95
Zajmiemy się obecnie kwestią zastosowania KRK do analizy poprawności rozumowań w języku
naturalnym. Wykorzystanie formalnego rachunku w takim celu zakłada możliwość przekładu
języka naturalnego na sztuczny język logiki. Zadanie to jest bardzo skomplikowane, ze względu
na istotne różnice, które między tymi językami zachodzą (por. temat 5 w module 2). Z tego
względu zajmiemy się dość szczegółowo tym zagadaniem, podając w tematach 1–3 szereg
wskazówek dotyczących przekładu typowych struktur zdaniowych.
Osobna kwestia to wykorzystanie narzędzi logicznych do analizy istniejącego przekładu danego
rozumowania. System dedukcji naturalnej omówiony w module 3 i 4 pozwala na skonstruowanie
dowodu w przypadku rozumowania poprawnego. Co jednak zrobić, gdy rozumowanie nie jest
poprawne? Można wykorzystać semantykę do konstrukcji modeli falsyfikujących, jednak
w przypadku KRZ jest to pracochłonne (konstrukcja tabelek), a w przypadku KRK może wymagać
dużej inwencji.
Idealnym rozwiązaniem jest zastosowanie automatycznych procedur poszukiwania dowodu.
Istnieje wiele procedur tego typu i opartych na nich programów komputerowych.
Najpopularniejsze z nich bazują na tzw.
regule rezolucji
bądź na dedukcyjnych
systemach
tablicowych
.
System dedukcji naturalnej również można wykorzystać jako regułową bazę do realizacji
pewnej procedury tego typu, opartej na systemie KE (por. D'Agostino). Omówimy ją w temacie
4 i 5 – osobno dla KRZ i dla KRK. Ponowne rozróżnienie obu rachunków jest uzasadnione tym,
że KRZ jest logiką
rozstrzygalną
, a KRK nie.
W przypadku KRZ przedstawiona przez nas procedura pozwala w skończonej liczbie kroków
znaleźć odpowiedź (pozytywną lub negatywną) na pytanie, czy dane rozumowanie jest poprawne.
W KRK takiej gwarancji nie mamy; nasza procedura (tak jak każda inna) może prowadzić do
nieskończonej sekwencji kroków. KRK jest jednak logiką
półrozstrzygalną
, co oznacza, że jeśli
analizowane rozumowanie jest poprawne, to nasza procedura da odpowiedź pozytywną (czyli
dowód) w skończonej ilości kroków.
96
Chcąc zastosować formalny aparat logiki do analizy rozumowań w języku naturalnym, musimy
dokonać stosownego przekładu, czyli dokonać operacji
formalizacji tekstu
w języku
naturalnym. Niestety nie jesteśmy w stanie podać precyzyjnych reguł, które można stosować
w sposób mechaniczny. Jest to niemożliwe z racji złożoności języków naturalnych i ich
wieloznaczności. Możemy podać jedynie szereg wskazówek, które w zadowalającej
(statystycznie) liczbie przypadków pozwalają na poprawną formalizację.
Przez poprawną formalizację rozumiemy tutaj taki przekład, w wyniku którego zdanie
wyjściowe i otrzymana formuła mają takie same warunki prawdziwości. Należy jednak
pamiętać, że nie dysponujemy tutaj precyzyjnymi kryteriami oceny efektu formalizacji –
umiejętność formalizowania to duża sztuka i tylko trening czyni mistrza.
Formalizacja środkami KRZ jest znacznie prostsza niż analogiczna operacja wykonywana
środkami KRK. Dysponując tekstem, np. rozumowania, musimy jedynie wyróżnić te wyrażenia,
które sygnalizują przesłanki i wnioski, oraz te, które odpowiadają wyróżnionym przez nas
w KRZ spójnikom. Pozostałe ciągi wyrażeń traktujemy jako zdania proste, czyli przypisujemy im
zmienne zdaniowe. Obowiązują tu dwie zasady poprawności:
1. Należy pamiętać, żeby różne wystąpienia tych samych zdań (lub różnych zdań, ale
wyrażających ten sam sąd logiczny) zastąpić taką samą zmienną zdaniową;
2. Do zdań wyrażających różne sądy logiczne bezwzględnie przypisujemy różne zmienne.
Te pozornie proste wymogi w realizacji mogą napotkać wiele trudności, zwłaszcza wtedy gdy
analizujemy cudze rozumowania. Różne zdania wyrażające ten sam sąd logiczny mogą mieć
bardzo odmienną strukturę, co – przy nie dość dokładnej analizie – może prowadzić do
błędnego przypisania im różnych zmiennych. Natomiast nawet identycznie wyglądające zdania
mogą czasem wyrażać inne sądy.
Problemy te ilustrowaliśmy już przy okazji omawiania
ekwiwokacji
,
elipsy
i
wyrażeń
okazjonalnych
(por. moduł 2, temat 3 i 4). Generalnie, proces formalizacji musi być poprzedzony
dokładną analizą znaczenia zdań w tekście.
97
Jeżeli w konkretnym przypadku nie jesteśmy w stanie definitywnie rozstrzygnąć, w jakim
znaczeniu są użyte pewne wyrażenia, to musimy osobno rozważyć różne, możliwe do
otrzymania schematy. Generalnie, wybierając pomiędzy możliwymi wariantami, powinniśmy się
kierować
zasadą życzliwej interpretacji
, czyli wybierać takie rozumienie, które zagwarantuje
poprawność rozumowania (o ile jest to możliwe).
Rekonstruując formalnie schemat czyjegoś rozumowania, należy też pamiętać, że w większości
przypadków możemy mieć do czynienia z
rozumowaniami entymematycznymi
, czyli niepełnymi.
Przykładowo, ktoś, kto mówi w mroźny zimowy dzień:
1. Pada deszcz. Będzie ślisko
wygłasza poprawne rozumowanie, chociaż jego schemat w KRZ wygląda: "p / q". Autor tego
rozumowania pomija jednak przesłanki, które dla niego i dla dowolnego odbiorcy wydają się
oczywiste. Jeżeli je dodamy, to otrzymamy rozwiniętą formę rozumowania:
2. Jeżeli pada deszcz, to jest mokro. Pada deszcz. Jest niska temperatura. Jeżeli jest
mokro i jest niska temperatura, to będzie ślisko./ Będzie ślisko
które ma schemat:
3. p→r, p, s, r∧s→q / q
Łatwo wykazać, że jest to rozumowanie poprawne, korzystając jedynie z reguł (EI) i (DK).
Analizując poprawność rozumowań entymematycznych, musimy pamiętać o dodaniu brakujących
przesłanek, których pominięcie jest ewidentne.
Dokonując formalizacji środkami KRZ, musimy pamiętać, że zmienne zdaniowe mogą
odpowiadać nie tylko zdaniom prostym. Jest przecież wiele
spójników intensjonalnych
,
których nie jesteśmy w stanie wyróżnić, zatem zdania złożone zbudowane z ich pomocą
musimy potraktować jako zdania proste na gruncie KRZ, czyli przydzielić im jedną zmienną.
Nawet w przypadku wyróżnionych przez nas spójników należy pamiętać, że są one wieloznaczne
i dobrze się zastanowić, czy w danym kontekście można zastąpić je stałymi logicznymi.
Rozważymy tu kolejno kilka problemów związanych z koniunkcją, alternatywą i implikacją.
98
Symbol koniunkcji może w wielu przypadkach zastąpić takie wyrażenia, jak: i, a, ale, lecz.
Trzeba jednak pamiętać, że powyższe wyrażenia nie są w pełni synonimiczne, np. a, ale, lecz
posiadają pewien sens służący konfrontacji bądź przeciwstawienia znaczenia swoich
argumentów, którego i nie posiada. Przykładowo, powiemy raczej: Kowalski jest przystojny, ale
bystry to nie jest niż Kowalski jest przystojny i nie jest bystry.
Pomijając jednak ten naddatek znaczeniowy słowa ale nad i, od strony ekstensjonalnej
zachowują się one tak samo. Gorzej, że samo i może też być używane intensjonalnie w celu
zaznaczenia, np. następstwa czasowego lub przestrzennego. Przykładowo zdania:
4. Zosia miała dziecko i wyszła za mąż
5. Zosia wyszła za mąż i miała dziecko
wydają się mieć inną wartość logiczną. Ekstensjonalna koniunkcja jest jednak
przemienna
i kolejność argumentów nie ma wpływu na wartość logiczną całości! W takich przypadkach
lepszym rozwiązaniem może być nie uwzględnianie i lecz potraktowanie zdań
4.
i
5.
jako
dwóch różnych zdań prostych.
Symbol alternatywy odpowiada zasadniczo wyrażeniom lub i albo. Trzeba jednak pamiętać, że
nasza alternatywa to
alternatywa słaba
(łączna), natomiast w języku naturalnym często mamy
do czynienia z tzw.
alternatywą mocną
(rozłączną). Jest to również spójnik ekstensjonalny tym
tylko różniący się od alternatywy słabej, że zdanie zbudowane z jego pomocą jest fałszywe
również wtedy, gdy oba argumenty są prawdziwe. Przykład: Kowalski zostanie w kraju lub
wyjedzie za granicę.
Istnieje wprawdzie w języku polskim pewna tendencja, aby używać lub w znaczeniu alternatywy
słabej, a albo w znaczeniu alternatywy mocnej, jednak nie jest to konsekwentnie przestrzegana
zasada. W powyższym przykładzie użycie lub dla alternatywy mocnej nie wydaje się
nienaturalne czy sztuczne, równie łatwo można by znaleźć przykłady pokazujące, że albo
używa się wtedy, gdy chodzi o alternatywę słabą (np. Pójdę do kina z Moniką albo z Alicją). Na
pewno ktoś, kto używa wyrażenia albo ..., albo… chce wyrazić alternatywę mocną.
W przypadku gdy nie mamy wątpliwości, że alternatywa występująca w zdaniu jest mocna,
wskazane jest wyraźne zaznaczenie tego w formalizacji. Można wprowadzić dodatkowy symbol
99
bądź wyrazić mocną alternatywę z użyciem spójników już w języku KRZ występujących. Np.
zdanie o schemacie albo p, albo q możemy wyrazić przez formułę
¬(p↔q). (Zastanów się
dlaczego.)
Ekstensjonalna definicja implikacji, zwanej często
implikacją materialną
, zawsze budziła
największe zastrzeżenia. Zastanówmy się nad wartością logiczną zdań:
6. Jeżeli 2+2=5, to Kowalska ma dwójkę dzieci
7. Jeżeli Kowalska ma dwójkę dzieci, to 2+2=4
8. Jeżeli Adaś podniesie świnkę morską za ogon do góry, to jej oczy powypadają
Bez względu na odczucia czytelnika, trzeba stwierdzić, że wszystkie są prawdziwe, zgodnie
z tabelkową definicją implikacji.
6.
i
8.
są prawdziwe, gdyż ich poprzedniki są fałszywe, a
7.
dlatego, że następnik jest prawdziwy. Wartości logiczne pozostałych zdań (i ich związki
treściowe) nie mają na nic wpływu!
Paradoksalność dwóch pierwszych przykładów bierze się stąd, że następnik nie ma żadnego
związku treściowego z poprzednikiem, podczas gdy „normalne" użycie wyrażenia jeżeli …,
to… w języku naturalnym zakłada zachodzenie jakiegoś związku. Natomiast ekstensjonalna
definicja implikacji odwołuje się tylko i wyłącznie do wartości logicznej argumentów.
Obrońcy implikacji materialnej argumentują, że przykłady tego typu wcale nie pokazują, że jej
definicja jest zła. Zdania tego typu powstają bowiem właśnie przez pogwałcenie
pragmatycznych norm poprawnego użycia jeżeli ..., to… Jeżeli się tego nie robi, problem znika.
(Na marginesie, warto zauważyć, że użycia jeżeli ..., to… nie respektujące związku treściowego
argumentów, też się w komunikacji zdarzają, np. Jeżeli Kowalski zda egzamin z logiki, to mi
kaktus na dłoni wyrośnie.)
Sytuacja nie jest taka prosta – przykład
8.
to zdanie warunkowe, w którym poprzednik
i następnik są treściowo powiązane! Co więcej, można znaleźć szereg fałszywych zdań lub
niepoprawnych rozumowań zbudowanych według schematów tautologii albo niezawodnych
reguł, gdzie decydujące znaczenie ma właśnie implikacja materialna.
Logicy niezadowoleni z takiego stanu rzeczy zaproponowali szereg nieklasycznych logik
formalizujących niektóre z intensjonalnych znaczeń implikacji (np.
logiki implikacji ścisłej
,
100
logiki relewantne
,
logiki okresów warunkowych
). Są to jednak konstrukcje znacznie
bardziej skomplikowane i nawet ich pobieżna prezentacja znacznie przekracza zakres tego
kursu.
Czy zatem definicja implikacji materialnej jest dobra? Wydaje się, że w dużej ilości przypadków
można ją bezpiecznie zastosować. Zasadniczo nie budzi wątpliwości to, że gdy oba zdania są
prawdziwe, to całość należy uznać za prawdziwą i że, gdy poprzednik jest prawdziwy,
a następnik fałszywy, to całość jest fałszywa. Wątpliwe przypadki zdarzają się wtedy, gdy
poprzednik jest fałszywy.
Jednak gdyby przypisać takim zdaniom fałszywość, to wtedy implikacja nie różniłaby się
ekstensją od koniunkcji, natomiast uznanie obu przypadków za różnowartościowe, dałoby
w jednym przypadku taką samą ekstensję jak dla równoważności, a w drugim też zupełnie
nieprzekonującą. Przypisanie obu przypadkom prawdziwości jest co najmniej zgodne z użyciem
jeżeli ..., to… w matematyce i to wydaje się być argumentem rozstrzygającym.
Pamiętajmy jednak, że jeżeli ..., to… jest spójnikiem o wielu różnych znaczeniach i w wielu
przypadkach formalizacja tego zwrotu z pomocą implikacji materialnej jest wręcz niewskazana,
bo może prowadzić do paradoksalnych efektów. Tak jest np. w przypadku tzw.
kontrfaktycznych okresów warunkowych
, które – na szczęście – w języku polskim są
wyrażane częściej z użyciem wyrażenia gdyby ..., to… (np. Jeżeli bym się z tobą nie ożenił, to
byłbym szczęśliwym człowiekiem).
Odnośnie synonimicznych form wyrażania implikacji, to warto zapamiętać, że (często) w tym
samym znaczeniu używane są sformułowania:
jeżeli p, to q
q, jeżeli p
q, chyba, że nie p
101
Przypomnijmy, że funkcją predykatów 1-argumentowych jest wyrażanie własności obiektu,
którego nazwa jest ich argumentem. Natomiast predykaty dwu-, trój- i więcej argumentowe
wyrażają relacje zachodzące między parami, trójkami itd. obiektów.
W języku KRK będziemy używać stałych nazwowych jako symboli nazw indywidualnych,
a zmiennych predykatywnych jako symboli odpowiednich predykatów z języka polskiego
(postaramy się, w miarę możliwości, jako symbolu predykatu używać pierwszej litery
odpowiedniego zwrotu w języku polskim). Zasadnicze problemy, jakie mogą tu wystąpić,
dotyczą decyzji, kiedy coś można uznać za nazwę, cechę czy relację.
Zdania typu: Kowalski biegnie czy Kowalski jest mężczyzną zapiszemy jako proste formuły
atomowe: "Ba", "Ma". W przypadku obu zdań nie ma innej możliwości, gdyż oba zdania
przypisują pewnemu obiektowi pewną własność; w szczególności w drugim z nich mamy do
czynienia z tzw. predykatywnym użyciem funktora jest, które oznacza, że obiekt jest elementem
pewnego zbioru. Zdanie:
1.
Kowalski czyta „Kocią kołyskę”
można również potraktować jako formułę tego typu ("Ca"), ale bardziej wskazane jest
potraktowanie go jako
formuły relacyjnej
o schemacie: "Cab", gdzie "b" denotuje tą konkretną
powieść, a "C" dwuargumentowy predykat – _czyta_.
Uwaga! Jeżeli decydujemy się na potraktowanie jakiejś relacji (np. czytania) jako własności, to
musimy pamiętać, że należy tę praktykę stosować konsekwentnie. Przykładowo:
2.
Kowalski czyta książkę
zapiszemy wtedy "Ka" (musimy użyć innej zmiennej, gdyż czyta „Kocią kołyskę” i czyta książkę
nie są równoważnymi zwrotami). Ma to konsekwencje logiczne; ze zdania
1.
wynika zdanie
2.
,
ale z "Ca" nie wynika "Ka"! Natomiast drugie rozwiązanie (czytanie jako relacja) pozwala
formalnie wykazać, że wynikanie zachodzi, jednak
2.
nie jest wtedy formalizowane jako formuła
atomowa (por. dalej).
102
Osobny problem to wyrażanie w KRK charakterystyk złożonych. Zdanie:
3.
Kowalski jest wysokim blondynem
Należy ująć jako koniunkcję dwóch zdań atomowych, czyli " Wa
∧Ba" Jest to poprawna
formalizacja, gdyż zachowuje logiczne własności zdania, np. z formuły tej wynika zarówno
formuła "Wa", jak i "Ba". Analogicznie ze zdania
3.
wynika zarówno zdanie Kowalski jest
wysoki, jak i Kowalski jest blondynem. Z drugiej strony, zdania:
4.
Kowalski jest niskim koszykarzem
nie możemy potraktować tak samo. Ktoś kto jest niskim koszykarzem ma np. 1,80 wzrostu, a to
nie daje podstaw do uznania za prawdziwe zdania Kowalski jest niski.
Zdania
3.
i
4.
mają taką samą formę gramatyczną, ale inną
formę logiczną
. W
3.
o obiekcie
orzeka się dwie niezależne charakterystyki, natomiast w
4.
orzeka się o nim jedną, złożoną
charakterystykę, w której niski odnosi się nie do Kowalskiego, ale do dowolnego koszykarza.
W związku z tym
4.
należy zapisać jako formułę atomową, np. "Na". Konsekwencją tego jest
niestety utrata pewnych logicznych własności zdania
4.
, np. wynika z niego zdanie Kowalski
jest koszykarzem, ale z formuły "Na" nie wynika formuła "Ka" (gdzie "K" denotuje _jest
koszykarzem_). Ważniejsze jest jednak tutaj raczej to, że – na szczęście – formalizacja zdania
Kowalski jest niski (np. "Ma") również nie będzie wynikała z "Na".
Omawiając zdania relacyjne, skupimy się przede wszystkim na relacjach dwuargumentowych,
gdyż relacje o większej liczbie argumentów stosunkowo rzadko się pojawiają i raczej nie
dostarczają specyficznych problemów (przykład: _leży między_a_).
Najważniejszym problemem jest tutaj przestrzeganie kolejności argumentów predykatu,
ponieważ istnieje możliwość pojawienia się różnych form gramatycznych, np. zarówno zdanie
Adam kocha Beatę, jak i Beata jest kochana przez Adama należy wyrazić taką samą atomową
formułą relacyjną "Kab", gdzie "K" denotuje _kocha_.
103
Błędem jest zarówno użycie do każdego z tych zdań innej zmiennej predykatywnej, jak
i przepisanie w drugim przypadku nazw argumentów w takiej kolejności, jaką dyktuje zdanie.
W przypadku rozumowań entymematycznych, w których występują zdania mówiące o relacjach,
trzeba pamiętać, że często pomija się przesłanki, które przypisują danej relacji pewne własności
(por. moduł 4, temat 5). Przykładowo rozumowanie:
5.
Adam jest wyższy od Bogdana. Czarek jest niższy od Bogdana. / Adam jest wyższy od Czarka.
jest poprawne, ale zapisanie jego schematu w następujący sposób:
6.
Wab, Ncb / Wac
tego nie wyjaśnia. Trzeba dodać przesłankę mówiącą o tym, że relacja _jest wyższy od_ jest
przechodnia
(
∀xyz(Wxy∧Wyz→Wxz)) oraz że relacja _jest niższy od_ jest relacją do niej
przeciwną, czyli jej
konwersem
(
∀xy(Wxy↔Nyx)).
Formalizacja nazw złożonych w języku naturalnym może nastręczać pewne trudności, gdyż nie
każdy funktor nazwotwórczy wyraża
funkcję w sensie matematycznym
. Nazwy złożone
w języku, np. arytmetyki, zawsze mają ekstensję ustaloną w sposób jednoznaczny.
Przykładowo, 2+3 ma dokładnie jeden desygnat, gdyż + jest funkcją dwuargumentową, czyli
dowolnej parze liczb jednoznacznie przyporządkowuje pewną ustaloną liczbę. Nazwy ojciec
Adama i Bartka oraz syn Adama i Barbary mają wprawdzie taką samą formę gramatyczną, ale
tylko pierwszą z nich możemy zapisać jako term "fab". W drugim przypadku nie mamy gwarancji
ani że nie jest to nazwa pusta, ani że nie jest ogólna.
Właściwym rozwiązaniem jest tutaj użycie predykatu _jest synem Adama i Barbary lub ogólniej
i dokładniej _jest synem_i_. Ostatnie rozwiązanie pokazuje zresztą, że dla formalizacji dowolnej
nazwy złożonej n-argumentowej, zawsze zamiast zmiennych funkcyjnych możemy użyć
zmiennych predykatywnych o – co najwyżej – n+1 argumentach.
Wyrażenia z języka polskiego, dla których formalizacji można użyć kwantyfikatora dużego to:
każdy, wszystko, zawsze, wszędzie,
104
natomiast formalizowane przez kwantyfikator mały to:
pewne, niektóre, coś, istnieje, kiedyś, gdzieś.
Łącząc kwantyfikator duży z negacją, można też formalizować zwroty typu:
nie każdy, żaden, nigdy, nigdzie (por. przykład
9.
).
Warto zauważyć, że zwroty typu zawsze, kiedyś, nigdy nie wyrażają kwantyfikacji w sensie
ogólnym, lecz czasowym, co musi być wyrażone dodatkowo odpowiednią kwalifikacją
zmiennych kwantyfikowanych (por. przykład
9.
z następnego tematu). Podobnie w przypadku
zwrotów typu wszędzie itd.
Podejmując decyzję o użyciu kwantyfikatora, trzeba dobrze rozważyć, czy dane wyrażenie
wymaga formalizacji poprzez duży czy mały kwantyfikator. Przykładowo, zdanie Cokolwiek jest
psem jest zwierzęciem jest równoważne zdaniu
7.
(patrz niżej) i wymaga użycia kwantyfikatora
dużego (por.
8.
). Natomiast zdanie Kowalski czyta cokolwiek wymaga raczej użycia
kwantyfikatora szczegółowego, co zaraz zademonstrujemy.
Zdania typu Coś jest ciężkie, Wszystko ma masę wymagają użycia kwantyfikatorów –
odpowiednio: “
∃xCx”, “∀xMx”.
Zdania Wszystko jest większe od czegoś i Coś jest większe od wszystkiego zapiszemy
odpowiednio: “
∀x∃yWxy”, “∃x∀yWxy”.
Zdanie Adam kogoś kocha zapiszemy “
∃xKax” – w analogiczny sposób zapiszemy formę zdania
Kowalski czyta cokolwiek.
Są to proste przykłady kwantyfikacji zdań atomowych. Również rozważane przez nas wyżej
zdanie
2.
wymaga wykorzystania kwantyfikacji szczegółowej, bowiem oznacza, że Kowalski
czyta jakąś książkę, co zapiszemy: “
∃x(Kx∧Cax)” (gdzie “K” denotuje _jest książką, a “a” –
Kowalskiego). Tutaj jesteśmy już zmuszeni do użycia dodatkowego predykatu kwalifikującego
zmienną kwantyfikowaną i zastosowania jakiegoś spójnika łączącego, zatem zdanie, którego
forma gramatyczna jest bardzo nieskomplikowana, okazuje się zdaniem złożonym.
Analizując zdania nieatomowe, skupimy się w pierwszym rzędzie na tzw.
zdaniach
kategorycznych
, czyli podmiotowo-orzecznikowych, rozważanych już przez Arystotelesa.
105
Zdanie:
7. Każdy pies jest zwierzęciem
będące przykładem
zdania ogólno-twierdzącego
zapiszemy następująco:
8.
∀x(Px→Zx)
Zdania ogólno-przeczące
, np.:
9.
Żaden pies nie jest rybą
zapiszemy tak:
10.
∀x(Px→¬Rx)
Zdanie:
11.
Niektóre psy są inteligentne
które reprezentuje tzw.
zdania szczegółowo-twierdzące
, zapiszemy:
12.
∃x(Px∧Ix)
Natomiast
zdanie szczegółowo-przeczące
, np.:
13.
Niektóre psy nie szczekają
zapiszemy tak:
14.
∃x(Px∧¬Sx)
106
Zdania o bardziej skomplikowanej strukturze mogą dostarczyć sporo kłopotów formalizacyjnych.
Dotyczy to zwłaszcza zdań, w których mamy wielokrotną kwantyfikację. Chociaż trudno tu
wskazać jakieś ogólne reguły, to czytelnik powinien przede wszystkim pamiętać o zasadach
formalizowania zdań kategorycznych, gdyż można postarać się wykorzystać je również
w przypadku zdań bardziej skomplikowanych. Często okazuje się, że takie zdanie generalnie
podpada pod schemat zdania kategorycznego, w którym grupa podmiotu lub orzeczenia jest
sama zdaniem złożonym.
Problem polega na tym, że w zdaniach kategorycznych, łącząc ze sobą to, co w podmiocie i to,
co w orzeczniku, zmuszeni jesteśmy dodawać w formalizacji jakieś spójniki, które w zdaniu
wyjściowym nie występują. Użycie przez nas w tym celu implikacji i koniunkcji nie jest
arbitralnym wyborem – czytelnik powinien zastanowić się nad warunkami prawdziwości takich
formalizacji zdań kategorycznych, w których użylibyśmy innych spójników.
Takie zasady dodawania spójników można rozszerzyć z powodzeniem na inne zdania, starając
się dokonywać ich formalizacji etapami – od ogólnej struktury, do składników atomowych. W ten
sposób można krok po kroku „przełożyć" na język KRK nawet bardzo skomplikowane zdania,
trzymając się dwóch wskazówek:
1. jeżeli w zasięgu kwantyfikatora ogólnego, pojawia się zdanie złożone, to jeśli nie występuje
tam jakiś inny spójnik, wtedy należy dodać implikację;
2. jeżeli w zasięgu kwantyfikatora małego, pojawia się zdanie złożone, to jeśli nie występuje tam
jakiś inny spójnik, wtedy należy dodać koniunkcję.
Oczywiście trzeba pamiętać, że nie są to sztywne reguły – warunkiem dokonania dobrej
formalizacji jest zawsze staranne przeanalizowanie warunków prawdziwości przekładanego
zdania. Oto kilka przykładów:
1. Każdy mężczyzna kocha jakąś kobietę
Zdanie to reprezentuje schemat ogólnego zdania twierdzącego, więc w pierwszym etapie
otrzymujemy następującą parafrazę:
2.
∀x(Mx→x kocha jakąś kobietę)
107
Następnik implikacji, która jest w zasięgu kwantyfikatora dużego, sam jest funkcją zdaniową
złożoną; w szczególności słowo jakąś wymaga użycia kwantyfikatora szczegółowego,
a zmienna, która zostanie nim związana, musi być określona jako odnosząca do kobiety.
Wprowadzamy zatem kolejny predykat, a spójnik, który użyjemy dla połączenia formuł
atomowych, to koniunkcja (zgodnie z zasadą 2). Ostatecznie otrzymujemy formułę:
3.
∀x(Mx→∃y(Ky∧Lxy))
Postępując w sposób analogiczny ze zdaniem:
4.
Istnieje kobieta, którą kochają wszyscy mężczyźni
otrzymamy formułę:
5.
∃x(Kx∧∀y(My→Lyx))
Dokonując w podobny sposób (tzn. etapami) formalizacji zdania:
6. Każdy student w każdej sesji musi zdać każdy egzamin
otrzymamy formułę:
7.
∀x(Sx→∀y(Oy→∀z(Ez→Zxyz)))
Ponieważ mamy tutaj wielokrotną kwantyfikację tego samego rodzaju, więc można zapisać to
prościej (ale równoważnie):
8.
∀xyz(Sx∧Oy∧Ez→Zxyz)
Warto też podkreślić, że predykat dwuargumentowy _musi zdać_ staje się w wyniku dokładnej
formalizacji predykatem trójargumentowym, gdyż chcemy uwzględnić relatywizację czasową
(do sesji). Słowo musi jako zwrot modalny (intensjonalny) nie może być potraktowane osobno
w języku KRK. Precyzyjne uwzględnianie w formalizacji wszystkich odniesień i kwalifikacji
zmiennych często powoduje, że proste gramatycznie zdanie otrzymuje dość skomplikowany
przekład. Oto przykład:
9. Zawsze
gdzieś pada
10.
∀x(Tx→∃y(My∧∃z(Dz∧Pzxy)))
Gdzie: "T" denotuje _jest odcinkiem czasowym, "M" – _jest miejscem, "D" – _jest deszczem,
a "P" denotuje trójargumentową relację padania czegoś (deszczu) w czasie i miejscu.
108
Istnieją pewne sposoby upraszczania zapisu formuł. W przypadku gdy stale używamy
zmiennych odnoszących do pewnego typu obiektów, warto jest zadeklarować z góry, że
używamy różnych rodzajów zmiennych o określonym zakresie. Operujemy wtedy
językiem
wielosortowym.
Przykładowo, jeżeli zadeklarujemy, że zmienne t
1
....t
n
odnoszą do czasu,
a zmienne m
1
....m
n
do przestrzeni, to zdanie
9.
można zapisać następująco:
11.
∀t∃m,x(Dx∧Pxtm)
Jest to sposób zapisu często używany np. w fizyce. Wtedy gdy kategorii obiektów, do których
odnoszą się zmienne, jest zbyt dużo, jest to sposób mało praktyczny, natomiast można
wówczas kwalifikację zmiennych (przez predykaty jednoargumentowe) wydzielić przed nawias.
Jest to użycie tzw.
kwantyfikacji ograniczonej
, np. zdanie
6.
można zapisać:
12.
∀
Sx,Oy,Ez
Zxyz
Uwzględnienie
predykatu identyczności
pozwala znacznie poszerzyć możliwości formalizacyjne
KRK. W szczególności można formalizować różnego typu
zdania numeryczne
, czyli takie,
w których mówi się, że n przedmiotów (a nie tylko wszystkie lub pewne) spełnia jakiś warunek.
Aby powiedzieć, że co najmniej jeden obiekt spełnia pewien warunek, nie potrzebujemy
identyczności, gdyż taki jest dokładnie sens kwantyfikatora małego. Ale żeby powiedzieć, że co
najmniej dwa obiekty spełniają ten warunek, potrzebujemy już identyczności. Przykładowo,
zdanie:
13.
Co najmniej dwóch biegaczy ukończyło wyścig
daje formułę:
14.
∃xy(Bx∧By∧Ux∧Uy∧x≠y)
Jeśli byłoby co najmniej trzech biegaczy (czterech itd.), to musielibyśmy użyć trzech (czterech
itd.) zmiennych i parami zaznaczyć, że dotyczą różnych przedmiotów. Zatem zdanie
13.
dla
n=4 będzie po formalizacji wyglądać następująco:
15.
∃xyzv(Bx∧By∧Bz∧Bv∧Ux∧Uy∧Uz∧Uv∧x≠y∧x≠z∧x≠v∧y≠z∧y≠v∧z≠v)
109
Zwroty typu co najwyżej n wymagają użycia kwantyfikatora dużego i formy warunkowej, gdyż
nie przesądzają, czy w ogóle wymieniona liczba obiektów dany warunek spełnia (być może
żaden obiekt nie spełnia tego warunku, ale na pewno nie więcej niż n). Używamy też n+1
zmiennych. Przykładowo, zdanie:
16. Co
najwyżej jeden biegacz dostanie nagrodę
daje formalizację:
17.
∀xy(Bx∧By∧Dx∧Dy→x=y)
Zdanie:
18.
Każda planeta w tym systemie ma co najwyżej dwie satelity
otrzyma formalizację:
19.
∀x(Px→∀yzv(Syx∧Szx∧Svx→y=z∨y=v∨z=v))
Aby formalizować zdania, mówiące, że dokładnie n obiektów spełnia pewien warunek,
wystarczy po prostu łączyć koniunkcyjnie formuły stwierdzające, że zachodzi to dla co najmniej
i co najwyżej n obiektów. Na przykład zdanie:
20.
Jest tylko jeden zwycięzca
zapiszemy:
21.
∃x(Zx∧∀y(Zy→x=y))
A zdanie:
22.
Każdy patyk ma dwa końce
zapiszemy:
23.
∀x(Px→∃yz(Kyx∧Kzx∧y≠z∧∀v(Kvx→v=y∨v=z)))
110
Omówione w poprzednich tematach zasady przekładu z języka polskiego na język KRK
pozwalają na formalizację rozumowań potocznych i kontrolę ich poprawności środkami czysto
logicznymi. System dedukcyjny (omówiony w module 3 i 4) wydaje się mieć tutaj jednak
ograniczoną wartość. W takiej formie, w jakiej go omówiliśmy, pozwala on na dowodzenie tez
i dedukowanie wniosków z wynikających przesłanek. Co jednak wtedy, gdy wynikanie nie
zachodzi lub gdy formuła nie jest tezą?
W podręcznikach logiki formalnej najczęściej dla wykazania niepoprawności wykorzystuje się
techniki semantyczne, czyli buduje się odpowiednią interpretację (wartościowanie lub model)
falsyfikującą. Z drugiej strony, w
automatycznym dowodzeniu twierdzeń
(które, wbrew
rozpowszechnionej nazwie, służy nie tylko do dowodzenia, ale również do falsyfikowania)
częściej wykorzystuje się syntaktyczne systemy dedukcyjne (np.
metodę rezolucji
) jako
podstawę implementacji odpowiedniego programu.
Obecnie pokażemy, że nasz system dedukcyjny, po odpowiedniej modyfikacji, również może
spełniać to zadanie. W tym celu dopuścimy dedukcje, nie będące dowodami, ale stanowiące
podstawę do falsyfikacji przez konstrukcję odpowiedniej interpretacji.
Oczywiście, nie każda dedukcja nie będąca dowodem może być uznana za wystarczającą.
Tworzenie dowodów nie jest czynnością automatyczną i – na ogół – jeżeli nie udaje się nam
dowodu skonstruować, może to być świadectwem, np. naszego braku umiejętności.
Zmodyfikujemy tu system przez dopuszczenie tylko niektórych reguł i przez nałożenie pewnych
warunków zakończenia dedukcji, które bądź dają dowód, bądź umożliwią falsyfikację.
Pamiętać musimy, że między KRZ a KRK zachodzi bardzo istotna różnica. KRZ jest
logiką
rozstrzygalną
, co oznacza, że dla dowolnej formuły (lub schematu rozumowania) można
uzyskać w skończonej liczbie kroków odpowiedź, czy jest to teza (poprawne rozumowanie), czy
nie. Odpowiedź taką uzyskujemy w wyniku zastosowania odpowiedniego
algorytmu
(procedury).
Nie będziemy tutaj formalnie wyjaśniać, czym jest algorytm – wystarczy nam intuicyjne
rozumienie tego terminu i wiedza czytelników wyniesiona ze szkoły średniej, gdzie wielokrotnie
mieli okazję zetknąć się z różnymi algorytmami. Podkreślmy tylko, że algorytm powinien
111
spełniać dwa warunki: działać w sposób mechaniczny i dać odpowiedź w skończonym
czasie.
Dla KRZ taką procedurą jest np. opisana w temacie 2 modułu 3. metoda tabelkowa.
W przypadku KRK nie istnieją takie metody (nie mamy gwarancji zakończenia działania żadnej
procedury), jednak proces szukania dowodu można zautomatyzować w zadowalający sposób.
Ponadto istnieją metody, które zawsze dają w skończonym czasie odpowiedź pozytywną (tzn.
gdy rozumowanie jest poprawne lub formuła jest tezą). Natomiast w przypadku niepoprawnego
rozumowania proces sprawdzania może nigdy się nie zakończyć. Proponowana tutaj procedura
również ma tą własność.
Przyjmujemy następujące
reguły inferencji
:
(EPN)
(EK)
(ENK)
(EA)
(ENA)
(EI)
(ENI)
(MPR)
(MTR)
(ENR)
(EO)
(ENO)
(EM)
(ENM)
(DS)
¬¬ϕ − ϕ
ϕ∧ψ− ψ
¬(ϕ∧ψ), ϕ− ¬ψ
ϕ∨ψ, ¬ϕ− ψ
¬(ϕ∨ψ)− ¬ϕ
ϕ→ψ, ϕ− ψ
¬(ϕ→ψ)− ϕ
ϕ↔ψ, ϕ− ψ
ϕ↔ψ, ¬ϕ− ¬ψ
¬(ϕ↔ψ), ϕ→ψ− ψ
i
¬(ϕ↔ψ), ψ→ϕ− ϕ
∀αϕ−ϕ(α/σ)
¬∀αϕ− ¬ϕ(α/σ),
∃αϕ− ϕ(α/σ),
¬∃αϕ−
¬ϕ(α/σ)
ϕ, ¬ϕ− ⊥
lub
ϕ∧ψ− ϕ
lub
¬(ϕ∧ψ), ψ− ¬ϕ
lub
ϕ∨ψ, ¬ψ− ϕ
lub
¬(ϕ∨ψ)− ¬ψ
lub
ϕ→ψ, ¬ψ− ¬ϕ
lub
¬(ϕ→ψ) − ¬ψ
lub
ϕ↔ψ, ψ− ϕ
lub
ϕ↔ψ, ¬ψ− ¬ϕ
lub
¬(ϕ↔ψ), ϕ→ψ− ¬ϕ
lub
¬(ϕ↔ψ), ψ→ϕ− ¬ψ
gdzie
σ musi być nową stałą
gdzie
σ musi być nową stałą
112
Większość reguł jest już znana z modułu 3 i 4, pozostałe to ich proste modyfikacje. Korzystamy
tylko z reguły konstrukcji dowodu niewprost, możemy w dedukcji wprowadzać dodatkowe
założenia, ale jedyna dopuszczalna forma zamykania poddowodu, to również dowód niewprost
(DNW).
Najpierw ograniczymy się do omówienia zasad konstruowania dedukcji w KRZ.
Reguły inferencji dla formuł nie będących równoważnościami dzielą się na dwie grupy: (EPN),
(EK), (ENA), (ENI) oraz (ENK), (EA), (EI). Te z pierwszej grupy mają tylko jedną przesłankę,
zatem można je w dedukcji zastosować bezwarunkowo. Formuły stanowiące przesłankę do
zastosowania tych reguł będziemy nazywać formułami
typu koniunkcyjnego
. Nakładamy na
konstruowane dedukcje warunek, że przy stosowaniu tych reguł, wypisujemy zawsze oba
możliwe wnioski.
Druga grupa zawiera reguły dwuprzesłankowe, z których pierwszą przesłankę nazywamy
zasadniczą.
Przesłanki zasadnicze
do zastosowania tych reguł, będziemy dalej nazywać
formułami
typu alternatywnego
. W przypadku reguł (MPR) i (MTR) przesłanki zasadnicze to
równoważności, natomiast w regułach (ENR) są to negacje równoważności.
Uznamy, że dowolna formuła złożona użyta jest w dedukcji, jeżeli jest typu koniunkcyjnego
i oba dopuszczalne wnioski znajdują się w dedukcji lub jeśli jest typu alternatywnego i co
najmniej jeden z dopuszczalnych wniosków znajduje się w dedukcji.
W przypadku równoważności uznamy, że jest użyta, jeżeli zarówno wniosek, jak i druga
przesłanka (MPR) lub (MTR) znajduje się w dedukcji (czyli bądź oba argumenty równoważności,
bądź ich negacje).
Negację równoważności uznamy za użytą, jeżeli oba wnioski z pierwszej lub z drugiej pary
reguł (ENR) są w dedukcji. Negacje zmiennych, podobnie jak same zmienne, traktujemy jako
formuły niezłożone.
Łatwo zauważyć, że aby dowolna formuła złożona była w dedukcji użyta, wcale nie musimy
zastosować do niej żadnej reguły – tak będzie w przypadku, gdy wymagane wnioski (wniosek)
znajdą się w dedukcji jako założenia lub wnioski z zastosowania innych reguł do innych formuł.
113
Wszystkie reguły inferencji mają tak zwaną
własność podformuł
, tzn. w wyniku ich
zastosowania w dedukcji pojawiają się tylko podformuły (bądź negacje podformuł) przesłanki
(zasadniczej). Dedukcja, która wykorzystuje tylko takie reguły ma charakter
analityczny
, tzn.
postępuje do przodu poprzez rozbijanie (analizę) formuł złożonych na ich podformuły.
Ponieważ, każda formuła czy rozumowanie jest skończone, zatem proces taki zawsze musi
prowadzić do nasycenia dedukcji, w tym sensie, że kolejne zastosowania reguł, prowadziłyby
jedynie do powielania formuł w dedukcji.
Jedyna możliwość zakłócenia analityczności dedukcji bierze się z możliwości wprowadzania
dodatkowych założeń, dlatego wprowadzimy tutaj też ograniczenie.
Jedyne dopuszczalne dodatkowe założenia to podformuły (bądź ich negacje) formuł
występujących już w dedukcji. Te ograniczenia dają nam gwarancję każdorazowego zakończenia
dedukcji. Zewnętrzną kontrolę będziemy sprawować poprzez sprawdzanie, czy każda formuła
złożona jest już w dedukcji użyta. Dedukcja spełniająca ten warunek jest
dedukcją skończoną
.
W praktyce wygodnie jest w jakiś sposób zaznaczać z boku formuły złożone, które zostały już
użyte.
W przypadku KRK mogą pojawić się pewne komplikacje wynikające z braku rozstrzygalności.
Oczywiście, dalej możliwa jest sytuacja tego typu, że nie otrzymamy dowodu, ale wykonamy
wszystko, co trzeba, aby moć zbudować skończony model falsyfikujący. Jednak warunki
zakończenia konstrukcji dedukcji wyglądają trochę inaczej, ze względu na to, że wnioski reguł
(EO), (ENO), (EM) i (ENM) nie są podformułami, lecz podstawieniami podformuł przesłanek.
Reguły dla kwantyfikatorów wprowadzają stałe nazwowe na miejsce zmiennych, co powoduje,
że każdy predykat może wystąpić z potencjalnie nieskończoną ilością różnych argumentów.
Generalnie, nie możemy z góry ustalić liczby stałych, które trzeba będzie wprowadzić do
dedukcji przez zastosowanie tych reguł. W związku z tym zachowamy dotychczasowe ustalenia
dla formuł zdaniowych (tzn. kiedy będą w dedukcji użyte) i nałożymy odpowiednie warunki na
zastosowanie reguł kwantyfikatorowych:
1. Do każdej formuły egzystencjalnej (czyli poprzedzonej kwantyfikatorem małym lub zanegowanym
ogólnym) stosujemy regułę jeden raz.
2. Do każdej formuły uniwersalnej (czyli poprzedzonej kwantyfikatorem ogólnym lub zanegowanym
małym) stosujemy regułę na każdą stałą nazwową, która pojawiła się w dedukcji.
114
Wynika z tego, że co do praktycznej sugestii zaznaczania formuł użytych, może być ona
z powodzeniem dalej stosowana do formuł egzystencjalnych, ale nie powinna być używana do
formuł uniwersalnych.
115
Pokażemy teraz działanie systemu w roli procedury sprawdzającej, ilustrując to przykładami.
Nie dążymy tutaj do ściśle deterministycznego opisu i w tym sensie nasza procedura nie jest
automatyczna. Jednak można ją łatwo zmodyfikować tak, że może być realizowana mechanicznie
przez odpowiedni program. Osobno przeanalizujemy jej działanie w KRZ i w KRK.
Zaczynamy oczywiście od wypisania wszystkich założeń – przesłanek i negacji wniosku bądź
po prostu negacji sprawdzanej formuły. Następnie stosujemy systematycznie reguły –
wskazane jest, aby dla ułatwienia zaznaczać sobie każdą formułę złożoną, która jest użyta
w dedukcji. W wyniku tych działań możliwe są trzy sytuacje:
a) W dedukcji pojawia się
⊥, co daje nam dowód.
b) Dedukcja jest skończona. Poniżej podajemy przykład:
1.
p→q∨r, p∧s≠ s∧(¬q→t)
1. p
→q∨r
2. p
∧s
3.
¬(s∧(¬q→t)) ZN
4.
p
(2
EK)
5.
s
(2
EK)
6. q
∨r
(1,4
EI)
7.
¬(¬q→t)
(3,5
ENK)
8.
¬q
(7
ENI)
9.
¬t
(7
ENI)
10.
r
(6,8
EA)
c) Dedukcja nie jest skończona, gdyż jakaś formuła typu alternatywnego (bądź równoważność
lub jej negacja) nie jest użyta, a nie dysponujemy drugą przesłanką umożliwiającą
zastosowanie odpowiedniej reguły. W takim przypadku wprowadzamy do dedukcji jako
dodatkowe założenie brakującą przesłankę i kontynuujemy procedurę.
Znów możliwe są te same trzy przypadki. Jeżeli zachodzi b), to oczywiście kończymy. Jeżeli a),
to tym razem wprawdzie nie mamy dowodu (
⊥ jest w poddowodzie), ale wracamy do dowodu
116
głównego, mając w nim dodatkowo negację naszego założenia dodatkowego – a to i tak
w rezultacie pozwala zaznaczyć formułę, która była źródłem kłopotu, jako użytą. Jeżeli znów
zachodzi c), to ponownie wprowadzamy nowe założenie dodatkowe.
W każdym przypadku nasza konstrukcja musi się zakończyć bądź dowodem, bądź dedukcją
skończoną, gdyż każdorazowe wprowadzenie dodatkowego założenia powoduje zmniejszenie
ilości formuł nieużytych dotąd w dedukcji. Uwaga! Jeżeli zaznaczamy jako użyte formuły
złożone należące do dedukcji nadrzędnej, ale te, które wykorzystaliśmy w poddowodzie, to
musimy pamiętać, że po wyjściu z takiego poddowodu należy na ogół skasować takie
zaznaczenie. Przeanalizujmy poniższy przykład:
2.
p∨q→r∨s≠ (p→r)∧(q→s)
1. p
∨q→r∨s
2.
¬((p→r)∧(q→s)) ZN
2.1. p
→r ZD
2.2.
¬(q→s)
(2, 2.1 ENK)
2.3.
q
(2.2
ENI)
2.4.
¬s
(2.2
ENI)
2.4.1. p
∨q ZD
2.4.2. r
∨s
(1, 2.4.1 EI)
2.4.3. r
(2.4, 2.4.2 EA)
W powyższym przykładzie od samego początku nie mamy możliwości zastosowania żadnej
reguły do założeń. Jako założenie dodatkowe wprowadzamy więc przesłankę niezbędną do
zastosowania (ENI) na formule z wiersza 2. Po dojściu w dedukcji do wiersza 2.4 nadal formuła
z wiersza 1. nie jest użyta (jak również formuła z wiersza 2.1). Wprowadzamy więc kolejne
założenie dodatkowe umożliwiające zastosowanie do niej (EI).
Nowe założenie umożliwia kontynuację dedukcji (przez użycie formuły z wiersza 1.) i choć
samo jest formułą złożoną, to jest od razu formułą użytą w dedukcji, gdyż wyżej, w wierszu 2.3
mamy formułę “q”. Po uzyskaniu w wierszu 2.4.3 formuły “r” użyta jest zarówno formuła
z wiersza 2.4.2, jak i przy okazji jedyna dotąd nie użyta formuła z wiersza 2.1. W ten sposób
dedukcja jest skończona.
W jaki sposób wykorzystujemy dedukcję skończoną do sfalsyfikowania analizowanego
przykładu? Tworzymy wartościowanie w oparciu o zbiór zmiennych obecny w dedukcji: jeżeli
zmienna występuje niezanegowana, to przypisujemy jej 1, jeżeli jest zanegowana, to – 0.
117
I tak, wartościowanie falsyfikujące dla przykładu
1.
wygląda następująco: V(p)=V(s)=V(r)=1,
V(q)=V(t)=0. W przykładzie
2.
w dedukcji nie pojawiła się ani zmienna “p”, ani jej negacja,
oznacza to, że możemy jej przypisać dowolną wartość, natomiast dla pozostałych zmiennych
wartość jest zdeterminowana: V(q)=V(r)=1 i V(s)=0. Czytelnik powinien samodzielnie przekonać
się, że każde z zaproponowanych wartościowań istotnie daje nam interpretację falsyfikującą dla
obu schematów rozumowań.
3. ∀x(Ax∨Bx)≠ ∀xAx∨∀xBx
1.
∀x(Ax∨Bx)
2.
¬(∀xAx∨∀xBx) ZN
3.
¬∀xAx
(2
ENA)
4.
¬∀xBx
(2
ENA)
5.
¬Aa (3
ENO)
6.
¬Bb (4
ENO)
7. Aa
∨Ba
(1
EO)
8.
Ba
(5,
7
EA)
9. Ab
∨Bb
(1
EO)
10.
Ab
(6,
9
EA)
Mamy tutaj przykład dedukcji skończonej, gdyż nie ma potrzeby wprowadzać kolejnych stałych
nazwowych. W oparciu o tę dedukcję można skonstruować skończony model falsyfikujący,
którego dziedzina zawiera dwa obiekty o nazwie “a” i “b” takie, że V(A)={V(a)} i V(B)={V(b)}.
4.
∀x∃yRxy≠ ∃y∀xRxy
1.
∀x∃yRxy
2.
¬∃y∀xRxy
ZN
3.
∃yRay (1
EO)
4. Rab
(3
EM)
5.
¬∀xRxb
(2
ENM)
6.
¬Rcb (5
ENO)
7.
∃yRcy (1
EO)
8. Rcd
(7
EM)
9.
¬∀xRxd
(2
ENM)
10.
¬Red (9
ENO)
118
Powyższy przykład pokazuje, że przestrzeganie warunków nałożonych przez nas na
zastosowanie reguł kwantyfikatorowych może prowadzić do dedukcji nieskończonej. W wierszu
10. pojawiła się przecież nowa stała, więc powinniśmy ponownie zastosować (EO) do formuły
z wiersza 1., podstawiając “e” za “x”, to znów zmusi nas do zastosowania (EM) i wprowadzenia
nowej stałej itd.
Przerwaliśmy konstrukcję dedukcji, gdyż zaobserwowaliśmy, że popadła ona w pętlę (stałą
sekwencję kroków). Przykład ten jednak pokazuje tylko pewne wady naszej procedury, a nie
brak rozstrzygalności KRK.
Otóż rozumowanie
4.
łatwo sfalsyfikować modelem skończonym, nawet o dziedzinie
dwuelementowej, jak w przykładzie poprzednim. Niech V(R)={<V(a),V(a)>, <V(b), V(b)>}, wtedy
każdy obiekt jest w relacji “R” do jakiegoś obiektu (bo “Raa” i “Rbb” są w tym modelu
spełnione), ale nie istnieje taki obiekt, który byłby w relacji “R” do wszystkich. Brak
rozstrzygalności KRK można pokazać jednak na przykładach, których nie sposób sfalsyfikować
w żadnym skończonym modelu.
5.
∀xyz(Rxy∧Ryz→Rxz), ∀x∃yRxy≠ ∃xRxx
Próba zbudowania dowodu dla tego rozumowania, też doprowadzi do niekończącej się
dedukcji. Co więcej, nie tak łatwo będzie zauważyć, że popadliśmy w pętlę, w której ciągle
powtarzamy pewne sekwencje reguł, tylko że z nowymi stałymi. Aby wykazać niepoprawność
powyższego schematu, możemy jednak poszukać w bardziej twórczy sposób modelu
falsyfikującego.
Niech dziedziną naszego modelu będzie zbiór wszystkich liczb naturalnych, a V(R) = ”<”, czyli
niech “R” denotuje relację _jest większa od_. Obie przesłanki są przy takiej interpretacji
prawdziwe, ale wniosek jest fałszywy. Przykład ten (a do pewnego stopnia również poprzedni)
pokazuje, że czasem łatwiej znaleźć model falsyfikujący nie poprzez analizę zbioru formuł
w dedukcji, ale poprzez zastanowienie się nad ich możliwą treścią.
Document Outline