Laboratorium Algebry Komputerowej -

¢wiczenia nr 7

3 czerwca 2014

1 Powtórka z rachunku prawdopodobie«stwa

1.1 Rozkªad jednostajny

Rozkªad jednostajny na przedziale [a, b] jest zdeniowany jako:

ρ(x) =











0

x < a

1

b−a

a ≤ x ≤ b

0

x > b

Wa»nym przypadkiem szczególnym jest rozkªad jednostajny na przedziale [0, 1]

ρ(x) =











0

x < 0

1

0 ≤ x ≤ 1

0

x > 1

Rozkªad ten ma warto±¢ ±redni¡ µ = 1/2oraz wariancj¦ σ

2

= 1/12

.

1.2 Rozkªad normalny

G¦sto±¢ rozkªadu normalnego o warto±ci ±redniej µ oraz odchyleniem standar-

towym σ deniuje si¦ jako:

ρ(x) =

1

σ

√

2π

e

−

(x−µ)2

2σ2

W przypadku µ = 0, σ = 1 otrzymujemy:

ρ(x) =

1

√

2π

e

−

x2

2

2 Generowanie liczb pseudolosowych

2.1 Generatory liczb pseudolosowych

Komputerowe algorytmy generowania liczb pseudolosowych s¡ oparte na al-

gorytmach deterministycznych. Z tego powodu ci¡g kolejnych warto±ci gen-

erowanych przez algorytm jest caªkowicie przewidywalny.

1

Komputer jest w stanie reprezentowa¢ jedynie sko«czon¡ liczb¦ stanów. Oz-

nacza to, »e warto±ci generowane przed algorytm deterministyczny powtarzaj¡

si¦ z pewnym okresem.

Wi¦kszo±¢ generatorów liczb pseudolosowuch daje rozkªad jednostajny [0, 1].

Inne rozkªady zazwyczaj s¡ tworzone na bazie tego rozkªadu.

2.2 Liniowe generatory kongruentne

W celu wyznaczenia ci¡gu liczb o wªasno±ciach losowych (liczb pseudolosowych)

stosuje si¦ wzór rekurencyjny

x

k

=

Mod(a · x

k−1

+ c, M )

(1)

przy czym x

0

(tzw. ziarno) mo»e by¢ w zasadzie dowoln¡ liczb¡ caªkowit¡,

za± a, c i m s¡ odpowiednio dobranymi dodatnimi liczbami caªkowitymi. Ci¡g

liczby x

k

/M

mo»e sªu»y¢ jako realizacja ci¡gu liczb losowych o rozkªadzie jed-

nostajnym.

Parametr M wybiera si¦ najcz¦±ciej jako równy b¡d¹ bliski pot¦dze liczy 2:

M = 2

r

lub M = 2

r

− 1

(2)

gdzie r jest licz¡ bitów w sªowie procesora.

2.3 Generatory typu Fibonacciego

Kolejny popularny typ generatorów. Przykªad:

x

k

= (x

k−17

− x

k−5

) mod 1

Podany przykªad generatora wymaga oczywi±cie podania 17 warto±ci ziaren.

2.4 Generowanie liczb losowych o rozkªadzie normalnym

Rozkªad normalny N (µ, σ) z parametrami µ i σ okre±lony jest przez funkcj¦

g¦sto±ci prawdopodobie«stwa

ρ(x) =

1

√

2πσ

e

−

(x−µ)2

2σ2

.

(3)

Standaryzacja zmiennej losowej X o rozkªadzie N (µ, σ) do zmiennej Y rozkªadu
N (0, 1)

odbywa si¦ przez transformacj¦

Y =

X − µ

σ

.

(4)

Analogicznie, stosuj¡c transformacj¦ odwrotn¡

X = µ + σY

(5)

mo»emy z rozkªadu N (0, 1) otrzyma¢ rozkªad N (µ, σ).

Prostym sposobem wygenerowania ci¡gu liczb o rozkªadzie normalnym przy

wykorzystaniu liczb losowych o rozkªadu jednostajnym jest wykorzystanie Cen-

tralnego Twierdzenia Granicznego, zgodnie z którym suma wielu niezale»nych

losowych pochodz¡cych z tego samego rozkªadu d¡»y do rozkªadu normalnego.

2

Zadania

Zadanie 1

Napisz funkcje random1(n,z0) i random2(n,z0) generowania macierzy zbioru

liczb losowych o rozkªadzie jednostajnym, wykorzystuj¡c wzory (1) i (2). Przyj-

mij nast¦puj¡cych zestawów warto±ci staªych a, c i M :

M

1

= 2048

a

1

= 1203

c

1

= 0

M

2

= 2

31

a

2

= 65539

c

2

= 0

Zbadaj wpªyw warto±ci pocz¡tkowej x

0

na rozkªad wygenerowanych liczb. Do

wizualizacji rozkªadów wykorzystaj funkcj¦ histplot generuj¡c¡ histogram.

Porównaj jako±¢ wyników z uzyskanymi przy wykorzystaniu wbudowanego ge-

neratora rand systemu Sci-Lab.

Zadanie 2

Skonstruuj generator typu Fibonacciego. Porównaj jego wªasno±ci statystyczne

wzgl¦dem generatorów uzyskanych w pierwszym zadaniu.

Zadanie 3

W oparciu o Centralne Twierdzenie Graniczne oraz wzór (5) napisz funkcj¦

random_normal(mi,sigma,n), generuj¡c¡ zbiór liczb losowych z rozkªadu nor-

malnego N (µ, σ). Porównaj jako±¢ wyników z uzyskanymi przy wykorzysta-

niu Sci-Labowego generatora rand(n,m,normal) liczb losowych z rozkªadu
N (0, 1)

.

3