Algebra z geometrią

Struktury algebraiczne

4.10.2010

Algebra z geometrią

Kontakt

Szymon Drgas
Pracownia Układów Elektronicznych i Przetwarzania Sygnałów
pokój: 429 BM
email: [e-mail]

Algebra z geometrią

Plan zajęć

1

Struktury algebraiczne

2

Liczby zespolone

3

Działania na macierzach, wznacznik

4

Własności wyznacznika, rozwinięcie Laplace’a, odwracanie
macierzy

5

Układy równań

6

Przestrzeń wektorowa, przekszałcenie liniowe

7

Geometria

Algebra z geometrią

Zaliczenie

1

obecność

2

kolokwia

3

aktywność na zajęciach

Algebra z geometrią

Algebra

Algebra jest nauką o strukturach algebraicznych, tzn. o zbiorach
elementów i działaniach zdefiniowanych na tych elementach.

Algebra z geometrią

Pytania dotyczące struktur algebraicznych

1

Zbiór liczb zespolonych tworzymy przez rozszerzenie zbioru
liczb rzeczywistych o element spełniający i

2

= −1. Które

reguły działań są zachowane w zbiorze liczb zespolonych?

2

Co to jest arytmetyka modularna? Czym właściwie są obiekty i
w jaki sposób są na nich zdefiniowane operacje?

3

Czym są wielomiany? Czy spełniają prawa działań? Co z
macierzami?

4

Czy suma i iloczyn zbiorów zachowują się tak samo suma i
iloczyn liczb?

Algebra z geometrią

Iloczyn kartezjański

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B jest zbiór wszystkich
uporządkowanych par (a, b), w których a ∈ A, b ∈ B. Iloczyn
kartezjański oznacza się symbolem A × B:

A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}

(1)

Algebra z geometrią

Iloczyn kartezjański

Dane są zbiory zbiory: A = {1, 2, 3, 4} i B = {a, b, c}. Wypisz
elementy zbiorów:

A × A

A × B

Czy A × B = B × A?

Algebra z geometrią

Funkcje

Funkcja f : A → B jest podzbiorem f ⊆ A × B takim, że (a, b) i
(a, b

0

) implikuje b = b

0

. Zbiór A jest nazywany domeną funkcji a B

przeciwdomeną.
Funkcja nazywana jest iniekcją (różnowartościową) jeśli a i a

0

są

różnymi od siebie elementami zbioru A i f (a) 6= f (a

0

).

Funkcja f nazywana jest suriekcją jeśli f (A) = B, tj. każdy
element b ∈ B odpowiada f (a) dla pewnego a ∈ A.
Funkcja f jest bijekcją jeśli jest równocześnie iniekcją i suriekcją.

Algebra z geometrią

Działanie

Działaniem dwuargumentowym na zbiorze A nazywamy funkcję
◦ : A × A → A.
Działanie nazywamy łącznym jeśli:

∀a, b, c ∈ A

(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

Działanie nazywamy przemiennym jeśli:

∀a, b ∈ A

a ◦ b = b ◦ a

Algebra z geometrią

Dodawanie modulo

Dodawanie modulo polega na obliczaniu reszty z dzielenia sumy
liczb.

0 + 1 ≡ 1(mod5)

2 + 3 ≡ 0(mod5)

4 + 4 ≡ 3(mod5)

Algebra z geometrią

Struktury algebraiczne

1

półgrupy

2

grupy

3

pierścienie

4

ciała

5

moduły

6

przestrzenie wektorowe

7

algebry

Algebra z geometrią

Grupa

Para (G , ◦) nazywana jest grupą jeśli spełnione są następujące
aksjomaty:

1

G jest zbiorem a ◦ jest działaniem dwuargumentowym.

2

Istnieje element neutralny e ∈ G taki, że e ◦ x = x ◦ e = x dla
każdego x ∈ G .

3

Działanie ◦ jest łączne.

4

Dla każdego x ∈ G istnieje element odwrotny y ∈ G taki, że
x ◦ y = y ◦ x = e.

Algebra z geometrią

Grupa

Wykaż, że element neutralny e jest określony jednoznacznie oraz,
że dla każdego x ∈ G element odwrotny y jest również określony
jednoznacznie.

Algebra z geometrią

Grupa

Przypuśćmy, że istnieją dwa elementy neutralne: e

1

i e

2

. Co

oznacza, że ∀a

a ◦ e

1

= e

1

◦ a = a oraz

∀a

a ◦ e

2

= e

2

◦ a = a wtedy:

e

1

= e

1

◦ e

2

= e

2

.

Przypuśćmy, że y i z są elementami odwrotnymi elementu x
(x ◦ y = y ◦ x = e oraz x ◦ z = z ◦ x = e). Wtedy:

y = y ◦ e = y ◦ (x ◦ z) = (y ◦ x ) ◦ z = e ◦ z = z

Algebra z geometrią

Grupa

Udowodnij, że grupa G spełnia następujące prawa:
∀a, b, c ∈ G

b ◦ a = c ◦ a ⇒ b = c oraz

∀a, b, c ∈ G

a ◦ b = a ◦ c ⇒ b = c

Algebra z geometrią

Grupa

b ◦ a = c ◦ a
(b ◦ a) ◦ a

−1

= (c ◦ a) ◦ a

−1

b ◦ (a ◦ a

−1

) = c ◦ (a ◦ a

−1

)

b ◦ e = c ◦ e
b = c

Algebra z geometrią

Grupa

Pokaż, że w grupie:

(x

1

◦ x

2

)

−1

= x

−1

2

◦ x

−1

1

Algebra z geometrią

Grupa

(x

1

◦ x

2

)

−1

= x

−1

2

◦ x

−1

1

(x

1

◦ x

2

)

−1

◦ (x

1

◦ x

2

) = (x

−1

2

◦ x

−1

1

) ◦ (x

1

◦ x

2

)

e = x

−1

2

◦ (x

−1

1

◦ x

1

) ◦ x

2

e = x

−1

2

◦ e ◦ x

2

e = x

−1

2

◦ x

2

e = e

Algebra z geometrią

Permutacje

Wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru A = {a

1

, a

2

, . . . a

n

}

na siebie p : A → A, nazywa się permutacją p tego zbioru.
Permutację przyporządkowującą elementowi a

k

, k = 1, . . . , n

element a

ik

, i

k

= 1, . . . , n co zapisujemy a

ik

= p(a

k

) oznaczamy

symbolicznie:

a

1

a

2

. . .

a

n

a

i

1

a

i

2

. . .

a

i

n

!

a

1

a

2

. . .

a

n

i

1

i

2

. . .

i

n

!



i

1

i

2

. . .

i

n



Algebra z geometrią

Mnożenie permutacji

(3, 1, 4, 2) ◦ (1, 4, 3, 2) drugi argument działania określa pozycję
liczby z pierwszego zbioru
(3, 1, 4, 2) ◦ (1, 4, 3, 2) = (3, 2, 4, 1)

Algebra z geometrią

Mnożenie permutacji

Jaki jest element neutralny dla permutacji 4 elementowych?

Znajdź element odwrotny dla: (3, 1, 4, 2).

Algebra z geometrią