Metody numeryczne - ćwiczenia nr 5

1. Pierwiastki równań nieliniowych

Będziemy rozwiązywać zadania dotyczące znajdowania miejsc zerowych (pier-
wiastków) funkcji nieliniowych, innymi słowy rozwiązywaniem równań typu

f (x) = 0 .

(1)

Rozwiązania x równania (1) poszukuje się zazwyczaj jako wyniku procedury
iteracyjnej typu

x

k+1

= x

k

− h

k

,

(2)

prowadzącej do spełnienia warunku

|x

k+1

− x

k

| < ε ,

(3)

lub

|f (x

k

)| < ε .

(4)

Człon h

k

jest charakterystyczny dla konkretnej metody szukania perwiastków.

1.1. Metoda bisekcji

Założenie: f (x) ciągła w przedziale [a, b], f (a) · f (b) < 0.

x

1,2

=

(

a

b

,

x

k+1

= x

k

−

1
2

(x

k

− x

k−1

) ,

(5)

f (x

k+1

) · f (x

k

) < 0 .

Szybkość zbieżności w zasadzie nie zależy od funkcji f . Algorytm nie wyko-
rzystuje żadnej własności funkcji, prócz informacji, że posiada jedno zero w
przedziale [a, b].

1.2. Metoda “fałszywej” linii prostej (“regula falsi”)

Założenie: f (x) ciągła w przedziale [a, b], f (a) · f (b) < 0.

x

1,2

=

(

a

b

,

x

k+1

= x

k

−

x

k

−x

k−1

f (x

k

)−f (x

k−1

)

f (x

k

) ,

(6)

f (x

k+1

) · f (x

k

) < 0 .

1

1.3. Metoda siecznych

Założenie: f (x) ciągła w przedziale [a, b].

x

1

= a , x

2

= b ,

x

k+1

= x

k

−

x

k

−x

k−1

f (x

k

)−f (x

k−1

)

f (x

k

) ,

(7)

1.4. Metoda stycznych (Newtona)

Założenie: f (x) ciągła i różniczkowalna

1

.

x

1

= a ,

x

k+1

= x

k

−

f (x

k

)

f

0

(x

k

)

.

(8)

1.5. Metoda Steffensena

x

1

= a ,

x

k+1

= x

k

−

(f (x

k

))

2

f (x

k

+f (x

k

))−f (x

k

)

.

(9)

1.6. Metoda iteracyjna (punktu stałego)

Funkcję f (x) przekształcamy do funkcji g(x), tak aby zachodziło:

f (x) = 0 → x = g(x) .

Szukany pierwiastek funkcji f (x) otrzymujemy iterując funkcję g(x):

x

1

= a ,

x

k+1

= g(x

k

) .

(10)

Zadania

1. Zaprogramuj w Scilabie opisane w instrukcji cztery wybrane metody oblicza-

nia pierwiastków równań nieliniowych.

2. Sporządź wykresy

2

następujących funkcji:

f

1

(x) = x

3

+ 18x

2

− 22x + sin(2x

2

+ x) − 255 ,

f

2

(x) = x

4

+ x

3

+ e

x−2

− 200 ,

f

3

(x) = ln



x

2

+x+2

sin x+1



− 5 dla x > 5 .

tak aby wstępnie określić wartości ich pierwiastków.

1

Do obliczenia pochodnej funkcji w SciLabie służy funkcja derivative.

2

Przykład w SciLab-ie:

function [y] = f(x)
y = x^3 + 18*x^2 - 22*x + sin(2*x^2+x) - 255;
endfunction
--> x = (-20:0.5:10);
--> y = f(x);
--> plot2d(x,y)
Aby “dostroić” parametry wykresu należy poeksperymentować opcjami Edit okna graficznego.

2

3. Posługując się wynikami z pkt. 1 znajdź jak największą liczbę pierwiastków

tych funkcji.

4. Sprawdź na co wpływa zastosowanie danego kryterium stopu procesu itera-

cyjnego.

5. Sprawdź jak zależy szybkość obliczania pierwiastków od założonej dokładnosci

ε.

6. Porównaj dokładność otrzymanych wyników z uzyskanymi przy zastosowa-

niu funkcji fsolve SciLaba. Wyniki przedstaw w postaci tabelarycznej oraz
na wykresie.

3