dr Krzysztof Kisiel
Elementy rachunku ró˙zniczkowego funkcji
jednej zmiennej
Niech
f (x)
b˛edzie funkcj ˛
a okre´slon ˛
a w pewnym otoczeniu punktu
x
0
. We´zmy
nast˛epnie pod uwag˛e punkt
x
0
+ 4x
, gdzie
4x 6= 0
oznacza przyrost zmiennej
niezale˙znej
x
o warto´sci bezwzgl˛ednej na tyle małej, aby punkt
x
0
+4x
nale˙zał
do wy˙zej wymienionego otoczenia.
Definicja 1. Ró˙znic˛e:
4f = f (x) − f (x
0
)
nazywamy przyrostem funkcji
f (x)
miedzy punktami
x
0
i
x
0
+ 4x
.
Definicja 2. Ilorazem ró˙znicowym funkcji
f (x)
mi˛edzy punktami
x
0
i
x
0
+ 4x
nazywamy stosunek przyrostu
4y
zmiennej zale˙znej do przyrostu
4x
zmiennej
niezale˙znej:
4f
4x
=
f (x
0
+ 4x) − f (x
0
)
4x
Geometryczna interpretacja ilorazu ró˙znicowego
Iloraz ró˙znicowy jest tangensem k ˛
ata nachylenia siecznej wykresu funkcji
f
przechodz ˛
acej przez punkty
(x
0
, f (x
0
))
,
(x
0
+ 4x, f (x
0
+ 4x))
do dodatniej
cz˛e´sci osi
Ox
;
tg α =
4f
4x
.
Definicja 3. Pochodn ˛
a funkcji
f (x)
w punkcie
x
0
nazywamy granic˛e ilorazu
ró˙znicowego (o ile istnieje) przy zało˙zeniu, ˙ze przyrost zmiennej niezale˙znej
4x
d ˛
a˙zy do zera, tzn:
f
0
(x
0
) = lim
4x→0
f (x
0
+ 4x) − f (x
0
)
4x
.
Pochodn ˛
a oznaczamy tak˙ze symbolem
(
df
dx
)
x=x
0
.
Wzór równowa˙zny:
f
0
(x
0
) = lim
x→0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
.
Definicja 4. Funkcja
f
jest ró˙zniczkowalna w punkcie
x
0
, je˙zeli posiada w tym
punkcie sko´nczon ˛
a pochodn ˛
a.
Proces szukania pochodnej nazywamy ró˙zniczkowaniem, a metod˛e post˛epowa-
nia rachunkiem ró˙zniczkowym.
Geometryczna interpretacja pochodnej
Niech
α
oznacza k ˛
at mi˛edzy styczn ˛
a do wykresu funkcji
f
w punkcie
(x
0
, f (x
0
))
i dodatni ˛
a cz˛e´sci ˛
a osi
Ox
. Wtedy
f
0
(x
0
) = tgα
Równanie stycznej do wykresu funkcji
Równanie stycznej do wykresu funkcji
f
w punkcie
(x
0
, f (x
0
))
ma posta´c:
y = f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
).
Pochodna lewostronna
Definicja 5. Niech
x
0
∈ R
oraz niech funkcja
f
b˛edzie okre´slona przynajmniej
na
S(x
−
0
)
(lewostronne s ˛
asiedztwo punktu
x
0
). Wówczas granic˛e
f
0
−
(x
0
) = lim
x→x
−
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
,
nazywamy pochodn ˛
a lewostronn ˛
a funkcji
f
w punkcie
x
0
.
Pochodna prawostronna
Definicja 6. Niech
x
0
∈ R
oraz niech funkcja
f
b˛edzie okre´slona przynajmniej
na
S(x
+
0
)
(lewostronne s ˛
asiedztwo punktu
x
0
). Wówczas granic˛e
f
0
+
(x
0
) = lim
x→x
+
0
f (x) − f (x
0
)
x − x
0
,
nazywamy pochodn ˛
a prawostronn ˛
a funkcji
f
w punkcie
x
0
.
Warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej(analogia do granic)
Definicja 7. Funkcja
f
ma pochodn ˛
a w punkcie
x
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
f
0
−
(x
0
) = f
0
+
(x
0
).
Definicja 8. Pochodna na przedziale
?
Funkcja
f
ma pochodn ˛
a na przedziale otwartym
(a, b)
, je˙zeli ma pochodn ˛
a
w ka˙zdym punkcie tego przedziału
?
Funkcja
f
ma pochodn ˛
a na przedziale domkni˛etym
[a, b]
, je˙zeli ma po-
chodn ˛
a w ka˙zdym punkcie wewn˛etrznym tego przedziału oraz ma pochodn ˛
a
lewostronn ˛
a w punkcie
a
i pochodn ˛
a prawostronn ˛
a w punkcie
b
.
W ten sposób dla wyj´sciowej funkcji
f
budujemy now ˛
a funkcj˛e (ju˙z nie tylko
w punkcie ale na przedziale) zwan ˛
a jej pochodn ˛
a i oznaczan ˛
a
f
0
(x)
. Stanowi to
swego rodzaju przepis na znajdowanie pochonej funkcji w dowolnym punkcie
rozwa˙zanego przedziału.
Pochodne wa˙zniejszych funkcji elementarnych
1.
(c)
0
= 0, gdzie c ∈ R
2.
(x
n
)
0
= n · x
n−1
dla x ∈ R, gdzie n ∈ N
3.
(x
p
)
0
= p · x
p−1
dla x ∈ R \ {0}, gdzie p ∈ Z
−
4.
(x
α
)
0
= α · x
α−1
dla α ∈ R,
przy czym zakres zmiennej
x
zale˙zy od parametru
α
(np:
√
x
)
Pochodne funkcji trygonometrycznych
1.
(sin x)
0
= cos x, dla x ∈ R
2.
(cos x)
0
= −sin x, dla x ∈ R
3.
(tg x)
0
=
1
cos
2
x
, dla x ∈ R \ {(2k + 1)
π
2
}, gdzie k ∈ Z
4.
(ctg x)
0
= −
1
sin
2
x
, dla x ∈ R \ {kπ}, gdzie k ∈ Z
Pochodne funkcji wykładniczych
1.
(e
x
)
0
= e
x
dla x ∈ R
2.
(a
x
)
0
= a
x
ln a dla 0 < a 6= 1 oraz x ∈ R
Pochodna funkcji odwrotnej
Twierdzenie 9. Je˙zeli funkcja
f
spełnia nast˛epuj ˛
ace warunki:
1. jest ci ˛
agła na otoczeniu
U(x
0
)
,
2. jest ´sci´sle monotoniczna na otoczeniu
U(x
0
)
,
3. ma pochodn ˛
a wła´sciw ˛
a
f
0
(x
0
) 6= 0
,
to
(f
−1
)
0
(y
0
) =
1
f
0
(x
0
)
, gdzie y
0
= f (x
0
).
(f
−1
)
0
(y
0
)
- funkcja odwrotna działa "na odwrót".
Zastosowanie twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej:
1. wyznaczenie pochodnych funkcji logarytmicznych,
2. wyznaczenie pochodnych funkcji cyklometrycznych.
Pochodne funkcji cyklometrycznych
1.
(arcsinx)
0
=
1
√
1 − x
2
dla x ∈ (−1, 1)
2.
(arccosx)
0
= −
1
√
1 − x
2
dla x ∈ (−1, 1)
3.
(arctgx)
0
=
1
1 + x
2
dla x ∈ R
4.
(arcctgx)
0
= −
1
1 + x
2
dla x ∈ R
Pochodne funkcji logarytmicznych
1.
(ln x)
0
=
1
x
dla x > 0
2.
(log
a
x)
0
=
1
x ln a
dla 0 < a 6= 1 oraz x > 0
Twierdzenie o pochodnej sumy, ró˙znicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji
Twierdzenie 10. Je˙zeli funkcje
f
i
g
maj ˛
a pochodne wła´sciwe (odpowiednia
granica jest wła´sciwa) w punkcie
x
0
, to
1.
(f + g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
);
2.
(f − g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) − g
0
(x
0
);
3.
(cf )
0
(x
0
) = cf
0
(x
0
);
4.
(f · g)
0
(x
0
) = f
0
(x
0
)g(x
0
) + f (x
0
)g
0
(x
0
);
5.
f
g
0
(x
0
) =
f
0
(x
0
)g(x
0
) − f (x
0
)g
0
(x
0
)
g
2
(x
0
)
, o ile g(x
0
) 6= 0.
Twierdzenie o pochodnej funkcji zło˙zonej
Twierdzenie 11. Je˙zeli
1. funkcja
f
ma pochodn ˛
a wła´sciw˛a w punkcie
x
0
,
2. funkcja
g
ma pochodn ˛
a wła´sciw ˛
a w punkcie
f (x
0
)
,
to
(g ◦ f )
0
(x
0
) = g
0
f (x
0
)
f
0
(x
0
).
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
zadania różne[1]
Różnice indywidualne skrypt z wykładów
Orografia cw różne[1]
Różne
różne prawa i zagadnienia
Różne formy pracy z lekturą w kl I III
Pomiar zabezpieczen Różnicowoprądowych i ich typy
Dowcipy różne
Rośnie tulipan ślad
Bożyk S Wybory prezydenckie analiza wyborów prezydenckich i ordynacji różnych państw
Różne koty
Anioł Pański ( w różnych językach)
Zdrowaś Maryjo ( w różnych językach)
Faceci z różnych krajów
więcej podobnych podstron