SZEREGI GEOMETRYCZNE

Pola zamalowanych figur tworzą ciąg sum n początkowych wyrazów pew-
nego ciągu geometrycznego.

SZEREGI GEOMETRYCZNE

315

MLR2x str. 316

Korzystając ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geome-
trycznego, otrzymujemy:

S

n

=

1
3

·

1 −



1
3



n

1 −

1
3

Gdybyśmy mogli zamalowywać kolejne figury w nieskończoność, to otrzy-
malibyśmy figurę o polu równym:

1
3

+

1
9

+

1

27

+ . . .. Przyjmujemy, że taka

nieskończona suma jest równa lim

n

→∞

S

n

.

Ponieważ przy n dążącym do nieskończoności wyrazy ciągu



1
3



n

zbliżają

się do 0, więc zamalowane pole byłoby równe:

lim

n

→∞

⎛
⎜

⎝

1
3

·

1 −



1
3



n

1 −

1
3

⎞
⎟

⎠ =

1
3

·

1

2
3

=

1
2

Powyżej obliczyliśmy sumę wszystkich wyrazów pewnego nieskończone-
go ciągu geometrycznego. W podobny sposób moglibyśmy obliczać sumę
wyrazów dowolnego ciągu geometrycznego nieskończonego.

Niech (a

n

) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Suma n początko-

wych wyrazów tego ciągu wynosi:

S

n

= a

1

1− q

n

1− q

Gdy

|q| < 1, to przy n dążącym do nieskończoności wyrazy ciągu q

n

zbli-

żają się do 0, zatem otrzymujemy:

lim

n

→∞

S

n

= lim

n

→∞

a

1

1− q

n

1− q

=

a

1

1− q

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (a

n

) o ilo-

razie

|q| < 1 jest równa:

S =

a

1

1 −

q

A

Oblicz sumę wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego:

1.

3,

2
3

,

4

27

,

8

243

, . . .

2.

2, −1,

1
2

, −

1
4

, . . .

3.

70, 7, 0,7, 0,07, . . .

316

CIĄGI

MLR2x str. 317

Niech (a

n

) oznacza ciąg geometryczny o ilorazie q. Ciąg sum częściowych,

czyli S

1

= a

1

, S

2

= a

1

+ a

1

q, S

3

= a

1

+ a

1

q + a

1

q

2

, . . . nazywamy szeregiem

geometrycznym.

Uwaga. Szeregiem nazywać będziemy także wyrażenie a

1

+ a

1

q + a

1

q

2

+ . . .

Gdy

|q| < 1, to ciąg (S

n

) jest zbieżny.

Liczbę lim

n

→∞

S

n

nazywamy sumą szeregu.

P

Narysowana poniżej figura zbudowana jest z nieskończonego ciągu kwadratów.
Pierwszy z nich ma bok długości 1, a każdy kolejny kwadrat ma bok dwa razy
krótszy niż bok poprzedniego kwadratu. Oblicz długość zaznaczonej kolorem
niebieskim nieskończonej łamanej oraz pole całej figury.

L = 3 + 3·

1
2

+ 3

·

1
4

+ . . .

Długość łamanej jest równa sumie wyrazów
nieskończonego ciągu geometrycznego
o pierwszym wyrazie

a

1

= 3 i ilorazie

q =

1
2

.

L =

3

1−

1
2

= 6

Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geo-
metrycznego

S =

a

1

1−

q

.

P = 1 +



1
2



2

+



1
4



2

+



1
8



2

+ . . .

Pole figury jest równe sumie wyrazów nie-

skończonego ciągu geometrycznego o pierw-

szym wyrazie

a

1

= 1 i ilorazie

q =



1
2



2

.

P = 1 +



1
2



2

+



1
2



4

+



1
2



6

+ . . .

P =

1

1−

1
4

=

4
3

P

Zamień ułamek okresowy 1,2(45) na ułamek zwykły.

1,2(45) = 1,2454545. . . =

= 1,2 + 0,045 + 0,00045 + 0,0000045 + . . . =

= 1,2 +

0,045

1−0,01

= 1,2 +

0,045

0,99

= 1,2 +

45

990

=

= 1

1
5

+

1

22

=

137
110

0,045 + 0,00045 + 0,0000045

. . .

jest szeregiem geometrycznym,
w którym

a

1

= 0,045 i

q = 0,01,

korzystamy zatem ze wzoru
S =

a

1

1−

q

.

SZEREGI GEOMETRYCZNE

317

MLR2x str. 318

P

Zapisz, dla jakiej liczby

x kolejne składniki sumy tworzą ciąg geometryczny.

Znajdź

x.

x − 1 +

1

x

−

1

x

2

+ . . . = 2

Założenie:

x = 0 i



−

1

x



 < 1

Ilorazem ciągu geometrycznego jest

q = −

1
x

;

aby szereg geometryczny był zbieżny, iloraz
musi spełniać warunek

|q| < 1.





1

x



 < 1, czyli

1

|x|

< 1, więc

|x| > 1

x

1−

−

1
x

= 2

Korzystamy ze wzoru na sumę wszystkich
wyrazów nieskończonego ciągu geometrycz-
nego

S =

a

1

1−

q

.

x

1+

1
x

= 2

x = 2



1 +

1
x



x = 2 +

2
x

| · x

x

2

= 2

x + 2

x

2

− 2

x − 2 = 0

Δ = 12

x

1

=

2 −

√

12

2

=

2 − 2

√

3

2

= 1 −

√

3

Rozwiązanie 1 −

√

3 nie spełnia warunku

|x| > 1.

x

2

=

2 +

√

12

2

=

2 + 2

√

3

2

= 1 +

√

3

Odp.

x = 1 +

√

3

ZADANIA

1.

Sprawdź, że podany szereg geometryczny jest zbieżny. Oblicz sumę tego szeregu.

a) 1 +

1
3

+

1
9

+

1

27

+ . . .

d) 5 + 2 + 0,8 + . . .

b) 1 −

1
3

+

1
9

−

1

27

+ . . .

e) −100 − 60 − 36 − . . .

c)

1

√

2

+

1
2

+

1

2

√

2

+ . . .

f) −4 +

5
3

−

25
36

+ . . .

2.

Dla jakich wartości a podany szereg geometryczny jest zbieżny?

a) 2a + 2a

2

+ 2a

3

+ . . .

d)

1
3

−

1
a

+

3

a

2

− . . .

b) 1 +

a

2

3

+

a

4

9

+ . . .

e) 3 + 0,3

· (a − 1) + 0,03 · (a − 1)

2

+ . . .

c) 5 +

5
a

+

5

a

2

+ . . .

f) 4a − 2a(3 − a) + a(3 − a)

2

− . . .

318

CIĄGI

MLR2x str. 319

ciekawostka

Szwajcarski matematyk Leonhard Euler (czyt. ojler) podał następujący paradoks.
Wybierzmy dowolną liczbę dodatnią a i rozważmy ciągi geometryczne a, a

2

,

a

3

, . . . oraz 1,

1
a

,

1

a

2

, . . . Korzystając ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu

geometrycznego, otrzymujemy równości:

a + a

2

+ a

3

+ . . . =

a

1 − a

i 1 +

1
a

+

1

a

2

+ . . . =

1

1−

1
a

= −

a

1 − a

Po dodaniu tych równości stronami otrzymujemy:

1 + a +

1
a

+ a

2

+

1

a

2

+ a

3

+

1

a

3

+ . . . = 0

Równości takiej nie spełnia żadna liczba dodatnia!

3.

Wyjaśnij paradoks opisany w powyższej ciekawostce.

Wskazówka. Euler sformułował ten paradoks ku przestrodze — dla tych, którzy bagateli-
zują założenia.

4.

Zamień podany ułamek okresowy na ułamek zwykły.

a) 1,(7)

c) 5,(07)

e) −7,1(25)

b) −2,(80)

d) −4,3(2)

f) 0,0(320)

5.

Kolejne składniki sumy tworzą ciąg geometryczny. Oblicz x.

a) 4 + 4x + 4x

2

+ . . . = 5

d) 2 +

2
x

+

2

x

2

+ . . . = 2,5

b) x + x

2

+ x

3

+ . . . = 3

e) x + 1 +

1
x

+ . . . = 4,5

c) 1 +

x

2

2

+

x

4

4

+ . . . =

50
49

f) 1 −

1
x

+

1

x

2

− . . . = 1,5

6.

Rozwiąż równanie:

a) x −

1

2x

+

x

2

2

−

1

4x

+

x

3

4

−

1

8x

+ . . . = 1

b) 15



1+

2
x

+

4

x

2

+ . . .



= 8



1+

1

x

2

+

1

x

4

+ . . .



7.

Jedna ze stron równania jest szeregiem geometrycznym. Znajdź te rozwiązania

równania, które należą do przedziału

0; 2π .

a) 1 + cos x = cos

2

x + cos

3

x + cos

4

x + . . .

b) sin x + sin

3

x + sin

5

x + . . . =

2
3

SZEREGI GEOMETRYCZNE

319

MLR2x str. 320

8.

Każda z trzech narysowanych linii zbudowana jest z nieskończonego ciągu co-

raz krótszych odcinków. Długości kolejnych odcinków tworzą ciąg geometryczny.
Oblicz długości tych linii.

9.

Każda z narysowanych linii składa się z odcinków. Długości co drugiego odcinka

tworzą ciąg geometryczny. Oblicz długości tych linii.

10.

Niech a

1

oznacza pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, a q — iloraz tego

ciągu. Oblicz różnicę między sumą dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu
a sumą wszystkich jego wyrazów, jeśli:

a) a

1

= 50, q =

1
2

b) a

1

= 9, q = 0,1

11.

Suma wyrazów pewnego nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa 1,

a suma kwadratów tych wyrazów jest równa 7. Znajdź pierwszy wyraz i iloraz tego
ciągu.

12.

Iloraz pewnego nieskończonego ciągu geometrycznego (a

n

) jest równy 0,7, a su-

ma wszystkich wyrazów tego ciągu wynosi 20. Oblicz sumę a

1

+ a

3

+ a

5

+ . . ..

320

CIĄGI

MLR2x str. 321

13.

Przyjrzyj się poniższym rysunkom. Najpierw dzielimy kwadrat o polu 1 na 9

mniejszych kwadratów i wycinamy środkowy. Potem każdy z mniejszych kwadra-
tów znowu dzielimy na 9 jeszcze mniejszych kwadratów i wycinamy środkowy itd.
Gdybyśmy w ten sposób kontynuowali wycinanie kwadracików w nieskończoność,
otrzymalibyśmy figurę zwaną dywanem Sierpińskiego. Jaka jest suma pól wszyst-
kich kwadracików, które trzeba by usunąć z początkowego kwadratu, aby otrzymać
dywan Sierpińskiego?

14.

Na rysunkach przedstawiono kolejne etapy powstawania figury zwanej płat-

kiem Kocha. Aby otrzymać tę figurę, należałoby w podobny sposób postępować
nieskończoną liczbę razy. Oblicz pole płatka Kocha, którego budowę zaczynamy
od trójkąta o boku 1.

Trójkąt równoboczny.

Dorysowujemy trójkąty rów-
noboczne o boku trzy razy
krótszym.

Dorysowujemy trójkąty rów-
noboczne o boku trzy razy
krótszym od boku poprzed-
nio dorysowanych trójkątów.

TEST

T1.

Który z poniższych szeregów geometrycznych nie jest zbieżny?

A. 18 + 6 + 2 + . . .

B. −16 + 12 − 9 + . . .

C. 4 + 0,8 + 0,16 + . . .

D. −8 + 12 − 18 + . . .

T2.

Lewa strona równania 3 − 3x + 3x

2

− 3x

3

+ . . . = 5 jest szeregiem geometrycznym.

Rozwiązaniem tego równania jest:

A. −

2
5

B. −

1
3

C.

2
5

D.

3
5

T3.

Rozważ nieskończony ciąg kwadratów. Długości boków tych kwadratów two-

rzą ciąg geometryczny: 1 m, 0,8 m, 0,64 m itd. Suma pól wszystkich kwadratów
należących do tego ciągu jest równa:

A. 2,0496 m

2

B. 5 m

2

C.

25

9

m

2

D. 3

2
5

m

2

SZEREGI GEOMETRYCZNE

321

MLR2x str. 322

POWTÓRZENIE

1.

Dany jest ciąg a

n

= 7 −

2n

5

.

a)

Znajdź setny wyraz tego ciągu.

b)

Którym wyrazem tego ciągu jest 2

3
5

?

c)

Ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg?

2.

Ile wyrazów ciągu a

n

= n

2

−30n+300

jest mniejszych od 100?

3.

Zbadaj monotoniczność ciągu okreś-

lonego wzorem a

n

= 4n

2

− 3.

4.

Wykaż, że jeśli ciąg a

n

jest malejący,

to ciąg b

n

= a

n+1

+ 3a

n

jest malejący,

a ciąg c

n

= −2a

n

+ n jest rosnący.

5.

Znajdź wzór ogólny ciągu określone-

go rekurencyjnie:

a)

a

1

= 5, a

n+1

= −a

n

b)

a

1

= 2, a

n+1

=

1

a

n

6.

Zapisz wzór ogólny ciągu arytme-

tycznego (a

n

), w którym

a

1

= 0,4

i a

n+1

= a

n

+ 0,5.

7.

Dla jakiej wartości p liczby 5p − 4,

p + 5, 2 są kolejnymi wyrazami ciągu
arytmetycznego?

8.

a)

Znajdź wyraz a

26

ciągu arytme-

tycznego, w którym a

2

= 7 i a

3

= 5.

b)

Znajdź

a

1

oraz

różnicę

ciągu

arytmetycznego, w którym a

10

= −12

i a

5

= 3.

9.

W pewnym ciągu (a

n

) sumę n po-

czątkowych wyrazów ciągu można ob-
liczać ze wzoru S

n

= pn

2

+ qn. Wykaż,

że ciąg (a

n

) jest arytmetyczny.

10.

Oblicz sumę wszystkich liczb natu-

ralnych podzielnych przez 7 i mniej-
szych od 500.

11.

Do pustej skarbonki na początku

stycznia wrzucono 50 groszy i odtąd
co tydzień dorzucano kwotę o 10 gro-
szy większą niż tydzień wcześniej. Jaką
kwotę wrzucono do skarbonki w ostat-
nim tygodniu roku? Ile pieniędzy zgro-
madziło się w skarbonce przez cały
rok? (Przyjmij, że rok to 52 tygodnie).

12.

Dana jest funkcja f (x) = 3x + 7.

Uzasadnij, że liczby f (1), f (2), f (3), . . .
tworzą ciąg arytmetyczny. Zapisz wzór
ogólny tego ciągu.

13.

Ciąg (a

n

) jest ciągiem arytmetycz-

nym. Uzasadnij, że ciąg a

5

, a

10

, a

15

,

a

20

, . . . także jest ciągiem arytmetycz-

nym.

14.

Oblicz, dla jakiej liczby n sumy n

początkowych wyrazów ciągu arytme-
tycznego 6, 18, 30, . . . oraz ciągu aryt-
metycznego 18, 24, 30, . . . są równe.

15.

Tylko jeden z ciągów: a

n

= 1 + 2

n

,

b

n

=

3

n

4

, c

n

= 2

n

− 3

n

jest geometryczny.

Wskaż ten ciąg, znajdź jego pierwszy
wyraz i iloraz.

16.

W pewnym ciągu geometrycznym

a

6

= 5 i a

8

= 10. Jakie mogą być wy-

razy a

1

, a

7

i a

10

tego ciągu?

17.

Siódmy wyraz pewnego ciągu geo-

metrycznego jest 16 razy większy od
wyrazu trzeciego. Ile razy większy jest
dwudziesty wyraz tego ciągu od wyra-
zu dziesiątego?

18.

Do dziesięciu szklanek o pojemno-

ści 0,2 l wlano wodę. Pierwszą szklankę
napełniono po brzegi. W każdej kolej-
nej szklance znajdowało się o połowę
mniej wody niż w szklance poprzed-
niej. Czy woda ze wszystkich szklanek
zmieści się w dwóch szklankach?

322

CIĄGI

MLR2x str. 323

19.

Oprocentowanie wieloletniej lokaty

wynosi 6 % w skali roku. Wpłacamy na
nią 50 000 zł. O ile większa będzie kwo-
ta odsetek po czwartym roku oszczę-
dzania od kwoty odsetek po trzecim
roku oszczędzania?

20.

Przypuśćmy, że wartość pewnej

nieruchomości zwiększa się o 10 % po
każdym roku od chwili zakupu. Po ilu
najwcześniej latach nieruchomość bę-
dzie warta o 60 % więcej niż w chwili
zakupu?

21.

Promienie

czterech

narysowanych okręgów
tworzą ciąg geometry-
czny, w którym a

1

= 1

i q = 0,7. Znajdź pole
zacieniowanego obszaru.

22.

Które z podanych granic są równe

liczbie 0?

lim

n

→∞

1

n

2

lim

n

→∞



1
5

n



lim

n

→∞

−5

n

lim

n

→∞



4
3



n

lim

n

→∞

0,3

n

lim

n

→∞



−

1
7



n

23.

Oblicz:

a)

lim

n

→∞



6
n

−

3

5n

2



d)

lim

n

→∞

4n

3

+ 2

2n

3

− n

b)

lim

n

→∞

4



4 + 0,3

n

e)

lim

n

→∞

6n

2

+ n + 5

5n

5

c)

lim

n

→∞

(2n

5

− n

4

− n)

f)

lim

n

→∞

n

4

− 2n

5 − 3n

24.

Wiedząc, że a

n

−

→ −3 i b

n

−

→ +∞

przy n −

→ ∞, oblicz:

a)

lim

n

→∞

(a

n

· b

n

− 4)

c)

lim

n

→∞

(a

n

− b

n

)

2

b)

lim

n

→∞



a

n

+

2

1 − b

n



d)

lim

n

→∞

a

n

+ 3

b

n

25.

Kolejne składniki podanej sumy

tworzą ciąg geometryczny. Oblicz x.

x + x

3

+ x

5

+ . . . = −

15
16

26.

a)

Narysowana spirala zbudowana

jest z nieskończonego ciągu półokrę-
gów, których długości tworzą ciąg geo-
metryczny. Oblicz długość tej linii.

b)

Długość innej spirali, zbudowanej

w podobny sposób z półokręgów, jest
równa długości okręgu o promieniu
takim samym jak największy z pół-
okręgów. Znajdź iloraz ciągu geome-
trycznego utworzonego przez długości
półokręgów tej spirali.

27.

Wykaż, że logarytmy wyrazów cią-

gu geometrycznego (o wyrazach dodat-
nich) tworzą ciąg arytmetyczny.

ZAGADKA

Rozwiązaniem rebusu przed-
stawionego obok jest pewne
pojęcie matematyczne (moż-
na je znaleźć w tym rozdzia-
le). Jakie to pojęcie?

CIĄGI

323

PRACA BADAWCZA

MLR2x str. 324

ANTYBIOTYKI

Antybiotyki to leki, które powinny być zażywane bardzo regularnie. Jeśli przyjmu-
jąc antybiotyk, zastosujemy się do zaleceń lekarza, to utrzymamy w organizmie
ilość leku wymaganą do przeprowadzenia skutecznego leczenia.

Keflin to antybiotyk z grupy penicylin. W trakcie trwania kuracji Keflinem organizm
w ciągu 6 godzin usuwa 60 % tego leku (a więc w organizmie zostaje tylko 40 %
leku). Dlatego co jakiś czas należy uzupełniać ilość leku w organizmie. Zwykle
dorosłej osobie zaleca się przyjmowanie 1 g Keflinu co 6 godzin.

Niech K

n

oznacza ilość Keflinu (w gramach) w organizmie zaraz po zażyciu n-tej

dawki. Jeśli zatem chory zastosuje się do zaleceń lekarza, to:

K

1

= 1

K

2

= 0,4K

1

+ 1

K

3

= 0,4K

2

+ 1

itd.

A.

Zapisz wzór rekurencyjny ciągu K

n

.

Liczby K

1

, K

2

, K

3

, . . . możemy zapisać w inny sposób:

K

1

= 1

K

2

= 0,4K

1

+ 1 = 0,4

· 1 + 1

K

3

= 0,4K

2

+ 1 = 0,4(0,4 + 1) + 1 = 0,4

2

+ 0,4 + 1

K

4

= 0,4K

3

+ 1 = 0,4(0,4

2

+ 0,4 + 1) + 1 = 0,4

3

+ 0,4

2

+ 0,4 + 1

B.

Napisz wzór ogólny ciągu (K

n

) (skorzystaj ze wzoru na sumę wyrazów ciągu

geometrycznego). Korzystając z tego wzoru, oblicz ilość leku w organizmie chorego
po drugiej dobie kuracji.

Na rysunku obok przedstawio-
no wykres ciągu (K

n

). Można

z niego odczytać ilość Keflinu
w organizmie po zażyciu kolej-
nych dawek. Jak widać, ilość ta
bardzo szybko się stabilizuje.

324

CIĄGI

MLR2x str. 325

C.

Odczytaj z wykresu, po której dawce ilość leku w organizmie przekroczy

1,5 grama.

Spróbujmy teraz określić, na jakim poziomie stabilizuje się ilość Keflinu podczas
kuracji. Niech S oznacza ustabilizowaną ilość leku. Na podstawie wykresu możemy
zauważyć, że wraz z kolejnymi dawkami zmniejsza się różnica między sąsiednimi
wyrazami ciągu (K

n

). Możemy powiedzieć, że po pewnym czasie wartość K

n

(zawar-

tość leku w organizmie) w zasadzie się stabilizuje. Po odpowiednio wielu dawkach:

S

≈ K

n

≈ K

n+1

Korzystając ze wzoru rekurencyjnego K

n+1

= 0,4K

n

+ 1, otrzymamy:

S

≈ 0,4S + 1

Stąd:

S

≈ 1

2
3

Oznacza to, że ilość leku w organizmie stabilizuje się na poziomie około 1

2
3

grama.

D.

Chory otrzymuje 1,5 grama Keflinu co 6 godzin. Określ poziom, na którym

stabilizuje się ilość leku w organizmie chorego.

E.

Oblicz dawkę Keflinu, jaką chory powinien przyjąć co 6 godzin, aby ilość leku

w organizmie ustabilizowała się na poziomie 3 gramów.

F.

Lekarz zalecił choremu przyjmowanie 0,5 g antybiotyku o nazwie Ampicillin co

8 godzin. Można przyjąć, że po upływie 8 godzin organizm wydala 30 % tego leku.
Określ poziom, na którym ustabilizuje się ilość tego antybiotyku w organizmie
chorego.

Co dalej?

Stężenie chlorków w wodzie rzeki przed miej-
scowością A wynosi 30 mg/l. Każdego dnia
fabryka w miejscowości A odprowadza do rze-
ki ścieki, które zwiększają zanieczyszczenie
wody o 70 mg/l. Z przyczyn naturalnych stęże-
nie zanieczyszczeń w wodzie w miejscu zrzutu
ścieków zmniejsza się o 10 % w ciągu doby.
Oblicz, na jakim poziomie stabilizuje się zanie-
czyszczenie chlorkami wody w rzece w miej-
scowości A.

Spróbuj znaleźć informacje na temat zjawiska,
które można opisać w podobny sposób.

PRACA BADAWCZA

325