WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
– czyli ETI masakra kołem Mohra

Z dedykacją dla dwóch kochanych personów, którzy wspierali mnie bardzo
aktywnie lecz mentalnie, ponieważ filmy na TVNie oraz odcinki Dextera
były o wiele ciekawsze... 

DEFINICJE:

Wytrzymałość materiałów- dział mech.techn., zajmujący się modelem
ciała stałego odkształcalnego, posługuje się uproszczonym modelem
teoretycznym ciał rzeczywistych w postaci continum materialnego
(materii ciągłej).

Zadaniem wytrzymałości materiałów jest określenie właściwości
materiału na podstawie badań: stanu przemieszczeń, odkształceń,
naprężeń konstrukcji poddanej działaniu obciążeń i ustalenie czy stan ten
nie jest niebezpieczny ze względu na możliwość zniszczenia materiału.

SIŁY. KLASYFIKACJA SIŁ

1)

Siły zewnętrzne:

a.

Czynne (obciążenia):

i. Powierzchniowe: skupione (Pi), ciągłe

ii. Masowe: grawitacji, bezwładności

b.

Bierne (reakcji)

2)

Siły wewnętrzne: siły wzajemnego oddziaływania ciała na
siebie, siły międzycząsteczkowe

Wykorzystujemy sześć równań równowagi. Dla każdej części przekroju
możemy wyznaczyć wypadlkowe sił zewętrznych.

Pręt pryzmatyczny- prosty (bes obrotów) pręt o stałym przekroju.

Składową Wx najczęściej oznaczamy literką N i nazywamy siłą osiową
(normalna- prostopadła do przekroju poprzecznego lub wzdłużną- wzdłuż
osi). Składową Wy oznacza Ty – siły poprzeczne (T- tnące) lub śinające
składową Wz oznaczamy Wz.

Składowa Mx=Ms (moment skręcający)
My, Mz=Mg (momenty zginające)

4 elementarne sposoby obciążania:
-Rozciąganie(ściskanie) Wx=N
-Ścinanie gdy w przekroju występuje tylko Wy,Wz
-Skręcanie gdy w przekroju występuje Mx jako moment skręcający Ms
-Zginanie, gdy w przekroju występuje siła momentu My,Mz

NAPRĘŻENIA

Naprężenia- stosunek siły do powierzchni (pow. tu delta A).
>Definicja naprężeń normalnych w płaszczyźnie równoległej do osi X:
sigma x= delta Wx/ delta A [N/m^2=Pa] ~ średnie naprężenie normalne
sigma x =(def) lim( A0) delta Wx/ delta A

>Naprężenia styczne w płaszczyźnieprostopadłej do osi x:
tau xy= lim( A0) delta Wy/ delta A
tau xz= lim( A0) delta Wz/ delta A

Jednostki:
Mpa = 10^6 [N/m^2] = 10^6 *(N/10^3 mm^2) =( 10^6
N)/(10^6mm^2)=N/mm^2

Atmosfera techniczna: 10 kg/cm^2
10 kg/cm^2 =~ 10 * 10N/(10mm)^2 = N/mm^2 ~ takie ciśnienie
występuje na 100 metrach

Siły w pręcie rozciąganym

gamma= g * ro
G(x)=Ax gamma

delta L= Nl/AE

suma wydłużeń (delta L) = 0

Prawo Hooke’a:
sigma=E(moduł Yanga) * epsilon
sigma = N/A

epsilon= delta L/L
N/A = E * delta L/L
delta L=NL/AE, gdzie N-siła,A- pole powierzchni,AE-sztywność rozciągania

Wspornik

ROZCIĄGANIE (ŚCISKANIE)

Zasada de Saint-Venanta
Jeżeli dany układ się obciążających na mały obdszar ciała sprężystego
zastąpimy innym układem sytstycznie równoważnym to w odległości od
obszaru przewyższającwego jego rozmiary powstają praktycznie
jednakowe stany naprężenia i odkształcenia.

K = l0/d0 k-krotność próbki, l0-długość, d0-średnica

Prostokątna średnica:

b h = (d^2PI)/4

Właściwości aukscetyczne materiałów pozwalają na anormalne
zachowanie się materiałów, które podczas rozciągania puchną.
auxetic- anormalne właściwości fizyczne

Sigma= P/A0 sigma- naprezenia srednie (umowne), A0- umowna wilkość
(poczatkowy przekrój)

epsilon = delta L/l0 epsilon- wydłużenie jednostkowe (względne), L0 –
początkowa długość próki, gdzie delta L = L- L0

WYKRES ROZCIĄGANIA

RH- granica proporcjonalności (największa wartość naprężeń, przy której
zachodzi jeszcze zależność liniowa między naprężeniem a odkształceniem-
Prawo Hooke’a)
E=tg alfa - moduł Yanga, E= 2,1 * 10 ^5 MPa

Praca odkształcenia (?)
L= całka(P) dl [J]
//HO grecka litera zapisywana jako literka ‘O’ przekreślona z nałożoną
na nią przewróconą w poziiomie literką ‘H’
HO=L/V=L/AL = całka(sigma) d Epsilon [J/m^3]  energia odkształcenia
na jednostkę objętości

Ru= Pu/Au
E= tg alfa
Epsilon sp =epsilon- epsilon trwałe
L trwałe = L – L sprężyste

Rsp – granica sprężystości
Rm- wytrzymałość na rozciąganie, maksymalne naprężenia

Próba ściskania( rozciągania)

Warunek wytrzymałościowy
Naprężenia maksymalne: |sigma max|=|N max|/A<= kr(c)
N- siła, k-naprężenie dop, A-kształt próbki

Kr(c)= sigma niebeszp./n bezpieczn, sigma- napr.niebezpieczn., n-
współczynnikbezp. N bezp >=1

Materiały izotropowe??

Wydłużenie w osi x:
epsilon x= epsilon= delta L/L0>=0
gdzie epsilon- wydłużenie jednostkowe w kierunku wzdłużnym
dla rozciągania delta l= l1 – l0>=0

Epsilon’ =delta a / a0=delta b/ b0=delta d /d0
gdzie: delta a=a1-a0, delta b=b1-b0, delta d= d1- d0

Liczba Poissona: ni=episilon’/epsilon

Epsilon’=- ni* epsilon
//OI- grecka litera ‘O’ kreślona poprzecznie

OI=deta V/V0 – jednostkowy przyrost objętości, delta V=V1-V0
OI = (V1-V0)/V0 = V1/V0 – 1= (a1b1l1)/(a0b0l0)-1 = (a0 +delta a)/a0 - (b0
+delta b)/b0 -(l0 +delta l)/l0 -1 = (1+ epsilon y)- (1+ epsilon z) - (1+ epsilon
x) – 1 = 1+ epsilon x +epsilon y + epsilon z +epsilon y epsilon z+ epsilon z
epsilon x+ epsilon x epsilon y + epsilon x epsilony epsilonz – 1=
epsilon x +epsilon y +epsilon z

OI= epsilon x +epsilon y +epsilon z  współczynnik rozszerzalności
objętościowej

OI=epsilon (- ni epsilon) + (- ni epsilon)
OI=epsilon(1-2ni)

Dla materiału nieściśliwego: OI = 0-> 1-2ni ->ni = ½
Dla materiałów ściśliwych: epsilon’=0  ni =0 np.korek
0<=ni<=1/2 kałczuk, guma stąd 0,3

PRAWO HOOKE’A W TRÓJOSIOWYM STANIE NAPRĘŻENIA

Sigma = E epsilon – wzdłużne
Epsilon’ = - ni epsilon(x,y,z) – poprzeczne

Epsilon= epsilon’/-ni

Epsilon x = 1/E sigma x
Epsilon y = 1/E sigma y
Epsilon z = 1/E sigma z

Epsilon x=1/E sigma x – epsilon’ y – epsilon’ z
Epsilon x =1/E sigma x- ni 1/Esigma y - ni 1/Esigma z

/epsilon x =1/E[sigma x- ni(sigma y + sigma z)]
/ epsilon y=1/E[sigma y- ni(sigma z+ sigma x)]
/ epsilon z =1/E[sigma z- ni(sigma x + sigma y)]

/gamma yz= 1/G *tau yx
/ gamma zx= 1/G *tau zx
/ gamma xy= 1/G *tau xy

Gamma- kąt odkształcenia postaciowego

Stałe sprężystości:
G- moduł ścinania
E- moduł Yanga
G=E/[2(1+ni)]

Macierz...

Ei= fi( sigma x, sigma y sigma z, tau yz, tau zx,tau zy)

....

K=E/3(1-2ni) K- moduł odkształcenia objętościowego

Sigma śr=(3 E)/[3(1-2ni)] epsilon śr
sigma śr= K* 3 epsilon śr
sigma śr= K* OI

E epsilon śr=(1-2ni)sigma śr
E(epsilon i – epsilon śr) = (1+ni) sigma i – sigma śr[3ni + (1-2w)]
E(epsilon i – epsilon śr) = (1+ni)(sigma i –sigma śr)

sigma i –sigma śr = (-E)/(2(1+ni))* (epsilon i – epsilon śr)

G=E/2(1+ni)
sigma i- sigma śr = 2G(epsilon i – epsilon śr)

sigma i=3K* epsilon śr + 2G(epsilon i- epsilon śr), gdzie K-moduł
sztywności objętościowej, G- moduł sztywności postaciowej

PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA. KOŁO MOHRA
rysunki...

Naprężenia w kierunku normalnym:
Sigma fi A - sigma x A cos fi cos fi + tau xy A cos fi sin fi + tau yx A sin fi cos
fi – sigma y sin fi sin fi = 0/A
sigma fi=sigma x cos^2 fi- 2 tau xy sin fi cos fi + sigma y sin^2 fi
>>sin 2 fi=2sin fi cos fi
>>1=cos^2fi + sin^2fi
>>cos 2 fi= cos^2fi - sin^2fi
1+cos2fi= 2 cos^2fi
sin^2fi=(1-cos 2fi)/2

Sigma fi= (sigma x +sigma y)/2 +(sigma x -sigma y)/2 *cos2fi – tau xysin2fi

Naprężenia w kierunku stycznym:
tau fi=(sigma x –sigma y)/2*sin 2 fi + tau xy cos 2 fi

D sigma x/d fi = 0 + (sigmax+sigmay)(-sin 2fi)*2 – tau xy cos 2 fi*2 = 0
//warunek konieczny istnienia funkcji sigma fi
tau fi =(sigmax-sigmay)/2 *(sin 2fi) +–tau xy cos 2 fi=0  tg 2 fi=(-2tau
xy)/(sigma x – sigma y)
tau fi =0

2 fi 0 = arctg [(-2tau xy)/(sigma x- sigma y)]
2fi = 2 fi 0 + k Pi

Warunek ekstr.naprężenia normalnego jest równoważny war.równiania
się napr.stycznych. Dwa kolejne pierwiastki równania określają wzajemnie
prostopadłe przekroje, w których naprężenia styczne sa rowne tau fi=0 a
naprezenia normalne sigma fi osiągają wartości ekstremalne. Przekroje te
nazywamy głównymi, a naprężenia działające w tych przekrojach
n.głównymi.

X= x(t)
sigma fi= sigma (2 fi)
y=y(t)
tau fi= tau (2 fi)

Sigma fi – [(sigma x +sigma y)/2] = [(sigma x- sigma y)/s *cos 2 fi – tau xy
sin 2fi]^2
tau fi ^2=[(sigma x- sigma y)/2 sin 2 fi + tau xy cos 2 fi)^2]
(sigma fi – [sigma x + sigma y]/2) + tau fi^2 = [(sigma x- sigma y)/2]^2 +tau
xy^2

Anal.równanie okręgu: (x-xs)^2 + y^2 = r^2
xs=(sigma x + sigma y)/2
ys=0

R^2=[(sigma x- sigma y)/2]^2 +tau xy^2

R=pierw([(sigma x- sigma y)/2]^2 +tau xy^2)

ODKSZTAŁCENIA

P=[u,v,w]

P(x,y,z)=[u(x,y,z), v(x,y,z),w(x,y,z)]

Rysunek

...

SKRĘCANIE PRĘTÓW O PRZEKROJACH OKRĄGŁYCH

Założenia:
-tworzące przyjmują kształt lini śróbowych
-przekroje poprzeczne pozostają płaskie i okrągłe, a odległość między nimi
nie ulega zmianie

Tau xy = G gamma xy
tau ro= G gamma ro
tau ro= G (d fi/d x) ro
G=E/(2[1+ni])

Ms= całka od A (ro tau ro) dA= G d fi/dx całka(ro^2) dA
Io= całka(ro^2) dA
I0= (Pi r^4)/2= (Pi d^4/32)

D fi/d x = Ms/GI0, gdzi GI0- sztywność pręta skręcanego o przekroju
ciągłym
tau ro = G Ms/GI0 ro= Ms/I0 * ro
tau max= tau ro (ro=ro max) = Ms/I0 ro max
tau max = Ms/W0 W0=I0/ ro max

Wskaźnik wytrzymałościowy:
> gdy r=d/2
I0[m^4]= Pi r^4/2 lub Pi d^4/32
W0[m^3]=Pi r^3/2 lub Pi d^3/16
>gdy d<D
I0=[PI(D^4-d^4)/32]
W0=Pi/(16D) * (D^4-d^4)
lub
W0=Pi/16(D^3-d/D * d^3)

ZGINANIE TEŻ BELKI

Teoria zginania:

Czyste zginanie- siłe wewnętrzne działające w przestrzeni wewnętrznej
pręta sprowadzają sie do pary leżącej w płaszczyźnie osiu pręta, a siła
poprzeczna (tnąca) jest równa P (??).
Przyjmujemy, że włókna po stronie wklęsłej belki skracają się, a po stronie
wypukłej wydłużają się. Warstwą odkształeń zerowych nazywamy
warstwą obojętną. Jej ślad w przekroju poprezcznym- oś obojętna
zginania.

Założenia:
-Płaskie przekroje poiprzeczne pozostają po zgięciu płaskimi i
oprostopadłymi do zgiętej osi belki (hipoteza Kirhoffa)

-Włókna podłużne doznają jednoosiowego rozciągania lub ściskania (w
przekrojach poprzecznych powstają jedynie naprężenia normalne, a w
podłużnych naprężenia normalne są równe 0)
sigma (y) = E epsilon(y)
sigma (y) = E/ro y prawo liniowego rozkładu naprężeń normalnych

- zgięta oś belki leży w płaszczyźnie pary sił zginających
suma Fxi = 0
całka sigma(y) dA = 0  E/ro całka y dA=0, gdzi ydA=Sz  Sz =0
o ś obojętna zginania przechodszi przez środek ciężkości przekroju
poprzecznego pręta

Suma Myi = 0 wynika z założenia 3
całka( z sigma(y)) dA=0  E/ro całka po A (y z ) dA=0 – osie y i z są
osiamui głównymi, główne centralne osie bezwładności

Suma Mzi = 0 wynika z założenia 3
całka po A( z sigma(y)) dA=M  E/ro całka po A (y^2 ) dA=M  Iz=całka
po A (y^2)dA moment bezwł
Eiz/ro =M  1/ro =M/Eiz

Eiz- sztywność pręta zginanego wzgl osi z
d fi/dx = Ms/(GI0)

Sigma (y)= M/(Eiz) *Ey
sigma(y) = Mz/Iz * y zginanie w płaszczyźnie głównej przekroju
poprzecznego

Wzory:

-przekrój prostokąt:
Iz=(bh^3)/12
W0=Iz/y max = (bh^2)/6

Przekrój koło:
Iz=(Pi R^4)/4 = (Pi d^4)/64
W0=(Pi d^3)/32=~ 0,1d^3

Warunek wytrzymałościowy:
|sigma ro|max<kr(c)

Równanie różniczkowe lini ugięcia belki:

Wzór Żurawskiego:

Metoda Clepsha: