Lista 4

Całka krzywoliniowa dwuwymiarowa

4.1

Całka krzywoliniowa nieskierowana

4.1.1

Obliczanie całki krzywoliniowej nieskierowanej

Obliczyć całkę krzywoliniowe nieskierowane:

Z

1)

( x 2 + y 2) dl, gdzie L jest okręgiem x = 2 cos t, y = 2 sin t.

L

Z

1

2)

dl, gdzie L jest odcinkiem o końcach (0 , 1), (2 , 0).

3 x + y

L

Z

3)

e 2 xdl, gdzie L jest odcinkiem o końcach (0 , 1), (1 , 2).

L

Z

4)

xydl, gdzie L jest częścią okręgu x 2 + y 2 = 1, spełniającą warunki x ≥ 0, y ≥ 0.

L

Z

5)

ydl, gdzie L jest łukiem cykloidy x = t − sin t, y = 1 − cos t dla 0 ≤ t ≤ 2 π.

L

4.1.2

Zastosowanie całki krzywoliniowej nieskierowanej

Obliczyć masę łuku o podanej funkcji gęstości:

π

1) łuku x = 3 cos t, y = 3 sin t, gdzie 0 ≤ t ≤

, o gęstości x 2 y w punkcie ( x, y); 2

2) łuku x = 3 t, y = t 3, gdzie 0 ≤ t ≤ 1, o gęstości x 3 + y w punkcie ( x, y); 1

1

3) okręgu x =

cos x, y =

sin x, gdzie 0 ≤ t ≤ 2 π, o gęstości |x| w punkcie ( x, y); 2

2

4) krzywej y = x 2, gdzie 0 ≤ x ≤ 1, jeśli gęstość w punkcie ( x, y) wynosi x; 5) krzywej y = 3 ln x, gdzie 3 ≤ x ≤ 4, o gęstości x 2 w punkcie ( x, y); 1

6) krzywej y = ch x, gdzie 0 ≤ x ≤ 1, jeżeli gęstość w punkcie ( x, y) wynosi ; y

2

7

7) krzywej y 2 = x, gdzie 0 ≤ x ≤ , jeżeli gęstość w punkcie ( x, y) wynosi y.

3

3

2

Lista 4. Całka krzywoliniowa dwuwymiarowa

4.2

Całka krzywoliniowa skierowana

4.2.1

Obliczanie całki krzywoliniowej skierowanej

Obliczyć następujące całki krzywoliniowe skierowane:

Z

1)

xydx+( y − x) dy, gdzie L jest okręgiem x = cos t, y = sin t dla 0 ≤ t ≤ 2 π; L

Z

2)

ydx+ x 2 dy, gdzie L jest x = 2 t, y = t 2 − 1 dla 0 ≤ t ≤ 2; L

Z

3)

ydx+( x + 2 y) dy, gdzie L jest odcinkiem od punktu (3 , 0) do punktu (0 , 1); L

Z

4)

x 2 ydx+3 ydy, gdzie L jest odcinkiem od punktu (0 , − 2) do punktu (0 , 1); L

Z

5)

2 xdx+( x − 3 y) dy, gdzie L jest sumą odcinków od punktu (0 , 1) do punktu (0 , 0), a następnie L

do punktu (2 , 0);

Z

6)

y 3 dx+ x 3 dy, gdzie L jest sumą odcinków od punktu ( − 4 , 1) do punktu ( − 4 , − 2), a następnie L

do punktu (2 , − 2);

Z

7)

2 x dx, gdzie L jest częścią paraboli y = x 2 od punktu ( − 1 , 1) do punktu (3 , 9).

L

4.2.2

Zastosowanie całki krzywoliniowej skierowanej

Obliczyć jaką pracę wykona siła ~

F wzdłuż krzywej L:

1) ~

F = ( x 2 − 2 y) ~i + ( y 2 − 2 x) ~j, gdzie L jest odcinkiem prostej od punktu M( − 4 , 0) do punktu N(0 , 2);

2) ~

F = ( x + y) ~i + ( x − y) ~j, gdzie L jest krzywą y = x 2, od punktu M( − 1 , 1) do punktu N(1 , 1); 3) ~

F = ( x 3 − y 3) ~i + xy 2 ~j, gdzie L jest krzywą x = t 2, y = t 3 dla − 1 ≤ t ≤ 0; π

3 π

4) ~

F = y~i + (3 x + 1) ~j, gdzie L jest krzywą x = 10 cos t, y = 10 sin t dla

≤ t ≤

;

2

2

π

5) ~

F = ( x + y) ~i + ( x − y) ~j, gdzie L jest krzywą x = 3 cos t, y = 5 sin t dla 0 ≤ t ≤

;

2

6) ~

F = x~i + ( x + y) ~j, gdzie L jest krzywą x = ln t, y = t dla 1 ≤ t ≤ e; 7) ~

F = x 1 ~

2 y 32 i + x~

j, gdzie L jest krzywą y = x 2 od punktu (0 , 0) do punktuu (1 , 1); r x

8) ~

F = 2 xy~i − x 2 ~j, gdzie L jest krzywą y =

od punktu (0 , 0) do punktu (2 , 1), następnie od 2

tego punktu po odcinku do punktu (0 , 1) i następnie po odcinku do punktu (0 , 0); 9) ~

F = 2 xy~i, gdzie L jest łamaną zamkniętą o wierzchołkach w punktach (0 , 0), (0 , 1), (2 , 1), (0 , 0).

4.2. Całka krzywoliniowa skierowana

3

4.2.3

Twierdzenie Greena

Stosując twierdzenie Greena obliczyć następujące całki krzywoliniowe po wymienionych krzywych zorientowanych dodatnio:

I

1)

( x − 2 y) dx+2 xy dy po brzegu L trójkąta o wierzchołkach (1 , 0), (2 , 0), (0 , 1); L

I

2)

( y − x 2 y) dx+( xy 2 + x) dy, gdzie L jest brzegiem kwadrata K = {( x, y) : 1 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤

L

y ≤ 2 };

I

( x + y)2

3)

( x 2 + y 2) dx+

dy po brzegu L trójkąta o wierzchołkach (2 , 2), (1 , 3), (1 , 1); 2

L

I

4)

x 2 y dx−xy 2 dy, gdzie L jest okręgiem x 2 + y 2 = 4; L

I

5)

( x + y) dx+ xy dy, gdzie L jest brzegiem ćwiartki koła x 2 + y 2 ≤ 4 dla x ≥ 0, y ≥ 0; L

I

6)

( x 2 + 4 xy) dx+(2 x 2 + 3 y) dy, gdzie L jest elipsą 9 x 2 + 16 y 2 = 144; L

I

7)

2 y dx+( y − x) dy, gdzie L jest brzegiem pólkoła x 2 + y 2 ≤ 25 dla y ≥ 0; L

I p

p

8)

x 2 + y 2 dx+( xy 2 + y ln( x +

x 2 + y 2)) dy, gdzie L jest brzegiem obszaru ograniczonego L

krzywymi.