Lista 6

Przekształcenie Laplace’a. Rachunek
operatorowy

6.1

Obliczanie transformacji Laplace’a

Znaleźć transformacje Laplace’a następujących funkcji:

1.

1
2

t

2

+ 1;

2. t

2

−

1
2

e

t

;

3. e

−t

+ 3 e

−2t

+ t

2

;

4. 2 sin t − cos

t

2

;

5. cos

2

t;

6. sin

2

(t − a);

7.

t

Z

0

(t − τ )

2

cos 2τ dτ ;

8. ch t sin t;

9. t ch 2t;

10. sin t − t cos t; 11.

t

Z

0

τ e

t−τ

sin (t − τ )dτ ;

12. e

2t

cos t;

13. e

−t

sin

2

t; 14. t

2

ch 2t;

15. t e

−t

sin t;

16. t e

−t

sh t;

17. sh

3

t;

18. t

3

e

2t

;

19.

t

Z

0

cos β τ − cos α τ

τ

dτ ; 20.

t

Z

0

sh τ

τ

dτ .

6.2

Obliczanie oryginału funkcji

Obliczyć oryginały funkcji:

1.

1

(p − 1)

2

;

2.

1

p

2

+ 4p + 3

;

3.

1

p

2

(p

2

+ 1)

;

4.

p

(p

2

− 4)(p

2

+ 1)

;

5.

p

p

3

+ 1

;

6.

e

−2p

p

2

;

7.

p

(p

2

+ 4)

2

;

8.

1

(p + 1)(p − 3)

;

9.

1

p

3

+ 2p

2

+ p

; 10.

2p + 3

p

3

+ 4p

2

+ 5p

;

11.

1

p − 2

+

e

−p

p

+

3e

−4p

p

2

+ 9

; 12.

p

p

2

+ 4

;

13.

e

−2p

(p + 1)

3

;

14.

p

p

2

+ 4

−

2pe

−p

p

2

− 4

.

2

Lista 6. Przekształcenie Laplace’a. Rachunek operatorowy

6.3

Rozwiązywanie równań różniczkowych za pomocą trans-
formacji Laplace’a

Znaleźć ogólne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczajnego:

1. x

00

− 4x

0

+ 4x = e

2t

; 2. x

00

+ 9x = cos 3t;

3. x

00

+ x

0

− 2x = e

t

;

4. x

00

+ x

0

= e

−t

sin t.

Znaleźć rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego dla równania różniczkowego zwyczajnego:

1.























x

000

+ x = 0,

x(0) = 0,
x

0

(0) = −1,

x

00

(0) = 2

2.















x

00

+ 2x

0

+ x = e

−t

,

x(0) = 1,
x

0

(0) = 0,

3.















x

00

+ 3x

0

= e

−3t

,

x(0) = 0,
x

0

(0) = −1,

4.















x

00

+ 4x = sin 2t,

x(0) = 1,
x

0

(0) = −2,

5.















x

00

− 9x = sh t,

x(0) = −1,
x

0

(0) = 3,

6.























x

000

− x

00

= e

t

,

x(0) = 1,
x

0

(0) = 0,

x

00

(0) = 0,

7.



































x

(4)

− x = sh t,

x(0) = 0,
x

0

(0) = 0,

x

00

(0) = 0,

x

000

(0) = 1,

8.























x

000

+ 3x

00

+ 3x

0

+ x = te

−t

,

x(0) = 0,
x

0

(0) = 0

x

00

(0) = 0.

Znaleźć rozwiązanie układu równań różniczkowych zwyczajnych:

1.















x

0

+ y = 0,

x + y

0

= 0,

x(0) = 1,

y(0) = −1;

2.























2x

00

+ x − y

0

= −3 sin t,

x + y

0

= − sin t,

x(0) = 0, x

0

(0) = 1,

y(0) = 0;

3.























x

00

− y

0

= 0,

x − y

00

= 2 sin t,

x(0) = −1, x

0

(0) = 1,

y(0) = 1, y

0

(0) = 1;

4.























x

00

− y

0

= 0,

x

0

− y

00

= 2 cos t,

x(0) = 0, x

0

(0) = 2,

y(0) = 2, y

0

(0) = 0;

5.























x

00

− y

0

= e

t

,

x

0

+ y

00

− y = 0,

x(0) = 1, x

0

(0) = 0,

y(0) = −1, y

0

(0) = 0;

6.











































x

00

+ y

0

= 2 sin t,

y

00

+ z

0

= 2 cos t,

z

00

− x = 0

x = 0, x

0

(0) = −1,

y(0) = −1, y

0

(0) = 0,

z(0) = 0, z

0

(0) = 1.

6.4. Pomocnicze wzory

3

6.4

Pomocnicze wzory

f (t)

F (p) = L{f (t)}

f (t)

F (p) = L{f (t)}

1

η(t)

1
p

6

sin βt

β

p

2

+ β

2

2

t

n

n!

1

p

n+1

7

ch βt

p

p

2

− β

2

3

e

αt

1

p − α

8

sh βt

β

p

2

− β

2

4

t

n

n!

e

αt

1

(p − α)

n+1

9

e

α t

cos β t

p − α

(p − α)

2

+ β

2

5

cos β t

p

p

2

+ β

2

10

e

α t

sin β t

β

(p − α)

2

+ β

2

Tablica przekształcenia Laplace’a funkcji podstawowych.